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第十二章 复数
12.4.2 复数乘除运算的几何意义
1. 了解复数三角形式的乘除运算法则，能正确进行运算；
2. 理解复数三角形式乘除运算的几何意义.
回顾：复数代数形式乘、除法运算的法则是什么？
(a + bi) (c + di )=(ac - bd) + (bc + ad) i
问题 1：如果把复数 z1，z2 分别写成三角形式：z1 = r1(cos θ1 + isin θ1)，z2 = r2(cos θ2 + isin θ2)，如何计算 z1z2 并将结果分别表示成三角形式？
即
语言表述：两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的辐角等于各复数的辐角的和.（模相乘，辐角相加）
问题 2：由复数乘法运算的三角形式，能得到怎样的几何意义？
把向量 绕点 O 按逆时针方向旋转角 θ2，
再把它的模变为原来的 r2 倍，得到向量
表示的复数就是积 z1z2．
若 θ2 < 0，要把 绕点 O 按顺时针方向旋转角 |θ2|；
两个复数 z1，z2 相乘时，作出与复数 z1，z2 对应的向量
问题 3：如何解释 i2 = - 1 和 (-1)2 =1 的几何意义？
i2 = - 1可以改写为
几何意义：将 i 对应的向量绕点 O 按逆时针旋转 ，得到 -1 对应的向量；
(-1)2 = 1可以改写为
几何意义：将 -1 对应的向量绕点 O 按逆时针旋转 π，得到 1 对应的向量.
例1：已知 求 z1z2，把结果化为代数形式，并做出几何解释.
解：
作出与复数 z1，z2 对应的向量
把向量 绕点 O 按逆时针方向旋转 ，长度伸长为原来的 2 倍，
这样得到一个长度为 3，辐角为 的向量
即为 z1z2 = 3i 所对应的向量.
例2：如图，向量 对应的复数为1 + i，把向量 绕点 O 按逆时针方向旋转 120°，得到 求向量 对应的复数（代数形式表示）．
解：向量 对应的复数为
向量的旋转问题或模长伸缩问题可以转化为复数的乘法运算问题
问题4：复数除法运算是乘法运算的逆运算. 根据复数乘法运算的三角形式，如何推导出复数除法运算的三角形式？
设
且 z1 ≠ z2.
所以根据复数除法的定义，有
因为
语言描述：两个复数相除，商的模等于被除数模除以除数的模，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差.（模数相除，辐角相减）
问题 5：类比复数乘法的几何意义，如何理解复数除法的几何意义？
把向量 绕点 O 按顺时针方向旋转角 θ2 (θ2 > 0)，
两个复数 z1，z2 相除时，
表示的复数就是商
作出与复数 z1，z2 对应的向量
再把它的模变为原来的 ，得到向量
解：原式 =
例3：计算 并把结果化为代数形式．
知识框图：
复数乘、除运算的三角形式及其几何意义
复数除法运算的三角形式及其几何意义
复数乘法运算的三角形式及其几何意义

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