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第九章
9.2　用样本估计总体
统　计
第4课时　总体集中趋势的估计
学习 目标 1．结合实例，能用样本估计总体的集中趋势参数(众数、中位数、平均数)．
2．会求样本数据的众数、中位数、平均数，理解用样本的数字特征、直方图估计总体的集中趋势．
新知初探·基础落实
问题1：现从甲、乙、丙三个厂家生产的同一种家电产品中，各抽取8件产品，对其使用寿命进行跟踪调查，其结果如下(单位：年)：甲，3，4，5，6，8，8，8，10；乙，4，6，6，6，8，9，12，13；丙，3，3，4，7，9，10，11，12．
三家广告中都称其产品的使用寿命为8年，利用初中所学的知识，你能说明为什么吗？
三个厂家是从不同角度进行了说明，以宣传自己的产品．其中甲：众数为8年，乙：平均数为8年，丙：中位数为8年．
一、 概念生成
问题2：什么样的问题可以用平均数描述？什么样的问题可以用中位数描述？什么样的问题可以用众数描述？
一般地，对数值型数据(如用水量、身高、收入、产量等)集中趋势的描述，可以用平均数、中位数；而对分类型数据(如校服规格、性别、产品质量等级等)集中趋势的描述，可以用众数．
请同学阅读课本P205—P209，完成下列填空．
二、 概念表述
1．众数
一组数据中出现________最多的数．
2．中位数
把一组数据按从小到大(或从大到小)的顺序排列，处在________位置的数(或中间两个数的__________)叫做这组数据的中位数．
3．平均数
如果有n个数x1，x2，…，xn，那么＝(x1＋x2＋…＋xn)叫做这n个数的平均数．
次数
中间
平均数
4．总体集中趋势的估计
(1) 平均数和中位数都描述了数据的集中趋势，它们的大小关系和数据分布的形态有关；
(2) 一般来说，对一个单峰的频率分布直方图来说，如果直方图的形状是对称的(图(1))，那么平均数和中位数应该大体上差不多；如果直方图在右边“拖尾”(图(2))，那么平均数大于中位数；如果直方图在左边“拖尾”(图(3))，那么平均数小于中位数．也就是说，和中位数相比，平均数总是在“长尾巴”那边．
图(1)
图(2)
图(3)
三、 概念辨析(判断正误：正确的画“√”，错误的画“×”)
(1) 若改变一组数据中的一个数，则这些数据的平均数、中位数、众数一定会改变． (　　)
(2) 中位数一定是样本数据中的某个数． (　　)
(3) 在频率分布直方图中，众数是最高矩形中点的横坐标． (　　)
(4) 一个样本的众数、平均数和中位数都是唯一的． (　　)
×
×
√
×
典例精讲·能力初成
探究
1
众数、中位数、平均数的计算
　　　(课本P205例4)利用课本P193—P194中100户居民用户的月均用水量的调查数据，计算样本数据的平均数和中位数，并据此估计全市居民用户月均用水量的平均数和中位数．
1
【解答】
　　　　根据100户居民用户月均用水量的数据，由样本平均数的定义，可得＝＝8.79，即100户居民的月均用水量的平均数为8.79 t．将样本数据按从小到大排序，得第50个数和第51个数均为6.8，由中位数的定义，可得100户居民的月均用水量的中位数是6.8 t．因为数据是抽自全市居民用户的简单随机样本，所以我们可以据此估计全市居民用户的月均用水量约为8.79 t，其中位数约为6.8 t．
众数、中位数、平均数的计算方法
(1) 众数是出现次数最多的数；
(2) 计算中位数时，可先将这组数据按从小到大或从大到小的顺序排列，再根据相关数据的总数是奇数还是偶数而定；
(3) 平均数一般是根据公式来计算．
变式　已知一组数据1，2，a，b，5，8的平均数和中位数均为4，其中a，b∈N*，在去掉其中的一个最大数后，该组数据一定不变的是 (　　)
A．平均数　 B．众数 C．中位数　 D．极差
【解析】
　　　　由题意，＝4，可得a＋b＝8，又中位数为4，则时，众数为5，极差为7；当时，众数为4，极差为7．所以去掉其中的一个最大数后，数据为1，2，a，b，5，当时，平均数为，众数为5，中位数为3，极差为4；当时，平均数为，众数为4，中位数为4，极差为4．综上，数据变化前后一定不变的是众数．
B
探究
2
在频率分布直方图中求平均数、中位数、众数
　　　(课本P206例5)某学校要定制高一年级的校服，学生根据厂家提供的参考身高选择校服规格．据统计，高一年级女生需要不同规格校服的频数如下表所示．
2
校服规格 155 160 165 170 175 合计
频数 39 64 167 90 26 386
如果用一个量来代表该校高一年级女生所需校服的规格，那么在中位数、平均数和众数中，哪个量比较合适？试讨论用表中的数据估计全国高一年级女生校服规格的合理性．
【解答】
　　　　为了更直观地观察数据的特征，我们用条形图来表示表中的数据(如图)．可以发现，选择校服规格为“165”的女生的频数最高，所以用众数165作为该校高一年级女生校服的规格比较合适．由于全国各地的高一年级女生的身高存在一定的差异，所以用一个学校的数据估计全国高一年级女生的校服规格不合理．
(1) 众数：在频率分布直方图中，最高矩形的底边中点的横坐标．
(2) 中位数：在频率分布直方图中，把频率分布直方图划分为左、右两个面积相等的部分的分界线与x轴交点的横坐标．
(3) 平均数：在频率分布直方图中等于每个小矩形底边中点的横坐标与小矩形的面积的乘积之和．
变式　在一次数学测验中，全班N名学生的数学成绩的频率分布直方图如图所示，已知分数在[110，120)内的学生有14人．
(1) 求总人数N和分数在[120，125)内的人数n；
【解答】
　　　　因为分数在[110，120)内的学生的频率为(0.04＋0.03)×5＝0.35，所以该班总人数N＝＝40．分数在[120，125)内的学生的频率为1－(0.01＋0.04＋0.05＋0.04＋0.03＋0.01)×5＝0.10，所以分数在[120，125)内的人数n＝40×0.10＝4．
变式　在一次数学测验中，全班N名学生的数学成绩的频率分布直方图如图所示，已知分数在[110，120)内的学生有14人．
(2) 利用频率分布直方图，估算该班学生数学成绩的众数和中位数、平均数．
【解答】
　　　　由频率分布直方图可知众数是最高的小矩形底边中点的横坐标，即为＝107.5．设中位数为a，因为0.01×5＋0.04×5＋0.05×5＝0.50，所以a＝110．平均数为(97.5×0.01＋102.5×0.04＋107.5×0.05＋112.5×0.04＋117.5×0.03＋122.5×0.02＋127.5×0.01)×5＝111．所以众数、中位数、平均数分别是107.5，110，111．
探究
3
平均数、中位数、众数在具体数据中的应用
　　　(课本P206例5补充)据了解，某公司的33名职工月工资(单位：元)如下：
3
【解答】
　　　　＝×(11 000＋10 000＋9 000×2＋8 000＋6 500×5＋5 500×3＋4 000 ×20)＝176 000÷33≈5 333(元)，故该公司职工月工资平均数是5 333元．由表格知中位数是4 000元，众数是4 000元．
职务 董事长 副董事长 董事 总经理 经理 管理员 职员
人数 1 1 2 1 5 3 20
工资 11 000 10 000 9 000 8 000 6 500 5 500 4 000
(1) 求该公司职工月工资的平均数、中位数、众数；
　　　(课本P206例5补充)据了解，某公司的33名职工月工资(单位：元)如下：
3
【解答】
　　　　'＝[176 000＋(20 000－10 000)＋(30 000－11 000)]÷33≈6 212(元)，故新的平均数是6 212元．由表格知中位数是4 000元，众数是4 000元．
职务 董事长 副董事长 董事 总经理 经理 管理员 职员
人数 1 1 2 1 5 3 20
工资 11 000 10 000 9 000 8 000 6 500 5 500 4 000
(2) 假设副董事长的工资从10 000元提升到20 000元，董事长的工资从11 000元提升到30 000元，那么新的平均数、中位数、众数又是多少？(精确到元)
　　　(课本P206例5补充)据了解，某公司的33名职工月工资(单位：元)如下：
3
【解答】
　　　　在这个问题中，中位数和众数均能反映该公司员工的工资水平，因为公司中少数人的工资额与大多数人的工资额差别较大，这样导致平均数与中位数偏差较大，所以平均数不能反映这个公司员工的工资水平．
职务 董事长 副董事长 董事 总经理 经理 管理员 职员
人数 1 1 2 1 5 3 20
工资 11 000 10 000 9 000 8 000 6 500 5 500 4 000
(3) 你认为哪个统计量更能反映这个公司员工的工资水平？结合此问题谈一谈你的看法．
众数、中位数和平均数的比较
名称 优点 缺点
平均数 与中位数相比，平均数反映出样本数据中更多的信息，对样本中的极端值更加敏感 任何一个数据的改变都会引起平均数的改变．数据越“离群”，对平均数的影响越大
中位数 不受少数几个极端数据(即排序靠前或靠后的数据)的影响 对极端值不敏感
众数 体现了样本数据的最大集中点 众数只能传递数据中的信息的很少一部分，对极端值不敏感
随堂内化·及时评价
1．已知一组数据为20，30，40，50，50，60，70，80，其平均数、中位数和众数的大小关系是 (　　)
A．平均数＞中位数＞众数 B．平均数＜中位数＜众数
C．中位数＜众数＜平均数 D．众数＝中位数＝平均数
D
2．某书店新进了一批书籍，下表是某月中连续6天的销售情况记录：
日期 6 7 8 9 10 11
当日销售量/本 30 40 28 44 38 42
根据上表估计该书店该月(按31天计算)的销售总量是 (　　)
A．1 147本　 B．1 110本
C．1 340本　 D．1 278本
A
3．某工厂对一批新产品的长度(单位：mm)进行检测，如图是检测结果的频率分布直方图，据此估计这批产品的中位数为 (　　)
A．20　 B．25
C．22.5　 D．22.75
【解析】
　　　　由图知，自左至右各小矩形的面积依次为0.1，0.2，0.4，0.15，0.15，设中位数是x，由0.1＋0.2＋0.08×(x－20)＝0.5，解得x＝22.5．
C
4．为了调查某厂工人生产某种产品的能力，随机抽查了20位工人某天生产该产品的数量得到如图所示的频率分布直方图．
(1) 这20名工人中一天生产该产品数量在[55，75)的人数是______；
【解析】
　　　　(1) 在[55，75)的人数为(0.040×10＋0.025×10)×20＝13．
(2) 设中位数为x，则0.2＋(x－55)×0.04＝0.5，解得x＝62.5．
(3) ＝0.2×50＋0.4×60＋0.25×70＋0.1×80＋0.05×90＝64．
(2) 这20名工人中一天生产该产品数量的中位数为_______；
(3) 这20名工人中一天生产该产品数量的平均数为______．
13
62.5
64第4课时　总体集中趋势的估计
一、 单项选择题
1．样本数据12，13，10，9，14，12，19，10，19，18的中位数为(　　)
A．12 B．12.5
C．13 D．13.5
2．如图所示是高二(2)班一次物理考试成绩的频率分布直方图，由此可以估计出这个班这次物理成绩的中位数是(　　)
(第2题)
A．58 B．60
C．62 D．50
3．(新高考Ⅱ卷)某农业研究部门在面积相等的100块稻田上种植一种新型水稻，得到各块稻田的亩产量(单位：kg)并整理如下表：
亩产量 ［900， 950) ［950， 1 000) ［1 000， 1 050) ［1 050， 1 100) ［1 100， 1 150) ［1 150， 1 200)
频数 6 12 18 30 24 10
根据表中数据，下列结论正确的是(　　)
A．100块稻田亩产量的中位数小于1 050 kg
B．100块稻田中亩产量低于1 100 kg的稻田所占比例超过80%
C．100块稻田亩产量的极差介于200 kg至300 kg之间
D．100块稻田亩产量的平均值介于900 kg至1 000 kg之间
4．如图所示是某班一次考试成绩的统计图，根据该图可估计这次考试的平均分为(　　)
(第4题)
A．46 B．36
C．56 D．60
二、 多项选择题
5．在某市初三年级举行的一次体育统考考试中，共有500人参加考试.为了解考生的成绩情况，抽取了样本容量为n的部分考生成绩，已知所有考生成绩均在［50，100］范围内，按照［50，60)，［60，70)，［70，80)，［80，90)，［90，100］的分组作出如图所示的频率分布直方图.若在样本中，成绩落在区间［50，60)的人数为32，则由样本估计总体可知下列结论正确的为(　　)
(第5题)
A．n＝100
B．考生成绩的众数为75
C．考生成绩的第70百分位数为76
D．估计该市考生成绩的平均分为70.8
6．空气质量指数AQI是反映空气质量状况的指数，AQI指数值越小，表明空气质量越好，其对应关系如下表所示：
AQI指数值 0~50 51~100 101~150 151~200 201~300 >300
空气质量 优 良 轻度污染 中度污染 重度污染 严重污染
如图所示是某市10月1日至20日AQI指数变化趋势.
(第6题)
下列叙述中正确的是(　　)
A．这20天中AQI指数值的中位数略高于100
B．这20天中的中度污染及以上的天数占
C．该市10月的前半个月的空气质量越来越好
D．总体来说，该市10月上旬的空气质量比中旬的空气质量好
三、 填空题
7．某班男、女生的比例为3∶2，全班的平均身高为168 cm，若女生的平均身高为159 cm，则男生的平均身高为________cm．
8．为了调查某厂工人生产某种产品的能力，随机抽查了20名工人某天生产该产品的数量，得到频率分布直方图如图所示.
(第8题)
(1) 这20名工人中一天生产该产品数量的中位数为________；
(2) 这20名工人中一天生产该产品数量的平均数为________．
四、 解答题
9．某公司为了了解一年内的用水情况，抽取了10天的用水量如下表所示：
用水量/t 22 38 40 41 44 50 95
天数 1 1 1 2 2 1 2
(1) 在这10天中，该公司用水量的平均数是多少？每天用水量的中位数是多少？
(2) 你认为应该用平均数和中位数中的哪一个来描述该公司每天的用水量？
10．某中学有初中生600名，高中生200名，为保障学生的身心健康，学校举办了“校园安全知识”竞赛.现按比例分配的分层随机抽样的方法，分别抽取初中生m名，高中生n名，经统计，m＋n名学生的平均成绩为74分，其中m名初中生的平均成绩为72分，n名高中生的平均成绩为x分，则x＝(　　)
A．74 B．76
C．78 D．80
11．某学校要定制高一年级的校服，学生根据厂家提供的参考身高选择校服规格.据统计，高一年级男生需要不同规格校服的频数如下表所示：
校服规格 155 160 165 170 175 合计
频数 40 65 168 90 26 389
如果用一个量来代表该校高一年级男生所需校服的规格，那么在平均数、中位数、众数、第25百分位数中，哪个量比较合适？(　　)
A．平均数 B．中位数
C．众数 D．第25百分位数
12．(多选)某学校为了调查学生在一周生活方面的支出情况，抽取了一个容量为n的样本，其频率分布直方图如图，其中支出在［50，60)元的学生有60人，则下列说法正确的是(　　)
(第12题)
A．样本中支出在［50，60)元的频率为0.03
B．采用分层随机抽样从这n人中抽出10人，则在［30，50］中共需抽出6人
C．n的值为200
D．该校学生一周生活方面支出的中位数大约是44元(精确到个位数)
13．爱心超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：℃)有关.如果最高气温不低于25，那么需求量为500瓶；如果最高气温位于区间［20，25)内，那么需求量为300瓶；如果最高气温低于20，那么需求量为200瓶.为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份每天的最高气温数据，得到下面的频数分布表：
最高气温 ［10，15) ［15，20) ［20，25) ［25，30) ［30，35) ［35，40］
天数 2 16 36 25 7 4
当六月份有一天这种酸奶的进货量为450瓶时，这一天销售这种酸奶的平均利润为________元．
第4课时　总体集中趋势的估计
基础打底·熟练掌握
1．B　【解析】 样本数据从小到大排列为9，10，10，12，12，13，14，18，19，19，所以样本数据的中位数为＝12.5.
2．B　3．C　4．A　
5．BC　【解析】 对于A，由频率分布直方图得x＝－(0.004＋0.01＋0.03＋0.04)＝0.016，则n＝＝200，A错误；对于B，数据落在区间［70，80)上的频率最大，因此考生成绩的众数为75，B正确；对于C，前两组的频率之和为0.46，前三组的频率之和为0.86，故考生成绩的第70百分位数为70＋10×＝76，C正确；对于D，考生成绩的平均分为55×0.16＋65×0.3＋75×0.4＋85×0.1＋95×0.04＝70.6，D错误.
6．ABD　【解析】 对于A，将AQI指数值从小到大排列，第10个与第11个的平均数略高于100，所以中位数略高于100，故A正确；对于B，中度污染及以上的是11，13，14，15，17日，共5天，占，故B正确；对于C，由图知，前半个月中，前4天的空气质量越来越好，6日之后的5天该市的空气质量越来越差，故C错误；对于D，由图知，10月上旬大部分AQI指数在100以下，10月中旬大部分AQI指数在100以上，故D正确.
7．174　【解析】 设男生的平均身高为x cm，则根据题目条件知·x＋×159＝168，即3x＋318＝840，所以x＝＝＝174.
8．(1) 62.5　(2) 64
9．【解答】 (1) 在这10天中，该公司用水量的平均数是＝×(22＋38＋40＋2×41＋2×44＋50＋2×95)＝51(t)，每天用水量的中位数是＝42.5(t).
(2) 平均数受数据中的极端值(2个95)影响较大，使得用平均数在估计总体时可靠性降低，10天的用水量有8天都在平均值以下，故用中位数描述每天的用水量更合适.
能力进阶·融会贯通
10．D　【解析】 由题意得可得＝74，解得x＝80.
11．C　【解析】 为了更直观地观察数据的特征，我们用条形图来表示表中的数据(如图).可以发现，选择校服规格为“165”的男生的频数最高，所以用众数165作为该校高一年级男生校服的规格比较合适.
(第11题)
12．BCD　【解析】 对于A，样本中支出在［50，60)元的频率为1－(0.01＋0.024＋0.036)×10＝0.3，A错；对于B，样本中支出在［30，50］的频率为(0.024＋0.036)×10＝0.6，所以采用分层抽样从这n人中抽出10人，则在［30，50］中共需抽出的人数为10×0.6＝6，B对；对于C，n＝＝200，C对；对于D，前两个矩形的面积之和为(0.01＋0.024)×10＝0.34，前三个矩形的面积之和为0.34＋0.036×10＝0.7，设样本中支出的中位数为x，则4013．460　【解析】 当温度大于等于25 ℃时，需求量为500瓶，利润为450×2＝900(元)；当温度在［20，25)时，需求量为300瓶，利润为300×2－(450－300)×2＝300(元)；当温度低于20 ℃时，需求量为200瓶，利润为200×2－(450－200)×2＝－100(元).平均利润为900×＋300×＋(－100)×＝460(元).第4课时　总体集中趋势的估计
学习 目标 1．结合实例，能用样本估计总体的集中趋势参数(众数、中位数、平均数)． 2．会求样本数据的众数、中位数、平均数，理解用样本的数字特征、直方图估计总体的集中趋势．
新知初探基础落实
问题1：现从甲、乙、丙三个厂家生产的同一种家电产品中，各抽取8件产品，对其使用寿命进行跟踪调查，其结果如下(单位：年)：甲，3，4，5，6，8，8，8，10；乙，4，6，6，6，8，9，12，13；丙，3，3，4，7，9，10，11，12．
三家广告中都称其产品的使用寿命为8年，利用初中所学的知识，你能说明为什么吗？
三个厂家是从不同角度进行了说明，以宣传自己的产品．其中甲：众数为8年，乙：平均数为8年，丙：中位数为8年．
一、 概念生成
问题2：什么样的问题可以用平均数描述？什么样的问题可以用中位数描述？什么样的问题可以用众数描述？
一般地，对数值型数据(如用水量、身高、收入、产量等)集中趋势的描述，可以用平均数、中位数；而对分类型数据(如校服规格、性别、产品质量等级等)集中趋势的描述，可以用众数．
请同学阅读课本P205—P209，完成下列填空．
二、 概念表述
1．众数
一组数据中出现__次数__最多的数．
2．中位数
把一组数据按从小到大(或从大到小)的顺序排列，处在__中间__位置的数(或中间两个数的__平均数__)叫做这组数据的中位数．
3．平均数
如果有n个数x1，x2，…，xn，那么＝(x1＋x2＋…＋xn)叫做这n个数的平均数．
4．总体集中趋势的估计
(1) 平均数和中位数都描述了数据的集中趋势，它们的大小关系和数据分布的形态有关；
(2) 一般来说，对一个单峰的频率分布直方图来说，如果直方图的形状是对称的(图(1))，那么平均数和中位数应该大体上差不多；如果直方图在右边“拖尾”(图(2))，那么平均数大于中位数；如果直方图在左边“拖尾”(图(3))，那么平均数小于中位数．也就是说，和中位数相比，平均数总是在“长尾巴”那边．
图(1)
图(2)
图(3)
三、 概念辨析(判断正误：正确的画“√”，错误的画“×”)
(1) 若改变一组数据中的一个数，则这些数据的平均数、中位数、众数一定会改变．(　×　)
(2) 中位数一定是样本数据中的某个数．(　×　)
(3) 在频率分布直方图中，众数是最高矩形中点的横坐标．(　√　)
(4) 一个样本的众数、平均数和中位数都是唯一的．(　×　)
典例精讲能力初成
探究1　众数、中位数、平均数的计算
例1　(课本P205例4)利用课本P193—P194中100户居民用户的月均用水量的调查数据，计算样本数据的平均数和中位数，并据此估计全市居民用户月均用水量的平均数和中位数．
【解答】根据100户居民用户月均用水量的数据，由样本平均数的定义，可得＝＝8.79，即100户居民的月均用水量的平均数为8.79 t．将样本数据按从小到大排序，得第50个数和第51个数均为6.8，由中位数的定义，可得100户居民的月均用水量的中位数是6.8 t．因为数据是抽自全市居民用户的简单随机样本，所以我们可以据此估计全市居民用户的月均用水量约为8.79 t，其中位数约为6.8 t．
众数、中位数、平均数的计算方法
(1) 众数是出现次数最多的数；
(2) 计算中位数时，可先将这组数据按从小到大或从大到小的顺序排列，再根据相关数据的总数是奇数还是偶数而定；
(3) 平均数一般是根据公式来计算．
变式　已知一组数据1，2，a，b，5，8的平均数和中位数均为4，其中a，b∈N*，在去掉其中的一个最大数后，该组数据一定不变的是(　B　)
A．平均数　 B．众数
C．中位数　 D．极差
【解析】由题意，＝4，可得a＋b＝8，又中位数为4，则或当时，众数为5，极差为7；当时，众数为4，极差为7．所以去掉其中的一个最大数后，数据为1，2，a，b，5，当时，平均数为，众数为5，中位数为3，极差为4；当时，平均数为，众数为4，中位数为4，极差为4．综上，数据变化前后一定不变的是众数．
探究2　在频率分布直方图中求平均数、中位数、众数
例2　(课本P206例5)某学校要定制高一年级的校服，学生根据厂家提供的参考身高选择校服规格．据统计，高一年级女生需要不同规格校服的频数如下表所示．
校服规格 155 160 165 170 175 合计
频数 39 64 167 90 26 386
如果用一个量来代表该校高一年级女生所需校服的规格，那么在中位数、平均数和众数中，哪个量比较合适？试讨论用表中的数据估计全国高一年级女生校服规格的合理性．
【解答】为了更直观地观察数据的特征，我们用条形图来表示表中的数据(如图)．可以发现，选择校服规格为“165”的女生的频数最高，所以用众数165作为该校高一年级女生校服的规格比较合适．由于全国各地的高一年级女生的身高存在一定的差异，所以用一个学校的数据估计全国高一年级女生的校服规格不合理．
(1) 众数：在频率分布直方图中，最高矩形的底边中点的横坐标．
(2) 中位数：在频率分布直方图中，把频率分布直方图划分为左、右两个面积相等的部分的分界线与x轴交点的横坐标．
(3) 平均数：在频率分布直方图中等于每个小矩形底边中点的横坐标与小矩形的面积的乘积之和．
变式　在一次数学测验中，全班N名学生的数学成绩的频率分布直方图如图所示，已知分数在[110，120)内的学生有14人．
(1) 求总人数N和分数在[120，125)内的人数n；
【解答】因为分数在[110，120)内的学生的频率为(0.04＋0.03)×5＝0.35，所以该班总人数N＝＝40．分数在[120，125)内的学生的频率为1－(0.01＋0.04＋0.05＋0.04＋0.03＋0.01)×5＝0.10，所以分数在[120，125)内的人数n＝40×0.10＝4．
(2) 利用频率分布直方图，估算该班学生数学成绩的众数和中位数、平均数．
【解答】由频率分布直方图可知众数是最高的小矩形底边中点的横坐标，即为＝107.5．设中位数为a，因为0.01×5＋0.04×5＋0.05×5＝0.50，所以a＝110．平均数为(97.5×0.01＋102.5×0.04＋107.5×0.05＋112.5×0.04＋117.5×0.03＋122.5×0.02＋127.5×0.01)×5＝111．所以众数、中位数、平均数分别是107.5，110，111．
探究3　平均数、中位数、众数在具体数据中的应用
例3　(课本P206例5补充)据了解，某公司的33名职工月工资(单位：元)如下：
职务 董事长 副董事长 董事 总经理 经理 管理员 职员
人数 1 1 2 1 5 3 20
工资 11 000 10 000 9 000 8 000 6 500 5 500 4 000
(1) 求该公司职工月工资的平均数、中位数、众数；
【解答】＝×(11 000＋10 000＋9 000×2＋8 000＋6 500×5＋5 500×3＋4 000×20)＝176 000÷33≈5 333(元)，故该公司职工月工资平均数是5 333元．由表格知中位数是4 000元，众数是4 000元．
(2) 假设副董事长的工资从10 000元提升到20 000元，董事长的工资从11 000元提升到30 000元，那么新的平均数、中位数、众数又是多少？(精确到元)
【解答】'＝[176 000＋(20 000－10 000)＋(30 000－11 000)]÷33≈6 212(元)，故新的平均数是6 212元．由表格知中位数是4 000元，众数是4 000元．
(3) 你认为哪个统计量更能反映这个公司员工的工资水平？结合此问题谈一谈你的看法．
【解答】在这个问题中，中位数和众数均能反映该公司员工的工资水平，因为公司中少数人的工资额与大多数人的工资额差别较大，这样导致平均数与中位数偏差较大，所以平均数不能反映这个公司员工的工资水平．
众数、中位数和平均数的比较
名称 优点 缺点
平均数 与中位数相比，平均数反映出样本数据中更多的信息，对样本中的极端值更加敏感 任何一个数据的改变都会引起平均数的改变．数据越“离群”，对平均数的影响越大
中位数 不受少数几个极端数据(即排序靠前或靠后的数据)的影响 对极端值不敏感
众数 体现了样本数据的最大集中点 众数只能传递数据中的信息的很少一部分，对极端值不敏感
随堂内化及时评价
1．已知一组数据为20，30，40，50，50，60，70，80，其平均数、中位数和众数的大小关系是(　D　)
A．平均数＞中位数＞众数
B．平均数＜中位数＜众数
C．中位数＜众数＜平均数
D．众数＝中位数＝平均数
2．某书店新进了一批书籍，下表是某月中连续6天的销售情况记录：
日期 6 7 8 9 10 11
当日销售量/本 30 40 28 44 38 42
根据上表估计该书店该月(按31天计算)的销售总量是(　A　)
A．1 147本　 B．1 110本
C．1 340本　 D．1 278本
3．某工厂对一批新产品的长度(单位：mm)进行检测，如图是检测结果的频率分布直方图，据此估计这批产品的中位数为(　C　)
A．20　 B．25
C．22.5　 D．22.75
【解析】由图知，自左至右各小矩形的面积依次为0.1，0.2，0.4，0.15，0.15，设中位数是x，由0.1＋0.2＋0.08×(x－20)＝0.5，解得x＝22.5．
4．为了调查某厂工人生产某种产品的能力，随机抽查了20位工人某天生产该产品的数量得到如图所示的频率分布直方图．
(1) 这20名工人中一天生产该产品数量在[55，75)的人数是__13__；
(2) 这20名工人中一天生产该产品数量的中位数为__62.5__；
(3) 这20名工人中一天生产该产品数量的平均数为__64__．
【解析】(1) 在[55，75)的人数为(0.040×10＋0.025×10)×20＝13．
(2) 设中位数为x，则0.2＋(x－55)×0.04＝0.5，解得x＝62.5．
(3) ＝0.2×50＋0.4×60＋0.25×70＋0.1×80＋0.05×90＝64．

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