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3.2 一次函数
1.理解一次函数、正比例函数的概念及关系，并能判断出它们；
2.能分析简单问题中的数量关系建立一次函数模型，并由此解决简单问题.
某登山队大本营所在地的气温为5 C ，海拔每升高1km气温下降6 C ，登山队员由大本营向上登高xkm时，他们所在的位置的气温是y C，试用解析式表示y与x的关系.
y=5-6x
它有什么特点呢？
问题1 某地电费的单价为0.8元/（kW·h），请用表达式表示电费y(元)与所用电量之间x（kW·h）的函数关系.
电费=单价×用电量
y=0.8x
思考
问题2 某弹簧秤最大能称不超过10的物体，秤的原长为10cm，每挂1kg物体，弹簧伸长0.5cm。挂上重物后的长度为y(cm) ，所挂重物的质量为x(cm)，请用表达式表示弹簧长度y(cm)与所挂重物质量x(kg)之间的函数关系.
弹簧长度=原长+弹簧伸长量
y=10+0.5x
（提示：问题中存在怎样的等量关系）
思考 函数y=0.8x，y=10+0.5x有什么共同的特征？
①自变量的次数都是1;
②自变量的系数都是不等于0的常量;
③它们都是关于自变量的一次式.
一次函数的概念：
形如y=kx+b(k，b为常数，k≠0)的函数.
一次函数y=kx+b(k≠0) 的结构特征：
(1)k ≠ 0；
(2)自变量x的次数是1；
(3)常数项b可以是任意实数 .
注意：一次函数 y = kx + b 的自变量的取值范围是全体实数.
正比例函数的概念：
特别地，当 b = 0 时，一次函数 y = kx（k 为常数，k ≠ 0）也叫作正比例函数.
一次函数
正比例函数
正比例函数是一种特殊的一次函数.
思考 正比例函数与一次函数的关系？
下列函数中，y是x的一次函数的是（ ）
A. B.
C. D.
B
判断函数是否为一次函数的方法：先看函数表达式是否是整式的形式， 再将函数表达式进行恒等变 形， 然后看它是否符合一 次函数表达式y=kx+b 的结构特征： (1) k ≠ 0； (2)自变量 x 的次数为 1；(3)常数项 b 可以为任意实数 .
在函数y=0.8x中，我们取一些自变量的值，并计算出对应的因变量的值如下：
每使用1kW·h电，需付费0.8元
做一做：仿照上图，将问题2中的自变量与因变量的变化过程表示出来.
因变量随自变量的变化是均匀的，即自变量每增加1个最小单位，因变量都增加（或都减少）相同的量.
一次函数y＝kx＋b的形式,（k、b是常数,k≠0）的自变量的取值范围是实数集，但在实际问题中，要根据具体情况来确定它的自变量的取值范围.
如：问题1中x≥0，问题2中0≤x≤10.
思考：问题1、2的变化过程有什么特点？
例1 科学研究发现，一般情况下，海拔每升高 1 km，气温下降约 6 ℃. 某时刻，若甲地地面气温为20 ℃，设高出地面x km处的气温为y ℃.
（1） 求y随x变化而变化的函数表达式.
等量关系
甲地高出地面x km处的气温 = 地面气温 - 下降的气温
解 :（1） 由于高出地面xkm处的气温随离地面高度的变化而变化，因此y是x的函数，它们之间的数量关系为甲地高出地面x km处的气温 = 地面气温 - 下降的气温，即y = 20 - 6x.
因变量随自变量的变化是均匀的
（2） 当y =-34时，即20 - 6x =-34， 解得x = 9.
答：此时飞机离地面的高度为9 km.
（2） 若有一架飞机飞过甲地上空，机舱内仪表显示飞机外面的温度为-34 ℃，求飞机离地面的高度.（y = 20 - 6x）
例2 已知变量x，y之间的关系是y=(k-2)x+2k+1(其中k是常数)y是x的一次函数吗？
解：(1)当k-2≠0，即k≠2时，y=(k-2)x+2k+1是一次函数.
(特别地，当2k+1=0，即k=-时，y=(k-2)x+2k+1是正比例函数)
(2)当k-2=0，即k=2时，得y=5，这时y不是x的一次函数.
一次函数
y=kx+b（ k， b 是常数， k≠0）
一次函数的简单应用
当b=0时，y=kx+b(k≠0)是正比例函数
1. 下列函数中，是 的正比例函数的是( )
D
A. B. C. D.
2. 下列函数：； ；； .
其中一次函数的个数是( )
C
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
3. 为打造“比、学、赶、帮、超”的良好班风和浓厚学风，数学白老师为8班孩子
购买了5包卡通橡皮和 包表扬信，卡通橡皮每包12元，表扬信每包30元，共花
费 元，则与 之间的函数表达式为( )
D
A. B.
C. D.
4．已知函数y=(m-10)x+1-2m.
(1)m为何值时，这个函数是一次函数？
(2)m为何值时，这个函数是正比例函数？
解：(1)根据一次函数的定义可得m-10≠0，
∴m≠10,这个函数是一次函数.
(2)根据正比例函数的定义，可得m-10≠0且1-2m=0,解得m= .即m=时，这个函数是正比例函数.

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