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苏科版（2024）七年级下册 8.4 乘法公式 题型专练
【题型1】运用完全平方公式计算
【典例】杨辉三角是数学之花，是中国古代数学的伟大成就．它有许多有趣的性质和用途，这个由数字排列成的三角形数就称为杨辉三角，如图，其中每一横行都表示（a+b）n，（此处n为自然数）的展开式中各项的系数．那么（a+b）6展开式中第四项的系数为（　　）
A.8 B.10 C.18 D.20
【强化训练1】与（﹣x﹣1）2相等的是（　　）
A.﹣x2﹣1 B.x2+1 C.x2+2x+1 D.﹣x2﹣2x﹣1
【强化训练2】计算（﹣a+b）2的结果是（　　）
A.a2+2ab+b2 B.a2﹣2ab+b2 C.﹣a2+b2 D.a2﹣b2
【强化训练3】计算：（a﹣3）2＝ 　．
【强化训练4】　 ．
【强化训练5】计算：（3a+5）2．
【题型2】完全平方公式的几何意义
【典例】下列等式不能用如图所示的方形网格验证的是（ ）

A.
B.
C.
D.
【强化训练1】如图，将图1中的阴影部分拼成图2，根据两个图形中阴影部分的关系，可以验证下列哪个计算公式（　　）
A. B. C. D.
【强化训练2】下列等式不能用如图所示的方形网格验证的是（ ）

A.
B.
C.
D.
【强化训练3】如图，根据阴影部分面积和图形的面积关系可以得到的数学公式是（　　）
A.a（a+b）＝a2+ab B.a（a﹣b）＝a2﹣ab C.（a+b）2＝a2+2ab+b2 D.（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2
【强化训练4】（1）图中的①是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后拼成一个如图中的②所示的正方形.请用两种不同的方法表示图中②的阴影部分的面积．
方法1：________，方法2：________．
从而得到了一个等量关系：________．
（2）利用上面的等量关系解决下面的问题：
①，，求和的值；
②已知，求的值．
【强化训练5】图1是一个长为4a、宽为b的长方形纸片，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形纸片，然后用四块小长方形纸片拼成的一个“回形”正方形纸片(如图2)．
(1)图2中的阴影部分的面积为 ．
(2)观察图2，请你写出之间的等量关系∶ ．
(3)根据（2）中的结论，若，则 ．
(4)实际上有许多代数恒等式可以用图形的面积来表示．如图3，它表示了哪个代数恒等式，并用所学知识进行验证．
(5)试画出一个几何图形，使它的面积能表示．
【题型3】用完全平方公式进行有理数的简便计算
【典例】利用完全平方公式计算，下列变形最恰当的是（ ）
A. B. C. D.
【强化训练1】利用乘法公式计算，下列方法正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.
【强化训练2】计算： ．
【强化训练3】利用整式乘法公式计算：
【强化训练4】
【题型4】用完全平方公式求字母的值
【典例】若x2﹣mx+25是完全平方式，则m＝（　　）
A.﹣10 B.10 C.±10 D.7 或﹣1
【强化训练1】若，则的值为（ ）
A.2 B.4 C. D.
【强化训练2】小丽在计算一个二项式的平方时，得到正确结果m2﹣10mn+■，但最后一项不慎被墨水污染，这一项应是　　　　．
【强化训练3】若我们规定三角“”表示为：；方框“”表示为：．例如： ．请根据这个规定解答下列问题：
(1)计算： ；
(2)代数式 为完全平方式，求的值．
【题型5】利用完全平方公式变形求值
【典例】已知（40﹣x）（x﹣30）＝10，则（40﹣x）2+（x﹣30）2＝（　　）
A.60 B.80 C.120 D.140
【强化训练1】已知2m﹣n＝3，4m2﹣3mn+n2＝14，则mn的值为（　　）
A.3 B.4 C.5 D.6
【强化训练2】已知a﹣b＝7，ab＝12，那么a2+ab+b2的值是（　　）
A.11 B.13 C.37 D.85
【强化训练3】已知a+b＝5，ab＝6．则a2+b2＝　　　．
【强化训练4】若a+b＝7，ab＝12，则代数式a2+b2﹣4ab的值等于 　　．
【强化训练5】两个不相等的实数满足．
(1)求的值；
(2)求的值．
【强化训练6】已知x﹣y＝5，xy＝﹣3．求：
（1）x2+y2的值；
（2）（x+y）2的值．
【题型6】完全平方公式的实际应用
【典例】如图，一块直径为的圆形钢板，从中挖去直径分别为与的两个小圆．则剩下的钢板（阴影部分）的面积为（ ）
A. B. C. D.
【强化训练1】有两个正方形A、B．现将B放在A的内部得图甲；将A、B并列放置后，构造新的正方形得图乙．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为1和12，则A、B两个正方形的面积之和为（　　）
A.10 B.11 C.12 D.13
【强化训练2】如图，两个正方形边长分别为a、b，如果，则阴影部分的面积为 ．
【强化训练3】已知长方形两边之差为4，面积为，求以长方形的长与宽的和为边长的正方形的面积．
【题型7】平方差公式的结构特征
【典例】下列乘法运算中不能用平方差公式计算的是（　　）
A.（x+1）（x﹣1） B.（x+1）（﹣x+1） C.（﹣x+1）（﹣x﹣1） D.（x+1）（﹣x﹣1）
【强化训练1】下列乘法中，不能运用平方差公式进行运算的是（　　）
A.（x+a）（x﹣a） B.（a+b）（﹣a﹣b） C.（﹣x﹣b）（x﹣b） D.（b+m）（m﹣b）
【强化训练2】下列各式：①（a﹣4）（a+4），②（﹣x﹣3）（﹣x+3），③（m﹣5）（﹣5﹣m），④（﹣x+y）（﹣y+x），其中在进行乘法运算时，能够利用平方差公式进行运算的个数为（　　）
A.4 B.3 C.2 D.1
【强化训练3】下列各式：①（a﹣4）（a+4），②（﹣x﹣3）（﹣x+3），③（m﹣5）（﹣5﹣m），④（﹣x+y）（﹣y+x），其中在进行乘法运算时，能够利用平方差公式进行运算的个数为（　　）
A.4 B.3 C.2 D.1
【强化训练4】下列乘法运算中不能用平方差公式计算的是（　　）
A.（x+1）（x﹣1） B.（x+1）（﹣x+1） C.（﹣x+1）（﹣x﹣1） D.（x+1）（﹣x﹣1）
【强化训练5】下列式子中：①（﹣x﹣y）（﹣x+y）；②（﹣x+y）（x﹣y）；③（x+y+z）（x+y﹣z）；④（x2+y2）（y2﹣x2），能用平方差公式运算的是 　　　　．
【强化训练6】（﹣5x﹣3y）（ 　　　　）＝9y2﹣25x2．
【强化训练7】若（x+y+z）（x﹣y+z）＝（A+B）（A﹣B），且B＝y，则A＝　　　．
【题型8】用平方差公式计算
【典例】计算（a+5）（a﹣5）的结果是（　　）
A.a2﹣10 B.10﹣a2 C.25﹣a2 D.a2﹣25
【强化训练1】计算（x﹣y）（﹣x﹣y）的结果是（　　）
A.﹣x2+y2 B.﹣x2﹣y2 C.x2﹣y2 D.x2+y2
【强化训练2】计算：3a（a+1）（a﹣1）＝　　　　　．
【强化训练3】计算 （1+3x）（3x﹣1）+9（x）（x）的结果是 　 　．
【强化训练4】（x2﹣4）（x﹣2）（x+2）
【强化训练5】计算：（x+5）（x﹣1）﹣（x+3）（x﹣3）．
【题型9】平方差公式的几何意义
【典例】能够用如图中已有图形的面积说明的等式是（　　）
A.a（a+4）＝a2+4a B.（a+4）（a﹣4）＝a2﹣16 C.（a+2）2＝a2+4a+4 D.（a+2）（a﹣2）＝a2﹣4
【强化训练1】如图，边长为2m+3的正方形纸片剪出一个边长为m+3的正方形之后，剩余部分可剪拼成一个长方形，若拼成的长方形一边长为m，则拼成长方形的面积是（　　）
A.4m2+12m+9 B.3m+6 C.3m2+6m D.2m2+6m+9
【强化训练2】如图，大正方形与小正方形的面积之差是48，则阴影部分的面积是（　　）
A.12 B.18 C.24 D.30
【强化训练3】能够用如图中已有图形的面积说明的等式是（　　）
A.a（a+4）＝a2+4a B.（a+4）（a﹣4）＝a2﹣16 C.（a+2）2＝a2+4a+4 D.（a+2）（a﹣2）＝a2﹣4
【强化训练4】如图，大正方形与小正方形的面积之差是48，则阴影部分的面积是（　　）
A.12 B.18 C.24 D.30
【强化训练5】（1）[知识生成]我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式，例如：从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形如图1，然后将剩余部分拼成一个长方形如图2．
图1中阴影部分面积为 　 　，图2中阴影部分面积为 　 　，请写出这个乘法公式 　 　；
（2）[知识应用]应用（1）中的公式，完成下面任务：
若m是不为0的有理数，已知P＝（m2+2m+1）（m2﹣2m+1），Q＝（m2+m+1）（m2﹣m+1），比较P、Q大小．
（3）[知识迁移]事实上，通过计算几何图形的体积也可以表示一些代数恒等式，图3表示的是一个棱长为x的正方体，挖去一个小正方体后重新拼成一个新长方体，请你根据图3中图形的变化关系，写出一个代数恒等式 　 　．
【强化训练6】（材料阅读）小刚的家庭作业其中一道题要用计算器计算：
（1）；（2）；（3）；
但小刚身边并没有计算器，并且直接计算量大．通过思考，他发现可以巧用乘法分配律：，按如下解法去完成：
（1） ；
（2）
；
（3）；
观察上述解法，你能发现什么规律．
（1）[问题解决]
用你发现的规律直接写出______．
（2）[拓展探究]
请你用含字母a、b的等式表示你发现的规律：______．
（3）[拓展延伸]
下图将一个边长为a的正方形ABCD分割成一个边长为b的正方形和两个长方形，根据你上述观察规律，判断你发现的规律是否正确，若正确，写出过程，如不正确，请说明理由．
【题型10】用平方差公式进行简便计算
【典例】的个位数字为（ ）
A.5 B.1 C.2 D.4
【强化训练1】已知，则与的大小关系是（ ）
A. B. C. D.不能确定
【强化训练2】计算20232﹣2026×2020的结果是（　　）
A.﹣9 B.9 C.0 D.4520
【强化训练3】计算：99999×100001＝　 　．
【强化训练4】阅读下列材料，完成后面的问题．
某同学在计算时，把3写成后，发现可以连续运用平方差公式
计算：．
请借鉴该同学的经验，计算：．
【题型11】用平方差公式确定某些整式的值
【典例】若（a2+b2+1）（a2+b2﹣1）＝35，则a2+b2＝（　　）
A.3 B.6 C.±3 D.±6
【强化训练1】已知a﹣b＝1，则a2﹣b2﹣2b的值（　　）
A.4 B.3 C.1 D.0
【强化训练2】已知，那么的结果是（ ）
A.32 B.16 C.8 D.4
【强化训练3】已知m，n同时满足2m+n＝3与2m﹣n＝1，则4m2﹣n2的值是 　 　．
【强化训练4】先化简，再求值：，其中，．
【题型12】平方差公式的实际应用
【典例】为了美化城市，经统一规划，将一块正方形草坪的一边增加2m，另一边减少2m改造成一块长方形草坪，则改造后得到长方形草坪与原正方形草坪面积相比，结果（ ）
A.保持不变 B.增加了 C.减少了 D.增加了
【强化训练1】若长方形的长是，宽是，则此长方形的面积是（ ）
A. B. C. D.
【强化训练2】如图，这是某校劳动实践基地的两块边长分别为的正方形用地，，其中种菜，种花，不能使用的部分（阴影部分）为，面积为．
（1）种菜和花的总面积为 （用含的代数式表示）．
（2）经测量，与之和为8米，种菜的面积比种花的面积多了16平方米，则比长 米．
【强化训练3】长方体的长是、宽是、高是．则长方体的体积是 ．
【强化训练4】小红家有一块L形菜地，要把L形菜地按如图所示分成面积相等的两个梯形种上不同的蔬菜．已知这两个梯形的上底都是a米，下底都是b米，高都是米．
(1)请你算一算，小红家的菜地面积共有多少平方米？
(2)当时，面积是多少平方米？
【题型13】综合运用乘法公式进行计算
【典例】的计算结果是（ ）
A. B. C. D.
【强化训练1】设，是实数，定义一种新运算：，下面有四个推断：
；
；
；
．
其中所有正确推断的序号是（ ）
A. B. C. D.
【强化训练2】计算： ．
【强化训练3】计算： = ．
【强化训练4】运用整式乘法公式进行计算：．
【强化训练5】计算：
【题型14】乘法公式与整式的化简求值
【典例】如果，那么代数式的值为（ ）
A. B. C.6 D.13
【强化训练1】已知实数m，n满足，则的最大值为（ ）
A.24 B. C. D.
【强化训练2】已知，则代数式的值为 ．
【强化训练3】已知，代数式的值为 ．
【强化训练4】先化简，再求值，其中.
【强化训练5】先化简，再求值：，其中，．苏科版（2024）七年级下册 8.4 乘法公式 题型专练（参考答案）
【题型1】运用完全平方公式计算
【典例】杨辉三角是数学之花，是中国古代数学的伟大成就．它有许多有趣的性质和用途，这个由数字排列成的三角形数就称为杨辉三角，如图，其中每一横行都表示（a+b）n，（此处n为自然数）的展开式中各项的系数．那么（a+b）6展开式中第四项的系数为（　　）
A.8 B.10 C.18 D.20
【答案】D
【解析】根据杨辉三角中的系数规律可得：
（a+b）4的各项系数为1，4，6，4，1，
（a+b）5的各项系数为1，5，10，10，5，1，
（a+b）6的各项系数为1，6，15，20，15，6，1，
则（a+b）6展开式中的第四项系数为20．
故选：D．
【强化训练1】与（﹣x﹣1）2相等的是（　　）
A.﹣x2﹣1 B.x2+1 C.x2+2x+1 D.﹣x2﹣2x﹣1
【答案】C
【解析】原式＝（x+1）2
＝x2+2x+1．
故选：C．
【强化训练2】计算（﹣a+b）2的结果是（　　）
A.a2+2ab+b2 B.a2﹣2ab+b2 C.﹣a2+b2 D.a2﹣b2
【答案】B
【解析】原式＝a2﹣2ab+b2，
故选：B．
【强化训练3】计算：（a﹣3）2＝ 　．
【答案】a2﹣6a+9．
【解析】原式＝a2﹣2×3a+32
＝a2﹣6a+9．
故答案为：a2﹣6a+9．
【强化训练4】　 ．
【答案】1﹣mm2．
【解析】
＝（1m）2
＝1﹣2×1mm2
＝1﹣mm2，
故答案为：1﹣mm2．
【强化训练5】计算：（3a+5）2．
【答案】解：（3a+5）2
＝（3a）2+30a+25
＝9a2+30a+25．
【题型2】完全平方公式的几何意义
【典例】下列等式不能用如图所示的方形网格验证的是（ ）

A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】等式是由边长为的正方形推导而出，故A可验证，不符合题意；
等式是由长为，宽为的长方形推导而出，故B可验证，不符合题意；
等式是由边长为的正方形推导而出，故C可验证，不符合题意；
等式，图中找不到有关于的面积，故D不可验证，符合题意．
故选D．
【强化训练1】如图，将图1中的阴影部分拼成图2，根据两个图形中阴影部分的关系，可以验证下列哪个计算公式（　　）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】根据题意得：图1中阴影部分的面积为，
图2中阴影部分的面积，
根据图1与图2中阴影部分的面积相等可得．
故选：C
【强化训练2】下列等式不能用如图所示的方形网格验证的是（ ）

A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】等式是由边长为的正方形推导而出，故A可验证，不符合题意；
等式是由长为，宽为的长方形推导而出，故B可验证，不符合题意；
等式是由边长为的正方形推导而出，故C可验证，不符合题意；
等式，图中找不到有关于的面积，故D不可验证，符合题意．
故选D．
【强化训练3】如图，根据阴影部分面积和图形的面积关系可以得到的数学公式是（　　）
A.a（a+b）＝a2+ab B.a（a﹣b）＝a2﹣ab C.（a+b）2＝a2+2ab+b2 D.（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2
【答案】D
【解析】阴影部分的面积等于边长为a的正方形面积减去2个长为（a﹣b）宽为b的长方形面积和边长为b的正方形面积，
阴影部分正方形的边长为a﹣b，
阴影部分的面积为（a﹣b）2，
根据题意可得，
（a﹣b）2＝a2﹣2（a﹣b）×b﹣b2＝a2﹣2ab+b2．
故选：D．
【强化训练4】（1）图中的①是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后拼成一个如图中的②所示的正方形.请用两种不同的方法表示图中②的阴影部分的面积．
方法1：________，方法2：________．
从而得到了一个等量关系：________．
（2）利用上面的等量关系解决下面的问题：
①，，求和的值；
②已知，求的值．
【答案】解：（1）方法1：，
方法2：，
故答案：，；
（2）①
当，时，
原式
；
，
当，时，
原式
；
②
当时，
原式
．
【强化训练5】图1是一个长为4a、宽为b的长方形纸片，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形纸片，然后用四块小长方形纸片拼成的一个“回形”正方形纸片(如图2)．
(1)图2中的阴影部分的面积为 ．
(2)观察图2，请你写出之间的等量关系∶ ．
(3)根据（2）中的结论，若，则 ．
(4)实际上有许多代数恒等式可以用图形的面积来表示．如图3，它表示了哪个代数恒等式，并用所学知识进行验证．
(5)试画出一个几何图形，使它的面积能表示．
【答案】解：（1）根据题意得：阴影部分的面积为；
故答案为：；
（2），
故答案为：；
（3），，
；
故答案为：18；
（4）根据等面积法，则
等式的左边通过多项式乘多项式展开，再合并同类项，即
此时左右两边相等，即可验证．
（5）解，如图所示：
．
【题型3】用完全平方公式进行有理数的简便计算
【典例】利用完全平方公式计算，下列变形最恰当的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】选择最简单的计算方式即可．
，
故选：A．
【强化训练1】利用乘法公式计算，下列方法正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】．
故选：B．
【强化训练2】计算： ．
【答案】
【解析】
故答案为：
【强化训练3】利用整式乘法公式计算：
【答案】解：
．
【强化训练4】
【答案】解：．
【题型4】用完全平方公式求字母的值
【典例】若x2﹣mx+25是完全平方式，则m＝（　　）
A.﹣10 B.10 C.±10 D.7 或﹣1
【答案】C
【解析】∵x2﹣mx+25是完全平方式，
∴m＝±10，
故选：C．
【强化训练1】若，则的值为（ ）
A.2 B.4 C. D.
【答案】C
【解析】∵，
∴，
∴，
故选：C．
【强化训练2】小丽在计算一个二项式的平方时，得到正确结果m2﹣10mn+■，但最后一项不慎被墨水污染，这一项应是　　　　．
【答案】25n2
【解析】∵m2﹣10mn+■是一个二项式的平方，
∴■＝（5n）2＝25n2，
故答案为：25n2．
【强化训练3】若我们规定三角“”表示为：；方框“”表示为：．例如： ．请根据这个规定解答下列问题：
(1)计算： ；
(2)代数式 为完全平方式，求的值．
【答案】（1）解：根据题意可得：
；
故答案为：；
（2）解：根据题意可得：
，
∵原式为完全平方式，
∴．
【题型5】利用完全平方公式变形求值
【典例】已知（40﹣x）（x﹣30）＝10，则（40﹣x）2+（x﹣30）2＝（　　）
A.60 B.80 C.120 D.140
【答案】B
【解析】∵（40﹣x）（x﹣30）＝10，
∴（40﹣x）2+（x﹣30）2
＝[（40﹣x）+（x﹣30）]2﹣2（40﹣x）（x﹣30）
＝100﹣2×10
＝80，
故选：B．
【强化训练1】已知2m﹣n＝3，4m2﹣3mn+n2＝14，则mn的值为（　　）
A.3 B.4 C.5 D.6
【答案】C
【解析】∵2m﹣n＝3，
∴（2m﹣n）2＝32，即4m2﹣4mn+n2＝9，
∴4m2+n2＝9+4mn，
∴4m2﹣3mn+n2＝9+4mn﹣3mn＝14，
∴mn＝5，
故选：C．
【强化训练2】已知a﹣b＝7，ab＝12，那么a2+ab+b2的值是（　　）
A.11 B.13 C.37 D.85
【答案】D
【解析】∵a﹣b＝7，ab＝12，
∴a2+ab+b2
＝（a﹣b）2+3ab
＝72+3×12
＝85，
故选：D．
【强化训练3】已知a+b＝5，ab＝6．则a2+b2＝　　　．
【答案】13．
【解析】∵a+b＝5，
∴（a+b）2＝25，
∴a2+2ab+b2＝25．
∵ab＝6，
∴a2+b2+12＝25，
∴a2+b2＝13．
故答案为：13．
【强化训练4】若a+b＝7，ab＝12，则代数式a2+b2﹣4ab的值等于 　　．
【答案】﹣23．
【解析】∵a+b＝7，ab＝12，
∴a2+b2﹣4ab
＝（a+b）2﹣6ab
＝72﹣6×12
＝49﹣72
＝﹣23．
故答案为：﹣23．
【强化训练5】两个不相等的实数满足．
(1)求的值；
(2)求的值．
【答案】（1）解：，
，
．
（2）由（1）得：，
，
，
或．
【强化训练6】已知x﹣y＝5，xy＝﹣3．求：
（1）x2+y2的值；
（2）（x+y）2的值．
【答案】解：（1）∵x﹣y＝5，xy＝﹣3，
∴x2+y2＝（x﹣y）2+2xy＝52+2×（﹣3）＝19；
（2）∵x﹣y＝5，xy＝﹣3，
∴（x+y）2＝（x﹣y）2+4xy＝52+4×（﹣3）＝13．
【题型6】完全平方公式的实际应用
【典例】如图，一块直径为的圆形钢板，从中挖去直径分别为与的两个小圆．则剩下的钢板（阴影部分）的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】根据题意得：．
故选：A．
【强化训练1】有两个正方形A、B．现将B放在A的内部得图甲；将A、B并列放置后，构造新的正方形得图乙．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为1和12，则A、B两个正方形的面积之和为（　　）
A.10 B.11 C.12 D.13
【答案】D
【解析】正方形A的边长为a，正方形B的边长b，
由题意得，（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2＝1，（a+b）2﹣（a2+b2）＝2ab，
∴a2+b2＝1+2ab＝1+12＝13，
即：A、B两个正方形的面积之和为13，
故选：D．
【强化训练2】如图，两个正方形边长分别为a、b，如果，则阴影部分的面积为 ．
【答案】144
【解析】阴影部分的面积为：
．
∵，
∴阴影部分的面积为：．
∴阴影部分的面积为 144．
故答案为：144．
【强化训练3】已知长方形两边之差为4，面积为，求以长方形的长与宽的和为边长的正方形的面积．
【答案】解：由题意可得，设长方形的长为a，宽为b，
则，，
∴．
【题型7】平方差公式的结构特征
【典例】下列乘法运算中不能用平方差公式计算的是（　　）
A.（x+1）（x﹣1） B.（x+1）（﹣x+1） C.（﹣x+1）（﹣x﹣1） D.（x+1）（﹣x﹣1）
【答案】D
【解析】A、（x+1）（x﹣1）能用平方差公式计算，不符合题意；
B、（x+1）（﹣x+1）能用平方差公式计算，不符合题意；
C、（﹣x+1）（﹣x﹣1）能用平方差公式计算，不符合题意；
D、（x+1）（﹣x﹣1）不能用平方差公式计算，符合题意；
故选：D．
【强化训练1】下列乘法中，不能运用平方差公式进行运算的是（　　）
A.（x+a）（x﹣a） B.（a+b）（﹣a﹣b） C.（﹣x﹣b）（x﹣b） D.（b+m）（m﹣b）
【答案】B
【解析】A、C、D符合平方差公式的特点，故能运用平方差公式进行运算；
B、两项都互为相反数，故不能运用平方差公式进行运算．
故选：B．
【强化训练2】下列各式：①（a﹣4）（a+4），②（﹣x﹣3）（﹣x+3），③（m﹣5）（﹣5﹣m），④（﹣x+y）（﹣y+x），其中在进行乘法运算时，能够利用平方差公式进行运算的个数为（　　）
A.4 B.3 C.2 D.1
【答案】B
【解析】（a﹣4）（a+4），（﹣x﹣3）（﹣x+3），（m﹣5）（﹣5﹣m）均符合平方差公式的结构特点，能够利用平方差公式进行运算；而（﹣x+y）（﹣y+x）中，前一多项式的两项与后一多项式中的两项分别互为相反数，故不能用平方差公式进行运算；
故选：B．
【强化训练3】下列各式：①（a﹣4）（a+4），②（﹣x﹣3）（﹣x+3），③（m﹣5）（﹣5﹣m），④（﹣x+y）（﹣y+x），其中在进行乘法运算时，能够利用平方差公式进行运算的个数为（　　）
A.4 B.3 C.2 D.1
【答案】B
【解析】（a﹣4）（a+4），（﹣x﹣3）（﹣x+3），（m﹣5）（﹣5﹣m）均符合平方差公式的结构特点，能够利用平方差公式进行运算；而（﹣x+y）（﹣y+x）中，前一多项式的两项与后一多项式中的两项分别互为相反数，故不能用平方差公式进行运算；
故选：B．
【强化训练4】下列乘法运算中不能用平方差公式计算的是（　　）
A.（x+1）（x﹣1） B.（x+1）（﹣x+1） C.（﹣x+1）（﹣x﹣1） D.（x+1）（﹣x﹣1）
【答案】D
【解析】A、（x+1）（x﹣1）能用平方差公式计算，不符合题意；
B、（x+1）（﹣x+1）能用平方差公式计算，不符合题意；
C、（﹣x+1）（﹣x﹣1）能用平方差公式计算，不符合题意；
D、（x+1）（﹣x﹣1）不能用平方差公式计算，符合题意；
故选：D．
【强化训练5】下列式子中：①（﹣x﹣y）（﹣x+y）；②（﹣x+y）（x﹣y）；③（x+y+z）（x+y﹣z）；④（x2+y2）（y2﹣x2），能用平方差公式运算的是 　　　　．
【答案】①③④．
【解析】①（﹣x﹣y）（﹣x+y）＝x2﹣y2，能用平方差公式运算；
②（﹣x+y）（x﹣y）＝﹣（x﹣y）2，不能用平方差公式计算；
③（x+y+z）（x+y﹣z）＝（x+y）2﹣z2＝x2+2xy+y2﹣z2，能用平方差公式运算；
④（x2+y2）（y2﹣x2）＝y4﹣x4，能用平方差公式运算；
所以，上列式子中能用平方差公式运算的是①③④，
故答案为：①③④．
【强化训练6】（﹣5x﹣3y）（ 　　　　）＝9y2﹣25x2．
【答案】5x﹣3y．
【解析】（﹣5x﹣3y）（5x﹣3y）＝9y2﹣25x2．
故答案为：5x﹣3y．
【强化训练7】若（x+y+z）（x﹣y+z）＝（A+B）（A﹣B），且B＝y，则A＝　　　．
【答案】x+z
【解析】∵（x+y+z）（x﹣y+z），
＝（x+z+y）（x+z﹣y），
＝[（x+z）+y][（x+z）﹣y]，
＝（A+B）（A﹣B），
∵B＝y，
∴A＝x+z．
【题型8】用平方差公式计算
【典例】计算（a+5）（a﹣5）的结果是（　　）
A.a2﹣10 B.10﹣a2 C.25﹣a2 D.a2﹣25
【答案】D
【解析】（a+5）（a﹣5）＝a2﹣25，
故选：D．
【强化训练1】计算（x﹣y）（﹣x﹣y）的结果是（　　）
A.﹣x2+y2 B.﹣x2﹣y2 C.x2﹣y2 D.x2+y2
【答案】A
【解析】原式＝（﹣y）2﹣x2
＝y2﹣x2，
＝﹣x2+y2，
故选：A．
【强化训练2】计算：3a（a+1）（a﹣1）＝　　　　　．
【答案】3a3﹣3a．
【解析】原式＝3a（a2﹣1）
＝3a3﹣3a．
故答案为：3a3﹣3a．
【强化训练3】计算 （1+3x）（3x﹣1）+9（x）（x）的结果是 　 　．
【答案】0．
【解析】（1+3x）（3x﹣1）+9（x）（x）
＝9x2﹣1+9（x2）
＝9x2﹣1+1﹣9x2
＝0．
故答案为：0．
【强化训练4】（x2﹣4）（x﹣2）（x+2）
【答案】解：原式＝（x2﹣4）（x2﹣4）＝x4﹣8x2+16．
【强化训练5】计算：（x+5）（x﹣1）﹣（x+3）（x﹣3）．
【答案】解：（x+5）（x﹣1）﹣（x+3）（x﹣3）
＝x2+4x﹣5﹣x2+9
＝4x+4．
【题型9】平方差公式的几何意义
【典例】能够用如图中已有图形的面积说明的等式是（　　）
A.a（a+4）＝a2+4a B.（a+4）（a﹣4）＝a2﹣16 C.（a+2）2＝a2+4a+4 D.（a+2）（a﹣2）＝a2﹣4
【答案】D
【解析】
如图，由题意得，长方形③与长方形②的面积相等，正方形④的面积为2×2＝4，
于是有S①+S②＝（a+2）（a﹣2）＝S①+S③＝（S①+S③+S④）﹣S④＝S正方形﹣S④＝a2﹣4，
所以（a+2）（a﹣2）＝a2﹣4，
故选：D．
【强化训练1】如图，边长为2m+3的正方形纸片剪出一个边长为m+3的正方形之后，剩余部分可剪拼成一个长方形，若拼成的长方形一边长为m，则拼成长方形的面积是（　　）
A.4m2+12m+9 B.3m+6 C.3m2+6m D.2m2+6m+9
【答案】C
【解析】根据题意，得：
（2m+3）2﹣（m+3）2
＝[（2m+3）+（m+3）][（2m+3）﹣（m+3）]
＝（3m+6）m
＝3m2+6m
故选：C．
【强化训练2】如图，大正方形与小正方形的面积之差是48，则阴影部分的面积是（　　）
A.12 B.18 C.24 D.30
【答案】C
【解析】设大正方形的边长为a，小正方形的边长为b，
∴AB＝BC＝a，BE＝BD＝b，
∵大正方形与小正方形的面积之差是48，
∴a2﹣b2＝48，
根据图示可得，AE＝a﹣b，
∴，，
∴阴影部分的面积＝S△AEC+S△AED
＝24，
故选：C．
【强化训练3】能够用如图中已有图形的面积说明的等式是（　　）
A.a（a+4）＝a2+4a B.（a+4）（a﹣4）＝a2﹣16 C.（a+2）2＝a2+4a+4 D.（a+2）（a﹣2）＝a2﹣4
【答案】D
【解析】
如图，由题意得，长方形③与长方形②的面积相等，正方形④的面积为2×2＝4，
于是有S①+S②＝（a+2）（a﹣2）＝S①+S③＝（S①+S③+S④）﹣S④＝S正方形﹣S④＝a2﹣4，
所以（a+2）（a﹣2）＝a2﹣4，
故选：D．
【强化训练4】如图，大正方形与小正方形的面积之差是48，则阴影部分的面积是（　　）
A.12 B.18 C.24 D.30
【答案】C
【解析】设大正方形的边长为a，小正方形的边长为b，
∴AB＝BC＝a，BE＝BD＝b，
∵大正方形与小正方形的面积之差是48，
∴a2﹣b2＝48，
根据图示可得，AE＝a﹣b，
∴，，
∴阴影部分的面积＝S△AEC+S△AED
＝24，
故选：C．
【强化训练5】（1）[知识生成]我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式，例如：从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形如图1，然后将剩余部分拼成一个长方形如图2．
图1中阴影部分面积为 　 　，图2中阴影部分面积为 　 　，请写出这个乘法公式 　 　；
（2）[知识应用]应用（1）中的公式，完成下面任务：
若m是不为0的有理数，已知P＝（m2+2m+1）（m2﹣2m+1），Q＝（m2+m+1）（m2﹣m+1），比较P、Q大小．
（3）[知识迁移]事实上，通过计算几何图形的体积也可以表示一些代数恒等式，图3表示的是一个棱长为x的正方体，挖去一个小正方体后重新拼成一个新长方体，请你根据图3中图形的变化关系，写出一个代数恒等式 　 　．
【答案】解：（1）图1中阴影部分的面积可以看作是两个正方形的面积差，即a2﹣b2，
图2是长为a+b，宽为a﹣b的长方形，因此面积为（a+b）（a﹣b），
因此有a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），
故答案为：a2﹣b2，（a+b）（a﹣b），a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）；
（2）P﹣Q＝（m2+2m+1）（m2﹣2m+1）﹣（m2+m+1）（m2﹣m+1）
＝（m2+1）2﹣4m2﹣（m2+1）2+m2
＝﹣3m2，
∵m是不为0的有理数，
∴﹣3m2＜0，
即P﹣Q＜0，
∴P＜Q；
（3）图3左图的体积为x x x﹣1×1×x＝x3﹣x，
图3右图是长为x+1，宽为x，高为x﹣1的长方体，因此体积为（x+1） x （x﹣1），
因此有x3﹣x＝x（x+1）（x﹣1），
故答案为：x3﹣x＝x（x+1）（x﹣1）．
【强化训练6】（材料阅读）小刚的家庭作业其中一道题要用计算器计算：
（1）；（2）；（3）；
但小刚身边并没有计算器，并且直接计算量大．通过思考，他发现可以巧用乘法分配律：，按如下解法去完成：
（1） ；
（2）
；
（3）；
观察上述解法，你能发现什么规律．
（1）[问题解决]
用你发现的规律直接写出______．
（2）[拓展探究]
请你用含字母a、b的等式表示你发现的规律：______．
（3）[拓展延伸]
下图将一个边长为a的正方形ABCD分割成一个边长为b的正方形和两个长方形，根据你上述观察规律，判断你发现的规律是否正确，若正确，写出过程，如不正确，请说明理由．
【答案】解：（1）由题意得，
，
故答案为：6396；
（2）由题意得，，
故答案为：；
（3）规律正确，
∵，
又∵，
∴规律正确．
【题型10】用平方差公式进行简便计算
【典例】的个位数字为（ ）
A.5 B.1 C.2 D.4
【答案】B
【解析】
，
∵，，，，……
∴可知这一列数的个位数字每4个数为一个循环，3，9，7，1依次出现，
∴的个位数为1，
∴的个位数字为1，
故选B．
【强化训练1】已知，则与的大小关系是（ ）
A. B. C. D.不能确定
【答案】A
【解析】∵，
∴．
故选A．
【强化训练2】计算20232﹣2026×2020的结果是（　　）
A.﹣9 B.9 C.0 D.4520
【答案】B
【解析】原式＝20232﹣（2023+3）×（2023﹣3）
＝20232﹣20232+9
＝9．
故选：B．
【强化训练3】计算：99999×100001＝　 　．
【答案】9999999999．
【解析】原式＝（100000﹣1）×（100000+1）
＝1000002﹣1
＝10000000000﹣1
＝9999999999．
故答案为：9999999999．
【强化训练4】阅读下列材料，完成后面的问题．
某同学在计算时，把3写成后，发现可以连续运用平方差公式
计算：．
请借鉴该同学的经验，计算：．
【答案】解：
．
【题型11】用平方差公式确定某些整式的值
【典例】若（a2+b2+1）（a2+b2﹣1）＝35，则a2+b2＝（　　）
A.3 B.6 C.±3 D.±6
【答案】B
【解析】∵（a2+b2+1）（a2+b2﹣1）＝35，
∴[（a2+b2）+1][（a2+b2）﹣1]＝35，
（a2+b2）2﹣1＝35，
（a2+b2）2＝36，
∵a2+b2≥0，
∴a2+b2＝6，
故选：B．
【强化训练1】已知a﹣b＝1，则a2﹣b2﹣2b的值（　　）
A.4 B.3 C.1 D.0
【答案】C
【解析】∵a﹣b＝1，
∴a2﹣b2﹣2b
＝（a+b）（a﹣b）﹣2b
＝（a+b） 1﹣2b
＝a+b﹣2b
＝a﹣b
＝1，
故选：C．
【强化训练2】已知，那么的结果是（ ）
A.32 B.16 C.8 D.4
【答案】B
【解析】
，
∵，
∴原式，
故选：B．
【强化训练3】已知m，n同时满足2m+n＝3与2m﹣n＝1，则4m2﹣n2的值是 　 　．
【答案】3．
【解析】∵2m+n＝3，2m﹣n＝1，
∴4m2﹣n2＝（2m+n）（2m﹣n）＝3×1＝3．
故答案为：3．
【强化训练4】先化简，再求值：，其中，．
【答案】解：原式，
，
把，代入得，
原式，
，
，
．
【题型12】平方差公式的实际应用
【典例】为了美化城市，经统一规划，将一块正方形草坪的一边增加2m，另一边减少2m改造成一块长方形草坪，则改造后得到长方形草坪与原正方形草坪面积相比，结果（ ）
A.保持不变 B.增加了 C.减少了 D.增加了
【答案】C
【解析】设正方形草坪的原边长为a，则面积为：，
将一块正方形草坪的一边增加2m，另一边减少2m后，长方形草坪面积为：
，
∴，
所以改造后得到长方形草坪与原正方形草坪面积相比减少了．
故选：C．
【强化训练1】若长方形的长是，宽是，则此长方形的面积是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】根据题意，得，
故选：B．
【强化训练2】如图，这是某校劳动实践基地的两块边长分别为的正方形用地，，其中种菜，种花，不能使用的部分（阴影部分）为，面积为．
（1）种菜和花的总面积为 （用含的代数式表示）．
（2）经测量，与之和为8米，种菜的面积比种花的面积多了16平方米，则比长 米．
【答案】；2
【解析】（1）用两个正方形的面积分别减去阴影部分的面积，再求和即可；
由题意，得：种菜的面积为：，种花的面积为，
∴种菜和花的总面积为；
故答案为：；
（2）利用种菜的面积比种花的面积多了16平方米，结合平方差公式进行计算即可．
由题意，得：，
∴，
∵，
∴，
∴比长2米；
故答案为：2．
【强化训练3】长方体的长是、宽是、高是．则长方体的体积是 ．
【答案】
【解析】长方体的长是、宽是、高是，
长方体的体积是，
故答案为：．
【强化训练4】小红家有一块L形菜地，要把L形菜地按如图所示分成面积相等的两个梯形种上不同的蔬菜．已知这两个梯形的上底都是a米，下底都是b米，高都是米．
(1)请你算一算，小红家的菜地面积共有多少平方米？
(2)当时，面积是多少平方米？
【答案】解：（1）菜地面积共有： 平方米
（2）当时，
（平方米）
【题型13】综合运用乘法公式进行计算
【典例】的计算结果是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
．
故选：D．
【强化训练1】设，是实数，定义一种新运算：，下面有四个推断：
；
；
；
．
其中所有正确推断的序号是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
∵，
则，故正确；
则，
；故错误；
则，
，故正确；
则，
，故错误，
故正确的为．
故选：D．
【强化训练2】计算： ．
【答案】
【解析】
故答案为：·
【强化训练3】计算： = ．
【答案】
【解析】
．
故答案为：．
【强化训练4】运用整式乘法公式进行计算：．
【答案】
解：
．
【强化训练5】计算：
【答案】
解：原式=
．
【题型14】乘法公式与整式的化简求值
【典例】如果，那么代数式的值为（ ）
A. B. C.6 D.13
【答案】D
【解析】
，
，
，
故选：D．
【强化训练1】已知实数m，n满足，则的最大值为（ ）
A.24 B. C. D.
【答案】B
【解析】
；
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的最大值为，
故选：B．
【强化训练2】已知，则代数式的值为 ．
【答案】
【解析】
．
当时，原式．
【强化训练3】已知，代数式的值为 ．
【答案】
【解析】
，
，
，
∵，
∴，
∴原式，
，
故答案为：．
【强化训练4】先化简，再求值，其中.
【答案】
解：
,
当时，原式.
【强化训练5】先化简，再求值：，其中，．
【答案】
解：原式
．
当、时，
原式
．

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