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章末复习　能力整合与素养提升
考法1　频率分布直方图及其应用
例1　为了了解高一年级学生的体能情况，某校抽取部分学生进行一分钟跳绳次数测试，将所得数据整理后，画出频率分布直方图如图所示，图中从左到右各小矩形的面积之比为2∶4∶17∶15∶9∶3，第二小组的频数为12．
(1) 第二小组的频率是多少？样本量是多少？
【解答】第二小组的频率为＝0.08，样本量为＝150．
(2) 若次数在110以上(含110次)为达标，则该校全体高一年级学生的达标率是多少？
【解答】由频率分布直方图可估计该校高一年级学生的达标率为×100%＝88%．
【类题固法】
1．如图所示是统计某样本数据得到的频率分布直方图，已知该样本量为300，则样本数据落在[6，14)内的频数为　(　C　)
A．68　 B．170
C．204　 D．240
【解析】由题图知样本数据落在[6，14)内的频率为(0.08＋0.09)×4＝0.68，所以样本数据落在[6，14)内的频数为300×0.68＝204．
2．为了解学生在“弘扬传统文化，品读经典文学”月的阅读情况，现从全校学生中随机抽取了部分学生，并统计了他们的阅读时间t(单位：h)(t∈[0，50])，分组整理数据得到如图所示的频率分布直方图，则图中a的值为(　A　)
A．0.028　 B．0.030
C．0.280　 D．0.300
【解析】由(0.006＋a＋0.040＋0.020＋0.006)×10＝1得a＝0.028．
3．(多选)某学校为了调查学生在一周生活方面的支出情况，抽出了一个容量为n的样本，其频率分布直方图如图所示，其中支出在[50，60)内的学生有60人，则下列说法正确的有(　BCD　)
A．样本中支出在[50，60)内的频率为0.03
B．样本中支出不少于40元的人数为132
C．n的值为200
D．若该校有2 000名学生，则估计有600人支出在[50，60)内
【解析】样本中支出在[50，60)内的频率为1－(0.01＋0.024＋0.036)×10＝0.3，所以A错误；样本容量为n＝＝200，支出在[40，50)内的人数为200×0.036×10＝72，支出不少于40元的人数为72＋60＝132，所以B，C正确；若该校有2 000名学生，则估计有2 000×0.3＝600人支出在[50，60)内，故D正确．
考法2　平均数、中位数、百分数和众数
例2　从某珍珠公司生产的产品中任意抽取12颗珍珠，得到它们的质量(单位：g)如下：7.9，9.0，8.9，8.6，8.4，8.5，8.5，8.5，9.9，7.8，8.3，8.0．
(1) 分别求出这组数据的第25，75，95百分位数；
【解答】将所有数据从小到大排列，得7.8，7.9，8.0，8.3，8.4，8.5，8.5，8.5，8.6，8.9，9.0，9.9，共12个数据，所以12×25%＝3，12×75%＝9，12×95%＝11.4，则第25百分位数是＝8.15，第75百分位数是＝8.75，第95百分位数是第12个数据为9.9．
(2) 请你找出珍珠质量较小的前15%的珍珠质量；
【解答】因为共有12个数据，所以12×15%＝1.8，则第15百分位数是第2个数据为7.9．即产品质量较小的前15%的产品有2个，它们的质量分别为7.8，7.9．
(3) 若用第25，50，95百分位数把公司生产的珍珠划分为次品、合格品、优等品和特优品，依照这个样本的数据，给出该公司珍珠等级的划分标准．
【解答】由(1)可知样本数据的第25百分位数是8.15 g，第50百分位数是8.5 g，第95百分位数是9.9 g，所以质量小于或等于8.15 g 的珍珠为次品，质量大于8.15 g且小于或等于8.5 g的珍珠为合格品，质量大于8.5 g且小于等于9.9 g的珍珠为优等品，质量大于9.9 g的珍珠为特优品．
例3　某校从高二年级学生中随机抽取60名学生，将期中考试的政治成绩(均为整数)分成六段：[40，50)，[50，60)，[60，70)，…，[90，100]后得到如图所示的频率分布直方图．
(1) 根据频率分布直方图，分别求a，众数和中位数；
【解答】由题意可得(0.01＋0.015×2＋a＋0.025＋0.005)×10＝1，解得a＝0.03．根据频率分布直方图可知分数段[70，80)的频率最高，因此众数为75．又由频率分布直方图可知分数段[40，70)的频率为0.1＋0.15＋0.15＝0.4，因为分数段[70，80)的频率为0.3，所以中位数为70＋×10＝．综上，a＝0.03，众数为75，中位数为．
(2) 估计该校高二年级学生期中考试政治成绩的平均分；
【解答】由题中数据可得，该校高二年级学生政治成绩的平均分估计为(45×0.01＋55×0.015＋65×0.015＋75×0.03＋85×0.025＋95×0.005)×10＝71．
(3) 用分层随机抽样的方法在各分数段的学生中抽取一个容量为20的样本，则在分数段[70，90)抽取的人数是多少？
【解答】因为总体共60名学生，样本量为20，因此抽样比例为＝．又在分数段[70，90)内共有60×(0.3＋0.25)＝33人，因此在分数段[70，90)内抽取的人数是33×＝11．
【类题固法】
1．以下数据为参加数学竞赛决赛的15人的成绩(单位：分)：78，70，72，86，88，79，80，81，94，84，56，98，83，90，91，则这15人成绩的第80百分位数是(　D　)
A．90　 B．91.5
C．91　 D．90.5
【解析】将这15人成绩由小到大依次排列为56，70，72，78，79，80，81，83，84，86，88，90，91，94，98，15×80%＝12，因此，这15人成绩的第80百分位数是＝90.5．
2．某篮球队有篮球运动员15人，进行投篮训练，每人投篮100个，命中球数如下表：
命中球数 90 95 97 98 100
频数 1 2 3 7 2
则这组数据的中位数和众数分别为(　D　)
A．97，2　 B．98，2
C．97，98　 D．98，98
【解析】这组数据共有15个，中位数是按大小顺序排列后的第8个数，即98，众数是数据中出现次数最多的数，即98．
3．据统计，某种疾病老年患者治愈率为71%，中年患者治愈率为85%，青年患者治愈率为91%．如果某医院有30名老年患者，40名中年患者，50名青年患者，则估计该医院的平均治愈率是(　D　)
A．86%　 B．83%
C．90%　 D．84%
【解析】平均治愈率为＝0.84＝84%．
4．(多选)某人记录了自己一周内每天的运动时长(单位：分钟)：54，58，46，62，80，50，x．若这组数据的第40百分位数与第20百分位数的差为3，则x的值可能为(　AC　)
A．47　 B．45
C．53　 D．60
【解析】将已知的6个数按照从小到大的顺序排列为46，50，54，58，62，80．又7×20%＝1.4，7×40%＝2.8，所以若x≤46，则这组数据的第20百分位数与第40百分位数分别是46和50，50－46≠3；若x≥54，则这组数据的第20百分位数与第40百分位数分别是50和54，54－50≠3．所以46＜x＜54，则这组数据的第20百分位数与第40百分位数分别是x和50或50和x，则|50－x|＝3，解得x＝47或53．
5．一组数据分别是82，84，86，88，94，95，96，则该组数据的上四分位数是__95__．
【解析】将数据从小到大排序：82，84，86，88，94，95，96，共7个数．7×75%＝5.25，为非整数，故上四分位数是第6个数95．
考法3　方差和标准差
例4　甲、乙两位学生参加数学竞赛培训，现分别从他们在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取8次，记录如下：
甲：82，81，79，78，95，88，93，84；
乙：92，95，80，75，83，80，90，85．
(1) 求甲成绩的80%分位数；
【解答】把甲的成绩按照从小到大的顺序排列可得78，79，81，82，84，88，93，95，因为一共有8个数据，所以8×80%＝6.4，不是整数，所以甲成绩的80%分位数是第7个数据93．
(2) 现要从中选派一人参加数学竞赛，从统计学的角度(在平均数、方差或标准差中选两个)考虑，你认为选派哪位学生参加合适？请说明理由．
【解答】＝(78＋79＋81＋82＋84＋88＋93＋95)＝85，＝(75＋80＋80＋83＋85＋90＋92＋95)＝85．＝[(78－85)2＋(79－85)2＋(81－85)2＋(82－85)2＋(84－85)2＋(88－85)2＋(93－85)2＋(95－85)2]＝35.5，＝[(75－85)2＋(80－85)2＋(80－85)2＋(83－85)2＋(85－85)2＋(90－85)2＋(92－85)2＋(95－85)2]＝41，因为＝，所以甲的成绩较稳定，派甲参赛比较合适．
【类题固法】
1．若样本x1＋1，x2＋1，…，xn＋1的平均数为10，其方差为2，则对于样本2x1＋2，2x2＋2，…，2xn＋2，下列结论正确的是(　A　)
A．平均数为20，方差为8 B．平均数为20，方差为10
C．平均数为21，方差为8 D．平均数为21，方差为10
【解析】由题得样本2x1＋2，2x2＋2，…，2xn＋2的平均数为2×10＝20，方差为22×2＝8．
2．已知一组样本数据x1，x2，…，x10，且＋＋…＋＝2 024，平均数＝11，则该组数据的方差为__81.4__．
【解析】该组数据的方差为[(x1－11)2＋(x2－11)2＋…＋(x10－11)2]＝[(＋＋…＋)＋10×121－22(x1＋x2＋…＋x10)]＝(2 024＋1 210－22×110)＝81.4．
3．某学校统计教师职称及年龄，中级职称教师的人数为50，其平均年龄为38岁，方差是2，高级职称的教师3人58岁，5人40岁，2人38岁，求该校中级职称和高级职称教师年龄的平均数和方差．
【解答】由已知条件可知高级职称教师的平均年龄为＝＝45(岁)，年龄的方差为＝[3×(58－45)2＋5×(40－45)2＋2×(38－45)2]＝73，所以该校中级职称和高级职称教师的平均年龄为＝×38＋×45≈39.2(岁)，该校中级职称和高级职称教师的年龄的方差是s2＝×[2＋(38－39.2)2]＋[73＋(45－39.2)2]＝20.64．
P()＝P()P()＝[1－P(A)]×[1－P(B)]＝＝．
所以“至少有1人译出密码”的概率为1－P()＝1－＝．(共26张PPT)
第九章
章复习　能力整合与素养提升
统　计
要点回顾·连点成面
考法聚焦·核心突破
考法
1
频率分布直方图及其应用
　　　为了了解高一年级学生的体能情况，某校抽取部分学生进行一分钟跳绳次数测试，将所得数据整理后，画出频率分布直方图如图所示，图中从左到右各小矩形的面积之比为2∶4∶17∶15∶9∶3，第二小组的频数为12．
(1) 第二小组的频率是多少？样本量是多少？
1
【解答】
　　　　第二小组的频率为＝0.08，样本量为＝150．
　　　为了了解高一年级学生的体能情况，某校抽取部分学生进行一分钟跳绳次数测试，将所得数据整理后，画出频率分布直方图如图所示，图中从左到右各小矩形的面积之比为2∶4∶17∶15∶9∶3，第二小组的频数为12．
(2) 若次数在110以上(含110次)为达标，则该校全体高一年级学生的达标率是多少？
1
【解答】
　　　　由频率分布直方图可估计该校高一年级学生的达标率为× 100%＝88%．
【类题固法】
1．如图所示是统计某样本数据得到的频率分布直方图，已知该样本量为300，则样本数据落在[6，14)内的频数为　 (　　)
A．68　 B．170
C．204　 D．240
【解析】
　　　　由题图知样本数据落在[6，14)内的频率为(0.08＋0.09)×4＝0.68，所以样本数据落在[6，14)内的频数为300×0.68＝204．
C
2．为了解学生在“弘扬传统文化，品读经典文学”月的阅读情况，现从全校学生中随机抽取了部分学生，并统计了他们的阅读时间t(单位：h)(t∈[0，50])，分组整理数据得到如图所示的频率分布直方图，则图中a的值为 (　　)
A．0.028　 B．0.030
C．0.280　 D．0.300
【解析】
　　　　由(0.006＋a＋0.040＋0.020＋0.006)×10＝1得a＝0.028．
A
3．(多选)某学校为了调查学生在一周生活方面的支出情况，抽出了一个容量为n的样本，其频率分布直方图如图所示，其中支出在[50，60)内的学生有60人，则下列说法正确的有 (　　　)
A．样本中支出在[50，60)内的频率为0.03
B．样本中支出不少于40元的人数为132
C．n的值为200
D．若该校有2 000名学生，则估计有600人支出在[50，60)内
【解析】
　　　　样本中支出在[50，60)内的频率为1－(0.01＋0.024＋0.036)×10＝0.3，所以A错误；样本容量为n＝＝200，支出在[40，50)内的人数为200×0.036×10＝72，支出不少于40元的人数为72＋60＝132，所以B，C正确；若该校有2 000名学生，则估计有2 000×0.3＝600人支出在[50，60)内，故D正确．
【答案】BCD
考法
2
平均数、中位数、百分数和众数
　　　从某珍珠公司生产的产品中任意抽取12颗珍珠，得到它们的质量(单位：g)如下：7.9，9.0，8.9，8.6，8.4，8.5，8.5，8.5，9.9，7.8，8.3，8.0．
(1) 分别求出这组数据的第25，75，95百分位数；
2
【解答】
　　　　将所有数据从小到大排列，得7.8，7.9，8.0，8.3，8.4，8.5，8.5，8.5，8.6，8.9，9.0，9.9，共12个数据，所以12×25%＝3，12×75%＝9，12×95%＝11.4，则第25百分位数是＝8.15，第75百分位数是＝8.75，第95百分位数是第12个数据为9.9．
　　　从某珍珠公司生产的产品中任意抽取12颗珍珠，得到它们的质量(单位：g)如下：7.9，9.0，8.9，8.6，8.4，8.5，8.5，8.5，9.9，7.8，8.3，8.0．
(2) 请你找出珍珠质量较小的前15%的珍珠质量；
2
【解答】
　　　　因为共有12个数据，所以12×15%＝1.8，则第15百分位数是第2个数据为7.9．即产品质量较小的前15%的产品有2个，它们的质量分别为7.8，7.9．
　　　从某珍珠公司生产的产品中任意抽取12颗珍珠，得到它们的质量(单位：g)如下：7.9，9.0，8.9，8.6，8.4，8.5，8.5，8.5，9.9，7.8，8.3，8.0．
(3) 若用第25，50，95百分位数把公司生产的珍珠划分为次品、合格品、优等品和特优品，依照这个样本的数据，给出该公司珍珠等级的划分标准．
2
【解答】
　　　　由(1)可知样本数据的第25百分位数是8.15 g，第50百分位数是8.5 g，第95百分位数是9.9 g，所以质量小于或等于8.15 g 的珍珠为次品，质量大于8.15 g且小于或等于8.5 g的珍珠为合格品，质量大于8.5 g且小于等于9.9 g的珍珠为优等品，质量大于9.9 g的珍珠为特优品．
　　　某校从高二年级学生中随机抽取60名学生，将期中考试的政治成绩(均为整数)分成六段：[40，50)，[50，60)，[60，70)，…，[90，100]后得到如图所示的频率分布直方图．
(1) 根据频率分布直方图，分别求a，众数和中位数；
【解答】
　　　　由题意可得(0.01＋0.015×2＋a＋0.025＋0.005)×10＝1，解得a＝0.03．根据频率分布直方图可知分数段[70，80)的频率最高，因此众数为75．又由频率分布直方图可知分数段[40，70)的频率为0.1＋0.15＋0.15＝0.4，因为分数段[70，80)的频率为0.3，所以中位数为70＋×10＝．综上，a＝0.03，众数为75，中位数为．
3
　　　某校从高二年级学生中随机抽取60名学生，将期中考试的政治成绩(均为整数)分成六段：[40，50)，[50，60)，[60，70)，…，[90，100]后得到如图所示的频率分布直方图．
(2) 估计该校高二年级学生期中考试政治成绩的平均分；
【解答】
　　　　由题中数据可得，该校高二年级学生政治成绩的平均分估计为(45×0.01＋55×0.015＋65×0.015＋75×0.03＋85×0.025＋95×0.005)×10＝71．
3
　　　某校从高二年级学生中随机抽取60名学生，将期中考试的政治成绩(均为整数)分成六段：[40，50)，[50，60)，[60，70)，…，[90，100]后得到如图所示的频率分布直方图．
(3) 用分层随机抽样的方法在各分数段的学生中抽取一个容量为20的样本，则在分数段[70，90)抽取的人数是多少？
【解答】
　　　　因为总体共60名学生，样本量为20，因此抽样比例为＝．又在分数段[70，90)内共有60×(0.3＋0.25)＝33人，因此在分数段[70，90)内抽取的人数是33×＝11．
3
【类题固法】
1．以下数据为参加数学竞赛决赛的15人的成绩(单位：分)：78，70，72，86，88，79，80，81，94，84，56，98，83，90，91，则这15人成绩的第80百分位数是 (　　)
A．90　 B．91.5
C．91　 D．90.5
【解析】
　　　　将这15人成绩由小到大依次排列为56，70，72，78，79，80，81，83，84，86，88，90，91，94，98，15×80%＝12，因此，这15人成绩的第80百分位数是＝90.5．
D
2．某篮球队有篮球运动员15人，进行投篮训练，每人投篮100个，命中球数如下表：
则这组数据的中位数和众数分别为 (　　)
A．97，2　 B．98，2
C．97，98　 D．98，98
【解析】
　　　　这组数据共有15个，中位数是按大小顺序排列后的第8个数，即98，众数是数据中出现次数最多的数，即98．
D
命中球数 90 95 97 98 100
频数 1 2 3 7 2
3．据统计，某种疾病老年患者治愈率为71%，中年患者治愈率为85%，青年患者治愈率为91%．如果某医院有30名老年患者，40名中年患者，50名青年患者，则估计该医院的平均治愈率是 (　　)
A．86%　 B．83%
C．90%　 D．84%
【解析】
　　　　平均治愈率为＝0.84＝84% ．
D
4．(多选)某人记录了自己一周内每天的运动时长(单位：分钟)：54，58，46，62，80，50，x．若这组数据的第40百分位数与第20百分位数的差为3，则x的值可能为 (　 　)
A．47　 B．45 C．53　 D．60
【解析】
　　　　将已知的6个数按照从小到大的顺序排列为46，50，54，58，62，80．又7×20%＝1.4，7×40%＝2.8，所以若x≤46，则这组数据的第20百分位数与第40百分位数分别是46和50，50－46≠3；若x≥54，则这组数据的第20百分位数与第40百分位数分别是50和54，54－50≠3．所以46＜x＜54，则这组数据的第20百分位数与第40百分位数分别是x和50或50和x，则|50－x|＝3，解得x＝47或53．
AC
5．一组数据分别是82，84，86，88，94，95，96，则该组数据的上四分位数是______．
【解析】
　　　　将数据从小到大排序：82，84，86，88，94，95，96，共7个数．7×75%＝5.25，为非整数，故上四分位数是第6个数95．
95
考法
3
方差和标准差
　　　甲、乙两位学生参加数学竞赛培训，现分别从他们在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取8次，记录如下：
甲：82，81，79，78，95，88，93，84；
乙：92，95，80，75，83，80，90，85．
(1) 求甲成绩的80%分位数；
4
【解答】
　　　　把甲的成绩按照从小到大的顺序排列可得78，79，81，82，84，88，93，95，因为一共有8个数据，所以8×80%＝6.4，不是整数，所以甲成绩的80%分位数是第7个数据93．
【解答】
　　　　＝(78＋79＋81＋82＋84＋88＋93＋95)＝85，＝(75＋80＋80＋83＋85＋90＋92＋95)＝85．＝[(78－85)2＋(79－85)2＋(81－85)2＋(82－85)2＋(84－85)2＋(88－85)2＋(93－85)2＋(95－85)2]＝35.5，＝[(75－85)2＋(80－85)2＋(80－85)2＋(83－85)2＋(85－85)2＋(90－85)2＋(92－85)2＋(95－85)2]＝41，因为＝，所以甲的成绩较稳定，派甲参赛比较合适．
(2) 现要从中选派一人参加数学竞赛，从统计学的角度(在平均数、方差或标准差中选两个)考虑，你认为选派哪位学生参加合适？请说明理由．
【类题固法】
1．若样本x1＋1，x2＋1，…，xn＋1的平均数为10，其方差为2，则对于样本2x1＋2，2x2＋2，…，2xn＋2，下列结论正确的是 (　　)
A．平均数为20，方差为8 B．平均数为20，方差为10
C．平均数为21，方差为8 D．平均数为21，方差为10
【解析】
　　　　由题得样本2x1＋2，2x2＋2，…，2xn＋2的平均数为2×10＝20，方差为22×2＝8．
A
2．已知一组样本数据x1，x2，…，x10，且＋＋…＋＝2 024，平均数＝11，则该组数据的方差为_______．
【解析】
　　　　该组数据的方差为[(x1－11)2＋(x2－11)2＋…＋(x10－11)2]＝[(＋＋…＋)＋10×121－22(x1＋x2＋…＋x10)]＝(2 024＋1 210－22×110)＝81.4．
81.4
3．某学校统计教师职称及年龄，中级职称教师的人数为50，其平均年龄为38岁，方差是2，高级职称的教师3人58岁，5人40岁，2人38岁，求该校中级职称和高级职称教师年龄的平均数和方差．
【解答】
　　　　由已知条件可知高级职称教师的平均年龄为＝＝45(岁)，年龄的方差为＝[3×(58－45)2＋5×(40－45)2＋2×(38－45)2]＝73，所以该校中级职称和高级职称教师的平均年龄为＝×38＋×45≈ 39.2(岁)，该校中级职称和高级职称教师的年龄的方差是s2＝×[2＋(38－39.2)2]＋[73＋(45－39.2)2]＝20.64．
P()＝P()P()＝[1－P(A)]×[1－P(B)]＝＝．
所以“至少有1人译出密码”的概率为1－P()＝1－＝．

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