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11.2.1 正弦定理
第11章
1.能借助向量的运算，探索三角形边长与角度的关系.
2.掌握正弦定理，并能利用正弦定理解三角形.
如图，在Rt△ABC中，，，各自等于什么？
===c.
在一般的△ABC中， = = 还成立吗？
在上节中，我们通过等式两边同时“平方”，将向量等式转化为数量等式，进而推出了余弦定理.为了进一步探索三角形的边角关系.
思考：还有其他途径将向量等式数量化吗？
如图：在中，不妨设C为最大角，过点A作AD⊥BC于点D，与的夹角为.
因为；
所以=
即：0=
当C为锐角或直角时，；当C为钝角时，。
所以 ，
所以 .
同理可得：，
所以 .
正弦定理
三角形的各边与它所对角的正弦的比相等.
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则有
.
正弦定理的常见变形(其中为 外接圆的半径)
(1)asin B=bsin A，bsin C=csin B，asin C=csin A；
(2)sin A∶sin B∶sin C=　　　　　；
(3)====　　；
(4)a=2Rsin A，b=2Rsin B，c=　　　　；
(5)sin A=，sin B=______，sin C=_____；
(6)A>B a>b sin A>sin B.
a∶b∶c
2R
2Rsin C
例1 在△ABC中，已知B=30°，C=105°，b=4，求A，a和c.
①
②
③
解：因为B=30°，C=105°，
所以A=180°-(B+C)=180°-(30°+105°)=45°.
由正弦定理，得==，
解得a==4，c==2(+).
归纳总结
已知两角及一边解三角形的一般步骤
(1)若所给边是已知角的对边时 ，可由正弦定理求另一边，再由三角形内角和定理求出第三个角，最后由正弦定理求第三边.
①
②
③
(2)若所给边不是已知角的对边时，先由三角形内角和定理求第三个角，再由正弦定理求另外两边.
①
②
③
AAS有且只有一解
例2 在△ABC中，已知a=2，c=，A=45°，解三角形.
解：∵=，∴sin C===，
∵0°a，∴C=60°或C=120°.
当C=60°时，B=75°，b===+1；
当C=120°时，B=15°，b===-1.
∴b=+1，B=75°，C=60°或b=-1，B=15°，C=120°.
变式：在 ABC中，已知B=120°，c =6，b=3，求A，C.
解：∵，∴，
检验1
内角和定理
检验2
大边对大角
①时，
②时，,舍去
,,
归纳总结
已知两边及一边的对角解三角形的一般步骤
(1)可由正弦定理求另一边的对角，再由三角形内角和定理求出第三个角，最后由正弦定理求第三边.
(2)SSA解的个数可能：一解；两解；无解.根据正弦值范围、大边对大角、内角和定理判断.
A为锐角 A为钝角或直角 图形 关系式 a=bsin A bsin Ab a≤b
解的个数
一解 两解 一解 一解 无解
根据今天所学，回答下列问题：
（1）写出正弦定理公式.
（2）如何利用正弦定理解三角形.
1.在△ABC中，一定成立的等式是 ( )
A.asin A=bsin B B.acos A=bcos B
C.asin B=bsin A D.acos B=bcos A
2.在△ABC中，a=5，b=3，则sin A∶sin B的值是 ( )
A. B.
C. D.
C
A
3.在△ABC中，若A=60°，B=45°，BC=3，则AC等于 ( )
A.4 B.2
C. D.
4.在△ABC中，a=5，b=5，A=30°，则B=　　 　　.
B
60°或120°

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