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第九章
9.1　随机抽样
统　计
第2课时　分层随机抽样及获取数据的途径
学习 目标 1．了解分层随机抽样的特点和适用范围，掌握各层样本量比例分配的方法．
2．结合具体实例，掌握分层随机抽样的样本均值计算方法．
新知初探·基础落实
抽样调查最核心的问题是样本的代表性．简单随机抽样是使总体中每一个个体都有相等的机会被抽中，但因为抽样的随机性，有可能会出现比较“极端”的样本．例如，在对树人中学高一年级学生身高的调查中，可能出现样本中50个个体大部分来自高个子或矮个子的情形．这种“极端”样本的平均数会大幅度地偏离总体平均数，从而使得估计出现较大的误差．
能否利用总体中的一些额外信息对抽样方法进行改进呢？
一、 概念生成
问题：在树人中学高一年级的712名学生中，男生有326名、女生有386名．能否利用这个辅助信息改进简单随机抽样方法，减少“极端”样本的出现，从而提高对整个年级平均身高的估计效果呢？
我们知道，影响身高的因素有很多，性别是其中的一个主要因素．高中男生的身高普遍高于女生的身高，而相同性别的身高差异相对较小．我们可以利用性别和身高的这种关系，把高一年级学生分成男生和女生两个身高有明显差异的群体，对两个群体分别进行简单随机抽样，然后汇总作为总体的一个样本．由于在男生和女生两个群体中都抽取了相应的个体，这样就能有效地避免“极端”样本．
请同学阅读课本P181—P188，完成下列填空．
二、 概念表述
1．分层随机抽样
(1) 定义：一般地，按一个或多个变量把总体划分成若干个子总体，每个个体属于且仅属于一个子总体，在每个子总体中独立地进行________________，再把所有子总体中抽取的样本合在一起作为__________，这样的抽样方法称为分层随机抽样，每一个子总体称为层．
当总体是由____________的几个部分组成时，往往采用分层随机抽样．
(2) 比例分配：在分层随机抽样中，如果每层样本量都与层的大小__________，那么称这种样本量的分配方式为比例分配．
简单随机抽样
总样本
差异明显
成比例
2．分层随机抽样的步骤
(1) 根据已经掌握的信息，将总体分成____________的层；
(2) 根据总体中的个体数N和样本量n计算抽样比k＝______；
(3) 确定第i层应该抽取的个体数目ni≈Ni×k(Ni为第i层所包含的个体数)，使得各ni之和为n；
(4) 在各个层中，按步骤(3)中确定的数目在各层中随机抽取个体，合在一起得到容量为n的样本．
互不相交
3．分层随机抽样的平均数
在分层随机抽样中，如果层数分为2层，第1层和第2层包含的个体数分别为M和N，抽取的样本量分别为m和n．我们用X1，X2，…，XM表示第1层各个个体的变量值，用x1，x2，…，xm表示第1层样本的各个个体的变量值；用Y1，Y2，…，YN表示第2层各个个体的变量值，用y1，y2，…，yn表示第2层样本的各个个体的变量值，则：
第1层的总体平均数和样本平均数分别为
＝___________________＝Xi，＝___________________＝xi．
第2层的总体平均数和样本平均数分别为
＝___________________＝Yi，＝___________________＝ yi．
总体平均数和样本平均数分别为＝______________，＝______________．
由于用第1层的样本平均数可以估计第1层的总体平均数，用第2层的样本平均数可以估计第2层的总体平均数，因此我们可以用样本平均数估计总体平均数，即
＝＝＋＝＋＝．
三、 概念辨析(判断正误：正确的画“√”，错误的画“×”)
(1) 在分层随机抽样时，每层可以不等可能抽样． (　　)
(2) 在分层随机抽样的过程中，每个个体被抽到的可能性是相同的，与层数及分层有关． (　　)
(3) 若总体由差异明显的几个层次组成，则选用分层随机抽样． (　　)
(4) 某公司共100人，其中管理岗10人，业务岗70人，行政岗20人，为了了解该公司对产品改进的意见，要从中抽取20人，用分层随机抽样法最合适． (　　)
×
×
√
√
典例精讲·能力初成
探究
1
分层随机抽样的概念
　　　为了解某地区的中小学生的视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男、女生视力情况差异不大．在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是 (　　)
A．简单随机抽样 B．按性别分层随机抽样
C．按学段分层随机抽样 D．无法确定
1
C
变式　下列问题中，最适合用分层随机抽样的方法抽取样本的是 (　　)
A．从10名同学中抽取3人参加座谈会
B．某社区有500户家庭，其中高收入的家庭125户，中等收入的家庭280户，低收入的家庭95户，为了了解生活购买力的某项指标，要从中抽取一个容量为100户的样本
C．从1 000名工人中，抽取100人调查上班途中所用时间
D．从生产流水线上，抽取样本检查产品质量
B
探究
2
分层随机抽样中的相关运算
　　　某企业三月中旬生产A，B，C三种产品共3 000件，根据分层随机抽样的结果，该企业统计员制作了如下的统计表：
2
【解析】
　　　　因为C产品的数量为y，则A产品的数量x＝3 000－1 300－y＝1 700－y．又C产品的样本容量为n，则A产品的样本容量m＝10＋n．由分层随机抽样的定义可知＝＝＝，解得y＝800．
产品类别 A B C
产品数量/件 x 1 300 y
样本容量 m 130 n
由于不小心，表格中A，C产品的有关数据丢失，统计员记得A产品的样本容量比C产品的样本容量多10．根据以上信息，可得C产品的数量是_______．
800
进行分层随机抽样的相关计算时，常用到的两个关系：
(1)＝；
(2) 总体中某两层的个体数之比等于样本中这两层抽取的个体数之比．
变式　某中学有高中生3 500人，初中生1 500人，为了解学生的学习情况，用分层随机抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n的样本，已知从高中生中抽取70人，则n为 (　　)
A．100 　 B．150
C．200 　 D．250
【解析】
　　　　由题知抽取比例为＝，从而n＝×(3 500＋1 500)＝100．
A
探究
3
分层随机抽样的方案设计
　　　某家电视台在因特网上征集某电视节目现场参与的观众，报名的总人数为12000，分别来自4个城区，其中A区2400人，B区4600人，C区3800人，D区1200人，从中抽取60人参加现场的节目，应当如何抽取？写出抽取过程．
3
【解答】
　　　　采用分层随机抽样的方式抽取参加现场节目的观众，步骤如下，第一步：分层．按城区分为四层：A区、B区、C区、D区．第二步：确定每个个体被抽到的概率．样本容量n＝60，总体容量N＝12000，故每个个体被抽到的概率为＝＝．第三步：按比例确定每层抽取的个体数．在A区抽取2400×＝12(人)，在B区抽取4600×＝23(人)，在C区抽取3800×＝19(人)，在D区抽取1200×＝6(人)．第四步：在各层分别用简单随机抽样法抽取样本，将各区抽取的观众合在一起组成样本．
分层随机抽样的特点
(1) 适用于总体由差异明显的几部分组成的情况．
(2) 更充分体现和反映了总体的情况．
(3) 等可能抽样，每个个体被抽到的可能性都相等．
探究
4
分层随机抽样中估计总体平均数
　　　(课本P181问题3补充)某校高一年级新入学有360名学生，其中200名女生、160名男生，学校计划为家远的高一新生提供10间女生宿舍和8间男生宿舍，每间宿舍可住2名同学．该校“数学与统计”社团的同学为了解全体高一学生家庭居住地与学校的距离情况，按照性别进行分层随机抽样，其中共抽取20名女生家庭居住地与学校的距离数据(单位：km)如下：
4
5 6 7 7.5 8 8.4 4 3.5 4.5 4.3
5 4 3 2.5 4 1.6 6 6.5 5.5 5.7
(1) 根据以上样本数据推断，若女生甲家庭居住地与学校距离为8.3 km，她是否能住宿？并说明理由．
【解答】
　　　　女生甲能住宿．理由如下：学校计划为家远的高一新生提供10间女生宿舍和8间男生宿舍，每间宿舍可住2名同学．女生甲家庭居住地与学校距离为8.3 km，抽取的20名女生中，家庭居住地与学校距离超过8 km的只有一人，所以估计200名女生中家庭居住地与学校距离超过8 km的有10人，故女生甲能住宿．
(2) 通过计算得到女生家庭居住地与学校距离的样本平均值为5.1 km，男生家庭居住地与学校距离的样本平均值为4.875 km，则所有样本数据的平均值为多少？
【解答】
　　　　根据分层随机抽样的原则，抽取男生样本容量为16，故所有样本数据平均值为＝5(km)．
求分层随机抽样的平均数的步骤
(1) 求样本中不同层的平均数；
(2) 求样本中不同层的个体数占总体的个体数的比例；
(3) 应用分层随机抽样的平均数公式进行求解．
变式　高一某班级有男生35人，女生15人，用分层抽样的方法从全班学生中抽取一个容量为10的样本，抽出的男生平均体重为70 kg，抽出的女生平均体重为50 kg，估计该班的平均体重是 (　　)
A．54 kg　 B．60 kg
C．64 kg　 D．65 kg
【解析】
　　　　根据分层抽样的定义可得抽取男生7人，女生3人，男生平均体重为70 kg，女生平均体重为50 kg，该班的平均体重是＝64 kg．
C
探究
5
数据的调查与获取
　　　在以下调查中，适合用全面调查的个数是 (　　)
①调查一个班级学生的吃早餐情况；
②调查某种饮料质量合格情况；
③调查某批飞行员的身体健康指标；
④调查某个水库中草鱼的所占比例．
A．1　 B．2
C．3　 D．4
5
B
变式　(多选)在世界无烟日，小华所在的学习小组为了解本地区大约有多少成年人在吸烟，随机调查了50个成年人，结果其中有15个成年人吸烟．对于这个关于数据收集与处理的问题，下列说法正确的是 (　 　)
A．调查的方式是抽样调查 B．本地区只有35个成年人不吸烟
C．样本是15个吸烟的成年人 D．样本容量是50
【解析】
　　　　对于A，随机调查了50个成年人，属于抽样调查，所以A正确；对于B，这50个人中有35个人不吸烟不代表本地区只有35个成年人不吸烟，所以B错误；对于C，样本是50个成年人，所以C错误；对于D，因为随机调查了50个成年人，所以样本容量是50，所以D正确．
AD
随堂内化·及时评价
1．某校为了了解高二学生的身高情况，打算在高二年级12个班中抽取3个班，再按每个班男、女生比例抽取样本，正确的抽样方法是 (　　)
A．简单随机抽样 B．先用分层随机抽样，再用随机数法
C．分层随机抽样 D．先用抽签法，再用分层随机抽样
【解析】
　　　　在高二年级12个班中抽取3个班，这属于简单随机抽样中的抽签法，按男、女生比例抽取样本属于分层随机抽样，所以是先用抽签法，再用分层随机抽样．
D
2．交通管理部门为了解机动车驾驶员(简称驾驶员)对某新法规的知晓情况，对甲、乙、丙、丁四个社区做分层随机抽样调查，假设四个社区驾驶员的总人数为N，其中甲社区有驾驶员96人．若在甲、乙、丙、丁四个社区抽取驾驶员的人数分别为12，21，25，43，则这四个社区驾驶员的总人数N为 (　　)
A．101　 B．808 C．1 212　 D．2 012
【解析】
　　　　因为甲社区有驾驶员96人，并且在甲社区抽取的驾驶员的人数为12，所以四个社区抽取驾驶员的比例为＝，所以四个社区驾驶员的总人数为(12＋21＋25＋43)÷＝808．
B
3．某学校共有师生4 000人，现用分层随机抽样的方法从所有师生中抽取一个容量为200的样本，调查师生对学校食堂餐饮问题的建议，已知从学生中抽取的人数为190，那么该校的教师人数为 (　　)
A．100　 B．150
C．200　 D．250
【解析】
　　　　设该校的教师人数为x，由题意知＝，解得x＝200．
C
4．为了了解某社区居民是否准备收看电视台直播的“龙舟大赛”，某记者分别从社区60~70岁、40~50岁、20~30岁的三个年龄段中的128，192，x人中，采用分层随机抽样的方法共抽出了30人进行调查，若 60~70 岁这个年龄段中抽了8人，那么x为 (　　)
A．64　 B．96
C．144　 D．160
【解析】
　　　　因为在60~70岁、40~50岁、20~30岁的三个年龄段中的128，192，x人中共抽取30人，所以每个个体被抽到的概率为．又因为在60~70岁这个年龄段中抽查了8人，所以128×＝8，解得x＝160．
D
5．(课本P185练习3)高二年级有男生490人，女生510人，张华按男生、女生进行分层，通过分层随机抽样的方法，得到男生、女生的平均身高分别为170.2 cm和160.8 cm．
(1) 如果张华在各层中按比例分配样本，总样本量为100，那么在男生、女生中分别抽取了多少名？在这种情况下，请估计高二年级全体学生的平均身高．
【解答】
　　　　抽取男生人数为×100＝49，抽取女生人数为×100＝51．高二年级全体学生的平均身高估计为×170.2＋×160.8＝165.406≈165.4(cm)．
5．(课本P185练习3)高二年级有男生490人，女生510人，张华按男生、女生进行分层，通过分层随机抽样的方法，得到男生、女生的平均身高分别为170.2 cm和160.8 cm．
(2) 如果张华从男生、女生中抽取的样本量分别为30和70，那么在这种情况下，如何估计高二年级全体学生的平均身高更合理？
【解答】
　　　　仍按(1)方式进行估计，即×170.2＋×160.8≈165.4(cm)．第2课时　分层随机抽样及获取数据的途径
一、 单项选择题
1．某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量件数分别为100，200，300，400.为检验产品的质量，现用分层随机抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丁种型号的产品中抽取(　　)
A．24件 B．18件
C．12件 D．6件
2．某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品，数量分别为3 200件、x件、2 400件，为了解各车间的产品是否存在显著差异，按车间分层抽样抽取一个样本进行检测.若在甲、乙两车间共抽取了90件，在乙、丙两车间共抽取了80件，则x＝(　　)
A．3 000 B．3 200
C．3 600 D．4 000
3．已知某学校高一、高二、高三年级学生的人数如下表：
年级 高一 高二 高三
学生人数 1 500 2 000 2 500
利用分层随机抽样的方法抽取部分学生观看演出，已知高一年级抽取15人，则该学校观看演出的人数为(　　)
A．35 B．45
C．60 D．80
4．某校有男教师160人，女教师140人，为了调查教师的运动量的平均值(通过微信步数)，按性别比例分配进行分层随机抽样，通过对样本的计算，得出男教师平均微信步数为12 500，女教师平均微信步数为8 600，则该校教师平均微信步数为(　　)
A．12 500 B．10 680
C．8 600 D．10 550
二、 多项选择题
5．某单位共有老年人120人，中年人360人，青年人n人，为调查他们的身体健康状况，需要抽取一个样本容量为m的样本，用分层随机抽样的方法进行抽样调查，若样本中的中年人人数为6，则n和m的值可以是(　　)
A．n＝360，m＝14 B．n＝420，m＝15
C．n＝540，m＝18 D．n＝660，m＝19
6．某公司生产三种型号的轿车，产量分别为1 200辆、6 000辆和2 000辆.为检验该公司的产品质量，公司质监部门要抽取46辆进行检验，则下列说法正确的是(　　)
A．应采用分层随机抽样抽取
B．应采用抽签法抽取
C．三种型号的轿车依次抽取6辆、30辆、10辆
D．这三种型号的轿车，每一辆被抽到的概率都是相等的
三、 填空题
7．某高中在校学生2 000人，为了响应“阳光体育运动”号召，学校举行了跑步和登山比赛活动.每人都参加而且只参与了其中一项比赛，各年级参与比赛人数情况如下表：
高一年级 高二年级 高三年级
跑步 a b c
登山 x y z
其中a∶b∶c＝2∶3∶5，全校参与登山的人数占总人数的，为了了解学生对本次活动的满意程度，现用分层随机抽样的方法从中抽取一个100人的样本进行调查，则高二年级参与跑步的学生中应抽取________人．
8．某单位200名职工的年龄分布情况如图所示，现要从中抽取40名职工作为样本.若用分层随机抽样法，则应从40岁以下年龄段的职工中抽取________名．
(第8题)
四、 解答题
9．某公司总体由1 000人组成，按岗位工资情况分成两层，第—层(高岗位工资层)20人，第二层(低岗位工资层)980人.从第一层随机抽取2人，调查上个月的月岗位工资分别为12 000元和16 000元；从第二层随机抽取8人，上个月的月岗位工资分别为2 200元、2 300元、1 800元、3 200元、4 000元、3 400元、2 800元及3 600元.如何来估计这个月这1 000人的月岗位工资？
10．某单位2 000名职工，老年、中年、青年分布在管理、技术开发、营销、生产各部门中的情况如下表所示：
管理 技术开发 营销 生产 合计
老年 40 40 40 80 200
中年 80 120 160 240 600
青年 40 160 280 720 1 200
合计 160 320 480 1 040 2 000
(1) 若要抽取40名职工调查身体状况，则应怎样抽样？
(2) 若要开一个25人的讨论单位发展与薪金调整方面的座谈会，则应怎样抽选出席人？
11．一班学生有54人，二班学生人数未知，现用分层随机抽样的方法从一班和二班共抽出16人参加数学竞赛，赛后统计得知这16名学生得分的平均数为87，一班学生得分的平均数是80，二班学生得分的平均数是96，则二班的学生人数为(　　)
A．54 B．42
C．48 D．56
12．(多选)某运动队由足球运动员12人、篮球运动员18人、乒乓球运动员6人组成(每人只参加一项).现从这些运动员中抽取一个容量为n的样本，若采用分层随机抽样的方法，且不用删除个体，则样本量n的取值不可能是(　　)
A．24 B．20
C．6 D．5
13．(多选)在《九章算术》第三章“衰分”中有如下问题：“今有甲持钱五百六十，乙持钱三百五十，丙持钱一百八十，凡三人俱出关，关税百钱.欲以钱多少衰出之，问各几何？”其译文为：今有甲持560钱，乙持350钱，丙持180钱，甲、乙、丙三人一起出关，关税共100钱，要按照各人带钱多少的比例进行交税，问三人各应付多少税？则下列说法正确的是(　　)
A．甲应付51钱
B．乙应付32钱
C．丙应付16钱
D．三者中甲付的钱最多，丙付的钱最少
14．为了了解某水库里大概有多少条鱼，先打捞出了1 000条鱼，在鱼身上标记一个不会掉落的印记后放回水库，过一段时间后再次捕捞了200条鱼，发现其中5条鱼有印记，则这个水库里大概有________条鱼．
第2课时　分层随机抽样及获取数据的途径
基础打底·熟练掌握
1．A
2．D　【解析】 由分层抽样可知＝，解得x＝4 000.
3．C　4．B　
5．ABD　【解析】 若样本中的中年人人数为6，则老年人人数为120×＝2，青年人人数为n×＝，所以2＋6＋＝m，得8＋＝m，将选项依次代入，可知A，B，D符合.
6．ACD　【解析】 由三种随机抽样方法的特点可知A，D正确，B错误；由题知，三种型号的轿车依次抽取数为46×＝6，46×＝30，46×＝10，故C正确.
7．12　8．20　
9．【解答】 如果用样本平均数＝×(12 000＋16 000＋2 200＋2 300＋1 800＋3 200＋4 000＋3 400＋2 800＋3 600)＝5 130(元)来估计总体平均数显然偏高.因此先分别算出这两层的样本平均数＝14 000元，＝2 912.5元，所以应用总体平均数＝3 134.25(元)来估计.
10．【解答】 (1) 用分层随机抽样的方法抽取老年职工4名，中年职工12名，青年职工24名.
(2) 用分层随机抽样的方法抽取管理2名，技术开发4名，营销6名，生产13名.
能力进阶·融会贯通
11．B　【解析】 设抽出的16人中，二班的人数为m，则有(16－m)×80＋96m＝16×87，解得m＝7，所以二班的学生人数为×54＝×54＝42.
12．BD　【解析】 由题意得12∶18∶6＝2∶3∶1，则n要为6的倍数，故B，D不满足要求.
13．ACD　【解析】 依题意，由分层随机抽样可知抽样比为＝，则甲应付×560＝51(钱)；乙应付×350＝32(钱)；丙应付×180＝16(钱).综上可知，甲付的钱最多，丙付的钱最少.
14．40 000　【解析】 设水库里大概有x条鱼，则＝，解得x＝40 000.第2课时　分层随机抽样及获取数据的途径
学习 目标 1．了解分层随机抽样的特点和适用范围，掌握各层样本量比例分配的方法． 2．结合具体实例，掌握分层随机抽样的样本均值计算方法．
新知初探基础落实
抽样调查最核心的问题是样本的代表性．简单随机抽样是使总体中每一个个体都有相等的机会被抽中，但因为抽样的随机性，有可能会出现比较“极端”的样本．例如，在对树人中学高一年级学生身高的调查中，可能出现样本中50个个体大部分来自高个子或矮个子的情形．这种“极端”样本的平均数会大幅度地偏离总体平均数，从而使得估计出现较大的误差．
能否利用总体中的一些额外信息对抽样方法进行改进呢？
一、 概念生成
问题：在树人中学高一年级的712名学生中，男生有326名、女生有386名．能否利用这个辅助信息改进简单随机抽样方法，减少“极端”样本的出现，从而提高对整个年级平均身高的估计效果呢？
我们知道，影响身高的因素有很多，性别是其中的一个主要因素．高中男生的身高普遍高于女生的身高，而相同性别的身高差异相对较小．我们可以利用性别和身高的这种关系，把高一年级学生分成男生和女生两个身高有明显差异的群体，对两个群体分别进行简单随机抽样，然后汇总作为总体的一个样本．由于在男生和女生两个群体中都抽取了相应的个体，这样就能有效地避免“极端”样本．
请同学阅读课本P181—P188，完成下列填空．
二、 概念表述
1．分层随机抽样
(1) 定义：一般地，按一个或多个变量把总体划分成若干个子总体，每个个体属于且仅属于一个子总体，在每个子总体中独立地进行__简单随机抽样__，再把所有子总体中抽取的样本合在一起作为__总样本__，这样的抽样方法称为分层随机抽样，每一个子总体称为层．
当总体是由__差异明显__的几个部分组成时，往往采用分层随机抽样．
(2) 比例分配：在分层随机抽样中，如果每层样本量都与层的大小__成比例__，那么称这种样本量的分配方式为比例分配．
2．分层随机抽样的步骤
(1) 根据已经掌握的信息，将总体分成__互不相交__的层；
(2) 根据总体中的个体数N和样本量n计算抽样比k＝____；
(3) 确定第i层应该抽取的个体数目ni≈Ni×k(Ni为第i层所包含的个体数)，使得各ni之和为n；
(4) 在各个层中，按步骤(3)中确定的数目在各层中随机抽取个体，合在一起得到容量为n的样本．
3．分层随机抽样的平均数
在分层随机抽样中，如果层数分为2层，第1层和第2层包含的个体数分别为M和N，抽取的样本量分别为m和n．我们用X1，X2，…，XM表示第1层各个个体的变量值，用x1，x2，…，xm表示第1层样本的各个个体的变量值；用Y1，Y2，…，YN表示第2层各个个体的变量值，用y1，y2，…，yn表示第2层样本的各个个体的变量值，则：
第1层的总体平均数和样本平均数分别为
＝____＝Xi，
＝____＝xi．
第2层的总体平均数和样本平均数分别为
＝____＝Yi，
＝____＝ yi．
总体平均数和样本平均数分别为＝____，＝____．
由于用第1层的样本平均数可以估计第1层的总体平均数，用第2层的样本平均数可以估计第2层的总体平均数，因此我们可以用样本平均数估计总体平均数，即
＝＝＋
＝＋＝．
三、 概念辨析(判断正误：正确的画“√”，错误的画“×”)
(1) 在分层随机抽样时，每层可以不等可能抽样．(　×　)
(2) 在分层随机抽样的过程中，每个个体被抽到的可能性是相同的，与层数及分层有关．(　×　)
(3) 若总体由差异明显的几个层次组成，则选用分层随机抽样．(　√　)
(4) 某公司共100人，其中管理岗10人，业务岗70人，行政岗20人，为了了解该公司对产品改进的意见，要从中抽取20人，用分层随机抽样法最合适．(　√　)
典例精讲能力初成
探究1　分层随机抽样的概念
例1　为了解某地区的中小学生的视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男、女生视力情况差异不大．在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是(　C　)
A．简单随机抽样 B．按性别分层随机抽样
C．按学段分层随机抽样 D．无法确定
变式　下列问题中，最适合用分层随机抽样的方法抽取样本的是(　B　)
A．从10名同学中抽取3人参加座谈会
B．某社区有500户家庭，其中高收入的家庭125户，中等收入的家庭280户，低收入的家庭95户，为了了解生活购买力的某项指标，要从中抽取一个容量为100户的样本
C．从1 000名工人中，抽取100人调查上班途中所用时间
D．从生产流水线上，抽取样本检查产品质量
探究2　分层随机抽样中的相关运算
例2　某企业三月中旬生产A，B，C三种产品共3 000件，根据分层随机抽样的结果，该企业统计员制作了如下的统计表：
产品类别 A B C
产品数量/件 x 1 300 y
样本容量 m 130 n
　　由于不小心，表格中A，C产品的有关数据丢失，统计员记得A产品的样本容量比C产品的样本容量多10．根据以上信息，可得C产品的数量是__800__．
【解析】因为C产品的数量为y，则A产品的数量x＝3 000－1 300－y＝1 700－y．又C产品的样本容量为n，则A产品的样本容量m＝10＋n．由分层随机抽样的定义可知＝＝＝，解得y＝800．
进行分层随机抽样的相关计算时，常用到的两个关系：
(1)＝；
(2) 总体中某两层的个体数之比等于样本中这两层抽取的个体数之比．
变式　某中学有高中生3 500人，初中生1 500人，为了解学生的学习情况，用分层随机抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n的样本，已知从高中生中抽取70人，则n为(　A　)
A．100 　 B．150
C．200 　 D．250
【解析】由题知抽取比例为＝，从而n＝×(3 500＋1 500)＝100．
探究3　分层随机抽样的方案设计
例3　某家电视台在因特网上征集某电视节目现场参与的观众，报名的总人数为12000，分别来自4个城区，其中A区2400人，B区4600人，C区3800人，D区1200人，从中抽取60人参加现场的节目，应当如何抽取？写出抽取过程．
【解答】采用分层随机抽样的方式抽取参加现场节目的观众，步骤如下，第一步：分层．按城区分为四层：A区、B区、C区、D区．第二步：确定每个个体被抽到的概率．样本容量n＝60，总体容量N＝12000，故每个个体被抽到的概率为＝＝．第三步：按比例确定每层抽取的个体数．在A区抽取2400×＝12(人)，在B区抽取4600×＝23(人)，在C区抽取3800×＝19(人)，在D区抽取1200×＝6(人)．第四步：在各层分别用简单随机抽样法抽取样本，将各区抽取的观众合在一起组成样本．
分层随机抽样的特点
(1) 适用于总体由差异明显的几部分组成的情况．
(2) 更充分体现和反映了总体的情况．
(3) 等可能抽样，每个个体被抽到的可能性都相等．
探究4　分层随机抽样中估计总体平均数
例4　(课本P181问题3补充)某校高一年级新入学有360名学生，其中200名女生、160名男生，学校计划为家远的高一新生提供10间女生宿舍和8间男生宿舍，每间宿舍可住2名同学．该校“数学与统计”社团的同学为了解全体高一学生家庭居住地与学校的距离情况，按照性别进行分层随机抽样，其中共抽取20名女生家庭居住地与学校的距离数据(单位：km)如下：
5 6 7 7.5 8 8.4 4 3.5 4.5 4.3
5 4 3 2.5 4 1.6 6 6.5 5.5 5.7
(1) 根据以上样本数据推断，若女生甲家庭居住地与学校距离为8.3 km，她是否能住宿？并说明理由．
【解答】女生甲能住宿．理由如下：学校计划为家远的高一新生提供10间女生宿舍和8间男生宿舍，每间宿舍可住2名同学．女生甲家庭居住地与学校距离为8.3 km，抽取的20名女生中，家庭居住地与学校距离超过8 km的只有一人，所以估计200名女生中家庭居住地与学校距离超过8 km的有10人，故女生甲能住宿．
(2) 通过计算得到女生家庭居住地与学校距离的样本平均值为5.1 km，男生家庭居住地与学校距离的样本平均值为4.875 km，则所有样本数据的平均值为多少？
【解答】根据分层随机抽样的原则，抽取男生样本容量为16，故所有样本数据平均值为＝5(km)．
求分层随机抽样的平均数的步骤
(1) 求样本中不同层的平均数；
(2) 求样本中不同层的个体数占总体的个体数的比例；
(3) 应用分层随机抽样的平均数公式进行求解．
变式　高一某班级有男生35人，女生15人，用分层抽样的方法从全班学生中抽取一个容量为10的样本，抽出的男生平均体重为70 kg，抽出的女生平均体重为50 kg，估计该班的平均体重是(　C　)
A．54 kg　 B．60 kg
C．64 kg　 D．65 kg
【解析】根据分层抽样的定义可得抽取男生7人，女生3人，男生平均体重为70 kg，女生平均体重为50 kg，该班的平均体重是＝64 kg．
探究5　数据的调查与获取
例5　在以下调查中，适合用全面调查的个数是(　B　)
①调查一个班级学生的吃早餐情况；
②调查某种饮料质量合格情况；
③调查某批飞行员的身体健康指标；
④调查某个水库中草鱼的所占比例．
A．1　 B．2
C．3　 D．4
变式　(多选)在世界无烟日，小华所在的学习小组为了解本地区大约有多少成年人在吸烟，随机调查了50个成年人，结果其中有15个成年人吸烟．对于这个关于数据收集与处理的问题，下列说法正确的是(　AD　)
A．调查的方式是抽样调查 B．本地区只有35个成年人不吸烟
C．样本是15个吸烟的成年人 D．样本容量是50
【解析】对于A，随机调查了50个成年人，属于抽样调查，所以A正确；对于B，这50个人中有35个人不吸烟不代表本地区只有35个成年人不吸烟，所以B错误；对于C，样本是50个成年人，所以C错误；对于D，因为随机调查了50个成年人，所以样本容量是50，所以D正确．
随堂内化及时评价
1．某校为了了解高二学生的身高情况，打算在高二年级12个班中抽取3个班，再按每个班男、女生比例抽取样本，正确的抽样方法是(　D　)
A．简单随机抽样
B．先用分层随机抽样，再用随机数法
C．分层随机抽样
D．先用抽签法，再用分层随机抽样
【解析】在高二年级12个班中抽取3个班，这属于简单随机抽样中的抽签法，按男、女生比例抽取样本属于分层随机抽样，所以是先用抽签法，再用分层随机抽样．
2．交通管理部门为了解机动车驾驶员(简称驾驶员)对某新法规的知晓情况，对甲、乙、丙、丁四个社区做分层随机抽样调查，假设四个社区驾驶员的总人数为N，其中甲社区有驾驶员96人．若在甲、乙、丙、丁四个社区抽取驾驶员的人数分别为12，21，25，43，则这四个社区驾驶员的总人数N为(　B　)
A．101　 B．808
C．1 212　 D．2 012
【解析】因为甲社区有驾驶员96人，并且在甲社区抽取的驾驶员的人数为12，所以四个社区抽取驾驶员的比例为＝，所以四个社区驾驶员的总人数为(12＋21＋25＋43)÷＝808．
3．某学校共有师生4 000人，现用分层随机抽样的方法从所有师生中抽取一个容量为200的样本，调查师生对学校食堂餐饮问题的建议，已知从学生中抽取的人数为190，那么该校的教师人数为(　C　)
A．100　 B．150
C．200　 D．250
【解析】设该校的教师人数为x，由题意知＝，解得x＝200．
4．为了了解某社区居民是否准备收看电视台直播的“龙舟大赛”，某记者分别从社区60~70岁、40~50岁、20~30岁的三个年龄段中的128，192，x人中，采用分层随机抽样的方法共抽出了30人进行调查，若 60~70 岁这个年龄段中抽了8人，那么x为(　D　)
A．64　 B．96
C．144　 D．160
【解析】因为在60~70岁、40~50岁、20~30岁的三个年龄段中的128，192，x人中共抽取30人，所以每个个体被抽到的概率为．又因为在60~70岁这个年龄段中抽查了8人，所以128×＝8，解得x＝160．
5．(课本P185练习3)高二年级有男生490人，女生510人，张华按男生、女生进行分层，通过分层随机抽样的方法，得到男生、女生的平均身高分别为170.2 cm和160.8 cm．
(1) 如果张华在各层中按比例分配样本，总样本量为100，那么在男生、女生中分别抽取了多少名？在这种情况下，请估计高二年级全体学生的平均身高．
【解答】抽取男生人数为×100＝49，抽取女生人数为×100＝51．高二年级全体学生的平均身高估计为×170.2＋×160.8＝165.406≈165.4(cm)．
(2) 如果张华从男生、女生中抽取的样本量分别为30和70，那么在这种情况下，如何估计高二年级全体学生的平均身高更合理？
【解答】仍按(1)方式进行估计，即×170.2＋×160.8≈165.4(cm)．

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