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11.1.2 余弦定理的应用
第11章
1.熟练应用余弦定理解决三角形问题.
2.能用余弦定理解决简单的实际问题.
在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，则有
余弦定理
a2=b2+c2-2bccos A
b2=c2+a2-2cacos B
c2=a2+b2-2abcos C
例1 一商船行至某海域时，遭到海盗的追击，随即发出求救信号，正在该海域执行护航任务的海军舰艇在 处获悉后，即测出该商船在北偏东 ，距离10海里的处，并测得该商船正沿方位角为 的方向，以9海里/时的速度直线航行，舰艇立即以21海里/时的速度沿直线前去营救.求舰艇追上商船所需要的时间及所经过的路程.
用余弦定理解决实际问题
解：如图，设舰艇在 处追上商船，设所需的时间为小时，
则，，又 ， ，
所以由
可得 ，
即 ，
即，
解得或 （舍去），
故舰艇追上商船所需要的时间为小时，
所经过的路程为 （海里）．
(1)把题中的已知量和待求量集中在有关的三角形中，建立一个解三角形的模型；
(2)利用余弦定理解出所需要的边或角，求得该数学模型的解；
(3)检验求得的解是否有实际意义，并回答题中所要解决的问题.
归纳总结
解决实际问题的一般步骤：
练习：如图所示为起重机装置示意图.支杆BC=10 m，吊杆AC=15 m，吊索AB=5 m，求起吊的货物与岸的距离AD.
解：在△ABC中，AC=15(m)，AB=5(m)，BC=10(m)，
由余弦定理得cos∠ACB===-，
∴sin∠ACB=.
又∠ACB+∠ACD=180°，∴sin∠ACD=sin∠ACB=.
在Rt△ACD中，AD=AC·sin∠ACD=15×=(m).
∴起吊的货物与岸的距离AD为 m.
解：将已知等式变形为b2(1－ cos 2C)＋c2(1－ cos 2B)＝2bc cos B cos C.
由余弦定理并整理得
b2＋c2－b2 － 2bc· · ，
∴b2＋c2＝ ＝ ＝a2.
∴A＝90°.∴△ABC是直角三角形.
例2 在△ABC中，若b2 sin 2C＋c2 sin 2B＝2bc cos B· cos C，试判断△ABC的形状.
利用余弦定理判断三角形形状
变式：在△ABC中，若acos B＋acos C＝b＋c，试判断△ABC的形状.
解：由a cos B＋a cos C＝b＋c，
结合余弦定理得a· ＋a· ＝b＋c，
即 ＋ ＝b＋c，
整理得(b＋c)(a2－b2－c2)＝0.
∵b＋c≠0，∴a2＝b2＋c2，故△ABC是直角三角形.
利用三角形的边角关系判断三角形的形状时，需要从“统一”入手，即使用转化思想解决问题，一般有两条思考路线：
①先化边为角，再进行三角恒等变换，求出三角之间的数量关系；
②先化角为边，再进行代数恒等变换，求出三边之间的数量关系.
归纳总结
根据今天所学，回答下列问题：
（1）利用余弦定理解决实际问题的步骤有哪些？
（2）利用三角形的边角关系判断三角形的形状时该从哪方面入手？
1.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若c2=bccos A+
cacos B+abcos C，则△ABC是　　　　三角形.(填“锐角”“直角”或“钝角”)
2.在△ABC中，A=60°，a2=bc，则△ABC一定是 ( )
A.锐角三角形 B.钝角三角形
C.直角三角形 D.等边三角形
直角
D
3.某人从A处出发，沿北偏西60°方向行走2 km后到达B处，再沿正东方向行走2 km到达C处，则A，C两地的距离为　　　km.
4. 如图，在高速公路建设中需要确定隧道的长度，工程技术人员已测得隧道两端的两点A，B到点C的距离AC＝BC＝1 km，且C＝120°，则A，B两点间的距离为 km.
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