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湘教版（2024）七年级下册 4.5 垂线 题型专练（参考答案）
【题型1】画垂线
【典例】通过作垂线可得到下面的结论是（　　）
A.过一点有无数条直线与已知直线垂直
B.过一点只有一条直线与已知直线垂直
C.在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
D.过一点能画出一条直线与已知直线相交
【答案】C
【解析】在垂线的定义和性质中都要强调在同一平面内．
过一点作直线的垂线，需要在同一平面内进行，
A、B、D三项没有强调在同一平面内，错误；
C、在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，这是垂线的性质，正确．
故选：C．
【强化训练1】如图，在平面内过A点作已知直线m的垂线，可作垂线的条数有（　　）
A.0条 B.1条 C.2条 D.无数条
【答案】B
【解析】根据垂直、垂线的定义，可直接得结论．
在同一平面内，过一A点作已知直线m的垂线有一条．
故选：B．
【强化训练2】如图，在平面内作已知直线m的垂线，可作垂线的条数有 　 　条．
【答案】无数．
【解析】根据在平面内作已知直线的垂线，可作垂线的条数有无数条，即可解答．
在平面内作已知直线m的垂线，可作垂线的条数有无数条，
故答案为：无数．
【强化训练3】如果CO⊥AB于O，过OC上任一点向AB作垂线，那么所画的垂线必与OC重合，这是因为　 　．
【答案】过一点有且仅有一条直线与已知直线垂直．
【解析】根据垂线的性质回答即可．
如果CO⊥AB于O，过OC上任一点向AB作垂线，那么所画的垂线必与OC重合，
这是因为过一点有且仅有一条直线与已知直线垂直．
故答案为：过一点有且仅有一条直线与已知直线垂直．
【强化训练4】如图所示，过点M作l1，l2的垂线，过M作AB的垂线段，标出垂足．
【答案】解：如图所示：
．
【强化训练5】（1）在图1中过点P分别向∠1的两边作垂线段，两条垂线段所形成的角为∠α；
（2）量一量图1中∠α与∠1的度数，它们之间的数量关系是　 　；
（3）同样在图2和图3中过点P分别向∠1的两边作垂线，两垂线的夹角为∠α，分别写出图2和图3中∠α和∠1之间的数量关系；
（4）由上述三种情形可以得到一个结论：如果一个角的两边分别和另一个角的两边垂直，那么这两个角　 　（不要求写出理由）．
【答案】解：（1）如图1：
，
（2）∠α+∠1＝180°；
（3）如图2，∠α＝∠1或∠α+∠1＝180°；
如图3，∠α＝∠1或∠α+∠1＝180°；
（4）可得结论是如果一个角的两边分别和另一个角的两边垂直，那么这两个角相等、互补；
故答案为：∠α+∠1＝180°；相等、互补．
【题型2】利用垂直的定义求角度
【典例】如图所示AO⊥CO，且∠BOC＝30°，求∠AOB的度数是（　　）
A.45° B.50° C.55° D.60°
【答案】D
【解析】根据垂直的定义，由AO⊥CO，得∠AOC＝90°．由∠BOC＝30°，根据角的和差关系得到∠AOB＝∠AOC﹣∠BOC＝90°﹣30°＝60°．
∵AO⊥CO，
∴∠AOC＝90°．
∵∠BOC＝30°，
∴∠AOB＝∠AOC﹣∠BOC＝90°﹣30°＝60°．
故选：D．
【强化训练1】如图，OA⊥OB，OC⊥OD，O是垂足，∠AOD＝120°，那么∠COB的度数为（　　）
A.80° B.70° C.60° D.50°
【答案】C
【解析】求出∠BOD的度数，根据∠DOC的度数求出即可．
∵∠AOD＝120°，OA⊥OB，
∴∠AOB＝90°，
∴∠BOD＝120°﹣90°＝30°，
∵OC⊥OD，
∴∠DOC＝90°，
∴∠BOC＝∠DOC﹣∠DOB＝90°﹣30°＝60°，
故选：C．
【强化训练2】如图，直线BC与直线DE相交于点O，OA⊥BC，垂足为O，∠COD：∠AOD＝2：7，则∠AOE度数为（　　）
A.140° B.130° C.120° D.110°
【答案】D
【解析】根据OA⊥BC得出∠COD+∠AOD＝90°，结合已知条件即可求出∠AOD的度数，再根据邻补角互补的性质即可求出∠AOE的度数．
∵OA⊥BC，
∴∠AOC＝90°，
∴∠COD+∠AOD＝90°，
∵∠COD：∠AOD＝2：7，
∴∠COD＝20°，∠AOD＝70°，
∴∠AOE＝180°﹣∠AOD＝180°﹣70°＝110°，
故选：D．
【强化训练3】如图，点O在直线BD上，已知∠COD＝105°，OC⊥OA，则∠1的度数为 　 　．
【答案】15°．
【解析】先利用平角定义求出∠COB的度数，然后再根据垂直定义可得∠COA＝90°，从而利用角的和差关系，进行计算即可解答．
∵∠COD＝105°，
∴∠COB＝180°﹣∠COD＝75°，
∵OC⊥OA，
∴∠COA＝90°，
∴∠1＝∠COA﹣∠COB＝15°，
故答案为：15°．
【强化训练4】如图，直线AB，CD相交于点O，射线OE⊥AB于O，射线OF⊥CD于O，且∠AOF＝30°．求∠BOC与∠EOD的度数．
【答案】解：∵OE⊥AB，OF⊥CD，
∴∠AOE＝∠DOF＝90°，
∴∠AOE﹣∠EOF＝∠DOF﹣∠EOF，
∴∠AOF＝∠DOE＝30°，
∴∠AOD＝∠AOE+∠DOE＝120°，
∴∠BOC＝∠AOD＝120°，
∴∠BOC的度数为120°，∠EOD的度数为30°．
【题型3】垂线的性质
【典例】下列说法中：①相等的角是对顶角；②过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；③同位角相等；④若，，则．其中错误的有（ ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【答案】C
【解析】根据对顶角的定义，垂线的性质，点到直线的距离，平行线的性质，平行公理推论，依次判断，即可求解，
相等的角不一定是对顶角，故①错误，
在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故②错误，
两直线平行，同位角相等，故③错误，
若，，则，故④正确，
故选：C．
【强化训练1】如图，，，为垂足，那么，，三点在同一条直线上，理由是（ ）
A.经过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行
B.在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
C.在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线平行
D.如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行
【答案】B
【解析】本题考查了对同一平面内，有且只有一条直线与已知直线垂直的概念掌握，熟知在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直是解题的关键．
∵在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，
∴若，，则，，三点在同一条直线上，
故选：．
【强化训练2】下列说法：①在同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：相交和垂直；②有且只有一条直线垂直于已知直线；③如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；④过一点，有且只有一条直线与已知直线平行．其中不正确的个数是（ ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【答案】C
【解析】本题考查了平行线的判定与性质、平行线、平行公理及推论，解决本题的关键是综合以上知识．根据在同一平面内，两条直线的位置关系，垂直的性质，平行线平行公理及推论等逐一进行判断即可．
在同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：相交和平行，故①不正确；
在平面内，过一点有且只有一条直线垂直于已知直线．故②不正确；
如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．故③正确；
过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行，故④不正确．
所以不正确的有①②④，共三个．
故选：C
【强化训练3】下列说法：①在同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：相交和垂直；②有且只有一条直线垂直于已知直线；③如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；④过一点，有且只有一条直线与已知直线平行．其中不正确的个数是（ ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【答案】C
【解析】本题考查了平行线的判定与性质、平行线、平行公理及推论，解决本题的关键是综合以上知识．根据在同一平面内，两条直线的位置关系，垂直的性质，平行线平行公理及推论等逐一进行判断即可．
在同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：相交和平行，故①不正确；
在平面内，过一点有且只有一条直线垂直于已知直线．故②不正确；
如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．故③正确；
过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行，故④不正确．
所以不正确的有①②④，共三个．
故选：C
【强化训练4】如图，在同一平面内，，垂足为，则与重合的理由是（ ）．

A.两点确定一条直线
B.同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
C.垂线段最短
D.已知直线的垂线只有一条
【答案】B
【解析】此题主要考查了垂线的性质，正确掌握垂线的性质是解题关键．
直接利用垂线的性质：在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，进而判断得出答案．
在同一平面内，，垂足为，
则与重合的理由是：同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．
故选：B．
【题型4】利用垂线段最短解决实际问题
【典例】如图所示，某同学的家在P处，他想尽快赶到附近公路边搭顺风车，他选择P→C路线，用几何知识解释其道理正确的是（　　）
A.两点确定一条直线
B.垂线段最短
C.两点之间线段最短
D.经过一点有无数条直线
【答案】B
【解析】根据垂线段的性质解答即可．
某同学的家在P处，他想尽快赶到附近公路边搭顺风车，他选择P→C路线，是因为垂直线段最短，
故选：B．
【强化训练1】如图，要在河堤两岸搭建一座桥，搭建方式中最短的是线段PN，理由是（　　）
A.经过两点有且只有一条直线
B.垂线段最短
C.两点之间的所有连线中线段最短
D.过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
【答案】B
【解析】根据垂线段最短即可得出答案．
∵PN⊥QM，
∴要在河堤两岸搭建一座桥，搭建方式中最短的是线段PN，理由是垂线段最短．
故选：B．
【强化训练2】如图，点P是直线l外一点，且PC⊥l，点C是垂足，点A，B，D在直线l上，下列线段中最短的是（　　）
A.PA B.PB C.PC D.PD
【答案】C
【解析】由垂线段的性质：垂线段最短，即可判断．
点P是直线l外一点，且PC⊥l，点C是垂足，点A，B，D在直线l上，最短的线段是PC．
故选：C．
【强化训练3】如图，点P是直线l外一点，且PC⊥l，点C是垂足，点A，B，D在直线l上，下列线段中最短的是（　　）
A.PA B.PB C.PC D.PD
【答案】C
【解析】由垂线段的性质：垂线段最短，即可判断．
点P是直线l外一点，且PC⊥l，点C是垂足，点A，B，D在直线l上，最短的线段是PC．
故选：C．
【强化训练4】如图，小胡同学的家在点P处，他在行走速度相同的情况下，想尽快地到达公路边，他选择沿线段PB去公路边，他这一选择用到的数学知识是（　　）
A.经过一点，有无数条直线 B.垂线段最短 C.两点确定一条直线 D.两点之间，线段最短
【答案】B
【解析】根据“垂线段最短”进行判断即可．
他选择沿线段PB去公路边，他这一选择用到的数学知识是“垂线段最短”．
故选：B．
【强化训练5】如图，要在河岸l上建一个水泵房D，修建引水渠到村庄C处．施工人员的做法是：过点C作CD⊥l于点D，将水泵房建在了D处．这样修建引水渠CD最短，既省人力又省物力，这样做蕴含的数学原理是 　 　．
【答案】垂线段最短．
【解析】根据垂线段的性质解答即可．
过点C作CD⊥l于点D，将水泵房建在了D处．这样做最节省水管长度，其数学道理是垂线段最短．
故答案为：垂线段最短．
【强化训练6】如图，想在河堤两岸搭建一座桥，图中搭建方式中，最短的是PB，理由　 　．
【答案】垂线段最短．
【解析】过直线外一点作直线的垂线，这一点与垂足之间的线段就是垂线段，且垂线段最短．据此作答．
根据垂线段定理，连接直线外一点与直线上所有点的连线中，垂线段最短，
∵PB⊥AD，
∴PB最短．
故答案为：垂线段最短．
【强化训练7】希望村在落实“脱贫先修路”的计划中需要在家乡河上建一座桥，如图所示的方案中，在 　 　处建桥最合适，理由是 　 　．
【答案】MA；垂线段最短．
【解析】根据垂线段的性质得出答案．
∵MA⊥BD，
∴根据垂线段最短，在MA处建桥最合适，
故答案为：MA，垂线段最短．
【强化训练8】如图，点P是直线l外一点，过点P作PO⊥l于点O，点A是直线l上任意一点，连接PA，若PO＝3，则PA的长可能是 　（写出一个即可）．
【答案】4（答案不唯一）．
【解析】直接利用垂线段最短以及结合已知得出AP的取值范围，进而得出答案．
∵PO⊥l于点O，点A是直线l上任意一点，PO＝3，
∴3≤AP，
∴AP的长可能是4，
故答案为：4（答案不唯一）．
【题型5】点到直线的距离
【典例】直线l上有A、B、C三点，直线l外有一点P，若PA＝5cm，PB＝3cm，PC＝2cm，那么P点到直线l的距离（　　）
A.等于2cm B.小于2cm C.不大于2cm D.大于2cm且小于3cm
【答案】C
【解析】根据点到直线的距离的定义和垂线段最短的性质解答．
∵PA＝5cm，PB＝3cm，PC＝2cm，
∴P点到直线l的距离不大于2cm．
故选：C．
【强化训练1】如图，直线外一点O，点C、D、E、F都在直线AB上，则点O到直线AB的距离是（　　）
A.线段OC的长度 B.线段OD的长度 C.线段OE的长度 D.线段OF的长度
【答案】B
【解析】直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，根据定义作出判断即可．
∵直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，
∴由图可知，点O到直线AB的距离是线段OD的长度．
故选：B．
【强化训练2】若点P是直线m外一点，点A、B、C、D分别是直线m上不同的四点，且PA＝5，PB＝6，PC＝7，PD＝8，则点P到直线m的距离可能是（　　）
A.8 B.7 C.6 D.5
【答案】D
【解析】根据“直线外一点到直线上各点的所有线中，垂线段最短”进行解答．
∵直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短，
∴点P到直线a的距离≤PA，
即点P到直线a的距离不大于5．
∴点P到直线m的距离可能是5．
故选：D．
【强化训练3】如图，P是直线a外一点，点A，B，C，D为直线a上的点，PA＝5，PB＝4，PC＝3，PD＝7，根据所给数据写出点P到直线a的距离d的取值范围是 　 　．
【答案】0＜d≤3．
【解析】根据直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，可得连接直线外一点P与直线上任意点，所得线段中垂线段最短；然后根据PA＝5，PB＝4，PC＝3，PD＝7，可得四条线段的最短的是3，所以点P到直线l的距离不大于3，据此判断即可．
连接直线外一点P与直线上任意点，所得线段中垂线段最短；
因为PA＝5，PB＝4，PC＝3，PD＝7，
所以三条线段的最短的是3，
所以点P到直线a的距离d不大于3．
故答案为：0＜d≤3．
【强化训练4】如图，AB、CD、NE相交于点O，OM平分∠BOD，∠MON＝90°，∠AOC＝50°
（1）线段　 　的长度表示点M到NE的距离；
（2）比较MN与MO的大小（用“＜”号连接）：　 　，并说明理由；　 　；
（3）求∠AON的度数．
【答案】解：（1）线段MO的长度表示点M到NE的距离；
（2）比较MN与MO的大小为：MO＜MN，是因为垂线段最短；
（3）∵∠BOD＝∠AOC＝50°，OM平分∠BOD，
∴∠BOM＝25°，
∴∠AON＝180°﹣∠BOM﹣∠MON＝180°﹣25°﹣90°＝65°．
故答案为：MO；MO＜MN；垂线段最短．湘教版（2024）七年级下册 4.5 垂线 题型专练
【题型1】画垂线
【典例】通过作垂线可得到下面的结论是（　　）
A.过一点有无数条直线与已知直线垂直
B.过一点只有一条直线与已知直线垂直
C.在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
D.过一点能画出一条直线与已知直线相交
【强化训练1】如图，在平面内过A点作已知直线m的垂线，可作垂线的条数有（　　）
A.0条 B.1条 C.2条 D.无数条
【强化训练2】如图，在平面内作已知直线m的垂线，可作垂线的条数有 　 　条．
【强化训练3】如果CO⊥AB于O，过OC上任一点向AB作垂线，那么所画的垂线必与OC重合，这是因为　 　．
【强化训练4】如图所示，过点M作l1，l2的垂线，过M作AB的垂线段，标出垂足．
【强化训练5】（1）在图1中过点P分别向∠1的两边作垂线段，两条垂线段所形成的角为∠α；
（2）量一量图1中∠α与∠1的度数，它们之间的数量关系是　 　；
（3）同样在图2和图3中过点P分别向∠1的两边作垂线，两垂线的夹角为∠α，分别写出图2和图3中∠α和∠1之间的数量关系；
（4）由上述三种情形可以得到一个结论：如果一个角的两边分别和另一个角的两边垂直，那么这两个角　 　（不要求写出理由）．
【题型2】利用垂直的定义求角度
【典例】如图所示AO⊥CO，且∠BOC＝30°，求∠AOB的度数是（　　）
A.45° B.50° C.55° D.60°
【强化训练1】如图，OA⊥OB，OC⊥OD，O是垂足，∠AOD＝120°，那么∠COB的度数为（　　）
A.80° B.70° C.60° D.50°
【强化训练2】如图，直线BC与直线DE相交于点O，OA⊥BC，垂足为O，∠COD：∠AOD＝2：7，则∠AOE度数为（　　）
A.140° B.130° C.120° D.110°
【强化训练3】如图，点O在直线BD上，已知∠COD＝105°，OC⊥OA，则∠1的度数为 　 　．
【强化训练4】如图，直线AB，CD相交于点O，射线OE⊥AB于O，射线OF⊥CD于O，且∠AOF＝30°．求∠BOC与∠EOD的度数．
【题型3】垂线的性质
【典例】下列说法中：①相等的角是对顶角；②过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；③同位角相等；④若，，则．其中错误的有（ ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【强化训练1】如图，，，为垂足，那么，，三点在同一条直线上，理由是（ ）
A.经过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行
B.在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
C.在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线平行
D.如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行
【强化训练2】下列说法：①在同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：相交和垂直；②有且只有一条直线垂直于已知直线；③如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；④过一点，有且只有一条直线与已知直线平行．其中不正确的个数是（ ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【强化训练3】下列说法：①在同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：相交和垂直；②有且只有一条直线垂直于已知直线；③如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；④过一点，有且只有一条直线与已知直线平行．其中不正确的个数是（ ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【强化训练4】如图，在同一平面内，，垂足为，则与重合的理由是（ ）．

A.两点确定一条直线
B.同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
C.垂线段最短
D.已知直线的垂线只有一条
【题型4】利用垂线段最短解决实际问题
【典例】如图所示，某同学的家在P处，他想尽快赶到附近公路边搭顺风车，他选择P→C路线，用几何知识解释其道理正确的是（　　）
A.两点确定一条直线
B.垂线段最短
C.两点之间线段最短
D.经过一点有无数条直线
【强化训练1】如图，要在河堤两岸搭建一座桥，搭建方式中最短的是线段PN，理由是（　　）
A.经过两点有且只有一条直线
B.垂线段最短
C.两点之间的所有连线中线段最短
D.过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
【强化训练2】如图，点P是直线l外一点，且PC⊥l，点C是垂足，点A，B，D在直线l上，下列线段中最短的是（　　）
A.PA B.PB C.PC D.PD
【强化训练3】如图，点P是直线l外一点，且PC⊥l，点C是垂足，点A，B，D在直线l上，下列线段中最短的是（　　）
A.PA B.PB C.PC D.PD
【强化训练4】如图，小胡同学的家在点P处，他在行走速度相同的情况下，想尽快地到达公路边，他选择沿线段PB去公路边，他这一选择用到的数学知识是（　　）
A.经过一点，有无数条直线 B.垂线段最短 C.两点确定一条直线 D.两点之间，线段最短
【强化训练5】如图，要在河岸l上建一个水泵房D，修建引水渠到村庄C处．施工人员的做法是：过点C作CD⊥l于点D，将水泵房建在了D处．这样修建引水渠CD最短，既省人力又省物力，这样做蕴含的数学原理是 　 　．
【强化训练6】如图，想在河堤两岸搭建一座桥，图中搭建方式中，最短的是PB，理由　 　．
【强化训练7】希望村在落实“脱贫先修路”的计划中需要在家乡河上建一座桥，如图所示的方案中，在 　 　处建桥最合适，理由是 　 　．
【强化训练8】如图，点P是直线l外一点，过点P作PO⊥l于点O，点A是直线l上任意一点，连接PA，若PO＝3，则PA的长可能是 　（写出一个即可）．
【题型5】点到直线的距离
【典例】直线l上有A、B、C三点，直线l外有一点P，若PA＝5cm，PB＝3cm，PC＝2cm，那么P点到直线l的距离（　　）
A.等于2cm B.小于2cm C.不大于2cm D.大于2cm且小于3cm
【强化训练1】如图，直线外一点O，点C、D、E、F都在直线AB上，则点O到直线AB的距离是（　　）
A.线段OC的长度 B.线段OD的长度 C.线段OE的长度 D.线段OF的长度
【强化训练2】若点P是直线m外一点，点A、B、C、D分别是直线m上不同的四点，且PA＝5，PB＝6，PC＝7，PD＝8，则点P到直线m的距离可能是（　　）
A.8 B.7 C.6 D.5
【强化训练3】如图，P是直线a外一点，点A，B，C，D为直线a上的点，PA＝5，PB＝4，PC＝3，PD＝7，根据所给数据写出点P到直线a的距离d的取值范围是 　 　．
【强化训练4】如图，AB、CD、NE相交于点O，OM平分∠BOD，∠MON＝90°，∠AOC＝50°
（1）线段　 　的长度表示点M到NE的距离；
（2）比较MN与MO的大小（用“＜”号连接）：　 　，并说明理由；　 　；
（3）求∠AON的度数．

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