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第十二章 复数
12.4.1 复数的三角形式
1.了解复数的三角形式及相关概念；
2.会进行复数三角形式与代数形式的互化.
回顾：复数的几何意义是什么？
a
b
Z:a + bi
复数 z = a + bi
一一对应
一一对应
一一对应
复平面内的点 Z (a，b)
平面向量
问题1：向量可以由它的大小和方向唯一确定，能否借助向量的大小和方向这两个要素来表示复数呢？如何表示？
a
b
Z：a + bi
r
方向：
以 x 轴的非负半轴为始边，以向量 所在射线 OZ 为终边的角 θ 来刻画 的方向.
大小：向量的大小可以用模来刻画
θ
，其中
所以
则
如图，角 θ 称为复数 z = a + bi 的辐角，
思考：当点在实轴或虚轴上时，这个结论成立吗？
复数 z = a + bi
代数形式
复数 z = r (cos θ + isin θ)
辐角
复数的模
三角形式
a
b
Z：a + bi
r
θ
复数的三角形式
练一练：观察复数 是三角形式吗？说明理由.
复数的三角形式条件 z = r (cosθ + isinθ)：
① r ≥ 0；② θ 前后一致；③ cos θ 在前，sin θ 在后；④ cos θ 与 isin θ之间用“+”连接.
复数 ，不符合条件 ①，所以不是复数的三角形式.
问题2：一个复数的辐角的值可以有多少个？
规定：0 ≤ θ < 2π 的辐角值为辐角的主值，记作 arg z，即 0 ≤ arg z < 2π.
① 每个非零复数有唯一的模与辐角的主值，并且可由它的模与辐角的主之唯一确定；
② 两个非零复数相等当且仅当它们的模与辐角的主值分别相等.
问题3：任一非零复数的辐角适合于 0 ≤ θ < 2π 的有几个？
任何一个不为零的复数的辐角有无限多个值，且这些值相差 2π 的整数倍；复数 0 的辐角也是任意的.
例1：画出下列复数对应的向量，并把这些复数表示成三角形式.
θ
于是
因为与 对应的点在第一象限，
所以
解：（1）复数 对应的向量如图所示，
则
（2）复数 1 - i 对应的向量如图所示，
于是
因为与 1 - i 对应的点在第四象限，
所以
则
θ
注意：把一个复数表示成三角形式时，辐角 θ 不一定取主值.
例1：画出下列复数对应的向量，并把这些复数表示成三角形式.
把复数 z = a + bi 的代数形式转化成三角形式的基本步骤：
（1）求复数的模 r：
（2）求复数的辐角的主值 θ：
（3）写出复数的三角形式：
例2：分别指出下列复数的模和一个辐角，画出它们对应向量的，并把这些复数表示成代数形式.
所以
解：（1）复数 的模 r = 1，一个辐角 θ = π，对应的向量如图所示.
所以
（2）复数 的模 r = 6，一个辐角
对应的向量如图所示.
问题 4：两个用代数形式表示的非零复数相等的条件是什么？两个用三角形式表示的非零复数在什么条件下相等呢？
两个复数相等
两个复数对应的向量相等
两个向量的长度相等且方向相同
两个复数的模相等且辐角主值相等
知识框图：
互化
复数的三角表达式
三角形式
代数形式
辐角的主值
表示形式

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