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第十二章 复数
12.3 复数的几何意义
1.理解复数的几何意义；
2.理解实轴、虚轴、复数模的概念，掌握用向量的模表示复数模的方法；
3.理解复数的加法、复数的减法的几何意义.
实数
(数)
思考2：类比实数的数轴表示，可以用什么来表示复数？
思考1：在几何上，我们用什么来表示实数
一一对应
实数用数轴上的点来表示
数轴上的点
(形)
复数的几何意义：根据复数相等的定义，任何一个复数 z = a + bi 都可以由一个有序实数对 (a，b) 唯一确定.
复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一一对应关系，因此可以用点表示复数.
复数 z = a + bi （数）
有序实数对 (a，b)
直角坐标系中的点 Z (a，b) （形）
一一对应
一一对应
一一对应
建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴.
实轴上的点都表示实数，虚轴上除原点外的点都表示纯虚数，原点 (0，0) 表示实数 0.
复平面内的纵坐标轴上的单位长度是 1，而不是 i.
复数 z = a + bi 可用点 Z (a，b) 表示，点 Z 的横坐标是 a，纵坐标是 b.
Z (a，b)
a
b
Z：a + bi
虚轴
实轴
问题1：由复平面的引入过程我们知道，每一个复数在复平面有唯一确定的点与它对应，反过来，复平面内的每一个点，是否有唯一确定的复数与之对应呢？
Z (a，b)
a
b
Z：a + bi
0
点 (0 ，0)
对应
2
点 (2 ，0)
对应
-i
点 (0 ，-1)
对应
-2 + 3i
点 (-2 ，3)
对应
复数 z = a + bi 复平面内的点 Z (a，b)
一一对应
解：点 A (0，1) → zA = 0 + i → zA = i；
例1：指出图中复平面内各点所表示的复数 (每个小正方格的边长为1) .
D
A
C
B
点 B (3，2) → zB = 3 + 2i；
点 C (-2，0) → zC = -2；
点 D (1，-2) → zD = 1 - 2i.
问题 2：平面向量可以用有序数对来表示，借助有序数对能建立复数与平面向量的联系吗？
a
b
Z：a + bi
复数 z = a + bi 平面向量
一一对应
连接 OZ，向量 由点 Z 唯一确定；
反过来，点 Z 也可以由向量 唯一确定.
规定：相等向量表示同一个复数.
为方便起见，常把复数 z = a + bi 说成点 Z 或向量
a
b
Z：a + bi
向量 的模叫做复数 z = a + bi 的 模 或 绝对值，记作 |z| 或 |a + bi|.
即
，其中 a，b∈R.
如果 b = 0，那么 z = a + bi 是一个实数 a，它的模就等于 |a| (a 的绝对值) .
例2：设复数 z1 = 4 + 3i，z2 = 4 - 3i.
（1）在复平面内画出复数 z1，z2 对应的点和向量；
（2）求复数 z1，z2 的模，并比较它们的模的大小.
解：（1）复数 z1，z2 对应的点分别为 Z1，Z2，
对应向量分别为
x
y
O
1
-3
2
3
4
1
-2
2
3
-1
（2）
例3：设 z∈C，在复平面内 z 对应的点为 Z ，那么满足下列条件的点 Z 的集合是什么图形.
(1) |z| = 1 ； (2) 1 < |z| < 2.
解：（1）由 |z| = 1得，向量 的模等于 1，
所以满足条件 |z| = 1 的点 Z 的集合是以原点 O 为圆心，以 1 为半径的圆.
(2）不等式 1 < |z| < 2 可化为不等式
不等式 |z| < 2 的解集是圆 |z| = 2 的内部所有点组成的集合，不等式 1 < |z| 的解集是圆 |z| = 1 的外部所有点组成的集合，两个集合的交集就是不等式组的解集.
即以原点为圆心，1为半径和2为半径的两个圆所夹的圆环，不包括圆环的边界.
例3：设 z∈C，在复平面内 z 对应的点为 Z ，那么满足下列条件的点 Z 的集合是什么图形.
(2) 1 < |z| < 2.
问题3：复数与复平面内以原点为起点的向量一一对应. 由向量加法的几何意义出发如何得出复数加法的几何意义？
复数的加法可以按照向量的加法来进行.
（复数加法的几何意义）
设 分别与复数 a + bi，c + di 对应，
则
Z
Z1 (a，b)
Z2 (c，d)
问题 4：类比复数加法的几何意义，说出复数减法的几何意义？
x
O
y
Z1 (a，b)
Z2 (c，d)
复数 z2 - z1
思考：|z1-z2| 表示什么
两个复数差的模就是复平面内与这两个复数对应的两点间的距离.
复数的减法可以按照向量的减法来进行.
（复数减法的几何意义）
向量
知识框图：
实轴 (x 轴)
一一对应
一一对应
一一对应
复数平面内的
点 Z (a，b)
复数 z = a + bi
平面向量
复数的模及其几何意义
虚轴 (y 轴)
复数加、减法几何意义

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