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第十二章 复数
12.2.1 复数的加法、减法与乘法
1. 掌握复数加法、减法与乘法运算法则，并能解决简单问题；
2.理解共轭复数的概念，了解共轭复数积的特点.
我们规定，复数的加法法则如下：
设z1 = a + bi，z2 = c + d i (a，b，c，d∈R)是任意两个复数，那么它们的和
注意：两个复数的和仍然是一个确定的复数.
复数的加法法则
z1 + z2 = (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i
实部相加为实部
虚部相加为虚部
问题 1：复数的加法满足交换律、结合律吗？请给出证明.
设 z1 = a1 + b1i， z2 = a2 + b2i， z3 = a3 + b3i，其中a1，a2，a3，b1，b2，b3∈R，
∵ z1 + z2 = (a1 + b1i) + (a2 + b2i) = (a1 + a2) + (b1 + b2)i，
z2 + z1 = (a2 + b2i) + (a1 + b1i) = (a2 + a1) + (b2 + b1)i，
a1 + a2 = a2 + a1，b1 + b2 = b2 + b1，
∴ z1 + z2 = z2 + z1（交换律）
∵ (z1 + z2) + z3 = [(a1 + b1i) + (a2 + b2i)] + (a3 + b3i)
= [(a1 + a2) + (b1 + b2)i] + (a3 + b3i) = (a1 + a2 + a3) + (b1 + b2 + b3)i，
z1 + (z2 + z3) = (a1 + b1i) + [(a2 + b2i) + (a3 + b3i)]
= (a1 + b1i) + [(a2 + a3) + (b2 + b3)i] = (a1 + a2 + a3) + (b1 + b2 + b3)i，
∴ (z1 + z2) + z3 = z1 + (z2 + z3)（结合律）
问题 1：复数的加法满足交换律、结合律吗？请给出证明.
对任意 z1，z2，z3 ∈ C，都有：
（1）交换律：z1＋z2 ＝ z2＋z1.
（2）结合律：(z1＋z2)＋z3 ＝ z1＋(z2＋z3)；
复数加法的运算律
问题 2：实数的减法是加法的逆运算.类比实数减法的意义，如何定义复数的减法？
类比实数集中减法的意义，我们规定，复数的减法是加法的逆运算，即把满足 (c + di) + (x + yi) = a + bi 的复数 x + yi 叫做复数 a + bi 减去复数 c + di 的差，记作 (a + bi) - (c + di).
根据复数相等的定义，有 c + x = a，d + y = b，因此 x = a - c，y = b - d，
即 (a + bi) - (c + d i) = (a - c) + (b - d )i.
我们规定，复数的减法法则如下：
注意：两个复数的和仍然是一个确定的复数.
复数的减法法则
z1 - z2 = (a + bi) - (c + di) = (a - c) + (b - d)i
实部相减为实部
虚部相减为虚部
解：(5－6i) + (－2－i)－ (3 + 4i) = (5－2－3) + (－6－1－4)i = －11i .
例1：计算 (5－6i) + (－2－i)－ (3 + 4i).
练一练 1：复数 (1－i)－(2＋i)＋3i 等于 ( )
A.－1＋i B.1－i C.i D.－i
A
问题3：设 a，b，c，d ∈R，则 (a＋b)(c＋d) 怎样展开？
(a＋b)(c＋d)＝ac＋ad＋bc＋bd
思考：类比多项式的乘法运算，想一想两个复数如何进行乘法运算？
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，
则z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝ac＋adi＋bci＋bdi2，
∵i2＝－1，∴ z1·z2＝ac＋adi＋bci－bd＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i.
复数的乘法：(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i.
注意：在进行复数乘法运算时，实际上不直接使用乘法法则，而使用多项式乘法法则.
问题4：复数的乘法满足交换律、结合律、乘法对加法满足分配律吗？
对任意三个复数z1＝a＋bi，z2＝c＋di，z3＝e＋fi(a，b，c，d，e，f∈R)，
有z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i，
z2·z1＝(c＋di)(a＋bi)＝(ca－db)＋(cb＋da)i，
∵ac－bd＝ca－db，ad＋bc＝cb＋da，∴z1·z2＝z2·z1(交换律).
同理(z1·z2)·z3＝z1·(z2·z3)(结合律)，
z1·(z2＋z3)＝z1·z2＋z1·z3(分配律).
复数乘法的交换律、结合律、分配律
对任意 z1，z2，z3 ∈C，
交换律：z1·z2＝z2·z1；
结合律：(z1·z2)·z3＝z1·(z2·z3)；
分配律：z1·(z2＋z3)＝z1·z2＋z1·z3.
解：(1) (2 + 3i)(2 - 3i) = 22 - (3i) = 4 - (- 9) = 13；
例 2：计算 (1) (2 + 3i)(2 - 3i)； (2) (a + bi)(a - bi).
(2) (a + bi)(a - bi) = a2 - abi + abi - b2i2 = a2 - b2i2 = a2 + b2 .
我们把实部相等、虚部互为相反数的两个复数叫作互为共轭复数.
复数 z = a + bi 的共轭复数记作 ，即 .
当复数 z = a + bi 的虚部 b = 0 时， .（即实数的共轭复数是它本身）
思考：若 z1，z2 是共轭复数，则 z1z2 是一个怎样的数？
练一练 2：证明：对任意的两个复数 z1，z2，若 z1·z2 = 0，则 z1，z2 至少有一个为 0.
证明：设 z1 ≠ 0，则 |z1| ≠ 0，z1 的共轭复数 ，
将 z1·z2 = 0 的左右两边同时乘 ，得
∵ |z1|2 ≠ 0，∴ z2 ＝ 0.
根据本课所学，构建知识框图：
复数的运算
运算律
复数的加减运算
运算法则
共轭复数
,
运算律
复数的乘法运算
共轭复数积的特点
运算法则

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