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3.6 一次函数的应用
课时1 一次函数的应用
1.能分析变量间的关系确定正比例函数或一次函数表达式；
2.能把实际问题抽象成一次函数模型，解决相关问题.
探究 给某长方体游泳池注水，池深2 m.假如注水的时长与水深具有如下关系：
注水的时长 t/h 0.5 1 1.5
水深 h/cm 60 100 140
注水的时长每增加0.5h，水深对应增加40 cm.
因为因变量随自变量的变化是均匀的，所以水深h与注水的时长t的关系可以尝试用一次函数模型来刻画.
问题1：观察表格中的数据你发现了什么？
问题2：水深 y与注水的时长 x之间可用函数模型来刻画吗？为什么？
问题3：求水深h与注水的时长t之间的函数表达式.
设水深h与注水的时长t之间的一次函数表达式为h=kt+b(k，b为常数，k≠0).
将t=0.5，h=60与t=1，h=100代入上式，
得解得k=80，b=20.于是h=80t+20(0≤t≤2.25).
将t=1.5，h=140代入上式，也符合.
故h=80t+20(0≤t≤2.25)就是水深y与注水的时长x之间的函数表达式.
问题4：估计注水2h后的水深.
当t=2时，h=80×2+20=180.
待定系数法
（1）先判断问题中的两个变量之间是不是一次函数关系.
可以观察因变量是否随自变量均匀变化；根据自变量和因变量的对应值描出一系列点，观察图形的形状等等……
（2）求得函数解析式.
（3）利用函数解析式或其图象解决实际问题.
用一次函数解决实际问题的基本步骤是:
例1 已知甲、乙两地相距40 km，小徐8：00骑自行车由甲地去乙地，平均车速为8 km/h；小李10：00坐公共汽车也由甲地去乙地，平均车速为40 km/h.设小徐所用的时间为x h，小徐与甲地的距离为y1 km，小李离甲地的距离为y2 km.
（1）分别写出y1，y2与x之间的函数表达式；
解：（1）y1=8x，自变量x的取值范围是0≤x≤5.
由于小李比小徐晚出发2 h，因此小李所用时间为（x-2）h.
从而y2=40(x-2),自变量x的取值范围是2≤x≤3.
等量关系：距离=速度×时间
(提示：题中存在怎样的等量关系？)
注意自变量的取值范围
（2）在同一平面直角坐标系中，画出这两个函数的图象，并指出谁先到达乙地.（y1=8x，y2=40(x-2)）
（2）将以上两个函数的图象画在同一个
平面直角坐标系中，如图所示.
过点M（0，40）作射线l与x轴平行，
它先与射线y2=40(x-2)相交，
这表明小李先到达乙地.
一次函数与实际问题
关键
根据题意建立函数模型
1.根据因变量与自变量的等量关系建立函数模型；
2.待定系数法建立函数模型.
一次函数的应用
建立一次函数模型解决实际问题
根据数据确定一次函数的表达式
1.如图是某复印店复印收费y(元)与复印面数(8开纸)x(面)的函数图象，那么从图象中可看出，复印超过100面的部分，每面收费( ).
A.0.4元 B.0.45元 C.约0.47元 D.0.5元
A
-1
-2
-3
12
11
9
10
（2）当兔子到达终点时，乌龟距终点还有 　米；
（3）乌龟要先到达终点，至少要比兔子早跑 分钟.
40
4
s /米
l1
l2
1
2
3
4
5
O
100
20
120
40
60
80
t /分
6
8
7
-4
2.下图 l1，l2 分别是龟兔赛跑中 s 与 t 的函数图象.
（1）这一次是 　 米赛跑，表示兔子的图象是 .
100
l2
3.某县大力发展猕猴桃产业，预计今年 A 地将采摘 200 t，B 地将采摘 300 t．若要将这些猕猴桃运到甲、乙两个冷藏仓库，已知甲仓库可储存 240 t，乙仓库可储存 260 t，从 A 地运往甲、乙两处的费用分别为每吨 20 元和 25 元，从 B 地运往甲、乙两处的费用分别为每吨 15 元和 18 元．设从 A 地运往甲仓库的猕猴桃为 x t，A、B 两地运往两仓库的猕猴桃运输费用分别为 yA 元和 yB 元.
(1) 分别求出 yA、yB 与 x 之间的函数关系式；
解：(1)yA＝20x＋25(200－x)＝－5x＋5 000，
yB＝15(240－x)＋18(60＋x)＝3x＋4 680.
(2) 试讨论这次 A、B 两地的运输中，哪个的运费较少；
（yA＝－5x＋5 000，yB＝3x＋4 680）
（2）因为yA－yB＝(－5x＋5 000)－(3x＋4 680)＝－8x＋320，
所以当－8x＋320＞0，即 x＜40 时，B 地的运费较少；
当－8x＋320＝0，即 x＝40 时，两地的运费一样多；
当－8x＋320＜0，即 x＞40 时，A 地的运费较少.

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