资源简介

(共15张PPT)
第9章　分式
第2课时　分式的基本性质
9.1　分式及其基本性质
　分式的基本性质
1.(2025山东青岛崂山期末)下列分式中,与 结果相等的是
( )
A. 　　　 B. 　　　 C. 　　　 D.
B
解析　利用分式的基本性质,得 = ,故选项B符合题意.
2.(2025江苏南京鼓楼期末)若 = ,则M为 ( )
A.a2-2　　　 B.2a-1　　　 C.2a-2　　　 D.a2-2a
D
解析　因为 = = ,所以M=a2-2a.
3.若 = 成立,则x的取值范围是___________.
x≠1
解析　根据题意,得x-1≠0,解得x≠1.
4.在括号中填上恰当的式子:
(1) = (axy≠0).
(2) = (a≠±2).
(3) = (x≠y).
(4) = (a+b≠0且a-b≠0).
解析 (1) = = ,即括号内的式子是6a2.
(2) = = ,即括号内的式子是a-2.
(3) = = ,即括号内的式子是x2-y2.
(4) = = = = ,即括号内
的式子是a+b.
5.不改变分式的值,使下列分式的分子与分母的最高次项的系
数为正数:
(1)- .　　　 (2) .
(3) .　　　 (4) .
解析 (1)- =- =- .
(2) = = .
(3) = =- .
(4) = = .

6.(2025安徽合肥三十中期末,★★☆)下列各式从左到右的变
形一定正确的是 ( )
A. = 　　 B. = 　　C. = 　　D. =
D
解析 = = ,故A,B选项错误;选项C中,当y=0时, 无意
义,故C选项不一定正确;选项D中,左边分母xy≠0,即x≠0且y
≠0, 分子分母同除以y,得 ,故D选项正确.
7.(2025江苏泰州姜堰期中,★★☆)下列等式成立的是 ( )
A. = 　　　 B. =
C. = 　　　 D. =
A
解析 = = ,故选项A正确; = , = ,
≠ ,故选项B,C,D错误.
8.(2025安徽合肥五十中期末,★★☆)若分式 中的x和y
都扩大为原来的3倍后,分式的值不变,则A可能是 ( )
A.3　　　 B.3x2+3　　　 C.3x+2y　　　 D.2xy
D
解析　原分式为 ,当x和y扩大为原来的3倍时,分母变
为2(3x)2+(3y)2=9(2x2+y2),此时分式变为 .要使分式的
值不变,需满足 = ,即A'=9A.选项A中,当A=3
时,不满足A'=9A;选项B中,当A=3x2+3时,扩大后为3(3x)2+3=27
x2+3,而9A=27x2+27,不符合题意;选项C中,当A=3x+2y时,扩大
后为9x+6y,而9A=27x+18y,不符合题意;选项D中,当A=2xy时,
扩大后为2×3x×3y=18xy,而9A=18xy,符合题意.
9.(2025安徽安庆岳西月考,★★☆)已知 = 成立,
则x的取值范围是_______________.
x≠0且x≠2
解析　由题意得x(x-2)≠0,解得x≠0且x≠2.
10.【学科特色·教材变式P102T4】(★★☆)不改变分式的值,
把下列各式的分子与分母中各项的系数都化为整数.
(1) .　　　 (2) .
(3) .　　　 (4) .
解析 (1)原式= = .
(2)原式= = .
(3)原式= = .
(4)原式= = .(共16张PPT)
第9章　分式
第1课时　分式
9.1　分式及其基本性质
　分式与有理式
1.(2025安徽阜阳界首期末)下列各式是分式的是 ( )
A. 　　　 B. 　　　 C.- 　　　 D.
B
解析 ,- , 的分母中不含有字母,不是分式; 的分母中
含有字母,是分式.
2.【学科特色·教材变式P98T1】下列有理式: ,- ,
,x+y, , .其中分式的个数为 ( )
A.5　　　 B.4　　　 C.3　　　 D.2
D
解析　分式有- , ,共2个.
　分式有、无意义和分式的值为0的条件
3.(2025安徽合肥蜀山期末)若分式 的值为0,则 ( )
A.x≠5　　　 B.x=5　　　 C.x=1　　　 D.x=
D
解析　若分式 的值为0,则2x-1=0且x-5≠0,解得x= .
4.【新考向·结论开放题】(2025广西中考)写出一个使分式
有意义的x的值,可以是________________.
1(答案不唯一)
解析　分式 有意义,即x+3≠0,所以x≠-3,
所以x的值可以是1(答案不唯一).
5.【学科特色·教材变式P98T2】已知分式 .
(1)当x取什么数时,分式有意义
(2)当x取什么数时,分式无意义
(3)当x取什么数时,分式的值是零
解析 (1)当分母不等于零时,分式有意义,
所以x2-4≠0,解得x≠±2,
所以当x≠±2时,分式 有意义.
(2)当分母等于零时,分式无意义,
所以x2-4=0,解得x=±2,
所以当x=±2时,分式 无意义.
(3)当分子等于零且分母不等于零时,分式的值是零,
所以x+1=0且x2-4≠0,解得x=-1,
所以当x=-1时,分式 的值是零.
　根据实际问题列分式
6.(2025广西桂林一模)某学校为在数学探究活动中表现优秀
的x名学生每人买了一份奖品,支付了y元,则每份奖品的价格
可表示为 ( )
A.(x+y)元　　　 B.xy元　　　 C. 元　　　 D. 元
D
解析　根据“单价=总价÷总数量”,可得每份奖品的价格=y÷
x= 元.
7.(2025广东深圳龙华期末)A,B两地相距10千米,甲从A地到B
地步行需要t小时,乙骑自行车行同样的路程比甲少用1小时,
则乙的速度可表示为_________千米/时.
解析 A,B两地之间的距离是10千米,乙骑自行车需要的时间
是(t-1)小时,根据“速度= ”,可得乙的速度可表示为
千米/时.

8.【学科特色·易错题】(2025江苏扬州广陵期中,★★☆)若分
式 的值为零,则x的值等于_______.
-1
解析　因为分式 的值为零,所以|x-2|-3=0且x-5≠0,解
得x=-1.
易错警示 本题易忽视分式有意义的条件而导致错误.
9.(2025江苏南京鼓楼期中,★★☆)把a kg的盐溶在b kg的水
中,那么m kg这种盐水的含盐量为_________kg.
解析 m kg这种盐水的含盐量为m· = kg.
10.(2025安徽宣城宁国二模,★★☆)在一块b公顷的稻田上插
秧.如果10个人插秧,要用m天完成;如果一台插秧机工作,要比
10个人插秧提前3天完成.一台插秧机的工作效率是一个人工
作效率的_________倍.
解析　设一台插秧机的工作效率为x,一个人工作效率为y,根
据题意得10my=(m-3)x,所以 = ,
即一台插秧机的工作效率是一个人工作效率的 倍.
11.(2025安徽安庆岳西月考改编,★★☆)根据规划设计,某工
程队准备修建一条长1 000 m的公路.由于采取新的施工方式,
实际每天修建公路的长度比原计划增加20 m,从而缩短了工
期.假设原计划每天修建公路a m.
(1)原计划修建这条公路需要_________天,实际修建这条公路
用了_________天.
(2)实际修建这条公路的工期比原计划缩短了____________天(共26张PPT)
第9章　分式
第1课时　分式方程及其解法
第2课时　分式方程的应用
9.3　分式方程
　工程问题
1.(2025广东深圳中考)某社区植树60棵,实际种植人数是原计
划人数的2倍,实际平均每人种植棵数比原计划少了3棵.若设
原计划人数为x,则下列方程正确的是 ( )
A. - =3　　　 B. - =3
C. =2× 　　　 D. =2×
A
解析　因为实际种植人数是原计划人数的2倍,且原计划人数
为x,所以实际种植人数为2x.根据题意,得 - =3.
2.(2025安徽六安霍邱期末改编)某企业生产一批工艺品,为了
尽快完成任务,实际每天生产工艺品比原计划多200个.已知实
际生产3 000个工艺品与原计划生产1 800个所用的时间相同,
则原计划每天生产___________个工艺品.
300
解析　设原计划每天生产x个工艺品,则实际每天生产(x+200)
个工艺品,根据题意可得 = ,解得x=300,经检验,x=3
00是所列方程的解,且符合题意.故原计划每天生产300个工艺
品.
　行程问题
3.(2025安徽合肥中科大附中期末)某学校在组织学生参加春
季踏青活动中,把八年级五班学生分成甲、乙两个小组,同时
开始攀登一座高720 m的山,甲组的攀登速度是乙组的1.4倍,
甲组到达顶峰所用时间比乙组少20 min.如果设乙组的攀登速
度为x m/min,那么下面所列方程中正确的是 ( )
A. = +1.4　　　 B. = -20
C. = ×1.4　　　 D. = +20
B
解析　因为乙组的攀登速度为x m/min,所以甲组的攀登速度
为1.4x m/min,根据“时间=路程÷速度”,“甲组到达顶峰所
用时间比乙组少20 min”可列方程为 = -20.
4.(2025广东深圳二模)为响应深圳市教育局“每周半天计
划”,深圳某校推出“山海课堂”,将课堂搬至山海之间,依托
鲲鹏径20段特色路线展开活动.学校将初一年级分为20个组,
化身“探路者”,每组独立完成一段路线任务,最终拼合出完
整的200千米轨迹.
【信息收集】信息一:
路段 路程/千米 计划平均速度/(千米/时)
第11组 鲲鹏径11段 12.5 a+1.3
第19组 鲲鹏径19段 6 a
信息二:第11组和第19组计划用时相等.
【问题解决】
(1)求a的值和计划用时.
(2)第11组的同学前段的平均速度为3千米/时,后段由于体力下降,平均速度降为2千米/时.若第11组的同学想要在计划的时间内到达终点,则至少需要保持平均速度为3千米/时多长时间
解析 (1)根据题意,得 = ,解得a=1.2,
经检验,a=1.2是所列方程的解,且符合题意,
所以 = =5.
答:a的值为1.2,计划用时5小时.
(2)设需要保持平均速度为3千米/时x小时,
根据题意,得3x+2(5-x)≥12.5,解得x≥2.5,
所以x的最小值为2.5.
答:至少需要保持平均速度为3千米/时2.5小时.
　销售问题
5.【新考向·数学文化】(2025安徽合肥庐阳中学模拟)我国古
代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题:“六贯二百一
十钱,倩人去买几株椽.每株脚钱三文足,无钱准与一株椽.”其
大意为:现请人代买一批椽,这批椽的价钱为6 210文.如果每株
椽的运费是3文,那么少拿一株椽后,剩下的椽的运费恰好等于
一株椽的价钱,问6 210文能买多少株椽 设这批椽的数量为x
株,则可列方程为________________.
3(x-1)=
解析　根据“单价=总价÷数量”,“少拿一株椽后,剩下的椽
的运费恰好等于一株椽的价钱”可列方程为3(x-1)= .
6.(2025安徽宣城三模改编)某超市开展端午节促销活动,将某品牌粽子降价20%出售,用1 200元购买该品牌粽子,比促销前多买了6盒,则促销前该品牌粽子每盒的价格为_______.
50元
解析　解析 设促销前该品牌粽子每盒的价格为 x 元，
根据题意，得 ，解得 x=50，
经检验，x=50是分式方程的解，且符合题意，
故促销前该品牌粽子每盒的价格为 50 元。
7.(2025四川成都中考改编,★★☆)某文旅中心在售A,B两种
吉祥物挂件,已知每个B种挂件的价格是每个A种挂件价格的
,用300元购买B种挂件的数量比用200元购买A种挂件的数
量多7个.
(1)求每个A种挂件的价格.
(2)某游客计划用不超过600元购买A,B两种挂件,且购买B种挂
件的数量比A种挂件的数量多5个,求该游客最多购买多少个A
种挂件.
解析 (1)设每个A种挂件的价格为x元,则每个B种挂件的价
格为 x元,
根据题意,得 = +7,解得x=25.
经检验,x=25是原方程的解,且符合题意.
答:每个A种挂件的价格为25元.
(2)设该游客购买m个A种挂件,则购买(m+5)个B种挂件,
由(1)知每个A种挂件的价格为25元,每个B种挂件的价格为 ×
25=20元,
根据题意,得25m+20(m+5)≤600,解得m≤11 .
因为m为整数,所以m的最大值为11.
答:该游客最多购买11个A种挂件.
8.(2025安徽六安期末,★★☆)为改善城市生态环境,某市政府
积极推进增绿、补绿、复绿工程,计划对面积为1 000 m2的荒
地进行绿化,经过招标,决定由甲、乙两个工程队共同完成,已
知甲工程队每天完成绿化的面积是乙工程队每天完成绿化面
积的2倍,并且在独立完成面积为480 m2区域的绿化时,甲工程
队比乙工程队少用6天.
(1)甲、乙两工程队每天完成绿化的面积分别是多少
(2)若甲工程队工作一天需付费0.5万元,乙工程队工作一天需
付费0.4万元,要使这次的绿化总费用不超过7万元,至少应安
排甲工程队工作多少天
解析 (1)设乙工程队每天完成绿化的面积为x m2,则甲工程
队每天完成绿化的面积为2x m2,
根据题意,得 - =6,解得x=40.
经检验,x=40是原方程的解,且符合题意,
所以2x=80.
答:甲工程队每天完成绿化的面积为80 m2,乙工程队每天完成
绿化的面积为40 m2.
(2)设安排甲工程队工作y天,则安排乙工程队工作
根据题意,得0.5y+0.4× ≤7,解得y≥10.
答:至少应安排甲工程队工作10天.

9.【新课标·应用意识】(2025安徽合肥中科大附中期末)【综
合与实践】根据以下素材,完成探究任务.
问题 背景 端午节,是中国四大传统节日之一,习俗主要有吃粽子、赛龙舟、挂艾草、佩香囊等.端午节来临之际,各超市纷纷搞促销活动,小亮妈妈发现离家不远的超市有蜜枣粽和肉粽两种粽子正在参加活动
素材1 小亮妈妈购买蜜枣粽和肉粽各花去120元
素材2 肉粽的单价比蜜枣粽的单价贵2元,小亮妈妈购买蜜枣粽的数量是肉粽数量的1.5倍
素材3 该超市根据平时消费者购买情况,在端午节当天,将肉粽的单价提高10%,蜜枣粽单价降低5%,节日当天总销售量是400个,超市想要当天粽子销售总额不低于1 800元
问题解决
任务1 确定购买数量 小亮妈妈两种粽子各买了多少
任务2 探究销售情况 在端午节当天,该超市至少需要销售
多少个肉粽
解析　任务1:设肉粽买了x个,则蜜枣粽买了1.5x个,根据题意,
得 - =2,解得x=20,
经检验,x=20是原方程的解,且符合题意,
1.5×20=30(个).
答:肉粽买了20个,蜜枣粽买了30个.
任务2:120÷20=6(元),120÷30=4(元),
即肉粽的单价为6元,蜜枣粽的单价为4元,
设在端午节当天该超市销售肉粽a个,则销售蜜枣粽(400-a)个,
根据题意,得
6×(1+10%)a+4×(1-5%)(400-a)≥1 800,
解得a≥100.
答:在端午节当天,该超市至少销售100个肉粽.(共28张PPT)
第9章　分式
第2课时　分式的加减
9.2　分式的运算
　分式的通分
1.(2025江苏南京期末)分式 与 的最简公分母是 ( )
A.4m2　　　 B.4m3　　　 C.8m2　　　 D.8m3
A
解析　分母系数的最小公倍数为4,分母字母因式的最高次幂
为m2,故最简公分母为4m2.
2.将分式 与 通分,分母化为最简公分母后,分式
的分子应变为 ( )
A.6m2-6mn　　　 B.6m-6n
C.2m-2n　　　 D.2m(m+n)
A
解析　分式 与 的最简公分母为3(m+n)(m-n),所以
分式 的分子分母都乘3(m-n),所以它的分子变为6m(m-n),
即6m2-6mn.
3.(2025江苏南京鼓楼期末)分式 , 的最简公分母是____
__________.
12x2y2
解析　分母系数的最小公倍数为12,分母字母因式的最高次
幂的积为x2y2,故最简公分母为12x2y2.
4.【学科特色·教材变式P109T2】通分:
(1) , .　　　 (2) , , .
解析 (1)最简公分母为2a2b2c,
故通分后分别为 , .
(2)最简公分母为(x+2)(x-2),
故通分后分别为 , , .
　分式的加减
5.(2025安徽合肥四十五中二模) + = ( )
A.3　　　 B. 　　　 C. 　　　 D.
D
解析　原式= = .
6.(2025河南中考)化简 - 的结果是 ( )
A.x+1　　　 B.x　　　 C.x-1　　　 D.x-2
A
解析　原式= + = = =x+1.
7.(2025天津中考)计算 + 的结果等于 ( )
A. 　　　 B. 　　　 C. 　　　 D.1
A
解析　原式= + = = .
8.(2025江苏镇江丹阳期末)某工程队要修路a米,原计划平均
每天修b米.因天气原因,平均每天少修c米(c成工程的时间比原计划推迟的天数为 ( )
A. 　　 B. 　　C. 　　　 D.
B
解析　原计划需要 天,实际需要 天,
所以推迟的天数是 - = - = .
9.化简:
(1)(2025安徽合肥二模) - +1.
(2)(2025安徽合肥蜀山模拟) + .
(3)(2025辽宁阜新太平二模) - .
解析 (1)原式= + + = = .
(2)原式= +
= =
= = .
(3)原式= - = -
= = .
10.(2025河北沧州任丘模拟)嘉嘉和淇淇在学习分式时,老师
布置了一道题“计算: - ”.
(1)老师在批改作业时,发现两位同学都出错了,请你分别指出
他们最先出错的是哪一步.
(2)请你写出正确的计算过程,并求出当a=1时,原式的值.
嘉嘉的解法:
解: -
= ·(a2-4)- ·(a2-4)①
=4-(a+2)②
=4-a-2③
=2-a④.
淇淇的解法:
解: -
= - ①
= ②
= ③
= ④.
解析 (1)嘉嘉最先出错的是第①步,淇淇最先出错的是第②
步.
(2) - = -
= =- ,
当a=1时,原式=- =- .

11.(2025江苏南京期中,★★☆)若 + + (A,B,C均为常
数)的计算结果为 ,则A+B+2C的值为 ( )
A.1　　　 B.2　　　 C.3　　　 D.4
D
解析 + +
=
=
=
= ,
则A+B+C=1,3A+2B+C=0,2A=2,
解得A=1,B=-3,C=3,
则A+B+2C=1-3+6=4.
12.【新考向·代数推理】(2025安徽淮南期末,★★★)已知实
数x,y,z满足x+y=-z,xyz=1,若 + + =-1,则x2+y2+z2= ( )
A.0　　　 B.1　　　 C.2　　　 D.
C
解析　因为x+y=-z,所以x+y+z=0.
因为 + + =-1,所以 + + =-1,
即 =-1.因为xyz=1,
所以xy+yz+xz=-1.
因为(x+y+z)2=x2+y2+z2+2(xy+yz+xz),
所以x2+y2+z2=(x+y+z)2-2(xy+yz+xz)=0-2×(-1)=2.
13.【跨物理·凸透镜成像】(★★☆)一根蜡烛在凸透镜下成
实像,物距为u,像距为v,凸透镜的焦距为f,且满足 + = ,则用
u, f表示v的结果为___________.
v=
解析　因为 + = ,所以 = - = ,
所以v= .
14.【学科特色·多解法】(2024四川内江中考,★★☆)已知实
数a,b满足ab=1,则 + =_________.
1
解析　【解法一】原式=
= = ,因为ab=1,
所以原式= = =1.
【解法二】由ab=1,得a= ,
则原式= + = + = =1.
15.(2025安徽合肥蜀山一模,★★☆)观察以下等式:
第1个等式: -3=1- ;第2个等式: -5=1- ;第3个等式: -7=1-
;第4个等式: -9=1- ;第5个等式: -11=1- ;……
按照以上规律,解决下列问题:
(1)写出第6个等式:_______.
(2)写出你猜想的第n个等式:_______
(用含n的等式表示),并证明.
解析 (1) -13=1- .
(2) -(2n+1)=1- .
证明:因为左边= = = ,
右边= = = ,
所以左边=右边,所以等式成立.

16.【新课标·应用意识】【阅读】“作差法”是通过作差、
变形,并利用差的符号比较两个数或代数式的大小的常用方
法,即要比较代数式M,N的大小,只要作出它们的差M-N,若M
-N>0,则M>N;若M-N=0,则M=N;若M-N<0,则M【运用】利用“作差法”解决下列问题:
小丽和小颖分别两次购买同一种商品,小丽两次都买了m千克
商品,小颖两次购买商品均花费n元,已知第一次购买该商品的
价格为a元/千克,第二次购买该商品的价格为b元/千克(a,b是
整数,且a≠b),试比较小丽和小颖两次所购买商品的平均价格的高低.
解析　小丽两次所购买商品的平均价格为 = 元/
千克,小颖两次所购买商品的平均价格为 = 元/千克,
因为 - = = >0,所以小丽两次所购
买商品的平均价格高.(共23张PPT)
第9章　分式
第3课时　分式的混合运算
9.2　分式的运算
　分式的混合运算
1.(2025安徽安庆宿松三模)化简 · 的结果是 ( )
A.a+b　　　 B. 　　　 C.a-b　　　 D.
A
解析　原式= · = · =a+b.
2.(2025陕西西安期末)分式运算 □ 的结果是x-1,
则□处的运算符号是 ( )
A.+　　　 B.-　　　 C.×　　　 D.÷
D
解析 1- = , = ,
÷ = · =x-1,故选D.
3.计算:
(1)(2025江苏扬州中考) ÷ =___________.
(2)(2025黑龙江绥化中考)1- ÷ =_______.
-
x-2
解析 (1)原式= ·x=x-2.
(2)原式=1- · = - =- .
4.化简:
(1)(2025陕西中考) ÷ .
(2)(2025江西中考) ÷ .
(3)(2025四川泸州中考) ÷ .
解析 (1)原式= · = · =x+2.
(2)原式= · = · = =
.
(3)原式= ÷
= ÷ = ·
= .
5.(2025浙江温州期末)数学课上,老师要求同学们对
· 进行化简,下面是小温和小州同学的部分运
算过程:
小温同学的解法: 原式= · =…… 小州同学的解法:
原式= · + · =
……
(1)小温同学解法的依据是_______,小州同学解法的依据是
_______.(填序号)
①等式的基本性质;②分式的基本性质;③分配律;④乘法交换
律.
(2)请选择一种解法,写出完整的解答过程.
解析 (1)②;③.
(2)答案不唯一,原式= ·
= ·
= ·
= .
　分式的化简求值
6.【学科特色·整体思想】(2025四川成都高新区模拟)若m2+2
m-3=0,则代数式 · 的值为_________.
3
解析　原式= · = · =m(m+2)=m2+2m,
因为m2+2m-3=0,所以m2+2m=3,即原式=3.
7.(2025安徽安庆模拟)先化简,再求值: ÷ ,其中a=-2.
解析　原式= ÷
= · =a+1,
当a=-2时,原式=-2+1=-1.

8.【学科特色·多解法】(2025广东广州荔湾一模,★★☆)如果
m+n=1,那么代数式 ·(n2-m2)的值为 ( )
A.-3　　　 B.-1　　　 C.1　　　 D.3
A
解析　【解法一】原式= ·(n2-m2)= ·
(n+m)(n-m)=-3(n+m)=-3.
【解法二】原式= ·(n-m)(n+m)+ ·(n-m)(n+m)=
·(n-m)+ ·(n-m)= + = = =
-3.
9.(2025四川遂宁中考,★★☆)先化简,再求值: ÷
,其中a满足a2-4=0.
解析　原式= · = · = ,
因为a2-4=0,a-2≠0,所以a=-2,
所以原式= = .
10.【新考向·新定义题】(2025广东深圳宝安模拟改编,★★
☆)如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式
的和的形式,那么称这个分式为“和谐分式”.如: =
= + =1+ ,则 是“和谐分式”.
(1)① ,② 中,属于“和谐分式”的是_______(填序号).
(2)先化简 - ÷ ,再求出x取何整数时,该式的值
为整数.
解析 (1)① =1+ ,② =1+ ,所以①②都属于“和
谐分式”.故答案为①②.
(2)原式= - · = - = =
= =3+ ,
因为x为整数,该式的值为整数,
所以x+1=±1或x+1=±2,
所以x=0或x=-2或x=1或x=-3.
因为x≠±1且x≠0且x≠-2,所以x=-3.

11.【新课标·运算能力】(2025山西临汾霍州月考)阅读下列
材料,完成后面任务.
在初中数学学习阶段,我们常常会利用一些变形技巧来化简
式子,从而达到快速解答问题的目的.
比如在解决某些分式问题时,倒数法是常用的变形技巧之
一.所谓倒数法,即把式子变成其倒数形式,从而运用约分化
简,以达到计算目的.
例:若 = ,求代数式x+ 的值.
解:因为 = ,所以 =2,
所以 + =2,所以x+ =2.
任务:
(1)若 = ,则代数式x+ 的值为_______.
(2)已知 = .
①求x+ 的值.
②求 的值.
解析 (1)因为 = ,所以 = ,
所以 + = ,所以2× = ×2,
所以x+ = .故答案为 .
(2)①因为 = ,所以 =2,
所以x-3+ =2,所以x+ =5.
②因为 =x2+2+ = =52=25,
所以 = .(共28张PPT)
第9章　分式
第1课时　分式方程及其解法
9.3　分式方程
　分式方程的定义
1.下列式子是分式方程的是 ( )
A. =2x+ 　　　 B. + =
C. = 　　　 D. -
C
解析　选项A,B中,方程的分母中不含字母,故不是分式方程,
选项D是代数式,不是方程.
　分式方程的解法
2.(2025湖南中考)将分式方程 = 去分母后得到的整式方
程为 ( )
A.x+1=2x　　　 B.x+2=1
C.1=2x　　　 D.x=2(x+1)
A
解析　原方程两边同乘x(x+1),得x+1=2x.
3.【新考向·新定义题】(2025浙江杭州临平模拟)对于实
数a,b,定义一种新运算“☆”:a☆b= .例如:1☆3= =
-2,则方程(-2)☆x=1的解是 ( )
A.x=1　　　 B.x=3　　　 C.x=-3　　　 D.x=-1
C
解析　由题意得 =1,去分母,得-2+x=1+2x,解得x=-3,经检
验,x=-3是分式方程的解.
4.直接写出下列分式方程的解:
(1)(2025湖南长沙中考) = 的解为x=______________.
(2)(2025北京中考)方程 + =0的解为x=___________.
x=2
x=1.25
解析 (1)去分母、去括号,得6x-3=2x+2,解得x=1.25,经检验,x
=1.25是原分式方程的解.
(2)去分母,得2x+x-6=0,解得x=2,经检验,x=2是原分式方程的解.
5.解方程:
(1) -1= .　　　 (2) =1- .
解析 (1)去分母,得x-2-(2x-1)=-1,
去括号,得x-2-2x+1=-1,解得x=0,
经检验,x=0是原分式方程的解.
(2)去分母,得2=x2-4-x(x+2),
去括号,得2=x2-4-x2-2x,解得x=-3,
经检验,x=-3是原分式方程的解.
6.(2025广东中考节选)在解分式方程 = -2时,小李的解
法如下:
第一步: ·(x-2)=- ·(x-2)-2,
第二步:1-x=-1-2,
第三步:-x=-1-2-1,
第四步:x=4.
第五步:检验:当x=4时,x-2≠0,
第六步:∴原分式方程的解为x=4.
判断小李的解答过程是否正确.若不正确,请写出你的解答过
程.
解析　小李的解答过程不正确.
正确的解答过程如下:
= -2,两边同时乘(x-2),
得 ·(x-2)=- ·(x-2)-2(x-2),
整理,得1-x=-1-2x+4,解得x=2.
检验:当x=2时,x-2=0,
所以原分式方程无解.
　分式方程的增根
7.(2025安徽淮北期末)若关于x的分式方程 - =1有增
根,则m的值为 ( )
A.2　　　 B.1　　　 C.3　　　 D.-3
D
解析　将方程去分母,得m+3=x-1.
因为分式方程有增根,所以x-1=0,即x=1,
把x=1代入整式方程,得m+3=0,解得m=-3.
8.(2025上海杨浦期末)如果x=2是关于x的方程 = +1
的增根,那么实数k的值为_________.
4
解析　去分母,得x+2=k+x2-4,
把x=2代入,得k=4.
9.(2025安徽淮南期末)已知关于x的方程 + =5.
(1)当m取何值时,此方程的解为x=3
(2)当m取何值时,此方程会产生增根
解析 (1)将x=3代入分式方程,
得 + =5,解得m=6.
(2)去分母,得x+2m=5(3x-6),
当3x-6=0,即x=2时,分式方程有增根,
将x=2代入整式方程,得2+2m=0,解得m=-1,
所以当m=-1时,此方程会产生增根.

10.(2025安徽合肥五十中期末,★★☆)已知关于x的分式方程
-2= 的解是非负数,则m的取值范围是 ( )
A.m≤5且m≠-3　　　 B.m<5且m≠-3
C.m≤5且m≠3　　　 D.m<5且m≠3
C
解析 -2= ,去分母,得1-m-2(x-1)=-2,解得x= ,因为
分式方程的解是非负数,所以 ≥0,且 ≠1,解得m≤5
且m≠3,所以m的取值范围是m≤5且m≠3.
11.【新考向·新定义题】(2025黑龙江哈尔滨模拟,★★☆)对
于实数a,b,定义一种新运算“△”:a△b= ,这里等式右边
是实数运算,例如:1△3= =- ,则方程x△(-3)= -1的解
是___________.
x=6
解析　根据新定义,得 = -1,解得x=6,
检验:当x=6时,x-9≠0,所以x=6是原分式方程的解.
12.(2025安徽合肥蜀山期末,★★☆)已知关于x的分式方程
+ = 有增根x=1,那么k的值是_______.
　-1
解析　去分母,得x(x+1)+k(x+1)=x(x-1),
整理,得(2+k)x+k=0,
把x=1代入,得2+k+k=0,解得k=-1.
13.(2025安徽亳州期末,★★★)若关于x的一元一次不等式组
的解集为x≥3.
(1)a的取值范围是___________.
(2)要使关于y的分式方程 + =-1有正整数解,则所有满
足条件的整数a的值之和是__________.
15
a<8
解析 (1)解不等式x+1≥ ,得x≥3,
解不等式3x>a+1,得x> ,
因为不等式组的解集为x≥3,
所以 <3,解得a<8.
(2) + =-1,去分母,得y-a=-y+1,
解得y= ,因为分式方程有正整数解,a<8,
所以-1当y= =1,即a=1时,分式方程无解,所以a≠1,要使分式方程
有正整数解,a的值为3,5,7,所以满足条件的整数a的值之和为3
+5+7=15.
14.(★★☆)关于x的方程 + = .
(1)若方程的增根为x=2,求m的值.
(2)若方程有增根,求m的值.
(3)若方程无解,求m的值.
解析　去分母,得2(x+1)+mx=3(x-2),
整理,得(1-m)x=8.
(1)若方程的增根为x=2,则(1-m)×2=8,
解得m=-3.
(2)若方程有增根,则(x+1)(x-2)=0,
所以x=2或x=-1.
当x=2时,(1-m)×2=8,解得m=-3;
当x=-1时,(1-m)×(-1)=8,解得m=9.
综上,m的值为-3或9.
(3)若方程无解,则(1-m)x=8无解或方程有增根.
当(1-m)x=8无解时,1-m=0,解得m=1;
当方程有增根时,m=-3或m=9.
综上,m的值为1或-3或9.

15.【新课标·运算能力】(2025安徽亳州期末)先阅读下面的
材料,然后回答问题:
方程x+ =2+ 的解为x1=2,x2= ;
方程x+ =3+ 的解为x1=3,x2= ;
方程x+ =4+ 的解为x1=4,x2= ;
……
(1)观察上述方程的解,猜想关于x的方程x+ =6+ 的解是_____.
(2)根据上面的规律,猜想关于x的方程x+ =a+ 的解是______.
(3)由(2)可知,在解方程y+ = 时,可以变形转化为x+ =a+
的形式求值,按要求写出你的变形求解过程.
(4)利用(2)的结论解方程: + = .
解析 (1)x1=6,x2= .
(2)x1=a,x2= .
(3)由y+ = ,得y+ = ,即y+1+ =3+ ,
所以y+1=3或y+1= ,解得y1=2,y2=- .
(4)设 =m,则方程 + = 可化为m+ =4+ .
由(2)可知m1=4,m2= ,
所以 =4或 = ,
解分式方程 =4,得x=- ,
解分式方程 = ,得x= ,
故原方程的解为x1=- ,x2= .(共15张PPT)
第9章　分式
第3课时　约分
9.1　分式及其基本性质
　分式的约分
1.(2025江苏无锡滨湖期中)约分 的结果是 ( )
A.3x　　　 B.3xy　　　 C.3xy2　　　 D.3x2y
B
解析　原式= =3xy.
2.下列各式中,约分正确的是 ( )
A. =-1　　　 B. =a
C. = 　　　 D. =
C
解析 不能约分; =a2; = = ; = .故
选项C正确.
3.约分:(1)(2025湖南中考) =__________.
(2)(2025安徽合肥长丰一模) =___________.
x-1
x2
解析 (1)原式= =x2.
(2)原式= =x-1.
4.约分:
(1) .　　　 (2) .
(3) .　　　 (4) .
解析 (1)原式= =- .
(2)原式= = .
(3)原式= = .
(4)原式= = = .
　最简分式
5.(2025安徽合肥四十中期末)下列分式是最简分式的是
( )
A. 　　　 B. 　　　 C. 　　　 D.
B
解析　选项A中,分子分母中含有公因式a,不是最简分式;选项
B中,分子分母中不含公因式,是最简分式;选项C中,分子分母
中含有公因式a,不是最简分式;选项D中,分子分母中含有公因
式a-b,不是最简分式.
6.(2025山东济南历下期中)若分式 是最简分式,则△表
示的整式可能是 ( )
A.2a+2b　　　 B.a2+b2
C.a2+2ab+b2　　　 D.(a-b)2
B
解析　选项A, = = ,不是最简分式;选项
B, 是最简分式;选项C, = = ,
不是最简分式;选项D, = = ,不是最简分
式.

7.【学科特色·整体思想】(2025北京中考,★★☆)已知a+b-3=
0,求代数式 的值.
解析　因为a+b-3=0,所以a+b=3,
所以原式= = = = .
8.【新考向·新定义题】(2025江苏扬州仪征期中,★★★)给出
定义:若一个分式约分后分子是一个常数,分母是一个一次整
式,则称这个分式为“好看分式”,例如, = =
,则 是“好看分式”.根据上述定义,解决问题.
(1)分式 , ,其中是“好看分式”的是_______.
(2)①若分式 (m为常数且m≠0)是一个“好看分式”,
求m的值.
②若分式 (m为常数且m≠0)是一个“好看分式”,
求m的值.
(3)若分式 (m,n为常数且mn≠0)是一个“好看分
式”,且m,n都是正整数,直接写出m的所有可能结果.
解析 (1)因为 = = ,所以 是“好看分
式”.因为 的分母x2+1无法在实数范围内分解,分子分母
无公因式,无法约分,所以 不是“好看分式”.故答案为
.
(2)①将 的分母分解,得2x2+4x=2x(x+2),因为该分式为
“好看分式”,m≠0,所以x+m=x+2,即m=2,
此时 化简为 ,符合“好看分式”的定义.
故m的值为2.
②设 的分母分解可得(x-1)(x+k),
则(x-1)(x+k)=x2+mx+2,
所以x2+(k-1)x-k=x2+mx+2,
所以-k=2,k-1=m,解得k=-2,m=-3.
(3)m的可能值为1,2,3.
详解:设 的分母分解可得(x+m)(x+a),
则(x+m)(x+a)=x2+4x+n,
所以x2+(m+a)x+ma=x2+4x+n,
所以m+a=4,ma=n,
因为m,n都是正整数,所以a>0,
当m=1时,a=3,n=3;
当m=2时,a=2,n=4;
当m=3时,a=1,n=3.
综上,m的可能值为1,2,3.(共27张PPT)
第9章　分式
第1课时　分式的乘除
9.2　分式的运算
　分式的乘法
1.(2025山东济南槐荫期末)计算 · 的结果是 ( )
A. 　　　 B. 　　　 C.xy　　　 D.
D
解析　原式= = = .
2.(2025山东济南期末) · 的结果是 ( )
A. 　　　 B. 　　　 C. 　　　 D.
A
解析　原式= · = .
3.计算:(1) · =_____________.
(2) · =_________.
x2+xy
解析 (1)原式= · =x2+xy.
(2)原式= · = .
4.计算:
(1)- · .　　　 (2) · .
(3)(2025海南海口二模) · .
解析 (1)原式=- .
(2)原式= · = .
(3)原式= · =a.
5.(2025吉林中考)先化简,再求值: · ,其中a=2 025.
解析　原式= · =a+1,
当a=2 025时,原式=2 025+1=2 026.
　分式的除法
6.(2025辽宁本溪二模)化简 ÷ 的结果为 ( )
A.-2m-2n　　　 B.2n-2m
C.2m-2n　　　 D.2m+2n
D
解析　原式= · =2(m+n)=2m+2n.
7.美琪在做数学作业时,不小心将式子中除号后边的代数式污
染,即 ÷ ,老师告诉她正确的计算结果为 ,则被
污染的代数式为 ( )
A. 　　　 B. 　　　 C. 　　　 D.
C
解析　根据题意得 ÷ = · =
,故被污染的代数式为 .
8.(2025湖北武汉硚口模拟)计算 ÷ 的结果是_____.
解析　原式= · = .
9.计算:
(1)-3xy2÷ .　　　 (2) ÷ .
(3) ÷ .　　　 (4) ÷ .
解析 (1)原式=-3xy2· =- x2.
(2)原式= · = .
(3)原式= ÷ = · = · = .
(4)原式= · = x.
10.(2025安徽中考)先化简,再求值:
÷ ,其中x=3.
解析　原式= ·(x+1)(x-1)= ,
当x=3时,原式= =1.
　分式的乘方
11.(2025福建泉州晋江期中)计算 · 的结果是 ( )
A.m　　　 B.m2　　　 C.m3　　　 D.3m
A
解析　原式= · =m.
12.计算 · 的结果是 ( )
A. 　　　 B. 　　　 C. 　　　 D.
B
解析　原式= · = .
13.计算: ÷ =_________.
解析　原式= ÷ = · =
= .
14.计算:
(1) ÷ · .
(2) ÷ · .
解析 (1)原式= · · =- .
(2)原式= · ·
=- .

15.(2025河北保定二模,★★☆)若分式 ÷ 可进行约分
化简,则整式P不可以是 ( )
A.x-2　　　 B.x(x-2)　　　 C.x　　　 D.x2-4
C
解析　当P=x-2时, ÷ = · = ,选项A不符合
题意;当P=x(x-2)时, ÷ = · = ,选项B不
符合题意;当P=x时, ÷ = · ,不能约分化简,选项
C符合题意;当P=x2-4时, ÷ = · =
= ,选项D不符合题意.
16.(2025安徽合肥瑶海期末,★★☆)已知 ÷ 是一道
分式化简题,其中一部分被墨水污染了,若只知道该题化简的
结果为整式,则被墨水覆盖的部分不可能是 ( )
A.x-3　　　 B.x-2　　　 C.x+3　　　 D.x+2
A
解析 ÷ = · =
,结果不是整式,故选项A符合题意;
÷ = · =(x+2)·(x+3),结果是整
式,故选项B不符合题意;
÷ = · =(x+2)·(x-2),结果是整
式,故选项C不符合题意;
÷ = · =(x-2)·(x+3),结果是整
式,故选项D不符合题意.
17.(2025江西南昌模拟,★★☆)若分式 除以
的商是整数,则整数m的值为_________.
2
解析　根据题意得 ÷ = ÷ =
· = .
因为分式 除以 的商是整数,m为整数,
所以m-1=1或m-1=-1,所以m=2或m=0.
因为m≠0且m-1≠0,所以m≠0且m≠1,
故整数m的值为2.
18.【新考向·条件开放题】(★★☆)已知A= ,B=
,C= .先在A,B,C中任选2个分式相乘并进行化
简,再从0, ,1中选择一个合适的数作为x的值代入求值.
解析　答案不唯一,若选A×B,
则A×B= · =1-2x,
因为2x+1≠0,2x-1≠0且x≠0,所以x≠± 且x≠0,
所以x的值取1,当x=1时,原式=1-2=-1.

19.【新课标·应用意识】如图,A玉米试验田是半径为R m的圆
去掉宽为1 m的出水沟后剩下的部分,B玉米试验田是半径为R
m的圆中间去掉半径为1 m的圆后剩下的部分,两块试验田的
玉米都收了450 kg.
(1)哪块试验田的单位面积产量高
(2)高的单位面积产量是低的单位面积产量的多少倍
解析 (1)根据题意可知A玉米试验田的面积是π(R-1)2 m2,
B玉米试验田的面积是π(R2-12) m2,
因为(R2-12)-(R-1)2=2(R-1)>0,
所以0<(R-1)2所以A玉米试验田的单位面积产量高.
(2) ÷ = × = ,所以高
的单位面积产量是低的单位面积产量的 倍.

展开更多......

收起↑