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(共28张PPT)
第九章
9.2　用样本估计总体
统　计
第3课时　总体百分位数的估计
学习 目标 1．结合实例，能用样本估计百分位数，理解百分位数的统计含义．
2．掌握求一组数据的百分位数的基本步骤和方法，体会数学知识与现实世界的联系．
新知初探·基础落实
问题1：前面我们用频率分布表、频率分布直方图描述了居民用户月均用水量的样本数据，通过对图表的观察与分析，得出了一些样本数据的频率分布规律，并由此推测了该市全体居民用户月均用水量的分布情况，得出了“大部分居民用户的月均用水量集中在一个较低值区域”等推断．接下来的问题是，如何利用这些信息，为政府决策服务呢？下面我们对此进行讨论．
一、 概念生成
问题2：针对课本P193的“问题1”，如果该市政府希望使80%的居民用户生活用水费用支出不受影响，根据100户居民用户的月均用水量数据，你能给市政府提出确定居民用户月均用水量标准的建议吗？
首先要明确一下问题：根据市政府的要求确定居民用户月均用水量标准，就是要寻找一个数a，使全市居民用户月均用水量中不超过a的占80%，大于a的占20%．下面我们通过样本数据对a的值进行估计．
把100个样本数据按从小到大排序，得到第80个和第81个数据分别为13.6和13.8．可以发现，区间[13.6，13.8)内的任意一个数，都能把样本数据分成符合要求的两部分．
一般地，我们取这两个数的平均数＝13.7，并称此数为这组数据的第80百分位数或80%分位数．
根据样本数据的第80百分位数，我们可以估计总体数据的第80百分位数为13.7左右．由于样本的取值规律与总体的取值规律之间会存在偏差，而在决策问题中，只要临界值近似为第80百分位数即可，因此为了实际中操作的方便，可以建议市政府把月均用水量标准定为14 t，或者把年用水量标准定为168 t．
请同学阅读课本P202—P204，完成下列填空．
二、 概念表述
1．百分位数：一组数据的第p百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有p%的数据______________这个值，且至少有______________的数据大于或等于这个值．
小于或等于
(100－p)%
2．计算一组n个数据第p百分位数的步骤：
第1步，按____________排列原始数据．
第2步，计算i＝n×p%．
第3步，若i不是整数，而大于i的比邻整数为j，则第p百分位数为____________；若i是整数，则第p百分位数为________________________的平均数．
3．四分位数：即把一组由小到大排列后的数据分成四等份，处于三个分割点位置的数值就是四分位数．其中第25百分位数也称为_______________或_____________ 等，第75百分位数也称为________________或______________等．
从小到大
第j项数据
第i项与第(i＋1)项数据
第一四分位数
下四分位数
第三四分位数
上四分位数
三、 概念辨析(判断正误：正确的画“√”，错误的画“×”)
(1) 第25百分位数表示一组数据中至少有25%的数据小于或等于这个数值． (　　)
(2) 第25百分位数表示一组数据中至少有25%的数据大于或等于这个数值． (　　)
(3) 数据2，5，7，9，11，8，7，8，10中的第80百分位数是10． (　　)
(4) 一组数据1，2，2，3，4，4，5，6，6，7的第30百分位数是3． (　　)
√
×
√
×
典例精讲·能力初成
探究
1
具体数据中计算百分位数
　　　(课本P203例2)根据课本P182“问题3”中女生的样本数据，估计树人中学高一年级女生的第25，50，75百分位数．
1
【解答】
　把27名女生的样本数据按从小到大排序，可得
148.0 149.0 154.0 154.0 155.0 155.0 155.5 157.0 157.0
158.0 158.0 159.0 161.0 161.0 162.0 162.5 162.5 163.0
163.0 164.0 164.0 164.0 165.0 170.0 171.0 172.0 172.0
由25%×27＝6.75，50%×27＝13.5，75%×27＝20.25，可知样本数据的第25，50，75百分位数为第7，14，21项数据，分别为155.5，161，164．据此可以估计树人中学高一年级女生的第25，50，75百分位数分别约为155.5，161和164．
变式　有一样本的数据为3310，3355，3450，3480，3490，3520，3540，3550，3650，3730，3925，求这组数据的第50百分位数和第75百分位数．
【解答】
　　　　因为i＝50%×11＝5.5，所以第50百分位数是第6个数据3 520．因为i＝75% ×11＝＝8.25，所以第75百分位数是第9个数据3 650．所以第50百分位数和第75百分位数分别为3 520，3 650．
探究
2
统计表或统计图中计算百分位数
　　　(课本P204例3补充)某市为了鼓励居民节约用电，实行“阶梯式”电价，将该市每户居民的月用电量划分为三档，月用电量不超过200千瓦·时的部分按0.5元/(千瓦·时)收费，超过200千瓦·时但不超过400千瓦·时的部分按0.8元/(千瓦·时)收费，超过400千瓦·时的部分按1.0元/(千瓦·时)收费．
2
(1) 求某户居民用电费用y(单位：元)关于月用电量x(单位：千瓦·时)的函数解析式；
【解答】
　　　　当0≤x≤200时，y＝0.5x；当200＜x≤400时，y＝0.5×200＋0.8(x－200)＝0.8x－60；当x＞400时，y＝0.5×200＋0.8×200＋1.0(x－400)＝x－140．所以y与x之间的函数解析式为y＝
【解答】
　　　　由(1)可知，当y＝260时，x＝400，即用电量低于400千瓦·时的占80%，结合频率分布直方图可知解得a＝0.001 5，b＝0.002 0．
(2) 为了了解居民的用电情况，通过抽样获得了今年1月份100户居民每户的用电量，统计分析后得到如图所示的频率分布直方图．若这100户居民中，今年1月份用电费用低于260元的占80%，求a，b的值；
【解答】
　　　　设第75百分位数为m．因为用电量低于300千瓦·时的所占比例为(0.001＋0.002＋0.003)×100＝60%，用电量低于400千瓦·时的占80%，所以第75百分位数m在[300，400)内．令0.6＋(m－300)×0.002＝0.75，解得m＝375，即用电量的第75百分位数为375千瓦·时．
(3) 根据(2)中求得的数据计算用电量的第75百分位数．
由频率分布直方图求百分位数的方法
(1) 要注意频率分布直方图中小矩形的面积，就是数据落在该组的频率．
(2) 一般采用方程的思想，设出第p百分位数，根据其意义列出方程并求解即可．
变式　某市为了了解人们对“中国梦”的伟大构想的认知程度，对不同年龄和不同职业的人举办了一次“一带一路”知识竞赛，满分100分(90分及以上为认知程度高)，现从参赛者中抽取了x人，按年龄分成5组，第一组：[20，25)，第二组：[25，30)，第三组：[30，35)，第四组：[35，40)，第五组：
【解答】
　　　　第一组频率为0.01×5＝0.05，所以x＝＝100．
[40，45]，得到如图所示的频率分布直方图，已知第一组有5人．
(1) 求x；
变式　某市为了了解人们对“中国梦”的伟大构想的认知程度，对不同年龄和不同职业的人举办了一次“一带一路”知识竞赛，满分100分(90分及以上为认知程度高)，现从参赛者中抽取了x人，按年龄分成5组，第一组：[20，25)，第二组：[25，30)，第三组：[30，35)，第四组：[35，40)，第五组：
【解答】
　　　　由图可知年龄低于30岁的所占比例为40%，年龄低于35岁的所占比例为70%，所以抽取的x人的年龄的第50百分位数在[30，35)内，由30＋5×＝≈32，所以抽取的x人的年龄的第50百分位数为32．
[40，45]，得到如图所示的频率分布直方图，已知第一组有5人．
(2) 求抽取的x人的年龄的第50百分位数(结果保留整数)；
变式　某市为了了解人们对“中国梦”的伟大构想的认知程度，对不同年龄和不同职业的人举办了一次“一带一路”知识竞赛，满分100分(90分及以上为认知程度高)，现从参赛者中抽取了x人，按年龄分成5组，第一组：[20，25)，第二组：[25，30)，第三组：[30，35)，第四组：[35，40)，第五组：
【解答】
　　　　把参赛的10人的成绩按从小到大的顺序排列为88，90，92，92，95，96，96，97，98，99，计算10×20%＝2，所以这10人成绩的第20百分位数为＝91．这10人成绩的平均数为×(88＋90＋92＋92＋95＋96＋96＋97＋98＋99)＝94.3．
评价：从第20百分位数和平均数来看，参赛人员的认知程度很高．
感想：人们对于“中国梦”的伟大构想的认知程度很高．(答案不唯一，符合社会主义核心价值观即可)
(3) 以下是参赛的10人的成绩：90，96，97，95，92，92，98，88，96，99，求这10人成绩的第20百分位数和平均数，以这两个数据为依据，评价参赛人员对“一带一路”的认知程度，并谈谈你的感想．
随堂内化·及时评价
1．北京市2025年5月份某一周的日最高气温(单位：℃)分别为25，28，30，29，31，32，28，则这周的日最高气温的第75百分位数为 (　　)
A．28 ℃　 B．29 ℃
C．31 ℃　 D．32 ℃
【解析】
　　　　将数据由小到大排列为25，28，28，29，30，31，32．因为7×75%＝5.25，所以这周的日最高气温的第75百分位数为第6个数据31 ℃．
C
2．某班学生体检中检查视力的结果如下表，从表中可以看出，全班视力数据的30%分位数是 (　　)


A．0.9　 B．1.0　
C．0.7　 D．0.5以下
【解析】
　　　　从表中看出，视力为0.9及以下的人数占的百分比为2%＋5%＋3%＋20%＝30%，所以全班视力数据的30%分位数为0.9．
视力 0.5以下 0.7 0.8 0.9 1.0 1.0以上
占全班人数的百分比 2% 5% 3% 20% 65% 4%
A
3．对某自行车赛手在相同条件下进行了12次测试，测得最大速度(单位：m/s)的数据为27，38，30，36，35，31，33，29，38，34，28，36，则他的最大速度的第一四分位数是　 (　　)
A．29　 B．29.5
C．30　 D．36
【解析】
　　　　数据从小到大排列为27，28，29，30，31，33，34，35，36，36，38，38，12×25%＝3，故最大速度的第一四分位数是＝29.5．
B
4．某棉纺厂为了解一批棉花的质量，从中随机抽取了100根棉花纤维的长度(棉花纤维的长度是棉花质量的重要指标)，所得数据都在区间[5，40]中，其频率分布直方图如图所示，估计棉花纤维的长度的样本数据的第80百分位数是 (　　)
A．29 mm　 B．29.5 mm
C．30 mm　 D．30.5 mm
【解析】
　　　　棉花纤维的长度在30 mm以下的比例为(0.01＋0.01＋0.04＋0.06＋0.05)×5＝0.85＝85%，在25 mm以下的比例为85%－25%＝60%，因此，第80百分位数位于[25，30)内．由25＋5×＝29，可以估计棉花纤维的长度的样本数据的第80百分位数是29 mm．
【答案】A
5．如图所示是一个样本容量为100的频率分布直方图，由图形中的数据可知其25%分位数为_______．
【解析】
　　　　由图可知第一组的频率为0.04×5＝0.2＜0.25，前两组的频率之和为0.04×5＋0.1×5＝0.7＞0.25，则可知其25%分位数在[10，15)内，设为x，则0.1×(x－10)＝0.25－0.2，解得x＝10.5．
10.5第3课时　总体百分位数的估计
一、 单项选择题
1．某读书会有6名成员，寒假期间他们每个人阅读的书本数分别如下：3，2，5，4，3，1，则这组数据的75%分位数为(　　)
A．3 B．4
C．3.5 D．4.5
2．已知一组数据为2.1，3.0，3.2，3.8，3.4，4.0，4.2，4.4，5.3，5.6，这组数据的下四分位数是(　　)
A．3.2 B．3.0
C．4.4 D．2.5
3．已知一组数据：125，121，123，125，127，129，125，128，130，129，126，124，125，127，126，则这组数据的第25百分位数和第80百分位数分别是(　　)
A．125，128 B．124，128
C．125，129 D．125，128.5
4．为更好地满足民众个性化、多元化、便利化的消费需求，丰富购物体验和休闲业态，某市积极打造夜间经济.为不断创优夜间经济发展环境、推动消费升级，有关部门对某热门夜市开展“服务满意度调查”，随机选取了100名顾客进行问卷调查，对夜市服务进行评分(满分100分)，根据评分情况绘制了如图所示的频率分布直方图，估计这组数据的第55百分位数为(　　)
(第4题)
A．65 B．72
C．72.5 D．75
二、 多项选择题
5．下列说法正确的是(　　)
A．数据4，5，6，7，8，8的第40百分位数是6
B．数据4，5，6，7，8，8的第一四分位数是5
C．数据1，2，3，4，5，6的50%分位数为5
D．数据1，2，3，4，5，6的60%分位数为4
6．为了了解中学生课外阅读情况，现从某中学随机抽取200名学生，收集了他们一年内的课外阅读量(单位：本)等数据，以下是根据数据绘制的统计图表的一部分.
　　　　阅读量 人数 学生类别 ［0，10) ［10，20) ［20，30) ［30，40) ［40，＋∞)
性别 男 7 31 25 30 4
女 8 29 26 32 8
学段 初中 25 36 44 11
高中
(第6题)
下列四个推断中合理的是(　　)
A．这200名学生阅读量的平均数可能是26本
B．这200名学生阅读量的75%分位数在区间［30，40)内
C．这200名学生中的初中生阅读量的中位数一定在区间［20，30)内
D．这200名学生中的初中生阅读量的25%分位数可能在区间［20，30)内
三、 填空题
7．为了了解甲工厂生产的轮胎的宽度是否达标，随机选取了10个轮胎，将每个轮胎的宽度(单位：mm)记录下来并绘制出如图所示的折线图，则甲工厂轮胎宽度的第10百分位数为________．
(第7题)
8．某商场为改进服务质量，提升顾客购物体验，从2024年第三季度消费过的顾客中随机抽取部分人进行满意度问卷调查，并将这部分人满意度的得分分成以下6组：［40，50)，［50，60)，…，［90，100］，统计结果如图所示，则该商场顾客满意度得分的第60百分位数为________．
(第8题)
四、 解答题
9．某市将每户居民的月用电量划分为三档，月用电量不超过200千瓦时的部分按0.5元/千瓦时收费，超过200千瓦时但不超过400千瓦时的部分按0.8元/千瓦时收费，超过400千瓦时的部分按1.0元/千瓦时收费.
(1) 求某户居民用电费用y(单位：元)关于月用电量x(单位：千瓦时)的函数解析式；
(2) 为了了解居民的用电情况，通过抽样获得了今年1月份100户居民每户的用电量，统计分析后得到如图所示的频率分布直方图，若这100户居民中，今年1月份电费不超过260元的占80%，求a，b的值；
(3) 根据(2)中求得的数据计算用电量的15%分位数.
(第9题)
10．某市为了了解该市的“全民健身运动”的开展情况，从全体市民中随机调查了100位市民每天的健身运动时间(健身运动时间是考查“全民健身运动”情况的重要指标)，所得数据都在区间［5，40］(单位：分钟)中，其频率分布直方图如图所示，估计市民健身运动时间的样本数据的第70百分位数是(　　)
(第10题)
A．29分钟 B．27分钟
C．29.5分钟 D．30.5分钟
11．已知按从小到大顺序排列的数据3.2，3.4，3.8，4.2，4.3，4.5，x，6.6的第65百分位数是4.5，则实数x的取值范围是(　　)
A．［4.5，＋∞) B．［4.5，6.6］
C．(4.5，＋∞) D．(4.5，6.6］
12．(多选)已知100个数据的75%分位数是9.3，则下列说法不正确的是(　　)
A．这100个数据中一定是75个数小于或等于9.3
B．把这100个数据从小到大排列后，9.3是第75个数据
C．把这100个数据从小到大排列后，9.3是第75个数据和第76个数据的平均数
D．把这100个数据从小到大排列后，9.3是第75个数据和第74个数据的平均数
13．某校从高一年级中随机抽取部分学生，将他们的期末数学测试成绩分成6组：［40，50)，［50，60)，［60，70)，［70，80)，［80，90)，［90，100］加以统计，得到如图所示的频率分布直方图.据此统计，期末数学测试成绩不少于60%分位数的分数至少为________分．
(第13题)
第3课时　总体百分位数的估计
基础打底·熟练掌握
1．B　2．A　3．D
4．D　【解析】 由题中频率分布直方图知区间［70，80］，［80，90］，［90，100］三个区间的频率为(0.030＋0.025＋0.005)×10＝0.6，所以第55百分位数所在区间为［70，80］，且设为x，则＝，解得x＝75.
5．ABD　【解析】 对于A，因为有6个数，6×40%＝2.4，所以第40百分位数是第三个数6，故A正确；对于B，因为第一四分位数就是第25百分位数，6×25%＝1.5，所以第一四分位数是第二个数5，故B正确；对于C，由6×50%＝3，可得50%分位数是第三个数3和第四个数4的平均数3.5，故C错误；对于D，由6×60%＝3.6，可得60%分位数是第四个数4，故D正确.
6．BCD　【解析】 A中，由学生类别阅读量中男生和女生人均阅读量知，这200名学生的平均阅读量在区间(24.5，25.5)内，故A错误.B中，200×75%＝150，阅读量在［0，30)的学生有7＋8＋31＋29＋25＋26＝126(人)，在［30，40)的学生有62人，所以这200名学生阅读量的75%分位数在区间［30，40)内，故B正确.C中，设在区间［0，10)内的初中生人数为x，则x∈［0，15］，x∈N*，当x＝0时，初中生总人数为116，＝58，此时区间［0，20)内有25人，区间［20，30)内有36人，所以中位数在［20，30)内；当x＝15时，初中生总人数为131，＝65.5，区间［0，20)内有15＋25＝40(人)，区间［20，30)内有36人，所以中位数在［20，30)内.当区间［0，10)内人数取最小和最大时，中位数都在［20，30)内，所以这200名学生中的初中生阅读量的中位数一定在区间［20，30)内，故C正确.D中，设在区间［0，10)内的初中生人数为x，则x∈［0，15］，x∈N*，当x＝0时，初中生总人数为116，116×25%＝29，此时区间［0，20)内有25人，区间［20，30)内有36人，所以25%分位数在［20，30)内；当x＝15时，初中生总人数为131，131×25%＝32.75，区间［0，20)内有15＋25＝40(人)，所以25%分位数在［0，20)内.所以这200名学生中的初中生阅读量的25%分位数可能在区间［20，30)内，故D正确.
7．193　
8．75　【解析】 由图可知，第1个小矩形面积为0.1，第2个小矩形面积为0.15，第3个小矩形面积为0.2，第4个小矩形面积为0.3，则第60百分位数位于［70，80)内.设第60百分位数为x，则有0.1＋0.15＋0.2＋(x－70)×0.030＝0.6，解得x＝75，所以该商场顾客满意度得分的第60百分位数为75.
9．【解答】 (1) 当0≤x≤200时，y＝0.5x；当200400时，y＝0.5×200＋0.8×200＋1.0×(x－400)＝x－140.
所以y＝
(2) 由(1)可知，当y＝260时，x＝400，即用电量不超过400千瓦时的占80%，结合频率分布直方图可知解得
(3) 设15%分位数为x.因为用电量低于100千瓦时的所占比例为0.001×100＝10%，用电量不超过200千瓦时的占30%，所以x∈［100，200)，所以0.1＋(x－100)×0.002＝0.15，解得x＝125，即用电量的15%分位数为125千瓦时.
能力进阶·融会贯通
10．B　【解析】 健身运动时间在30分钟以下的比例为(0.01＋0.01＋0.04＋0.06＋0.05)×5＝0.85＝85%，在25分钟以下的比例为85%－0.05×5＝60%，因此第70百分位数一定位于［25，30)内，由25＋5×＝27，可以估计健身运动时间的样本数据的第70百分位数是27分钟.
11．B　【解析】 因为8×65%＝5.2，所以这组数据的第65百分位数是第6个数据4.5，则x≥4.5，又x≤6.6，所以x∈［4.5，6.6］.
12．ABD　【解析】 因为100×75%＝75为整数，所以第75个数据和第76个数据的平均数为75%分位数是9.3，故C正确，B，D错误；对于A，这100个数据中不一定是75个数小于或等于9.3，可能这100个数据都是9.3，故A错误.
13．74　【解析】 因为(0.005＋0.015＋0.03)×10＝0.5<0.6，0.5＋0.025×10＝0.75>0.6，所以60%分位数应位于［70，80)内.由70＋10×＝74，得期末数学测试成绩不少于60%分位数的分数至少为74分.第3课时　总体百分位数的估计
学习 目标 1．结合实例，能用样本估计百分位数，理解百分位数的统计含义． 2．掌握求一组数据的百分位数的基本步骤和方法，体会数学知识与现实世界的联系．
新知初探基础落实
问题1：前面我们用频率分布表、频率分布直方图描述了居民用户月均用水量的样本数据，通过对图表的观察与分析，得出了一些样本数据的频率分布规律，并由此推测了该市全体居民用户月均用水量的分布情况，得出了“大部分居民用户的月均用水量集中在一个较低值区域”等推断．接下来的问题是，如何利用这些信息，为政府决策服务呢？下面我们对此进行讨论．
一、 概念生成
问题2：针对课本P193的“问题1”，如果该市政府希望使80%的居民用户生活用水费用支出不受影响，根据100户居民用户的月均用水量数据，你能给市政府提出确定居民用户月均用水量标准的建议吗？
首先要明确一下问题：根据市政府的要求确定居民用户月均用水量标准，就是要寻找一个数a，使全市居民用户月均用水量中不超过a的占80%，大于a的占20%．下面我们通过样本数据对a的值进行估计．
把100个样本数据按从小到大排序，得到第80个和第81个数据分别为13.6和13.8．可以发现，区间[13.6，13.8)内的任意一个数，都能把样本数据分成符合要求的两部分．
一般地，我们取这两个数的平均数＝13.7，并称此数为这组数据的第80百分位数或80%分位数．
根据样本数据的第80百分位数，我们可以估计总体数据的第80百分位数为13.7左右．由于样本的取值规律与总体的取值规律之间会存在偏差，而在决策问题中，只要临界值近似为第80百分位数即可，因此为了实际中操作的方便，可以建议市政府把月均用水量标准定为14 t，或者把年用水量标准定为168 t．
请同学阅读课本P202—P204，完成下列填空．
二、 概念表述
1．百分位数：一组数据的第p百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有p%的数据__小于或等于__这个值，且至少有__(100－p)%__的数据大于或等于这个值．
2．计算一组n个数据第p百分位数的步骤：
第1步，按__从小到大__排列原始数据．
第2步，计算i＝n×p%．
第3步，若i不是整数，而大于i的比邻整数为j，则第p百分位数为__第j项数据__；若i是整数，则第p百分位数为__第i项与第(i＋1)项数据__的平均数．
3．四分位数：即把一组由小到大排列后的数据分成四等份，处于三个分割点位置的数值就是四分位数．其中第25百分位数也称为__第一四分位数__或__下四分位数__等，第75百分位数也称为__第三四分位数__或__上四分位数__等．
三、 概念辨析(判断正误：正确的画“√”，错误的画“×”)
(1) 第25百分位数表示一组数据中至少有25%的数据小于或等于这个数值．(　√　)
(2) 第25百分位数表示一组数据中至少有25%的数据大于或等于这个数值．(　×　)
(3) 数据2，5，7，9，11，8，7，8，10中的第80百分位数是10．(　√　)
(4) 一组数据1，2，2，3，4，4，5，6，6，7的第30百分位数是3．(　×　)
典例精讲能力初成
探究1　具体数据中计算百分位数
例1　(课本P203例2)根据课本P182“问题3”中女生的样本数据，估计树人中学高一年级女生的第25，50，75百分位数．
【解答】把27名女生的样本数据按从小到大排序，可得
148.0 149.0 154.0 154.0 155.0 155.0 155.5 157.0 157.0
158.0 158.0 159.0 161.0 161.0 162.0 162.5 162.5 163.0
163.0 164.0 164.0 164.0 165.0 170.0 171.0 172.0 172.0
由25%×27＝6.75，50%×27＝13.5，75%×27＝20.25，可知样本数据的第25，50，75百分位数为第7，14，21项数据，分别为155.5，161，164．据此可以估计树人中学高一年级女生的第25，50，75百分位数分别约为155.5，161和164．
变式　有一样本的数据为3310，3355，3450，3480，3490，3520，3540，3550，3650，3730，3925，求这组数据的第50百分位数和第75百分位数．
【解答】因为i＝50%×11＝5.5，所以第50百分位数是第6个数据3 520．因为i＝75%×11＝＝8.25，所以第75百分位数是第9个数据3 650．所以第50百分位数和第75百分位数分别为3 520，3 650．
探究2　统计表或统计图中计算百分位数
例2　(课本P204例3补充)某市为了鼓励居民节约用电，实行“阶梯式”电价，将该市每户居民的月用电量划分为三档，月用电量不超过200千瓦·时的部分按0.5元/(千瓦·时)收费，超过200千瓦·时但不超过400千瓦·时的部分按0.8元/(千瓦·时)收费，超过400千瓦·时的部分按1.0元/(千瓦·时)收费．
(1) 求某户居民用电费用y(单位：元)关于月用电量x(单位：千瓦·时)的函数解析式；
【解答】当0≤x≤200时，y＝0.5x；当200＜x≤400时，y＝0.5×200＋0.8(x－200)＝0.8x－60；当x＞400时，y＝0.5×200＋0.8×200＋1.0(x－400)＝x－140．所以y与x之间的函数解析式为y＝
(2) 为了了解居民的用电情况，通过抽样获得了今年1月份100户居民每户的用电量，统计分析后得到如图所示的频率分布直方图．若这100户居民中，今年1月份用电费用低于260元的占80%，求a，b的值；
【解答】由(1)可知，当y＝260时，x＝400，即用电量低于400千瓦·时的占80%，结合频率分布直方图可知解得a＝0.001 5，b＝0.002 0．
(3) 根据(2)中求得的数据计算用电量的第75百分位数．
【解答】设第75百分位数为m．因为用电量低于300千瓦·时的所占比例为(0.001＋0.002＋0.003)×100＝60%，用电量低于400千瓦·时的占80%，所以第75百分位数m在[300，400)内．令0.6＋(m－300)×0.002＝0.75，解得m＝375，即用电量的第75百分位数为375千瓦·时．
由频率分布直方图求百分位数的方法
(1) 要注意频率分布直方图中小矩形的面积，就是数据落在该组的频率．
(2) 一般采用方程的思想，设出第p百分位数，根据其意义列出方程并求解即可．
变式　某市为了了解人们对“中国梦”的伟大构想的认知程度，对不同年龄和不同职业的人举办了一次“一带一路”知识竞赛，满分100分(90分及以上为认知程度高)，现从参赛者中抽取了x人，按年龄分成5组，第一组：[20，25)，第二组：[25，30)，第三组：[30，35)，第四组：[35，40)，第五组：[40，45]，得到如图所示的频率分布直方图，已知第一组有5人．
(1) 求x；
【解答】第一组频率为0.01×5＝0.05，所以x＝＝100．
(2) 求抽取的x人的年龄的第50百分位数(结果保留整数)；
【解答】由图可知年龄低于30岁的所占比例为40%，年龄低于35岁的所占比例为70%，所以抽取的x人的年龄的第50百分位数在[30，35)内，由30＋5×＝≈32，所以抽取的x人的年龄的第50百分位数为32．
(3) 以下是参赛的10人的成绩：90，96，97，95，92，92，98，88，96，99，求这10人成绩的第20百分位数和平均数，以这两个数据为依据，评价参赛人员对“一带一路”的认知程度，并谈谈你的感想．
【解答】把参赛的10人的成绩按从小到大的顺序排列为88，90，92，92，95，96，96，97，98，99，计算10×20%＝2，所以这10人成绩的第20百分位数为＝91．这10人成绩的平均数为×(88＋90＋92＋92＋95＋96＋96＋97＋98＋99)＝94.3．
评价：从第20百分位数和平均数来看，参赛人员的认知程度很高．
感想：人们对于“中国梦”的伟大构想的认知程度很高．(答案不唯一，符合社会主义核心价值观即可)
随堂内化及时评价
1．北京市2025年5月份某一周的日最高气温(单位：℃)分别为25，28，30，29，31，32，28，则这周的日最高气温的第75百分位数为(　C　)
A．28 ℃　 B．29 ℃
C．31 ℃　 D．32 ℃
【解析】将数据由小到大排列为25，28，28，29，30，31，32．因为7×75%＝5.25，所以这周的日最高气温的第75百分位数为第6个数据31 ℃．
2．某班学生体检中检查视力的结果如下表，从表中可以看出，全班视力数据的30%分位数是(　A　)
视力 0.5以下 0.7 0.8 0.9 1.0 1.0以上
占全班人数的百分比 2% 5% 3% 20% 65% 4%
A．0.9　 B．1.0　
C．0.7　 D．0.5以下
【解析】从表中看出，视力为0.9及以下的人数占的百分比为2%＋5%＋3%＋20%＝30%，所以全班视力数据的30%分位数为0.9．
3．对某自行车赛手在相同条件下进行了12次测试，测得最大速度(单位：m/s)的数据为27，38，30，36，35，31，33，29，38，34，28，36，则他的最大速度的第一四分位数是　(　B　)
A．29　 B．29.5
C．30　 D．36
【解析】数据从小到大排列为27，28，29，30，31，33，34，35，36，36，38，38，12×25%＝3，故最大速度的第一四分位数是＝29.5．
4．某棉纺厂为了解一批棉花的质量，从中随机抽取了100根棉花纤维的长度(棉花纤维的长度是棉花质量的重要指标)，所得数据都在区间[5，40]中，其频率分布直方图如图所示，估计棉花纤维的长度的样本数据的第80百分位数是(　A　)
A．29 mm　 B．29.5 mm
C．30 mm　 D．30.5 mm
【解析】棉花纤维的长度在30 mm以下的比例为(0.01＋0.01＋0.04＋0.06＋0.05)×5＝0.85＝85%，在25 mm以下的比例为85%－25%＝60%，因此，第80百分位数位于[25，30)内．由25＋5×＝29，可以估计棉花纤维的长度的样本数据的第80百分位数是29 mm．
5．如图所示是一个样本容量为100的频率分布直方图，由图形中的数据可知其25%分位数为__10.5__．
【解析】由图可知第一组的频率为0.04×5＝0.2＜0.25，前两组的频率之和为0.04×5＋0.1×5＝0.7＞0.25，则可知其25%分位数在[10，15)内，设为x，则0.1×(x－10)＝0.25－0.2，解得x＝10.5．

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