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第十二章 复数
12.2.2 复数的乘方与除法
1. 理解复数的乘方的概念，掌握复数正整数指数幂的运算性质；
2. 掌握复数的除法法则，并能熟练进行复数的乘除运算；
3. 掌握复数的运算性质，能解复数范围的方程.
根据乘法的运算律，实数范围内正整数指数幂的运算性质在复数范围内仍然成立，即对任何 z，z1，z2 ∈C 和 m，n∈N*，有
zm·zn ＝ zm＋n，(zm)n ＝ zmn，(z1·z2)n ＝ z1n·z2n.
对于复数 z，定义它的乘法 zn ＝ z·z·…·z. (即复数的乘方是相同复数的积)
n个
在复数的乘方运算中，经常要计算 i 的乘方，i 的乘方有如下规律：
i0 = 1，i1 = i，i2 = -1，i3 = -i，i4 = 1…
一般地，对任意自然数 n，有 i4n = 1，i4n＋1 = i，i4n＋2 = -1，i4n＋3 = -i.
例1：设 ，求证：
（1）1 + ω + ω2 = 0； （2）ω3 = 1.
解：（1）∵ ，
∴
（2）
问题 1：类比实数的除法是乘法的逆运算. 复数的除法应该满足怎样的运算法则？
我们把满足(c + di)(x + yi) = a + bi (c + di ≠ 0) 的复数 x + yi 叫做复数 a + bi 除以复数 c + di 的商，记作 (a+bi)÷(c+di) 或
利用(c + di)(c - di) = c2 + d 2. 于是将 的分母实数化得：
复数的除法法则：
两个复数相除 (除数不为 0)，所得的商是一个确定的复数
根式除法: 分子分母都乘以分母的“有理化因式”,从而使分母“有理化”.
复数除法: 分子分母都乘以分母的共轭复数，从而使得分母“实数化”.
类比
例2：计算 .
解法1：设 ，
则 (3 - 4i)(x + yi) = 2 - i，
即 (3x + 4y) + (3y - 4x)i = 2 - i，
所以 ，
解得
因此
解法2：
练一练：计算 (1 + 2i) ÷ (3 - 4i).
解：
进行复数除法运算的方法：
① 先把 (a+bi)÷(c+di) 写成 的形式；
② 把分子与分母都乘以分母的共轭复数c-di；
③ 再化简即可.
例3：在复数集 C 内解下列方程：
（1）z2 + 4 = 0； （2）z2 - 10z + 40 = 0.
解：（1）设z = x + yi (x，y∈R)，则(x + yi)2 + 4 = 0，即(x2 - y2 + 4) + 2xyi = 0，
（2）配方，得 (z - 5)2 = -15.
所以 ，
解得 或 ，
因此 z = 2i 或 z = -2i .
仿（1）得： 或
所以，得
或
探究：在复数集 C 内解方程：ax2 + bx + c = 0. 其中 a，b，c∈R，且 a ≠ 0. ( = b2 - 4ac < 0)
解：
将方程 ax2 + bx + c = 0 的二次项系数化为 1 得
配方，得
即
类似（1）可得：
由 < 0 知
所以原方程的根为
在复数集 C 内，实系数一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 的求根公式为：
① 当 ≥ 0 时， ；
② 当 < 0 时，
对于实系数一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 的求解问题，当 < 0时，此时方程两根满足：
① 根与系数关系仍然成立，即
② 两个根互为共轭复数.
知识框图：
复数的乘方
运算性质
定义
复数的除法
运算法则
定义
复数集 C 内解方程

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