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(共25张PPT)
第10章　相交线、平行线与平移
10.4　平移
　平移
1.(2025江苏泰州期末)下列生活现象中,属于平移的是 ( )
A.对折一张纸　　　 B.汽车轮胎在地上滚动
C.拉开抽屉　　　 D.时钟上分针的运动
C
2.(2025河北唐山路南月考)窗棂是中国传统木构建筑的框架
结构.下列各样式的窗棂图案中,可以看成由一个“基本图
案”经过平移得到的是 ( )
A　　　 B　　　 C　　　 D
C
解析　选项C中的图形可以通过一个“基本图形”平移得到,
因此选项C符合题意.
　平移的性质
3.(2025江苏无锡江阴期末)如图,将三角形ABC沿AC方向平移
得到三角形DEF,若AC=9,CD=5,则CF的长为 ( )
A.3　　　 B.3.5　　　 C.4　　　 D.4.5
C
解析　由三角形ABC沿AC方向平移得到三角形DEF,得DF=
AC=9,所以CF=DF-CD=9-5=4.
4.(2025安徽淮南期中)如图,∠ACB=90°,将直角三角形ABC沿
着射线BC方向平移6 cm,得到三角形A'B'C',已知BC=3 cm,AC
=4 cm,则阴影部分的面积为__________cm2.
18
解析　由题意可得S平行四边形ABB'A'=6×4=24(cm2),S三角形ABC= ×3×4
=6(cm2),所以S阴影=S平行四边形ABB'A'-S三角形ABC=24-6=18(cm2).
5.【学科特色·教材变式P150习题T2】(2025四川凉山州中考)
如图,将周长为20的三角形ABC沿BC方向平移2个单位长度得
到三角形DEF,连接AD,则四边形ABFD的周长为__________.
24
解析　因为三角形ABC的周长为20,所以AB+AC+BC=20,由平
移可知DF=AC,AD=CF=2,
所以四边形ABFD的周长=AB+BF+DF+AD=AB+BC+CF+AC+
AD=20+2+2=24.
　平移作图
6.(2025安徽合肥五十中期末)如图所示的正方形网格中,每个
小正方形的边长都为1个单位长度,三角形ABC的顶点都在正
方形网格的格点上,将三角形ABC经过平移后得到三角形A1B1
C1,其中点B1是点B的对应点.
(1)画出平移后得到的三角形A1B1C1.
(2)连接AA1,BB1,则线段AA1,BB1的关系为_______.
(3)三角形A1B1C1的面积为_______.
解析 (1)如图,三角形A1B1C1即为所求.

(2)平行且相等.
(3)三角形A1B1C1的面积为 ×(2+3)×5- ×3×3- ×2×2=
- -2=6.

7.【新考向·规律探究题】(2025江苏常州溧阳期中,★★★)如
图,长方形ABCD中,AD=5,第1次平移将长方形ABCD沿AD的
方向向右平移4个单位,得到长方形A1B1C1D1,第2次平移将长
方形A1B1C1D1沿A1D1的方向向右平移4个单位,得到长方形A2B2
C2D2,……,以此类推,第n次平移将长方形An-1Bn-1Cn-1Dn-1沿An-1Dn-
1的方向向右平移4个单位,得到长方形AnBnCnDn(n>2),则ADn的
长是 ( )
C
A.4n+1　　　 B.4n+4
C.4n+5　　　 D.5n+5
解析　因为每次向右平移4个单位,所以n次向右平移4n个单
位,所以ADn=4n+AD=4n+5.
8.(2025江苏无锡宜兴期末,★★☆)如图,长方形ABCD的对角线
AC=5,AB=3,BC=4,则图中五个小长方形的周长之和为_____.
14
解析　题图中五个小长方形的周长之和=AB+BC+CD+AD=3
+4+3+4=14.
9.(2025安徽合肥包河期末,★★☆)如图,将直角三角形ABC沿
BC方向向右平移得到直角三角形DEF,DE与AC交于点H.若
∠B=90°,AB=8,DH=3,阴影部分的面积为26,则平移的距离为
_________.
4
解析　因为直角三角形ABC沿BC方向向右平移得到直角三
角形DEF,所以AB=DE,阴影部分的面积等于梯形ABEH的面
积,因为AB=8,DH=3,所以HE=DE-DH=8-3=5,因为阴影部分的
面积为26,所以 (AB+HE)·BE=26,即 ×(8+5)·BE=26,解得BE=
4.故平移的距离为4.
10.(2025吉林白山浑江期中,★★☆)如图①,将三角形ABD平
移得到三角形A'B'D',点D的对应点D'与BD延长线上的点C重
合,A'B'交AC于点E,AD平分∠BAC.
(1)猜想∠B'EC与∠A'之间的关系,并加以说明.
(2)如图②,将三角形ABD平移得到三角形A'B'D',C在BD的延
长线上,AC过点A',AD平分∠BAC,A'D'平分∠B'A'C吗 为什么
解析 (1)∠B'EC=2∠A'.理由如下:
因为AD平分∠BAC,所以∠BAC=2∠BAD.
由平移的性质得A'B'∥AB,∠BAD=∠A',
所以∠B'EC=∠BAC,∠BAC=2∠A',
所以∠B'EC=2∠A'.
(2)A'D'平分∠B'A'C.理由如下:
因为AD平分∠BAC,所以∠BAD=∠CAD,
由平移的性质得AD∥A'D',∠BAD=∠B'A'D',
所以∠CA'D'=∠CAD,所以∠B'A'D'=∠CA'D',
所以A'D'平分∠B'A'C.

11.【新课标·推理能力】(2025江西南昌期末)如图,直线AB∥
CD,直线EF与AB,CD分别交于点G,H,∠EHC=α(0°新将一个含30°角的直角三角尺PMN按如图1所示的方式放
置,使点N,M分别在直线AB,CD上,三角形PMN中,∠P=90°,∠
PMN=60°.
(1)填空:∠PNA+∠PMC=_______°.
(2)若PM∥EF,∠MNG的平分线NO交直线CD于点O.
①如图2,当NO∥EF时,求α的度数.
②小新将三角尺PMN向右平移,直接写出∠MON的度数(用含
α的式子表示).
解析 (1)如图,过点P作PQ∥AB.
因为AB∥CD,所以AB∥PQ∥CD,
所以∠ANP=∠NPQ,∠QPM=∠PMC.
因为∠NPQ+∠QPM=∠NPM=90°,
所以∠PNA+∠PMC=90°.故答案为90.
(2)①因为NO平分∠MNG,所以∠ONM=∠ONB.
因为AB∥CD,所以∠ONB=∠NOM,
所以∠ONM=∠NOM=∠ONB.
因为PM∥EF,NO∥EF,所以PM∥EF∥NO,
所以∠ONM=∠PMN=60°,∠NOM=∠EHC,
所以α=60°.
②∠MON的度数为30°+ 或60°- .
详解:当点N在点G的左侧时,
由①可知,∠MON=∠ONM=∠ONG.
因为PM∥EF,所以∠PMC=∠EHC=α.
由(1)可知∠PMC+∠ANP=90°,
所以∠ANP=90°-α.
因为∠ANP+∠PNM+∠MNG=180°,
所以90°-α+30°+2∠MON=180°,
所以∠MON=30°+ .
当点N在点G的右侧时,同法可得∠MON=60°- .
综上所述,∠MON的度数为30°+ 或60°- .(共27张PPT)
第10章　相交线、平行线与平移
第2课时　垂线
10.1　相交线
　垂线的定义
1.(2025广东汕头潮南期末)如图,AB⊥CD于O,EF为经过点O
的一条直线,那么∠1与∠2的关系是 ( )
A.互为对顶角　　　 B.互补 C.互余　　 D.相等
C
解析　因为AB⊥CD,所以∠BOD=90°.
又因为EF为过点O的一条直线,
所以∠1+∠2=180°-∠BOD=90°,即∠1与∠2互余.
2.(2025北京海淀期末)如图,直线AB,CD相交于点O,EO⊥CD,
垂足为O.若∠AOD=125°,则∠BOE的大小为 ( )
A.35°　　　 B.45°　　　 C.55°　　　 D.65°
A
解析　因为∠AOD和∠BOC是对顶角,
所以∠AOD=∠BOC=125°.因为EO⊥CD,
所以∠COE=90°,所以∠BOE=∠BOC-∠COE=35°.
3.【跨物理·光的反射】(2025广东清远英德期末)如图,将平面
镜放置在水平桌面AB上,光线CO经过平面镜反射形成光线
OD.已知EO⊥AB,∠AOC=35°,∠COE=∠DOE,则∠BOD的度
数为___________.
35°
解析　因为EO⊥AB,所以∠BOE=∠AOE=90°.
因为∠COE=∠DOE,所以∠BOE-∠DOE=∠AOE-∠COE,所
以∠BOD=∠AOC=35°.
4.(2025安徽安庆太湖期中)如图,已知直线AB和CD相交于点O,OE⊥AB,OF平分∠BOD,∠COE=20°,求∠AOC,∠BOF的度数.
解析　因为OE⊥AB,所以∠AOE=90°.
因为∠COE=20°,所以∠AOC=90°-20°=70°,
所以∠BOD=∠AOC=70°.
因为OF平分∠BOD,
所以∠BOF= ∠BOD=35°,
所以∠AOC,∠BOF的度数分别为70°和35°.
　垂线的画法
5.(2024安徽合肥庐江月考)过点P作AB的垂线CD,下列选项
中,直角三角尺的放法正确的是 ( )
C
A B C D
解析　用直角三角尺的一条直角边(所在直线)与AB重合,移
动三角尺使另一条直角边过点P,然后沿过点P的直角边画直
线即可.故选C.
　垂线的基本事实
6.(2025上海普陀期末改编)如图,在同一平面内,如果直线OA
垂直于直线l,直线OB垂直于直线l,垂足为点O,那么直线OA与
直线OB重合的理由是_________________________________
_____________________.
线与已知直线垂直
同一平面内,过一点有且只有一条直
　垂线段及其性质
7.【学科特色·教材变式P133T2】(2025安徽宿州埇桥期中)如图,点P到一条笔直的公路MN共有四条路径,若要用相同速度从点P到公路,最快到达的路径是线段PB,这一选择用到的数学知识是______________.
垂线段最短
解析　因为PB⊥MN,所以根据垂线段最短得出最快到达的路
径是线段PB.
　点到直线的距离
8.(2025安徽合肥四十二中期末)如图,AC⊥BC,CD⊥AB,则点B
到AC的距离为 ( )
A.线段BD的长度　　　 B.线段AC的长度
C.线段CD的长度　　　 D.线段BC的长度
D
解析　因为BC⊥AC,所以点B到AC的距离为线段BC的长度.

9.(2024安徽合肥庐江月考,★★☆)如图,笔直小路DE的一侧
栽种有两棵小树BM,CN,小明测得AB=4 m,AC=6 m,则点A到
DE的距离可能为(所有点均在同一平面内) ( )
A.6 m　　　 B.5 m　　　 C.4 m　　　 D.3 m
D
解析　根据垂线段最短得,点A到DE的距离小于AB的长,故点
A到DE的距离可能为3 m.故选D.
10.(2025安徽合肥蜀山期末,★★☆)如图,直线AB和CD相交于O
点,OM⊥AB,∠BOD∶∠COM=1∶3,则∠AOD的度数为______.
157.5°
解析　因为OM⊥AB,所以∠BOM=90°,
所以∠BOD+∠COM=90°.
因为∠BOD∶∠COM=1∶3,所以∠BOD=22.5°,所以∠AOD=
180°-∠BOD=157.5°.
11.(2025安徽合肥庐江期中,★★☆)已知点O在直线AB上,OC
⊥OD,OE平分∠BOC.
(1)如图1,若∠AOC=30°,则∠DOE的度数是___________.
(2)如图2,若∠DOE=α,则∠AOC的度数是__________(用含α的代
数式表示).
2α
15°
解析 (1)因为∠AOC=30°,
所以∠BOC=180°-∠AOC=150°.
因为OE平分∠BOC,
所以∠COE= ∠BOC=75°.
因为OC⊥OD,所以∠COD=90°,
所以∠DOE=∠COD-∠COE=15°.
(2)因为OC⊥OD,所以∠COD=90°,
所以∠COE=90°-∠DOE=90°-α,
因为OE平分∠BOC,
所以∠BOC=2∠COE=180°-2α,
所以∠AOC=180°-∠BOC=180°-180°+2α=2α.
12.(2025安徽池州期末,★★☆)如图,直线AB,CD相交于点O,
OM⊥AB.
(1)若∠1=∠2,判断ON与CD的位置关系,并说明理由.
(2)若∠1= ∠BOC,求∠BOD的度数.
解析 (1)ON⊥CD.
理由:因为OM⊥AB,所以∠AOM=90°,
所以∠AOC+∠1=90°.
因为∠1=∠2,所以∠AOC+∠2=90°,
即∠CON=90°,所以ON⊥CD.
(2)因为OM⊥AB,所以∠BOM=90°,
所以∠BOC=∠1+∠BOM=∠1+90°.
因为∠1= ∠BOC,即∠BOC=4∠1,
所以4∠1=∠1+90°,
所以∠1=30°,
所以∠BOD=180°-∠1-∠BOM=60°.
13.【学科特色·分类讨论思想】(2025安徽阜阳太和期末,★
★☆)如图,直线AB,CD相交于点O,OB平分∠DOE.
(1)若∠BOD=30°,求∠COE的度数.
(2)若∠BOD=36°,作OF⊥CD,求∠AOF的度数.
解析 (1)由题意可知∠DOE=2∠BOD=60°,
所以∠COE=180°-∠DOE=180°-60°=120°.
(2)当OE,OF在AB的同侧时,如图1,
由题意可知∠AOC=∠BOD=36°,
因为OF⊥CD,所以∠COF=90°,
图1
所以∠AOF=∠AOC+∠COF=36°+90°=126°;
当OE,OF在AB的异侧时,如图2,
由题意可知∠AOC=∠BOD=36°,
因为OF⊥CD,所以∠COF=90°,
所以∠AOF=∠COF-∠AOC=90°-36°=54°.
图2
综上,∠AOF的度数为126°或54°.

14.【新课标·推理能力】(2025山东济南济阳期中)如图,直线
AB,CD相交于点O,EO⊥AB,垂足为O,已知∠AOC∶∠EOC=
1∶4,OF在∠BOE内.
(1)若OF平分∠BOE,求∠COF的度数.
(2)若∠AOF的度数比∠EOF的度数的3倍多54°,试判断OC与
OF是否垂直,并说明理由.
解析 (1)根据题意,得∠AOC+∠EOC=∠AOE=∠BOE=90°.
因为∠AOC∶∠EOC=1∶4,
所以∠AOC=90°× =18°,
所以∠EOC=90°-∠AOC=72°.
因为OF平分∠BOE,
所以∠EOF=∠BOF= ∠BOE=45°,
所以∠COF=∠COE+∠EOF=72°+45°=117°.
(2)OC⊥OF.理由如下:
设∠EOF=x,则∠AOF=3x+54°,根据题意,得3x+54°=90°+x,
解得x=18°,所以∠EOF=18°,
由(1)得,∠COE=72°,
所以∠COE+∠EOF=72°+18°=90°,所以OC⊥OF.(共27张PPT)
第10章　相交线、平行线与平移
第1课时　对顶角
第2课时　垂线
10.1　相交线
　对顶角及其性质
1.【学科特色·教材变式P129T1】(2025安徽亳州期末)下列各
图中,∠1与∠2是对顶角的是 ( )
C
A B C D
解析　选项A和D中,反向延长∠1的两边得不到∠2,故∠1与
∠2不是对顶角;选项B中,∠1和∠2没有公共顶点,故∠1与∠2
不是对顶角;选项C中,∠1和∠2有公共顶点,反向延长∠1的两
边能得到∠2,符合对顶角的概念,故∠1与∠2是对顶角.
2.(2025安徽淮南期末)如图,直线AB与CD相交于点O,若∠3=2
∠1,则∠2等于 ( )
A.60°　　　　B.120°　　　　C.30°　　　　D.150°
A
解析　因为∠1+∠3=180°,∠3=2∠1,
所以∠1= ×180°=60°,所以∠2=∠1=60°.
3.(2025重庆渝北期中)如图,三条直线a,b,c相交于一点,则∠1+
∠2+∠3= ( )

A.360°　　　 B.180°　　　 C.150°　　　 D.120°
B
解析　如图,因为∠2=∠4,所以∠1+∠2+∠3=∠1+∠4+∠3=
180°.
4.(2025安徽合肥庐江期中)如图,直线AB,CD相交于点O,OA平
分∠EOC.
(1)写出图中与∠BOD相等的角.
(2)若∠EOC=70°,求∠BOD的度数.
解析 (1)与∠BOD相等的角是∠AOC,∠AOE.
理由:因为∠AOC和∠BOD是对顶角,
所以∠BOD=∠AOC.
因为OA平分∠EOC,所以∠AOE=∠AOC,
所以∠BOD=∠AOE,
所以与∠BOD相等的角是∠AOC,∠AOE.
(2)因为OA平分∠EOC,∠EOC=70°,
所以∠AOE=∠AOC= ∠EOC=35°.
因为∠AOC=∠BOD,所以∠BOD=35°.
　对顶角的应用
5.(2025山东济南槐荫期中)如图,利用工具测量角,则∠1的大
小为 ( )
A
A.30°　　 B.60° C.120°　　D.150°
解析　根据对顶角相等,得∠1=30°.
6.(2025河北邯郸武安期中)要测量一个古城墙墙角∠AOB的度数,但人站在墙外,无法直接测量,甲、乙两名同学提供了下面的间接测量方案.下列判断正确的是 ( )
A
方案Ⅰ: ①延长AO到点C; ②测出∠COB的度数,即可得到∠AOB的度数. 方案Ⅱ:
①延长AO到点C,延长BO到点D;
②测出∠COD的度数,即可得
到∠AOB的度数.
A.Ⅰ,Ⅱ都可行　　　 B.Ⅰ,Ⅱ都不可行
C.Ⅰ可行、Ⅱ不可行　　　 D.Ⅰ不可行、Ⅱ可行
解析　在方案Ⅰ中,由作图可知∠AOC是平角,所以∠COB与
∠AOB互补,所以∠AOB=180°-∠COB,所以方案Ⅰ可行;在方
案Ⅱ中,由作图可得∠AOB与∠COD是对顶角,所以∠AOB=
∠COD,所以方案Ⅱ可行.
7.(2025安徽阜阳颍上期末)如图所示的是一把剪刀的示意图,
我们可想象成一个相交线模型,若∠AOB+∠COD=76°,则∠
AOB=___________.
38°
解析　因为∠AOB+∠COD=76°,∠AOB=∠COD,所以∠AOB
= ×76°=38°.

8.【跨物理·光的折射】(2025安徽芜湖期末,★★☆)如图,一束光线AO从空气中照射到水中,会发生折射现象,其中AO为入射光线,OB为折射光线,直线DE为法线,点A,O,C在同一条直线上.若∠AOD=50°,∠BOE=35°,则∠BOC的度数为 ( )
A
A.15°　　B.16°　　C.17°　　D.18°
解析　因为∠AOD和∠EOC是对顶角且∠AOD=50°,
所以∠AOD=∠EOC=50°,
所以∠BOC=∠EOC-∠BOE=50°-35°=15°.
9.(2025北京西城期末,★★☆)如图,直线a,b,c两两相交,∠1=40°,∠3=2∠2,则∠4的大小为___________°.
100
解析　因为∠1和∠2是对顶角,所以∠1=∠2.
因为∠1=40°,所以∠2=40°.因为∠3=2∠2,
所以∠3=80°,所以∠4=180°-∠3=100°.
10.【学科特色·易错题】(★★☆)两条直线相交所成的四个角
中,有两个角的度数分别是(2x-10)°和(100-x)°,则x=________.
或90
解析　根据题意可得,2x-10=100-x或2x-10+100-x=180,解得x=
或x=90,故答案为 或90.
易错警示 两直线相交形成的四个角中的两个角,可能是对
顶角,也可能是邻补角,即两个角可能相等,也可能互补,本题易
因漏掉一种情况而出错.
11.(2025安徽芜湖十一中期末,★★☆)如图,直线AB和CD相交
于点O,OE把∠AOC分成两部分,且∠AOE∶∠EOC=3∶5,OF
平分∠BOE.
(1)若∠BOD=72°,求∠BOE的度数.
(2)若∠BOF=2∠AOE+15°,求∠COF的度数.
解析 (1)因为∠AOC和∠BOD是对顶角,
所以∠AOC=∠BOD=72°.
因为∠AOE∶∠EOC=3∶5,
所以∠AOE= ∠AOC=27°,
所以∠BOE=180°-∠AOE=180°-27°=153°.
(2)因为OF平分∠BOE,∠BOF=2∠AOE+15°,
所以∠BOE=2∠BOF=4∠AOE+30°.
因为∠BOE+∠AOE=180°,
所以4∠AOE+30°+∠AOE=180°,解得∠AOE=30°.
所以∠EOF=∠BOF=75°,
因为∠AOE∶∠EOC=3∶5,所以∠EOC=50°,
所以∠COF=75°-50°=25°.

12.【新课标·推理能力】【问题背景】直线EF,CD相交于点
O,∠AOB=90°(OB在OA的逆时针90°方向上),∠AOF的平分线
在直线CD上.
【数学理解】
(1)如图1,OC平分∠AOF.
①若∠AOE=50°,求∠BOD的度数.
②若∠AOE=α,请直接写出∠BOD的度数(用含α的代数式表示).
【构建联系】
(2)如图2,OD平分∠AOF,若∠AOE=β,求∠BOD的度数(用含β
的代数式表示).
【总结应用】
(3)在(2)的条件下,若∠BOD=20°,求∠DOE的度数.
解析 (1)①因为∠AOE=50°,
所以∠AOF=180°-50°=130°.
因为OC平分∠AOF,
所以∠AOC=∠COF= ∠AOF=65°,
所以∠DOE=∠COF=65°.
因为∠AOB=90°,所以∠BOE=90°-∠AOE=40°,
所以∠BOD=∠DOE-∠BOE=25°.
②∠BOD= α.
详解:因为∠AOE=α,所以∠AOF=180°-α.
因为OC平分∠AOF,
所以∠COF= ∠AOF=90°- α,
所以∠DOE=∠COF=90°- α.
因为∠AOB=90°,
所以∠BOE=90°-∠AOE=90°-α,
所以∠BOD=∠DOE-∠BOE= α.
(2)因为∠AOE=β,∠AOB=90°,
所以∠BOF=180°-90°-β=90°-β,∠AOF=180°-β.
因为OD平分∠AOF,
所以∠DOF= ∠AOF=90°- β,
所以∠BOD=∠DOF-∠BOF= β.
(3)由(2)可知∠BOD= ∠AOE,
所以∠AOE=2∠BOD=40°,
又因为∠AOD=∠AOB-∠BOD=70°,
所以∠DOE=∠AOE+∠AOD=110°.(共30张PPT)
第10章　相交线、平行线与平移
10.3　平行线的性质
　平行线的性质
1.(2025浙江中考)如图,直线a,b被直线c所截.若a∥b,∠1=91°,
则 ( )
A.∠2=91°　　B.∠3=91° C.∠4=91°　　　 D.∠5=91°
B
解析　因为∠1=91°,所以∠2=180°-∠1=89°,
因为a∥b,所以∠3=∠1=91°,∠5=∠4=180°-∠1=89°.
2.(2025江苏苏州中考)如图,在A,B两地间修一条笔直的公路,
从A地测得公路的走向为北偏东70°.若A,B两地同时开工,要使
公路准确接通,则∠α的度数应为 ( )

A.100°　　　 B.105°　　　 C.110°　　　 D.115°
C
解析　如图,由题意知AC∥BD,所以∠A+∠B=180°,所以∠B=
180°-70°=110°,即∠α的度数应为110°.
3.(2025安徽芜湖期末)将一副三角尺按如图所示的方式摆放,
使BC∥DE,则∠1的大小为 ( )

A.100°　　　 B.105°　　　 C.115°　　　 D.120°
B
解析　由题意知∠B=30°,∠EDF=45°,
因为BC∥DE,所以∠BDE=∠B=30°.
因为∠BDE+∠EDF+∠1=180°,
所以∠1=180°-30°-45°=105°.
4.(2025安徽合肥肥西期末)如图,已知∠B=50°,AD∥BC,AD平
分∠EAC,求∠C的度数.
解析　因为AD∥BC,所以∠EAD=∠B.
因为∠B=50°,所以∠EAD=50°.
因为AD平分∠EAC,所以∠EAD=∠DAC=50°.
因为AD∥BC,所以∠C=∠DAC=50°.
　平行线判定与性质的综合
5.(2025安徽淮北期末)如图,AD⊥BC于点D,点G为AC上一点,∠CDG=∠B,点E,F分别为AB,BD上的点,连接EF,若∠2+∠3=180°,试说明:EF⊥BC.请补充说明过程,并在括号内填上相应的理由.
证明:因为AD⊥BC(已知),
所以∠ADB=90°(________________),
因为∠CDG=∠B(已知),
所以AB∥_______(________________________),
同位角相等,两直线平行
DG
垂直的定义
所以∠1=_______(____________________________).
两直线平行,内错角相等
∠3
因为∠2+∠3=180°(已知),
所以∠1+_______=180°( ),
所以EF∥AD(_____________________________),
所以∠BFE=∠ADB=90°(_________________________),
所以EF⊥BC(_____________).
垂直的定义
两直线平行,同位角相等
同旁内角互补,两直线平行
等量代换
∠2
6.(2025安徽淮南期中)如图,∠1=∠2,∠C=∠D.求证:DF∥AC.
证明　如图,因为∠1=∠2,∠2=∠3,所以∠1=∠3,
所以BD∥CE,所以∠C=∠DBA.
因为∠C=∠D,所以∠D=∠DBA,所以DF∥AC.

7.(2025安徽合肥包河期末,★★☆)随着人们对环境的日益重
视,骑行单车这种“低碳”出行方式已融入人们的日常生活,
如图所示的是某单车车架的示意图,线段AB,CE,DE分别为前
叉、下管和立管(点C在AB上),EF为后下叉.已知AB∥DE,AD
∥EF,∠BCE=67°,∠CEF=133°,则∠ADE的度数为 ( )
B
A.57°　　　 B.66°　　　 C.67°　　　 D.74°
解析　因为AB∥DE,所以∠BCE=∠DEC.
因为∠BCE=67°,所以∠DEC=67°,
因为∠CEF=133°,
所以∠DEF=∠CEF-∠DEC=133°-67°=66°.
因为AD∥EF,所以∠ADE=∠DEF=66°.
8.【学科特色·铅笔模型】(2023湖北荆州中考,★★★)如图所
示的“箭头”图形中,AB∥CD,∠B=∠D=80°,∠E=∠F =47°,
则图中∠G的度数是 ( )
A.80°　　　 B.76°　　　 C.66°　　　 D.56°
C
解析　如图,延长AB交EG于点M,延长CD交GF于点N,过点G
作AB的平行线GH.
因为∠EBA=80°,所以∠EBM=100°,
又∠E=47°,所以∠EMA=180°-47°-100°=33°,
同理,∠FNC=33°.因为AB∥CD,AB∥HG,
所以HG∥CD∥AB,
所以∠MGH=∠EMA=33°,∠NGH=∠FNC=33°,
所以∠EGF=33°+33°=66°.
9.【学科特色·易错题】(★★☆)如图,已知∠ABC=40°,点D为
∠ABC内部的一点,以D为顶点,作∠EDF,使得DE∥BC,DF∥
AB,则∠EDF=________________.
40°或140°
解析　如图1,延长ED交AB于G,因为DE∥BC,所以∠AGE=∠B
=40°,因为DF∥AB,所以∠EDF=∠AGE=40°.如图2,设DF交
BC于H,因为DF∥AB,所以∠DHC=∠B=40°,因为DE∥BC,所
以∠EDF+∠DHC=180°,所以∠EDF=180°-40°=140°.
综上,∠EDF的度数为40°或140°.
图1　　　 图2
易错警示 当图形位置不明确时,一般来说会有多种可能性,
应根据图形分析问题的所有可能性,防止漏解.

10.【新课标·推理能力】如图,已知AB∥CD,BE,DE的交点
为E,现作如下操作:第一次操作,分别作∠ABE和∠CDE的平
分线,交点为E1;第二次操作,分别作∠ABE1和∠CDE1的平分
线,交点为E2;第三次操作,分别作∠ABE2和∠CDE2的平分线,
交点为E3;……第n(n≥2)次操作,分别作∠ABEn-1和∠CDEn-1的
平分线,交点为En.
(1)若∠BED=120°,则∠BE1D=__________°.
(2)猜想:若∠BED=a°,则∠BEnD=_________°.
60
解析 (1)如图,过点E作AB的平行线EF.
因为AB∥EF,AB∥CD,所以EF∥CD,
所以∠ABE=∠BEF,∠CDE=∠DEF,
所以∠BED=∠BEF+∠DEF=∠ABE+∠CDE.
同理可得∠BE1D=∠ABE1+∠CDE1.
因为BE1平分∠ABE,DE1平分∠CDE,
所以∠ABE1= ∠ABE,∠CDE1= ∠CDE,
所以∠BE1D= ∠BED= ×120°=60°.
(2)由(1)可知∠BE1D= ∠BED,∠BE2D= ∠BED,∠BE3D=
∠BED,……,
所以∠BEnD= ∠BED= °.
微专题　三角尺中的平行线
例
(2025山东济南槐荫期末)小强同学将一副三角尺按如图所示的方式放置,∠A=30°,∠E=45°,点B是公共顶点,边AC∥DE,则∠CBE的度数为 ( )
A.15°　　　 B.20°　　　 C.25°　　　 D.30°
A
解析　如图,因为AC∥DE,所以∠BFC=∠D=90°,所以∠DBC=90°-∠C=90°-60°=30°,所以∠CBE=∠DBE-∠DBC
=45°-30°=15°.
变式1　将一个含30°角的直角三角尺和直尺按如图所示的方
式放置,若∠1=40°,则∠2的度数为 ( )
A.140°　　　 B.130°　　　 C.50°　　　 D.120°
B
解析　如图,因为EF∥GH,所以∠FCD=∠2.因为∠1+∠A+
∠ACB=180°,∠ACB+∠FCD=180°,所以∠FCD=∠1+∠A,
因为∠1=40°,∠A=90°,所以∠2=∠FCD=130°.
变式2 【学科特色·多解法】(2025重庆江北期末)如图,直线
EF∥MN,将含30°角的直角三角尺按如图所示的方式摆放,若
∠1=55°,则∠2的度数为 ( )

A.10°　　　 B.15°　　　 C.25°　　　 D.30°
C
解析　【解法一】如图,过点B作BD∥EF,

因为EF∥MN,所以EF∥MN∥BD,所以∠ABD=∠1=55°,所以
∠CBD=∠ABD-∠ABC=55°-30°=25°.
因为EF∥BD,所以∠2=∠CBD=25°.
【解法二】如图,过点C作CD∥EF,因为EF∥MN,所以EF∥
MN∥CD,所以∠ACD=180°-∠CAM=180°-(55°+90°)=35°,所以
∠2=∠BCD=∠ACB-∠ACD=60°-35°=25°.(共13张PPT)
第10章　相交线、平行线与平移
第2课时　利用同位角判定两直线平行
10.2　平行线的判定
　利用同位角判定两直线平行
1.(2025安徽淮南期中)如图,下列推理中,正确的是 ( )
A.因为∠1=∠3,所以AB∥CD B.因为∠1=∠3,所以AE∥CF
C.因为∠2=∠4,所以AB∥CD D.因为∠2=∠4,所以AE∥CF
D
解析　根据“同位角相等,两直线平行”可知,因为∠2=∠4,
所以AE∥CF.
2.(2025广东佛山顺德期末)如图,已知∠1=110°,要使a∥b,那
么∠2= ( )

A.70°　　　 B.90° C.100°　　　 D.110°
A
解析　如图,根据“同位角相等,两直线平行”可知,当∠3=∠
1=110°时,a∥b,此时∠2=180°-∠3=180°-110°=70°.
3.【新考向·操作实践题】(2025四川成都青白江期末)图①②③是通过移动三角尺过已知直线外一点画它的平行线的方法,请你简单地说出其中的数学原理:________________________.
同位角相等,两直线平行
4.(2025安徽合肥五十中期末改编)如图,将一直角三角尺与纸条叠放在一起,若使得纸条上下两边平行,则可补充一个条件:
_________________.(填一个即可)
2=∠3(答案不唯一)
解析　根据同位角相等,两直线平行,可补充条件∠2=∠3.
5.(2025河南省实验中学月考)如图,直线AB分别与直线AE,BF
相交于点A,B,已知AC⊥AE,BD⊥BF,∠1=35°,∠2=35°,AC与
BD平行吗 AE与BF平行吗 请说明理由.
解析 AC∥BD,AE∥BF.理由如下:
如图,因为∠1=35°,∠2=35°,
所以∠1=∠2,所以AC∥BD.
因为AC⊥AE,BD⊥BF,所以∠EAC=∠FBD=90°.
因为∠1=35°,∠2=35°,
所以∠EAC+∠1=∠FBD+∠2,
即∠EAB=∠FBM,所以AE∥BF.

6.(2025广东深圳福田期末,★★☆)图1是视觉错觉艺术风格
的作品,这种设计利用背景线条、图案的干扰,制造出视觉认
知偏差的冲突,具有很强的趣味性与迷惑性.现将其中的一组
背景线条与直线a,b抽象出来,如图2,根据下列条件能判定a∥
b的是 ( )
A
A.∠1=∠2　　 B.∠1=∠5 C.∠2+∠4=180°　 D.∠2=∠3
解析　因为∠1=∠2,所以a∥b(同位角相等,两直线平行),故选
项A符合题意.
7.(2025山西吕梁离石期中,★★☆)为响应国家新能源建设,某
市公交站亭装上了太阳能电池板.如图,电池板AB与水平线的
夹角为30°,电池板CD与水平线的夹角为40°,要使AB∥CD,
需将电池板CD逆时针旋转α(0°<α<90°),则α的度数为______.
10°
解析　根据“同位角相等,两直线平行”可知,要使AB∥CD,
需要CD与水平线的夹角为30°,所以需将电池板CD逆时针旋
转40°-30°=10°.故α的度数为10°.(共27张PPT)
第10章　相交线、平行线与平移
第3课时　利用内错角、同旁内角判定两直线平行
10.2　平行线的判定
　利用内错角判定两直线平行
1.(2025江苏南通启东期末)下列图形中,由∠1=∠2能判定AB
∥CD的是 ( )
B
A B C D
解析　在选项A和选项D中,由∠1=∠2不能判定AB∥CD;在
选项B中,根据“内错角相等,两直角平行”,由∠1=∠2可判定
AB∥CD;在选项C中,由∠1=∠2可判定AD∥BC.
2.【学科特色·教材变式P143T2】如图,下列能判定AB∥CD的
条件是 ( )
A.∠A=∠C　　　 B.∠2=∠5
C.∠3=∠4　　　 D.∠1=∠C
C
解析　选项A中,两个角不是同位角,也不是内错角,由∠A=∠
C不能判定AB∥CD;选项B中,由内错角相等,两直线平行,可判
定AD∥BC,不能判定AB∥CD;选项C中,由内错角相等,两直线
平行,可判定AB∥CD;选项D中,由同位角相等,两直线平行,可
判定AD∥BC,不能判定AB∥CD.
3.(2025安徽淮南大通期末)如图所示,用两个相同的三角尺按照
如图所示的方式作平行线,能解释其中道理的是
____________________________.
内错角相等,两直线平行
解析　因为∠PAB=∠ACD,所以CD∥AP(内错角相等,两直线
平行).
4.(2025安徽合肥庐江期中)如图,∠1=44°,∠2=136°.
(1)求∠BCE的度数.
(2)直线BC和DF平行吗 为什么
解析 (1)因为∠1=44°,
所以∠BCE=180°-∠1=136°.
(2)BC∥DF.理由如下:
由(1)知∠BCE=136°.
因为∠2=136°,所以∠BCE=∠2,
所以BC∥DF.
　利用同旁内角判定两直线平行
5.(2025山西太原期末)如图,在四边形ABCD中,下列条件能证
明AD∥BC的是 ( )
A.∠A=∠C　　　 B.∠A+∠D=180°
C.∠B=∠D　　　 D.∠A+∠B=180°
D
解析　根据“同旁内角互补,两直线平行”,由∠A+∠B=180°
可判定AD∥BC,故选项D符合题意.
6.(2025安徽合肥五十中期末改编)如图,下列说法错误的是
( )
A.由∠ADE=∠B,可得DE∥BC
B.由∠B+∠BFE=180°,可得EF∥AB
C.由∠DEF+∠BFE=180°,可得DE∥BF
D.由∠ADE=∠DEF,可得DE∥BC
D
解析　在选项A中,由∠ADE=∠B,根据同位角相等,两直线平
行可得DE∥BC;
在选项B中,由∠B+∠BFE=180°,根据同旁内角互补,两直线平
行可得EF∥AB;
在选项C中,由∠DEF+∠BFE=180°,根据同旁内角互补,两直
线平行可得DE∥BF;
在选项D中,由∠ADE=∠DEF,根据内错角相等,两直线平行可
得EF∥AB,不能得出DE∥BC,故选项D错误.
7.(2025山东泰安新泰期末)如图,点E,F分别在CD,AB上,连接
EF交BD于点G,已知∠1=∠2,∠3=∠ABE,∠ADC+∠C=180°.
AD与EF平行吗 请说明理由.

解析 AD∥EF.理由如下:
因为∠1=∠2,所以∠ABE=∠DBC.
因为∠3=∠ABE,所以∠3=∠DBC,所以EF∥BC.
因为∠ADC+∠C=180°,所以AD∥BC,所以AD∥EF.

8.(2025辽宁鞍山铁东期中,★★☆)下列各图中,能判定AB∥
CD的是 ( )
A.②③　　　 B.①②③
C.②③④　　　 D.①②③④
D
解析　在题图①③中,由同位角相等,两直线平行可判定AB∥
CD,故①③符合题意;
在题图②中,已知∠BAC=∠ACD=90°,由内错角相等,两直线
平行可判定AB∥CD,故②符合题意;
在题图④中,已知∠BAD=∠ADC=45°,由内错角相等,两直线
平行可判定AB∥CD,故④符合题意.
综上,能判定AB∥CD的是①②③④.
9.(2025浙江绍兴期末,★★☆)学行线后,小明想出了过
直线外一点画这条直线的平行线的方法,他是通过折一张半
透明的纸得到的,如图所示,由操作过程可知小明画平行线的
依据可以是_______.(把所有正确的序号填上)
①同位角相等,两直线平行;
②两直线平行,内错角相等;
③同旁内角互补,两直线平行;
④如果两条直线和第三条直线平行,那么这两条直线平行.
　①③

解析　如图,第一次折叠后,得到的折痕AB与直线a互相垂直,即AB⊥a;第二次折叠后,得到的折痕CD与第一次的折痕AB互相垂直,即AB⊥b,所以∠BMN=∠AMN=∠CPB=∠DPB=90°.因为∠CPB=∠BMN,所以a∥b(同位角相等,两直线平行).因为∠DPB=∠AMN,所以a∥b(内错角相等,两直线平行).因为∠CPB+∠AMN=180°,所以a∥b(同旁内角互补,两直线平行).故只有①③符合题意
10.(2025山东威海环翠期中,★★☆)阅读下面的推理过程,在
括号内填上推理的依据:
因为∠1+∠2=180°,∠2+∠4=180°(已知),
所以∠1=∠4(____________________),
所以a∥c(__________________________).
因为∠2+∠3=180°(已知),
∠3=∠6(______________),
对顶角相等
内错角相等,两直线平行
同角的补角相等
所以∠2+∠6=180°( ),
所以a∥b(___________________________),
同旁内角互补,两直线平行
等量代换
所以b∥c( ).
平行于同一条直线的两条直线平行

11.【新课标·应用意识】(2025北京二十七中月考)将一副三
角尺按如图所示的方式叠放在一起,其中∠A=30°,∠B=60°,
∠D=∠E=45°.
【观察猜想】
(1)∠BCD与∠ACE的数量关系是______;∠BCE与∠ACD的
数量关系是_______.
【类比探究】
(2)若保持三角尺ABC不动,将三角尺DCE绕直角顶点C顺时针
转动,试探究当∠ACD等于多少度时CE∥AB,画出图形并简要
说明理由.
【拓展应用】
(3)若保持三角尺ABC不动,将三角尺DCE绕直角顶点C顺时针
转动,当∠BCE=3∠ACD时,求∠ACD的度数,并直接写出此时
DE与AC的位置关系.
解析 (1)∠BCD=∠ACE;∠BCE+∠ACD=180°.
详解:因为∠BCD+∠ACD=90°,∠ACE+∠ACD=90°,
所以∠BCD=∠ACE.
因为∠BCE=∠ACB+∠ACE=90°+∠ACE,
所以∠BCE+∠ACD=90°+∠ACE+∠ACD=90°+90°=180°,所以∠BCE+∠ACD=180°.
(2)分两种情况:①如图1所示,当∠ACE=∠A=30°时,CE∥AB,
此时∠ACD=∠DCE-∠ACE=90°-30°=60°.
图1　 图2
②如图2所示,当∠BCE=∠B=60°时,CE∥AB,此时∠ACD=
360°-∠ACB-∠BCE-∠DCE=360°-90°-60°-90°=120°.
综上所述,当CD在∠ACB内,∠ACD等于60°时或当CD在AC右
侧,且∠ACD等于120°时,CE∥AB.
(3)设∠ACD=α,则∠BCE=3α.
分两种情况:①如图3所示,
由(1)可知,∠BCE+∠ACD=180°,
所以3α+α=180°,解得α=45°,即∠ACD=45°,
所以∠DFC=180°-45°-45°=90°,即DE⊥AC.
图3　 图4
②如图4所示,因为∠ACD+∠BCE=360°-90°-90°=180°,
所以α+3α=180°,解得α=45°,即∠ACD=45°,
所以∠ACD=∠D,所以DE∥AC.
综上,∠ACD的度数为45°,
此时DE⊥AC或DE∥AC.(共21张PPT)
第10章　相交线、平行线与平移
第1课时　平行线及同位角、内错角和同旁内角
10.2　平行线的判定
　平行线的定义及其基本事实
1.(2025四川成都龙泉驿期中)在同一平面内,没有公共点的两
条直线的位置关系是 ( )
A.垂直　　　 B.相交
C.平行　　　 D.相交或垂直
C
解析　在同一平面内,没有公共点的两条直线的位置关系是
平行.
2.(2025广东清远英德期末)如图,过点P作直线l的平行线,可作
的平行线有 ( )
A.1条　　　 B.2条 C.3条　　　 D.无数条
A
解析　过直线外一点,有且只有一条直线与已知直线平行,故
过点P作直线l的平行线,可作的平行线有1条.
3.(2025安徽合肥庐江月考)a,b,c,d为互不重合的四条直线,则
下列推理中正确的是 ( )
A.因为a∥b,b∥c,所以d∥c
B.因为a∥d,b∥c,所以d∥c
C.因为a∥d,b∥d,所以a∥b
D.因为a∥d,a∥b,所以c∥d
C
解析　因为a∥b,b∥c,所以a∥c,故选项A错误;由a∥d,b∥c无
法得到d∥c,故选项B错误;因为a∥d,b∥d,所以a∥b,故选项C
正确;因为a∥d,a∥b,所以b∥d,故选项D错误.
4.(2025安徽淮北期末)如图,PC∥AB,QC∥AB,则点P,C,Q在一条直
线上.理由是___________________________________________.
过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行
5.(2025江苏海安月考)如图,取一张长方形的硬纸板ABCD,将硬纸板ABCD对折使CD与AB重合,EF为折痕.把长方形ABEF平放在桌面上,另一个面CDFE无论怎么改变位置,总有CD∥AB存在,理由是______________________________________________________.
如果两条直线和第三条直线平行,那么这两条
解析　因为CD∥EF,EF∥AB,所以CD∥AB.
直线平行
　同位角、内错角、同旁内角
6.(2025安徽安庆太湖期中)下列各图中的∠1与∠2,是同位角
的是 ( )
C
A B C D
解析　选项A中,∠1与∠2是内错角;选项B中,∠1与∠2是同
旁内角;选项C中,∠1与∠2是同位角;选项D中,∠1与∠2不是
同位角.
7.(2025北京密云期末)如图,直线AB,CD分别被EF和EG所截,
下列结论错误的是 ( )
A.∠1与∠3是一对内错角 B.∠3与∠5是一对同位角
C.∠1与∠5是一对内错角 D.∠2与∠4是一对同旁内角
C
解析　∠1与∠5不是一对内错角,也不是同位角或同旁内角.
8.【学科特色·教材变式P138T2】如图,直线AB,AC被直线DE
所截,构成八个角.
(1)指出构成的八个角中所有的同位角、内错角、同旁内角.
(2)∠BAC与∠5,∠BAC与∠6,∠BAC与∠8分别是哪两条直线
被哪一条直线所截形成的什么角
解析 (1)同位角:∠1与∠8,∠4与∠7,∠2与∠5,∠3与∠6;
内错角:∠3与∠8,∠4与∠5;
同旁内角:∠3与∠5,∠4与∠8.
(2)∠BAC与∠5是直线AB,DE被直线AC所截形成的同旁内角,
∠BAC与∠6是直线AB,DE被直线AC所截形成的内错角,∠
BAC与∠8是直线AB,DE被直线AC所截形成的同位角.

9.(2025广东阳江阳东期中,★★☆)小明在某次篮球比赛灌篮时的照片的示意图如图.有下列说法:①∠1和∠2是对顶角;②∠1和∠6是同位角;③∠3和∠4是同旁内角;④∠4和∠6是内错角.其中错误的说法有 ( )
A.1个　　　 B.2个　　　 C.3个　　　 D.4个
B
解析　∠3和∠4不是同旁内角,∠4和∠6不是内错角,故③④
错误,错误的说法有2个.
10.(2025河南平顶山汝州期中,★★☆)如图,有下列判断:①∠A与∠1是同位角;②∠A与∠B是同旁内角;③∠4与∠1是内错角;④∠2和∠3是对顶角.其中正确的有_________个.
4
解析　如图,∠A与∠1是直线AC,DE被直线AB所截形成的同位角,故判断①正确;∠A与∠B是直线AC,BC被直线AB所截形成的同旁内角,故判断②正确;∠4与∠1是直线AB,BC被直线DE所截形成的内错角,故判断③正确;∠2和∠3是直线DE与BC相交而形成的对顶角,故判断④正确.综上,正确的判断有4个.
11.(★★☆)如图,已知直线EF与AB交于点M,与CD交于点O,
OG平分∠DOF,若∠COM=120°,∠EMB= ∠COF.
(1)求∠FOG的度数.
(2)写出一个与∠FOG互为同位角的角.
(3)直接写出∠AMO的所有内错角、同旁内角的度数之和.
解析 (1)因为∠COM=120°,所以∠DOF=120°,
因为OG平分∠DOF,所以∠FOG=60°.
(2)与∠FOG互为同位角的角是∠BMF.
(3)∠AMO的同旁内角是∠COM,
∠AMO的内错角有∠MOG,∠DOM.
因为∠DOF=∠COM=120°,OG平分∠DOF,
所以∠DOG= ∠DOF=60°.
因为∠DOM=180°-∠COM=60°,
所以∠MOG=∠DOM+∠DOG=120°,
所以∠AMO的所有内错角、同旁内角的度数之和为120°
+120°+60°=300°.

12.【新课标·推理能力】(2025河北邯郸期中)如图所示的是一个特殊的棋盘,游戏规则如下:一个棋子从某一个起始角开始,经过若干步跳动以后,到达终点角.跳动时,每一步只能跳到它的同位角或内错角或同旁内角的位置上.例如,从起始角∠1跳到终点角∠3,可以走以下两条不同的路径:
路径1:∠1 ∠9 ∠3.
路径2:∠1→ ∠12 ∠6 ∠10
∠3.
试一试:
(1)写出一条从起始角∠1跳到终点角∠8的路径.
(2)从起始角∠1依次按同位角、内错角、同旁内角的顺序跳,
能否跳到终点角∠8 若能,写出其路径;若不能,请说明理由.
解析 (1)路径为∠1 ∠12 ∠8.
(答案不唯一)
(2)从起始角∠1依次按同位角、内错角、同旁内角的顺序跳,
能跳到终点角∠8.
其路径为∠1 ∠10 ∠5 ∠8.

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