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第十二章 复数
12.1 复数的概念
1. 了解引进虚数单位的必要性；
2. 理解复数的有关概念和表示，能正确对复数进行分类；
3. 理解复数相等的充要条件，并能进行简单运用.
如何引入新的数扩充数系使方程变得可解呢？
思考：对于
情境：一个数集连同规定的运算以及满足的运算律叫做个数系. 当问题在当前数系下无法解决时，数学家们会尝试引入新的数扩充数系使问题变得可解.
自然数
负数
分数
有理数
无理数
实数
计数
整数
扩充
扩充
扩充
虚数单位：为了解决方程 x2 +1 = 0 这样的方程在实数系中无解的问题，我们引入一个新数 i，叫做虚数单位，并规定：
（1）i2 = -1；
（2）实数与 i 进行四则运算，且原有的加法、乘法运算律仍然成立.
如：实数 a 与 i 相加，结果记作 a + i；实数 b 与 i 相乘，结果记作 bi；
实数 a 与实数 b 和 i 相乘的结果相加，结果记作 a + bi.
根据加法和乘法的运算律，这些运算的结果都可以写成 a + bi (a，b∈R).
实部
虚部
复数的概念：形如 a + bi (a，b∈R) 的数叫作复数，复数通常用字母 z 表示，
即 z = a + bi (a，b∈R).
注意：对于复数 z = a + bi，
① 当且仅当 b = 0 时， z 是实数 a；② 当且仅当 a = b = 0 时，它是实数 0；
③ 当 b ≠ 0 时，叫作虚数；④ 当 a = 0 且 b ≠ 0 时，叫作纯虚数.
全体复数所构成的集合称为复数集，记作 C. （R C）
复数 a + bi
(a，b∈R)
实数 (b = 0)；
虚数 (b ≠ 0).
(当a = 0时为纯虚数)
问题1：写出自然数集 N、整数集 Z、有理数集 Q、实数集 R 和复数集 C 的关系，并用Venn图表示.
N Z Q R C
例1：写出复数 4，2 - 3i，0， ， ，6i 的实部与虚部，并指出哪些是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚数
复数分类 实数 虚数
实部
虚部
4 0 2 - 3i 6i
4
0
0
0
2
-3
5
0
6
练一练 1：判断下列命题是否正确：
（1）复数 2 + 3i 的虚部是 3i； （ ）
（2）若 a、b 为实数，则 z = a + bi 为虚数； （ ）
（3）如 a + bi (b∈R) 的数一定是虚数； （ ）
（4）若 b 为实数，则 z = bi 必为纯虚数； （ ）
（5）若 a 为实数，则 z = a 一定不是虚数. （ ）
√
×
×
×
×
解：（1）当 m - 1 = 0，即 m = 1 时，复数 z 是实数；
（2）当 m - 1 ≠ 0，即 m ≠ 1 时，复数 z 是虚数；
例2：实数 m 取何值时，复数 z = m(m - 1) + (m - 1) i 是：
（1）实数； （2）虚数； （3）纯虚数.
（3）当 m(m - 1) = 0，且 m - 1 ≠ 0，即 m = 0 时，复数 z 是纯虚数.
分析：由 m∈R 可知 m(m - 1)，(m - 1) 都是实数，根据复数 a + bi 是实数、虚数或纯虚数的条件可以分别确定 m 的值.
思考：a = 0 是复数 z = a + bi 为纯虚数的充分条件吗？
复数相等：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等．即如果 a，b，c，d ∈R ，那么
注意：① 两个复数相等的充要条件数它们的实部和虚部分别相等.
例 3：已知 (x + y) + (x - 2y)i = (2x - 5) + (3x + y)i，求实数 x，y 的值.
解：根据两个复数相等的充要条件，可得
方法总结：已知两个复数相等，可根据复数相等的充要条件将其转化为方程（组）来求解. 当两个复数相等时，应先分清两个复数的实部与虚部，然后让实部与实部相等，虚部与虚部相等.
解得
练一练 2：已知 (2x - 1) + i = y - (3 - y)i，其中 x、y∈R，求 x 与 y 的值.
解：根据复数相等的定义，得方程组
解得
分析：根据两个复数相等的充要条件建立关系式求解.
根据今天所学，补全下列知识框图：
复数相等
复数
实数 (b = 0)
______(b ≠ 0)
_______ (a = 0，b ≠ 0)
非纯虚数 (a ≠ 0，b ≠ 0)
虚数
纯虚数

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