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3.5 一次函数与二元一次方程的关系
1.体会一次函数与二元一次方程的关系,感悟数学知识之间的内在联系；
2.会用一次函数的图象解决二元一次方程的求解问题.
（1）已知两个数的和是1,你能用一个式子表示出这两个数之间的关系吗?
这是一个什么式子?
设一个数是x，另一个数是y，则x+y=1.二元一次方程.
（2）你能用含x的式子表示y吗？y与x之间有什么关系?

y=-x+1，y是x的一次函数.
思考 二元一次方程x+y=1与一次函数y=-x+1有怎样的关系呢?
问题1：当x=-2，-1，0，1，2，3时，分别写出二元一次方程x+y=1的解和一次函数y=-x+1所对应的点的坐标.
当x=-2，-1，0，1，2，3时，二元一次方x+y=1的解分别是
一次函数y=-x+1所对应的点的坐标为（-2,3）,（-1，2）,（0,1）,
（1,0）, (2,-1), (3.-2).
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}
x
y
O
2
3
-3
-1
2
-2
1
-2
1
3
-1
-3
问题2：在如图所示的平面直角坐标系中，画出一次函数y=-x+1的图象.
问题3：（1）若点P（a，b)在一次函数y=-x+1的图象上，则 是二元一次方程x+y=1的一组解吗？
?
∵ 是方程x+y=1的一组解，
∴a＋b=1，∴b=－a+1，∴点P（a，b)在一次函数y=-x+1的图象上.
（2）若 是二元一次方程x+y=1的一组解，则坐标为（a，b)的点是否在一次函数y=-x+1的图象上？
?
∵点P（a，b)在一次函数y=-x+1的图象上，∴b=－a+1，∴a＋b=1，
∴ 是方程x+y=1的一组解.
以二元一次方程的解为坐标的点都在与它对应的一次函数的图象上;
反过来,一次函数图象上的点的坐标都是与它对应的二元一次方程的解.
二元一次方程的解
一次函数图象上点的坐标
一一对应
在平面直角坐标系中，关于x，y的二元一次方程ax+by+c=0(a≠0，b≠0)表示一条直线，这条直线是一次函数y=﹣????????????????????? 的图象.
?
例1 在平面直角坐标系中，画出二元一次方程-2x+3y-6=0表示的直线.
解：由-2x+3y-6=0可得一次函数y =23x+2，
?
从而当x=0时，y=2，当x=3时，y=4.
在平面直角坐标系中，描出 A（0，2），B（3，4）两点，过这两点作直线，如图所示.
这条直线是一次函数y =23x+2的图象，从而它是二元一次方程-2x+3y-6=0表示的直线.
?
一次函数y = kx + b的图象就是二元一次方程kx - y + b = 0表示的直线；
二元一次方程kx-y+b=0表示的直线就是一次函数y = kx + b的图象.
分析:
二元一次方程
一次函数
转化
任取两点
待定系数法求表达式
例2 如图 ，在平面直角坐标系中，已知一条直线经过P（0，- 2），Q（-4，5）两点，哪个二元一次方程表示这条直线？
解：设直线 PQ 是一次函数y=kx+b（k，b 为常数，k ≠ 0）的图象.
因为点P（0，-2）和点Q（-4，5）都在该函数的图象上，所以
b=-2，
-4k+b=5，
解得 k=?74，b=-2.
?
因此，直线PQ是一次函数y=?74x-2的图象，从而它是二元一次方程?74x+ y+2=0表示的直线.
?
分析：一次函数y=kx+b的图象就是二元一次方程kx-y+b=0表示的直线.
思考 关于x，y的二元一次方程kx-y+b=0（k ≠ 0）所表示的直线与x轴的交点坐标是什么？
令y=0，则kx+b=0,
解得x=?????????,
?
所以与x轴的交点坐标是(?????????,0).
?
关于 x，y 的二元一次方程 kx - y + b = 0（k ≠ 0）所表示的直线与x 轴的交点坐标为(?????????,0).
?
问题1：x轴上的点的坐标有什么特征？
x轴上的点的纵坐标为0.
问题2：与x轴的交点坐标是什么？
一次函数与一元一次方程：
一般地，一次函数 y=kx+b(k≠0) 的图象与 x 轴的交点的横坐标是一元一次方程 kx+b=0 的解. 任何一个一元一次方程 kx+b=0 的解，就是一次函数 y=kx+b 的图象与 x 轴交点的横坐标.
求一元一次方程
kx + b = 0 的解
从“函数值”看
一次函数 y = kx+b
中 y = 0 时的 x 值
从“函数图象”看
直线 y = kx + b与
x 轴交点的横坐标
通过本节课的学习，你学会了哪些内容？
2.已知关于x的方程mx+n=0的解是x=-2，则直线y=mx+n与x轴的交点坐标是__________.
(-2，0)
1. 一次函数 y = 2x – 4 的图象上有一个点的坐标为(3，2) ，则方程 2x – y = 4 必有一个解是________.
3.求二元一次方程6x-y+9=0表示的直线与x轴的交点坐标.
则6x+9=0,
解：令y=0,
解得x=?32,
?
所以与x轴的交点坐标是(?32,0).
?
4.在平面直角坐标系中，画出二元一次方程2x+3y-9=0表示的直线.
解：由2x+3y-9=0可得一次函数y=?23x+3，
?
从而当x=0时，y=3，当x=3时，y=1.
在平面直角坐标系中，描出 A（0，3），B（3，1）两点，过这两点作直线，如图所示.
这条直线是一次函数y =-23x+3的图象，从而它是二元一次方程2x+3y-9=0表示的直线.
?
·
y =-23x+3
?
5.已知函数y=kx+b的图象如图所示：
（1）求k、b的值；
（2）在图中画出函数y=-2x+5的图象，并根据图象回答：
当x取何值时，函数y=kx+b的函数值等于函数y=-2x+5的函数值.
解：(1)设一次函数的表达式为y=kx+b，
由于点(-2, 0)，(0, 2)都在一次函数图象上，将这两点
坐标带入表达式，得
-2k + b = 0，
b = 2，
解得k=1，b=2.
(2)画出函数y=x+2与y=-2x+5的图象，当x=1时，两函数值相等.
y=x+2
y=-2x+5

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