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11.3 余弦定理、正弦定理的应用
第11章
1.能运用解三角形知识解决简单的测量问题.
2.能用解三角形的知识解决物理与平面几何知识.
3.强化正余弦定理的应用.
在测量工作中，经常会遇到不方便直接测量的情形.例如，如图所示故宫角楼的高度，因为顶端和底部都不便到达，所以不能直接测量.假设给你米尺和测量角度的工具，你能在故宫角楼对面的岸边得出角楼的高度吗？
问题：如图所示，为了测量某湖泊两侧A，B间的距离，小宁同学首先选定了与A，B不共线的一点C，然后给出了几种测量方案(△ABC的角A，B，C所对的边分别记为a，b，c)，你能帮小宁分析一下这些方案是否可行吗？
方案A：测量A，B，b；
方案B：测量a，b，C；
方案C：测量A，B，a；
方案D：测量A，B，C.
对于方案A，利用内角和定理先求出C=π-A-B，再利用正弦定理????sin????=????sin????解出c；
对于方案B，直接利用余弦定理c2=a2+b2-2abcos C即可解出c；
对于方案C，先利用内角和定理求出C=π-A-B，再利用正弦定理????sin????=????sin????解出c；
对于方案D，不知道a与b的长度，显然不能求c.
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方案A：测量A，B，b； 方案B：测量a，b，C；
方案C：测量A，B，a； 方案D：测量A，B，C.
类型一：两点间不可到达的距离
归纳总结
距离问题：
此类型中，要求在△ABC中，边BC、AC和∠ACB已知，可以利用余弦定理：
????????2=????????2+????????2?2??????????????????????????????∠????????????
求出A、B之间的距离。
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如图，此类型中，点A与点B，点B与点C之间可视不可到达，若要求出AB、BC的长度，要求在△ABC中，可以测得AC的长度、∠B、∠A和∠C的大小，
可以利用正弦定理：????????????????????∠????=????????????????????????=????????????????????????
求出AB、BC的长度.
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类型二：两点间可视不可到达的距离
类型三：两个不可到达的点之间的距离
如图，此类型中，点A与点B之间可视不可到达，若要求出AB的长度，可以在河岸选定两点C，D，测得CD=a，同时在C，D两点分别测得∠BCA=α，∠ACD=β，∠CDB=γ，∠BDA=δ.在△ADC和△BDC中，由正弦定理计算出AC和BC后，再在△ABC中，应用余弦定理计算出A，B两点间的距离.
例1 如图，为测量河对岸A，B两点间的距离，沿河岸选取相距40 m的C，D两点，测得∠ACB=60°，∠BCD=45°，∠ADB=60°，∠ADC=30°，求A，B两点之间的距离.
解：在△BCD中，∠BDC=60°+30°=90°，∠BCD=45°，
∴∠CBD=90°-45°=∠BCD，
∴BD=CD=40(m)，BC=????????2+????????2=402(m).
在△ACD中，∠ADC=30°，∠ACD=60°+45°=105°，
∴∠CAD=180°-(30°+105°)=45°.
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由正弦定理，得AC=????????sin30°sin45°=202(m).
在△ABC中，由余弦定理，得
AB2=AC2+BC2-2AC·BC·cos∠ACB
=(202)2+(402)2-2×202×402cos 60°
=2 400(m2)，
∴AB=206(m)，
故A，B两点之间的距离为206 m.
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例2 某货船在索马里海域航行时遭海盗袭击，发出求救信号，如图，我国海军护航舰在???? 处获悉后，立即测出该货船在方位角为45? ，距离为10海里的???? 处，并测得货船正沿方位角为105? 的方向，以10海里/时的速度行驶，海军护航舰立即以103 海里/时的速度，沿直线行驶前去营救，求海军护航舰航行的方位角和追上货船所需的时间.
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测量角度问题
解：如图，设海军护航舰在B 处追上货船，所需的时间为t小时，
则AB=103t 海里，CB=10t 海里.
在△ABC中，∠ACB=120? ，
根据余弦定理得AB2=AC2+BC2?2AC?BCcos?120? ，
即 (103t)2=102+(10t)2?2×10×10tcos120???，
整理得2t2?t?1=0，解得t=1或t=?12?（舍去），
所以海军护航舰追上货船所需的时间为1小时.
????????=103 海里，????????=10海里，
?
在△???????????? 中，由正弦定理得????????sin∠????????????=????????sin?120? ，
所以sin∠????????????=????????sin?120?????????=10×32103=12 ，
所以∠????????????=30? ，
所以海军护航舰航行的方位角为75? .
?
测量角度问题需要注意3个问题：
①测量角度时，首先应明确方位角及方向角的含义;
②求角的大小时，先在三角形中求出其正弦或余弦值;
③在解应用题时，要根据题意正确画出示意图，通过这一步可将实际
问题转化为可用数学方法解决的问题，解题过程中也要注意体会正、
余弦定理综合使用的优点.
归纳总结
例3 如图，某大桥主孔采用独塔双索面斜拉悬臂组合结构体系，假设斜拉桥中某对钢索与竖直方向的夹角都是53°，每根钢索中的拉力都是5×104 N，那么它们对塔柱形成的合力有多大？方向如何？( sin 53°＝0.8，
cos 53°＝0.6)
在物理学中的应用
解：把两根钢索的拉力看成沿钢索方向的两个分力，以它们为邻边画出一个平行四边形OACB，其对角线的长度就表示它们的合力的大小.由对称性可知，合力方向一定沿塔柱竖直向下，且这个平行四边形是一个菱形.
在△OAC中， cos ∠OAC＝ cos (180°－2×53°)
＝－(2 cos 253°－1)＝1－2×0.62＝0.28，
由余弦定理，得OC
＝????????2＋????????2?2????????·????????·cos∠????????????
?
＝52＋52?2×52×0.28 ×104＝6×104(N).
?
即合力的大小为6×104 N，方向竖直向下.
应用解三角形知识解决实际问题的步骤：
(1)分析题意，准确理解题意；
(2)根据题意画出示意图，并将已知条件在图形中标出；
(3)将所求问题归结到一个或几个三角形中，通过合理运用正弦、余弦定理等有关知识正确求解；
(4)检验解出的结果是否具有实际意义，对结果进行取舍，得出正确答案．
归纳总结
例4 在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，且b=c，sin????sin????=1?cos????cos????.若点O是△ABC外一点，∠AOB=θ(0<θ<π)，OA=2OB=2，
则平面四边形OACB面积的最大值( )
A.8+534 B. 4+534
C. 3 D. 4+532
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在平面图形中的应用
A
解析：如图，在△ABC中，
∵sin????sin????=1?cos????cos????，∴sin Bcos A+cos Bsin A=sin A，
即sin(A+B)=sin(π-C)=sin C=sin A，∴A=C，
又b=c，故△ABC为等边三角形.
∴S四边形OACB=S△AOB+S△ABC=12·OA·OB·sin θ+12·AB2·sin π3
=12×2×1×sin θ+34(OA2+OB2-2OA·OB·cos θ)=sin θ-3cos θ+534=2sin?????π3+534.
∵0<θ<π，∴-π3<θ-π3<2π3，故当θ-π3=π2，即θ=5π6时，sin?????π3取得最大值1，
故S四边形OACB的最大值为2+534=8+534.
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根据今天所学，回答下列问题：
（1）利用正余弦定理测量距离问题有哪几类？
（2）利用正余弦定理测量角度问题需要注意什么？
1.若点A在点C的北偏东30°方向上，点B在点C的南偏东60°方向上，且AC=BC，则点A在点B的( )
A.北偏东15°方向上 B.北偏西15°方向上
C.北偏东10°方向上 D.北偏西10°方向上
2.作用在同一点的三个力F1，F2，F3平衡，已知｜F1｜＝30 N，｜F2｜＝50 N，F1与F2之间的夹角是60°，则F3与F1之间的夹角的正弦值为( )
A.57 B.-57
C.5314 D.-5314
?
B
C
3.一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿直线航行，航行的方位角为140°，30分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方位角为110°，在B处观察灯塔，其方位角为65°，那么B，C两点间的距离是( )
A.102 海里 B.103 海里
C.203 海里 D.202 海里
?
A

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