资源简介

(共14张PPT)
11.2.2 正弦定理的应用
第11章
1.熟练应用正弦定理解决三角形问题.
2.能用正弦定理解决简单的实际问题.
在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，则有
正弦定理
例1 要测量河岸之间的距离(河的两岸可视为平行)，由于受地理条件和测量工具的限制，可采用如下办法：如图所示，在河的一岸边选取A，B两点，观察对岸的点C，测得∠CAB＝45°，∠CBA＝75°，且AB＝120 m，由此可得河宽约为(　　)(参考数据： ≈2.45， sin 75°≈0.97)
A. 170 m B. 98 m C. 95 m D. 86 m
用正弦定理解决实际问题
解析：在△ABC中，AB＝120 m，∠CAB＝45°，∠CBA＝75°，则∠ACB＝60°，
由正弦定理，得BC＝ ×120＝40 (m).
例1 要测量河岸之间的距离(河的两岸可视为平行)，由于受地理条件和测量工具的限制，可采用如下办法：如图所示，在河的一岸边选取A，B两点，观察对岸的点C，测得∠CAB＝45°，∠CBA＝75°，且AB＝120 m，由此可得河宽约为(　　)(参考数据： ≈2.45， sin 75°≈0.97)
A. 170 m B. 98 m C. 95 m D. 86 m
用正弦定理解决实际问题
设△ABC中AB边上的高为h，
则h＝BC× sin ∠CBA＝40 × sin 75°≈95(m)，
即河宽约为95 m.故选C.
C
在运用正弦定理解决实际问题时，通常根据题意，从实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后通过解这些三角形，得出实际问题的解.和高度有关的问题往往涉及直角三角形的求解.
归纳总结
练习：一货轮航行到M处，测得灯塔S在货轮的北偏东15°相距20 n mile
处，随后货轮按北偏西30°的方向航行，半小时后，又测得灯塔S在
货轮的北偏东45°方向上，求货轮的航行速度.
解：设货轮的航行速度为v n mile/h，
如图，在△MNS中，MS＝20 n mile，MN＝ v，
∠NMS＝30°＋15°＝45°，
∠MNS＝180°－30°－45°＝105°，从而∠MSN＝30°.
由正弦定理得 ＝ ，即 ＝ ，
所以v＝20( － )(n mile/h).
解：在△ABC中，根据正弦定理，得==，
∵sin2A=sin2B+sin2C，∴a2=b2+c2，∴A是直角.
∵A=180°-(B+C)，sin A=2sin Bcos C，
∴sin(B+C)=sin Bcos C+cos Bsin C=2sin Bcos C，
∴sin(B-C)=0.
又-90°∴△ABC是等腰直角三角形.
例2 在△ABC中，若sin A=2sin Bcos C，且sin2A=sin2B+sin2C，试判断△ABC的形状.
利用正弦定理判断三角形形状
练习：在△ABC中，已知3b=2asin B，且cos B=cos C，A是锐角，则△ABC是( )
A.直角三角形 B.等腰三角形
C.等腰直角三角形 D.等边三角形
解析：由3b=2asin B，得=，
根据正弦定理，得=，所以=，即sin A=.
又A是锐角，所以A=60°.
又cos B=cos C，且B，C都为三角形的内角，所以B=C.
故△ABC为等边三角形.
D
(1)利用余弦定理、正弦定理把已知条件转化为边(或角)的关系，通过因式分解、配方等得出边(或角)的相应关系，从而判断三角形的形状.
(2)统一成边(或角)的关系后，注意等式两边不要轻易约分，否则可能会出现漏解.
归纳总结
判断三角形形状的方法及注意事项
例3 在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，用正弦定理证明：.
解：如图，设∠BAD＝α，∠BDA＝β，则∠CDA＝180°－β，
在△ABD和△ACD中分别运用正弦定理得
，，
又∵sin(180°－β)＝sin β，∴.
利用正弦定理解决几何问题
根据今天所学，回答下列问题：
利用正弦定理判断三角形形状时应注意什么？
1.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sin A∶sin B∶sin C
=1∶∶2，则△ABC的形状是( )
A.锐角三角形 B.钝角三角形
C.直角三角形 D.无法判断
2.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若asin A+bsin B<
csin C，则△ABC的形状是( )
A.锐角三角形 B.直角三角形
C.钝角三角形 D.不确定
C
C
3.在中，为 的中点，且 ，则 ＝ .
4. 一艘船向正北方向航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°方向上，另一灯塔在船的南偏西75°方向上，则这艘船的速度是 .
2
10海里/小时

展开更多......

收起↑