资源简介

微专题8　分层随机抽样中的均值与方差
一、 单项选择题
1．某校有住宿的男生400人，住宿的女生600人，为了解住宿生每天运动时间，通过分层随机抽样的方法抽取100名学生，其中男生、女生每天运动时间的平均值分别为100分钟、80分钟.结合此数据，可估计该校全体住宿学生每天运动时间的平均值为(　　)
A．98分钟 B．90分钟
C．88分钟 D．85分钟
2．某流感病毒，据统计老年患者治愈率为71%，中年患者治愈率为85%，青年患者治愈率为91%.如果某医院有30名老年患者，40名中年患者，50名青年患者，则估计该医院的平均治愈率是(　　)
A．86% B．83%
C．90% D．84%
3．随着新政策的实施，海淘免税时代于2016年4月8日正式结束，新政策实施后，海外购物的费用可能会增加.为了解新制度对海淘的影响，某网站调查了喜欢海淘的1 000名网友，其态度共有两类：第一类是会降低海淘数量，共有400人，第二类是不会降低海淘数量，共有600人.若从这1 000人中按照分层随机抽样的方法抽取10人后进行打分，其打分如表格所示，表格中有数据缺失，但已知“第一类”和“第二类”网民打分的均值相等，则“第一类”网民打分的方差为(　　)
第一类 56 60 88
第二类 52 58 66 68 70 76
A．159 B．179
C．189 D．209
二、 多项选择题
4．某班有50名学生，其中有30名男生和20名女生，随机询问了该班6名男生和4名女生在某次数学测验中的成绩，6名男生的成绩分别为86分，94分，88分，92分，90分，90分，4名女生的成绩分别为90分，93分，93分，88分，则下列说法正确的有(　　)
A．这种抽样方法是按比例分配的分层随机抽样
B．该班男生成绩的平均数小于该班女生成绩的平均数
C．这6名男生成绩的方差大于这4名女生成绩的方差
D．抽取的10名学生成绩的平均数和方差分别为90.4和6.04
5．甲、乙两支田径队队员的体重(单位：kg)信息如下：甲队体重的平均数为60，方差为200，乙队体重的平均数为68，方差为300.已知甲、乙两队的队员人数之比为1∶3，则下列关于甲、乙两队全部队员的体重的平均数和方差的说法正确的是(　　)
A．平均数为67 B．平均数为66
C．方差为296 D．方差为287
6．某高中有学生500人，其中男生300人，女生200人，为获得全体学生的身高信息，按照分层随机抽样的原则抽取了容量为50的样本.经计算得到男生身高样本的均值为170 cm，方差为17 cm2；女生身高样本的均值为160 cm，方差为30 cm2.下列说法正确的是(　　)
A．男生样本量为30
B．每个女生入样的概率均为
C．所有样本的均值为166 cm
D．所有样本的方差为22.2 cm2
三、 填空题
7．某校有选修物化、物生、政史三种不同类别课程的学生共900人(假设每人只选修一种类别的课程)，按照分层随机抽样的方法从中抽取20人参加数学调研检测.已知在这次检测中20人的数学平均成绩为119分，其中选修物化和物生类别课程学生的数学平均成绩为120分，选修政史类课程学生的数学平均成绩为115分，则该校选修政史类课程的学生人数为________．
8．某电池厂有A，B两条生产线制造同一型号可充电电池.现采用样本量比例分配的分层随机抽样，从某天两条生产线上的成品中随机抽取样本，并测量产品可充电次数的均值及方差，结果如下：
项目 抽取成品数 样本均值 样本方差
A生产线产品 8 210 4
B生产线产品 12 200 4
则20个产品组成的总样本的方差为________．
四、 解答题
9．某企业拟招聘部分技术人员，有200人参与竞聘，其中研究生50人，本科生150人，现采用分层抽样的方式，对他们的竞聘成绩(满分10分)进行调查，其中研究生竞聘成绩的抽样数据如下：7，7，8，9，9.
(1) 请根据上述数据计算研究生竞聘成绩样本的平均数和方差；
(2) 若本科生竞聘成绩样本的平均数为6，方差为1，求整体样本数据的平均数和方差s2.
10．文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者.某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩(满分100分，成绩均为不低于40分的整数)分成六段：［40，50)，［50，60)，…，［90，100］，整理得到如图所示的频率分布直方图.
(第10题)
(1) 求频率分布直方图中a的值；
(2) 求样本成绩的第75百分位数；
(3) 已知落在［50，60)的平均成绩是56，方差是7，落在［60，70)的平均成绩为65，方差是4，求两组成绩的总平均数和总方差s2.
微专题8　分层随机抽样中的均值与方差
1．C　2．D　
3．B　【解析】 抽取的网民中，“第一类”网民抽取4人，缺失一个数字，设为m，“第二类”网民抽取6人，由题意可知×(m＋56＋60＋88)＝×(52＋58＋66＋68＋70＋76)＝65，解得m＝56.“第一类”网民打分的均值＝×(56＋56＋60＋88)＝65，则“第一类”网民打分的方差s2＝×［2×(56－65)2＋(60－65)2＋(88－65)2］＝179.
4．ACD　【解析】 对于A，该班有30名男生和20名女生，且抽取的男生和女生人数之比为3∶2，则这种抽样方法是按比例分配的分层随机抽样，故A正确；对于B，抽取的6名男生成绩的平均数＝＝90(分)，抽取的4名女生成绩的平均数为＝＝91(分)，虽然，但是并不一定能说明该班男生成绩的平均数小于该班女生成绩的平均数，故B错误；对于C，这6名男生成绩的方差＝×［(86－90)2＋(94－90)2＋(88－90)2＋(92－90)2＋(90－90)2×2］＝，这4名女生成绩的方差＝×［(90－91)2＋(93－91)2＋(93－91)2＋(88－91)2］＝，，故C正确；对于D，被抽取的10名学生成绩的平均数＝×90＋×91＝90.4(分)，被抽取的10名学生成绩的方差s2＝×＋×＝6.04，故D正确.
5．BD　【解析】 依题意，甲队体重的平均数＝60，乙队体重的平均数＝68，而甲、乙两队的队员人数之比为1∶3，故甲、乙两队全部队员的体重的平均数＝60×＋68×＝66；甲、乙两队全部队员的体重的方差s2＝×［200＋(60－66)2］＋×［300＋(68－66)2］＝59＋228＝287.
6．AC　【解析】 对于A，抽样比为＝，所以样本中男生有×300＝30(人)，故A正确；对于B，每个女生入样的概率等于抽样比＝，故B不正确，对于C，样本中男生有30人，女生有20人，所有样本的均值为＝166(cm)，故C正确；对于D，设抽取的男生的身高分别为x1，x2，…，x30，则平均数＝170，＝17，设女生的身高分别为y1，y2，…，y20，则平均数＝160，＝30，总体的平均数为＝166，方差为s2，则s2＝｛30×［＋(－)2］＋20×［＋(－)2］｝＝×｛30×［17＋(170－166)2］＋20×［30＋(160－166)2］｝＝46.2，故D不正确.
7．180　8．28　
9．【解答】 (1) 研究生竞聘成绩样本的平均数为＝×(7＋7＋8＋9＋9)＝8，方差为＝×［(－1)2＋(－1)2＋02＋12＋12］＝0.8.
(2) 因为研究生有50人，本科生有150人，且研究生抽取5人，由于采用分层抽样的方式，所以本科生抽取15人，故整体样本数据的平均数＝＝6.5，整体样本数据的方差s2＝×［0.8＋(8－6.5)2］＋×［1＋(6－6.5)2］＝1.7，所以整体样本数据的平均数为6.5，方差为1.7.
10．【解答】 (1) 由每组小矩形的面积之和为1，得0.05＋0.1＋0.2＋10a＋0.25＋0.1＝1，所以a＝0.030.
(2) 成绩落在［40，80)内的频率为0.05＋0.1＋0.2＋0.3＝0.65，落在［40，90)内的频率为0.05＋0.1＋0.2＋0.3＋0.25＝0.9，显然第75百分位数m∈(80，90)，由0.65＋(m－80)×0.025＝0.75，解得m＝84，所以第75百分位数为84.
(3) 由频率分布直方图知，成绩在［50，60)的市民人数为100×0.1＝10，成绩在［60，70)的市民人数为100×0.2＝20，所以＝＝62，s2＝×［7＋(56－62)2］＋×［4＋(65－62)2］＝23.微专题8　分层随机抽样中的均值与方差
典例剖析素养初现
拓展1　分层随机抽样中的均值
例1　记样本x1，x2，…，xm的平均数为，样本y1，y2，…，yn的平均数为≠)．若样本x1，x2，…，xm，y1，y2，…，yn的平均数为＝＋，则的值为(　D　)
A．3　 B．4
C．　　 D．
【解析】由题意知x1＋x2＋…＋xm＝m，y1＋y2＋…＋yn＝n＝＝＝＋＝＋，所以＝＝，可得3m＝n，所以＝．
(1) 在分层随机抽样中，抽样比＝＝．
(2) 在分层随机抽样中，如果第一层的样本量为m，平均数为；第二层的样本量为n，平均数为，则样本的平均数为．
变式　(1) 总体由100人组成，按以往收入情况分成两层，第一层(高收入层)20人；第二层(低收入层)80人．从第一层随机抽2人，得月收入的平均数为14 000元；从第二层抽8人，得月收入的平均数为3 500元，估计这100人的月收入的平均数为__5600__元．
【解析】样本平均数＝×14 000＋×3 500＝5 600(元)，所以估计这100人的月收入的平均数为5 600元．
(2) 一支田径队有男运动员48人，女运动员36人，用分层随机抽样从全体运动员中抽取一个容量为21的样本，抽出的男运动员平均身高为177.5 cm，抽出的女运动员平均身高为168.4 cm，则估计该田径队运动员的平均身高是(　A　)
A．173.6 cm　 B．172.95 cm
C．172.3 cm　 D．176 cm
【解析】由题意，田径队男、女队员的比例为48∶36＝4∶3．用分层随机抽样从全体运动员中抽取一个容量为21的样本，设男运动员有4x名，女运动员有3x名，则4x＋3x＝21，解得x＝3，即男运动员有12名，女运动员9名，故可估计该田径队运动员的平均身高为＝173.6(cm)．
拓展2　分层随机抽样中的方差
例2　现有甲、乙两组数据，每组数据均由六个数组成，其中甲组数据的平均数为3，方差为5，乙组数据的平均数为5，方差为3．若将这两组数据混合成一组，则新的一组数据的方差为(　D　)
A．3.5　 B．4
C．4.5　 D．5
【解析】根据题意，甲组数据的平均数为3，方差为5，乙组数据的平均数为5，方差为3，则两组数据混合后，新数据的平均数＝＝4，方差为s2＝×[5＋(3－4)2]＋×[3＋(5－4)2]＝5．
(1) 分层随机抽样中，如果每层样本量都与层的大小成比例，那么称这种样本量的分配方式为比例分配，此时按公式计算各样本量即可．
(2) 设样本容量为n，平均数为，其中两层的个体数量分别为n1，n2，两层的平均数分别为，方差分别为，则这个样本的方差s2＝＋(－)2]＋＋(－)2]．
变式　(1) 某中学党总支组织学校初、高中两个学部的党员参加了全省教育系统的党史知识竞赛活动，其中初中部20名党员竞赛成绩的平均分为a，方差为2；高中部50名党员竞赛成绩的平均分为b，方差为．若a＝b，则该学校全体参赛党员竞赛成绩的方差为(　A　)
A．　 B．
C．　 D．
【解析】设初中部20名党员竞赛成绩分别为x1，x2，…，x20，高中部50名党员竞赛成绩分别为y1，y2，…，y50，则[(x1－a)2＋(x2－a)2＋…＋(x20－a)2]＝2，[(y1－b)2＋(y2－b)2＋…＋(y50－b)2]＝，所以(x1－a)2＋(x2－a)2＋…＋(x20－a)2＝40，(y1－b)2＋(y2－b)2＋…＋(y50－b)2＝120，由于a＝b，所以该学校全体参赛党员竞赛成绩的平均分为a，则该学校全体参赛党员竞赛成绩的方差为[(x1－a)2＋(x2－a)2＋…＋(x20－a)2＋(y1－a)2＋(y2－a)2＋…＋(y50－a)2]＝＝．
(2)某学校有男生400人，女生600人．为调查该校全体学生每天睡眠时间，采用分层随机抽样的方法抽取样本，计算得男生每天睡眠时间均值为7.5小时，方差为1，女生每天睡眠时间的均值为7小时，方差为0.5．若男、女样本量按比例分配，则可估计总体方差为(　D　)
A．0.45　 B．0.62
C．0.7　 D．0.76
【解析】由题意，总体的均值为×7.5＋×7＝7.2，根据分层随机抽样的性质，则总体的方差为×[1＋(7.5－7.2)2]＋×[0.5＋(7－7.2)2]＝0.436＋0.324＝0.76．
随堂内化及时评价
1．(多选)某单位健康体测，男性平均体重为64 kg，方差为151；女性平均体重为56 kg，方差为159，男、女人数之比为5∶3．记该单位全体工作人员的平均体重和方差分别为，s2，则(　AD　)
A．＝61　 B．＝60
C．s2＝155　 D．s2＝169
【解析】依题意，设男性人数为5a(a＞0)，女性人数为3a，该单位全体人员体重的平均数＝×64＋×56＝61(kg)，所以该单位全体人员体重的方差s2＝×[151＋(64－61)2]＋×[159＋(56－61)2]＝169．
2．(多选)某市教育局为了解该市A，B，C三所学校的学生文学经典名著的年阅读量，采用样本比例分配的分层随机抽样抽取了一个容量为100的样本．其中，从A学校抽取容量为20的样本，平均数为4，方差为9；从B学校抽取容量为40的样本，平均数为7，方差为15；从C学校抽取容量为40的样本，平均数为9，方差为21．据此估计，该市三所学校的学生文学经典名著的年阅读量的(　BC　)
A．均值为6.2　　 B．均值为7.2
C．方差为19.56　 D．方差为20.56
【解析】三所学校的学生文学经典名著的年阅读量的均值为＝7.2；三所学校的学生文学经典名著的年阅读量的方差为×[9＋(4－7.2)2]＋×[15＋(7－7.2)2]＋×[21＋(9－7.2)2]＝19.56．
3．坐位体前屈是中小学体质健康测试项目，主要测试学生躯干、腰、髋等部位关节韧带和肌肉的伸展性、弹性及身体柔韧性．在对某高中2000名高二年级学生的坐位体前屈成绩的调查中，采用按学生性别比例分配的分层随机抽样抽取100人，已知这2000名高二年级学生中男生有1200人，且抽取的样本中男生的平均数和方差分别为13.2 cm和13.36，女生的平均数和方差分别为15.2 cm和17.56．
(1) 样本中男生和女生应分别抽取多少人？
【解答】设在男生、女生中分别抽取m名和n名，则＝＝，解得m＝60，n＝40．
(2) 求抽取的总样本的平均数，并估计高二年级全体学生的坐位体前屈成绩的方差．
【解答】记抽取的总样本的平均数为，可得＝×13.2＋×15.2＝14(cm)，所以抽取的总样本的平均数为14 cm．男生样本的平均数为＝13.2，方差为＝13.36；女生样本的平均数为＝15.2，方差为＝17.56．记总样本的方差为s2，则s2＝{60×[13.36＋(13.2－14)2]＋40×[17.56＋(15.2－14)2]}＝16，所以估计高二年级全体学生的坐位体前屈成绩的方差为16．(共16张PPT)
第九章
微专题8　分层随机抽样中的均值与方差
统　计
典例剖析·素养初现
拓展
1
分层随机抽样中的均值
　　　记样本x1，x2，…，xm的平均数为，样本y1，y2，…，yn的平均数为≠)．若样本x1，x2，…，xm，y1，y2，…，yn的平均数为＝＋，则的值为 (　　)
A．3　 B．4 C．　　 D．
1
【解析】
　　　　由题意知x1＋x2＋…＋xm＝m，y1＋y2＋…＋yn＝n＝＝＝＋＝＋，所以＝＝，可得3m＝n，所以＝．
D
(1) 在分层随机抽样中，抽样比＝＝．
(2) 在分层随机抽样中，如果第一层的样本量为m，平均数为；第二层的样本量为n，平均数为，则样本的平均数为．
变式　(1) 总体由100人组成，按以往收入情况分成两层，第一层(高收入层)20人；第二层(低收入层)80人．从第一层随机抽2人，得月收入的平均数为14 000元；从第二层抽8人，得月收入的平均数为3 500元，估计这100人的月收入的平均数为________元．
【解析】
　　　　样本平均数＝×14 000＋×3 500＝5 600(元)，所以估计这100人的月收入的平均数为5 600元．
5 600
变式　(2) 一支田径队有男运动员48人，女运动员36人，用分层随机抽样从全体运动员中抽取一个容量为21的样本，抽出的男运动员平均身高为177.5 cm，抽出的女运动员平均身高为168.4 cm，则估计该田径队运动员的平均身高是 (　　)
A．173.6 cm　 B．172.95 cm
C．172.3 cm　 D．176 cm
【解析】
　　　　由题意，田径队男、女队员的比例为48∶36＝4∶3．用分层随机抽样从全体运动员中抽取一个容量为21的样本，设男运动员有4x名，女运动员有3x名，则4x＋3x＝21，解得x＝3，即男运动员有12名，女运动员9名，故可估计该田径队运动员的平均身高为＝173.6(cm)．
A
拓展
2
分层随机抽样中的方差
　　　现有甲、乙两组数据，每组数据均由六个数组成，其中甲组数据的平均数为3，方差为5，乙组数据的平均数为5，方差为3．若将这两组数据混合成一组，则新的一组数据的方差为 (　　)
A．3.5　 B．4
C．4.5　 D．5
2
【解析】
　　　　根据题意，甲组数据的平均数为3，方差为5，乙组数据的平均数为5，方差为3，则两组数据混合后，新数据的平均数＝＝4，方差为s2＝×[5＋(3－4)2]＋×[3＋(5－4)2]＝5．
D
(1) 分层随机抽样中，如果每层样本量都与层的大小成比例，那么称这种样本量的分配方式为比例分配，此时按公式计算各样本量即可．
(2) 设样本容量为n，平均数为，其中两层的个体数量分别为n1，n2，两层的平均数分别为，方差分别为，则这个样本的方差s2＝＋(－)2]＋＋(－)2]．
变式　(1) 某中学党总支组织学校初、高中两个学部的党员参加了全省教育系统的党史知识竞赛活动，其中初中部20名党员竞赛成绩的平均分为a，方差为2；高中部50名党员竞赛成绩的平均分为b，方差为．若a＝b，则该学校全体参赛党员竞赛成绩的方差为 (　　)
A．　 B．
C．　 D．
【解析】
　　　　设初中部20名党员竞赛成绩分别为x1，x2，…，x20，高中部50名党员竞赛成绩分别为y1，y2，…，y50，则[(x1－a)2＋(x2－a)2＋…＋(x20－a)2]＝2，[(y1－b)2＋(y2－b)2＋…＋(y50－b)2]＝，所以(x1－a)2＋(x2－a)2＋…＋(x20－a)2＝40，(y1－b)2＋(y2－b)2＋…＋(y50－b)2＝120，由于a＝b，所以该学校全体参赛党员竞赛成绩的平均分为a，则该学校全体参赛党员竞赛成绩的方差为[(x1－a)2＋(x2－a)2＋…＋(x20－a)2＋(y1－a)2＋(y2－a)2＋…＋(y50－a)2]＝＝．
【答案】A
变式　(2)某学校有男生400人，女生600人．为调查该校全体学生每天睡眠时间，采用分层随机抽样的方法抽取样本，计算得男生每天睡眠时间均值为7.5小时，方差为1，女生每天睡眠时间的均值为7小时，方差为0.5．若男、女样本量按比例分配，则可估计总体方差为 (　　)
A．0.45　 B．0.62
C．0.7　 D．0.76
【解析】
　　　　由题意，总体的均值为×7.5＋×7＝7.2，根据分层随机抽样的性质，则总体的方差为×[1＋(7.5－7.2)2]＋×[0.5＋(7－7.2)2]＝0.436＋0.324＝0.76．
D
随堂内化·及时评价
1．(多选)某单位健康体测，男性平均体重为64 kg，方差为151；女性平均体重为56 kg，方差为159，男、女人数之比为5∶3．记该单位全体工作人员的平均体重和方差分别为，s2，则 (　 　)
A．＝61　 B．＝60
C．s2＝155　 D．s2＝169
【解析】
　　　　依题意，设男性人数为5a(a＞0)，女性人数为3a，该单位全体人员体重的平均数＝×64＋×56＝61(kg)，所以该单位全体人员体重的方差s2＝×[151＋(64－61)2]＋×[159＋(56－61)2]＝169．
AD
2．(多选)某市教育局为了解该市A，B，C三所学校的学生文学经典名著的年阅读量，采用样本比例分配的分层随机抽样抽取了一个容量为100的样本．其中，从A学校抽取容量为20的样本，平均数为4，方差为9；从B学校抽取容量为40的样本，平均数为7，方差为15；从C学校抽取容量为40的样本，平均数为9，方差为21．据此估计，该市三所学校的学生文学经典名著的年阅读量的 (　 　)
A．均值为6.2　　 B．均值为7.2 C．方差为19.56　　D．方差为20.56
【解析】
　　　　三所学校的学生文学经典名著的年阅读量的均值为＝7.2；三所学校的学生文学经典名著的年阅读量的方差为×[9＋(4－7.2)2]＋×[15＋(7－7.2)2]＋×[21＋(9－7.2)2]＝19.56．
BC
3．坐位体前屈是中小学体质健康测试项目，主要测试学生躯干、腰、髋等部位关节韧带和肌肉的伸展性、弹性及身体柔韧性．在对某高中2000名高二年级学生的坐位体前屈成绩的调查中，采用按学生性别比例分配的分层随机抽样抽取100人，已知这2000名高二年级学生中男生有1200人，且抽取的样本中男生的平均数和方差分别为13.2 cm和13.36，女生的平均数和方差分别为15.2 cm和17.56．
(1) 样本中男生和女生应分别抽取多少人？
【解答】
　　　　设在男生、女生中分别抽取m名和n名，则＝＝，解得m＝60，n＝40．
【解答】
　　　　记抽取的总样本的平均数为，可得＝×13.2＋×15.2＝14(cm)，所以抽取的总样本的平均数为14 cm．男生样本的平均数为＝13.2，方差为＝13.36；女生样本的平均数为＝15.2，方差为＝17.56．记总样本的方差为s2，则s2＝{60×[13.36＋(13.2－14)2]＋40×[17.56＋(15.2－14)2]}＝16，所以估计高二年级全体学生的坐位体前屈成绩的方差为16．
(2) 求抽取的总样本的平均数，并估计高二年级全体学生的坐位体前屈成绩的方差．

展开更多......

收起↑