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北师大版（2024）七年级下册 第一章 整式的乘除3 乘法公式 题型专练
【题型1】平方差公式的结构特征
【典例】下列式子中，不能用平方差公式运算的是（ ）
A. B. C. D.
【强化训练1】下列各式能用平方差公式计算的是（ ）
A. B. C. D.
【强化训练2】在下列多项式的乘法中，可以用平方差公式计算的是（ ）
A. B. C. D.
【强化训练3】下列式子中，不能用平方差公式运算的是（ ）
A. B. C. D.
【强化训练4】下列各式能用平方差公式计算的是（　　） ①（x-2y）（2y+x）；②（x-2y）（-x-2y）；
③（-x-2y）（x+2y）；④（x-2y）（-x+2y）．
A.①② B.②③ C.①③ D.③④
【强化训练5】在下列（　　）里填上适当的项，使其符合的形式．
(1)；
(2)．
【强化训练6】与（3x+5y）能构成平方差公式的多项式是 .
【强化训练7】下列式子：①；②；③；④；⑤；⑥中符合平方差公式特征的有 ．（填序号）
【题型2】用平方差公式计算
【典例】下列各式中，运算结果是9m2-16n2的是（　　）
A.（3m+2n）（3m-8n） B.（-4n+3m）（-4n-3m） C.（-3m+4n）（-3m-4n） D.（4n+3m）（4n-3m）
【强化训练1】已知，则的值为（ ）
A.17 B.13 C.5 D.1
【强化训练2】若满足，则式子的值为 ．
【强化训练3】计算：(a+2b)( 3a-6b)(a2+4b2)
【强化训练4】利用乘法公式计算下列各题：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【题型3】平方差公式与几何图形面积
【典例】将图（甲）中阴影部分的小长方形变换到图（乙）位置，根据两个图形的面积关系得到的数学公式是（　　）
A.（a+b）2=a2+2ab+b2 B.（a-b）2=a2-2ab+b2 C.a2-b2=（a+b）（a-b） D.（a+2b）（a-b）=a2+ab-2b2
【强化训练1】两个大小不一的正方形①和②如图放置时，，．现有①和②两种正方形各四个，摆放成如图所示形状，那么阴影部分的面积可用表示为（　　）
A.
B.
C.
D.
【强化训练2】如图所示，从边长为a的大正方形中挖去一个边长是b的小正方形，小明将图a中的阴影部分拼成了一个如图b所示的长方形，这一过程可以验证恒等式 ．
【强化训练3】如图（1），边长为a的大正方形中一个边长为b的小正方形，小明将图（1）的阴影部分拼成了一个矩形，如图（2）．这一过程可以验证的乘法公式是 .
【强化训练4】 [探究]如图①，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成图②的长方形
(1)比较两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式：________________（用字母表示）
(2)[应用]请应用这个公式完成下列各题
①已知，，则的值为______
②结果的个位数字为______
③计算：
【题型4】平方差公式与其它运算的综合
【典例】4x2-（2x-3y）（2x+3y）的计算结果是（　　）
A.9y2 B.-9y2 C.3y2 D.2x3+3y2
【强化训练1】化简代数式为（ ）．
A. B. C. D.
【强化训练2】计算的结果为（ ）
A. B. C. D.
【强化训练3】计算= .
【强化训练4】计算：
(1)．
(2)．
(3).
(4).
(5)
【题型5】用完全平方公式计算
【典例】（-2m-1）2=（　　）
A.4m2+1 B.4m2-1 C.4m2+4m+1 D.4m2-4m+1
【强化训练1】下列多项式乘法中，能用完全平方公式计算的是（　　）
A.（a+1）（-a+1） B.（a+b）（b-a） C.（-a+b）（a-b） D.（a-b）（a+b）
【强化训练2】运用完全平方公式计算89.82的最佳选择是（　　）
A.（89+0.8）2 B.（80+9.8）2 C.（90-0.2）2 D.（100-10.2）2
【强化训练3】将4个数a，b，c，d排成两行，两列，两边各加一条竖直线记成，定义．上述记号叫做2阶行列式，若．则x的值为 ．
【强化训练4】 ．
【强化训练5】计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)；
(6)．
【题型6】求完全平方式中字母系数的值
【典例】如果是一个完全平方式，那么的值是（ ）
A.8 B. C.或8 D.或5
【强化训练1】是完全平方式，则m的值是（ ）
A.6 B. C. D.
【强化训练2】若是一个完全平方式，则 ．
【强化训练3】求下列字母的值：
(1)如果多项式是一个完全平方式，求的值．
(2)若代数式是完全平方公式，求m 的值．
(3)若关于x的多项式是完全平方式，求k的值．
(4)如果是一个完全平方式，求k的值．
【题型7】通过对完全平方公式变形求字母系数或代数式的值
【典例】若，则的值为（ ）
A.16 B.12 C.8 D.4
【强化训练1】若，则（　　）
A. B.3 C.1 D.4
【强化训练2】设，，．若，则的值是 ．
【强化训练3】已知a－b＝3，ab＝3，则(a＋b)2＝________.
【强化训练4】[教材呈现]
已知，，求的值．
同学们探究出解这道题的两种方法：
（1）请将方法一，方法二补充完整方法一中的______，方法二中的______．
[知识应用]
（2）请参照上述方法解答以下问题：已知，求的值．
[知识迁移]
（3）如图，以的直角边，为边作正方形和正方形．若的面积为5，正方形和正方形面积和为36，求的长度．
【强化训练5】已知，，求与的值．
【题型8】完全平方公式与几何图形面积
【典例】若将边长分别为a，b的两种不同的正方形纸片，两张纸片2在纸片1上如图方式摆放，则阴影部分的面积可表示为（ ）
A. B. C. D.
【强化训练1】如图是由4个相同的小长方形和1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知该图案的总面积为49，小正方形的面积为4，若用x，y分别表示小长方形的长与宽（），则下列关系式不正确的是（ ）
A. B. C. D.
【强化训练2】图①是一个长为2a，宽为2b的长方形，沿图中虚线剪开，可分成四块小长方形．
（1）将图①中所得的四块长为a，宽为b的小长方形拼成一个正方形（如图②）．请利用图②中阴影部分面积的不同表示方法，直接写出代数式（a+b）2、（a-b）2、ab之间的等量关系是____________；（2）根据（2）题中的等量关系，解决如下问题：已知m+n=8，mn=7，则m-n=____________；（3）将如图①所得的四块长为a，宽为b的小长方形不重叠地放在长方形ABCD的内部（如图③），未被覆盖的部分（两个长方形）用阴影表示．若左下角与右上角的阴影部分的周长之差为4，且小长方形的周长为8，则每一个小长方形的面积为_____________．
【强化训练3】（1）如图①，在边长为a的正方形纸片上剪去一个边长为b（b＜a）的小正方形，
通过不同的方法计算图中阴影部分的面积； 方法① ；方法② ；
由此可以验证的乘法公式是 ；
（2）类似地，在边长为a的正方体上割去一个边长为b（b＜a）的小正方体（如图②），通过不同的方法计算图中余下几个几何体的体积． 方法①______________；
方法②_______________；
由此可以得到的等式是_________；并证明这个等式．
【题型9】整式乘法的混合运算
【典例】下列关系式中，正确的是（ ）
A. B. C. D.
【强化训练1】下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【强化训练2】若a2＋2a＝1，则(a＋1)2＝________.
【强化训练3】先化简，再求值：
(1)，其中；
(2)，其中，．
(3)，其中，．
【强化训练4】计算：（x-2y-3）2-（x-2y）（x+3y）．北师大版（2024）七年级下册 第一章 整式的乘除3 乘法公式 题型专练（参考答案）
【题型1】平方差公式的结构特征
【典例】下列式子中，不能用平方差公式运算的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】解：A、不能用平方差公式运算，符合题意；
B、能用平方差公式运算，不符合题意；
C、能用平方差公式运算，不符合题意；
D、能用平方差公式运算，不符合题意；
故选：A．
【强化训练1】下列各式能用平方差公式计算的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】解：A、中只有相同的项，故不能用平方差公式计算，故本选项错误；
B、只有互为相反数的项，故不能用平方差公式计算，故本选项错误；
C、能用平方差公式计算，故本选项正确；
D、中不存在相同的项与互为相反数的项，，故本选项错误．
故选：C．
【强化训练2】在下列多项式的乘法中，可以用平方差公式计算的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】解：C选项是两个数的和与这两个数的差相乘，可以使用平方差公式，
A、B、D选项变形后为完全平方式，不能使用平方差公式；
故选：C．
【强化训练3】下列式子中，不能用平方差公式运算的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】解：A、不能用平方差公式运算，符合题意；
B、能用平方差公式运算，不符合题意；
C、能用平方差公式运算，不符合题意；
D、能用平方差公式运算，不符合题意；
故选：A．
【强化训练4】下列各式能用平方差公式计算的是（　　） ①（x-2y）（2y+x）；②（x-2y）（-x-2y）；
③（-x-2y）（x+2y）；④（x-2y）（-x+2y）．
A.①② B.②③ C.①③ D.③④
【答案】A
【解析】解：①中x是相同的项，互为相反项是-2y与2y，符合平方差公式的结构特征，能用平方差公式计算； ②中-2y是相同的项，互为相反项是x与-x，符合平方差公式的结构特征，能用平方差公式计算； ③中不存在相同的项，不符合平方差公式的结构特征，不能用平方差公式计算； ④中不存在相同的项，不符合平方差公式的结构特征，不能用平方差公式计算． 故选：A．
【强化训练5】在下列（　　）里填上适当的项，使其符合的形式．
(1)；
(2)．
【答案】(1)，；(2)，，，
【解析】解：（1），
故答案为：，；
（2），
故答案为：，，，．
【强化训练6】与（3x+5y）能构成平方差公式的多项式是 .
【答案】3x-5y或5y-3x
【解析】解：根据平方差公式的特点：两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数，如果把3x看成完成相同的项，把5y看成互为相反的项，则这个多项式为3x-5y；如果把5y看成完成相同的项，把3x看成互为相反的项，则这个多项式为5y-3x.
【强化训练7】下列式子：①；②；③；④；⑤；⑥中符合平方差公式特征的有 ．（填序号）
【答案】①④⑥
【解析】解：①符合平方差公式的特点；
②不符合平方差公式的特点；
③，不符合平方差公式的特点；
④，符合平方差公式的特点；
⑤不符合平方差公式的特点；
⑥，符合平方差公式的特点；
∴符合平方差公式特征的有①④⑥．
故答案为：①④⑥．
【题型2】用平方差公式计算
【典例】下列各式中，运算结果是9m2-16n2的是（　　）
A.（3m+2n）（3m-8n） B.（-4n+3m）（-4n-3m） C.（-3m+4n）（-3m-4n） D.（4n+3m）（4n-3m）
【答案】C
【解析】解：（-3m+4n）（-3m-4n）=9m2-16n2，故选C.
【强化训练1】已知，则的值为（ ）
A.17 B.13 C.5 D.1
【答案】B
【解析】解：∵，
∴，
∴，
故选：B．
【强化训练2】若满足，则式子的值为 ．
【答案】
【解析】解：∵)=，
∵
∴
∵，
∴)=-6
∴，
故答案为：．
【强化训练3】计算：(a+2b)( 3a-6b)(a2+4b2)
【答案】解：(a+2b)( 3a-6b)(a2+4b2)= (a+2b) 3 (a-2b)(a2+4b2)=3(a2-4b2)(a2+4b2)=3(a4-16b4)
=3a4-48b4
【强化训练4】利用乘法公式计算下列各题：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】解：（1）原式
；
（2）原式
；
（3）原式
；
（4）原式
．
【题型3】平方差公式与几何图形面积
【典例】将图（甲）中阴影部分的小长方形变换到图（乙）位置，根据两个图形的面积关系得到的数学公式是（　　）
A.（a+b）2=a2+2ab+b2 B.（a-b）2=a2-2ab+b2 C.a2-b2=（a+b）（a-b） D.（a+2b）（a-b）=a2+ab-2b2
【答案】C
【解析】解：首先求出甲的面积为a2-b2，然后求出乙图形的面积为（a+b）（a-b），根据两个图形的面积相等即可判定是哪个数学公式．根据两个图形的面积相等知，a2-b2=（a+b）（a-b），故选C．
【强化训练1】两个大小不一的正方形①和②如图放置时，，．现有①和②两种正方形各四个，摆放成如图所示形状，那么阴影部分的面积可用表示为（　　）
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】解：设正方形②的边长为，正方形①的边长为，
由图可得，，，
∴，
即，
∴，
故选：．
【强化训练2】如图所示，从边长为a的大正方形中挖去一个边长是b的小正方形，小明将图a中的阴影部分拼成了一个如图b所示的长方形，这一过程可以验证恒等式 ．
【答案】
【解析】解：∵图a中阴影部分面积为，图b中阴影部分面积为，
∴，
故答案为：．
【强化训练3】如图（1），边长为a的大正方形中一个边长为b的小正方形，小明将图（1）的阴影部分拼成了一个矩形，如图（2）．这一过程可以验证的乘法公式是 .
【答案】（a+b）（a-b）= a2-b2．
【解析】解：阴影部分的面积=（a+b）（a-b）=a2-b2；因而可以验证的乘法公式是（a+b）（a-b）=a2-b2．
【强化训练4】 [探究]如图①，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成图②的长方形
(1)比较两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式：________________（用字母表示）
(2)[应用]请应用这个公式完成下列各题
①已知，，则的值为______
②结果的个位数字为______
③计算：
【答案】解：（1）由图可知，阴影部分的面积可以用和，两种方法进行表示，
∴可以得到平方差公式：；
故答案为：；
（2）①∵，，，
∴，
∴；
故答案为：3；
②
，
∵，
∴的个位数字是以四个为一组，进行循环，
∵，
∴的个位数字为6；
故答案为：6；
③
．
【题型4】平方差公式与其它运算的综合
【典例】4x2-（2x-3y）（2x+3y）的计算结果是（　　）
A.9y2 B.-9y2 C.3y2 D.2x3+3y2
【答案】A
【解析】解：原式=4x2-4x2+9y2=9y2．故选A．
【强化训练1】化简代数式为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】解：
故答案为：C
【强化训练2】计算的结果为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】解：原式
．
故答案为：A．
【强化训练3】计算= .
【答案】
【解析】解：
.
故答案为.
【强化训练4】计算：
(1)．
(2)．
(3).
(4).
(5)
【答案】解：（1）
．
（2）
．
（3）
．
（4）
.
（5）
.
【题型5】用完全平方公式计算
【典例】（-2m-1）2=（　　）
A.4m2+1 B.4m2-1 C.4m2+4m+1 D.4m2-4m+1
【答案】C
【解析】解：原式=4m2+4m+1，故选C.
【强化训练1】下列多项式乘法中，能用完全平方公式计算的是（　　）
A.（a+1）（-a+1） B.（a+b）（b-a） C.（-a+b）（a-b） D.（a-b）（a+b）
【答案】C
【解析】解：A中，（a+1）（-a+1）=-（a+1）（a-1），可利用平方差公式计算，此选项错误； B中，（a+b）（b-a）=（b+a）（b-a），可利用平方差公式计算，此选项错误； C中，（-a+b）（a-b）=-（a-b）（a-b）=-（a-b）2，可利用完全平方公式计算，此选项正确； D中，（a-b）（a+b）可利用平方差公式计算，此选项错误； 故选C．
【强化训练2】运用完全平方公式计算89.82的最佳选择是（　　）
A.（89+0.8）2 B.（80+9.8）2 C.（90-0.2）2 D.（100-10.2）2
【答案】C
【解析】解：A中，（89+0.8）2=892+2×89×0.8+0.82， B中，（80+9.8）2=802+2×80×9.8+9.82， C中，89.82=（90-0.2）2=902-2×90×0.2+0.22， D中，（100-10.2）2=1002-2×100×10.2+10.22， 选项A、B、D都不如选项C好算，故选C．
【强化训练3】将4个数a，b，c，d排成两行，两列，两边各加一条竖直线记成，定义．上述记号叫做2阶行列式，若．则x的值为 ．
【答案】
【解析】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得，
故答案为：．
【强化训练4】 ．
【答案】
【解析】解：
故答案为：
【强化训练5】计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)；
(6)．
【答案】解：（1）
；
（2）
；
（3）
；
（4）
；
（5）
；
（6）
．
【题型6】求完全平方式中字母系数的值
【典例】如果是一个完全平方式，那么的值是（ ）
A.8 B. C.或8 D.或5
【答案】C
【解析】解：
∵是一个完全平方式，，
∴，
∴，
∴或，
故选：C．
【强化训练1】是完全平方式，则m的值是（ ）
A.6 B. C. D.
【答案】D
【解析】解：∵是完全平方式，
∴是完全平方式，
∴，
∴，
故选：D．
【强化训练2】若是一个完全平方式，则 ．
【答案】
【解析】解：∵，
∴，
解得．
故答案为：．
【强化训练3】求下列字母的值：
(1)如果多项式是一个完全平方式，求的值．
(2)若代数式是完全平方公式，求m 的值．
(3)若关于x的多项式是完全平方式，求k的值．
(4)如果是一个完全平方式，求k的值．
【答案】解：（1）∵多项式是一个完全平方式，
∴．
（2）∵是完全平方公式，
∴，
∴，
（3）∵是完全平方式，
∴，
∴，
∴，解得：或．
（4）∵，
∴或4，
【题型7】通过对完全平方公式变形求字母系数或代数式的值
【典例】若，则的值为（ ）
A.16 B.12 C.8 D.4
【答案】B
【解析】解：∵，，
∴
故选：B
【强化训练1】若，则（　　）
A. B.3 C.1 D.4
【答案】D
【解析】解：∵，
∴，即，
∴，，
∴，，
∴．
故选：D．
【强化训练2】设，，．若，则的值是 ．
【答案】7
【解析】解：∵，，，
∴，，，
∵，，
∴，则，
∴
，
故答案为：7．
【强化训练3】已知a－b＝3，ab＝3，则(a＋b)2＝________.
【答案】21
【解析】解：(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2＝a2－2ab＋b2＋4ab＝(a－b)2＋4ab，
将a－b＝3，ab＝3代入得，
原式＝32＋12＝21.
【强化训练4】[教材呈现]
已知，，求的值．
同学们探究出解这道题的两种方法：
（1）请将方法一，方法二补充完整方法一中的______，方法二中的______．
[知识应用]
（2）请参照上述方法解答以下问题：已知，求的值．
[知识迁移]
（3）如图，以的直角边，为边作正方形和正方形．若的面积为5，正方形和正方形面积和为36，求的长度．
【答案】解：（1），，
故答案为：，；
（2）∵，，，
∴；
（3）设，，则，
由题意可得：，，
∴，
∵，
∴．
【强化训练5】已知，，求与的值．
【答案】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【题型8】完全平方公式与几何图形面积
【典例】若将边长分别为a，b的两种不同的正方形纸片，两张纸片2在纸片1上如图方式摆放，则阴影部分的面积可表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】解：由题意可知，两个角上阴影部分是边长为的正方形，中间阴影部分是边长为的正方形，
阴影部分的面积为．
故选：C．
【强化训练1】如图是由4个相同的小长方形和1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知该图案的总面积为49，小正方形的面积为4，若用x，y分别表示小长方形的长与宽（），则下列关系式不正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】解：由图可知：大正方形的边长为，小正方形的边长为，
由题意，得：，
∵，，
∴，，，
∴
∴；
故关系式不正确的是C；
故选C．
【强化训练2】图①是一个长为2a，宽为2b的长方形，沿图中虚线剪开，可分成四块小长方形．
（1）将图①中所得的四块长为a，宽为b的小长方形拼成一个正方形（如图②）．请利用图②中阴影部分面积的不同表示方法，直接写出代数式（a+b）2、（a-b）2、ab之间的等量关系是____________；（2）根据（2）题中的等量关系，解决如下问题：已知m+n=8，mn=7，则m-n=____________；（3）将如图①所得的四块长为a，宽为b的小长方形不重叠地放在长方形ABCD的内部（如图③），未被覆盖的部分（两个长方形）用阴影表示．若左下角与右上角的阴影部分的周长之差为4，且小长方形的周长为8，则每一个小长方形的面积为_____________．
【答案】（1）（a-b）2=（a+b）2-4ab （2）±6（3）3.
【解析】解：（1）（a-b）2=（a+b）2-4ab．
故答案为（a-b）2=（a+b）2-4ab．
（2）∵m+n=8，mn=7，∴（m-n）2=（m+n）2-4mn=64-28=36，
∴m-n=±6 故答案为±6．
（3）设长方形BC为m，CD为n，右上角部分的阴影周长为2（n-a+m-a），
左下角部分的阴影周长为2（m-2b+n-2b）
∵左下角与右上角的阴影部分的周长之差为4，
∴-8b+4a=4，
又∵2（a+b）=8，
∴解得a=3，b=1，
∴每一个小长方形的面积为ab=3×1=3．
故答案为3．
【强化训练3】（1）如图①，在边长为a的正方形纸片上剪去一个边长为b（b＜a）的小正方形，
通过不同的方法计算图中阴影部分的面积； 方法① ；方法② ；
由此可以验证的乘法公式是 ；
（2）类似地，在边长为a的正方体上割去一个边长为b（b＜a）的小正方体（如图②），通过不同的方法计算图中余下几个几何体的体积． 方法①______________；
方法②_______________；
由此可以得到的等式是_________；并证明这个等式．
【答案】（1）①a2-b2 ②a（a-b）+b（a-b） （a+b）（a-b）=a2-b2（2）①a3-b3②a2（a-b）+ab（a-b）+b2（a-b） a3-b3=（a-b）（a2+ab+b2）.
证明：等式右边=（a-b）（a2+ab+b2）=a3+a2b+ab2-a2b+ab2-b3=a3-b3=左边，得证．
【题型9】整式乘法的混合运算
【典例】下列关系式中，正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】解：A、，此选项计算错误，不符合题意；
B、，此选项计算正确，符合题意；
C、，此选项计算错误，不符合题意；
D、，此选项计算错误，不符合题意；
故选：B．
【强化训练1】下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】解：A、，原式计算错误，不符合题意；
B、，原式计算错误，不符合题意；
C、，原式计算错误，不符合题意；
D、，原式计算正确，符合题意．
故选：D．
【强化训练2】若a2＋2a＝1，则(a＋1)2＝________.
【答案】2
【解析】解：(a＋1)2＝a2＋2a＋1＝1＋1＝2.
【强化训练3】先化简，再求值：
(1)，其中；
(2)，其中，．
(3)，其中，．
【答案】解：（1）
，
当时，原式；
（2）
，
当，时，原式．
（3）
，
当，时，原式．
【强化训练4】计算：（x-2y-3）2-（x-2y）（x+3y）．
【答案】解：原式=[（x-2y）-3]2-（x2+3xy-2xy-6y2）
=（x-2y）2+9-6（x-2y）-（x2+xy-6y2）
=x2+4y2-4xy+9-6x+12y-x2-xy+6y2
=10y2-5xy-6x+12y+9.

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