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第十章
10.2　事件的相互独立性
概　率
学习 目标 1．结合有限样本空间，了解两个随机事件独立性的含义．
2．结合古典概型，利用独立性计算概率，通过对实例的分析，会进行简单的应用．
新知初探·基础落实
试验1：分别抛掷两枚质地均匀的硬币，A＝“第一枚硬币正面朝上”，B＝“第二枚硬币反面朝上”．
试验2：一个袋子中装有标号分别是1，2，3，4的4个球，除标号外没有其他差异．采用有放回方式从袋中依次任意摸出两球．设A＝“第一次摸到球的标号小于3”，B＝“第二次摸到球的标号小于3”．
分别计算P(A)，P(B)，P(AB)，你有什么发现？
显然，对于试验1，因为两枚硬币分别抛掷，第一枚硬币的抛掷结果与第二枚硬币的抛掷结果互相不受影响，所以事件A发生与否不影响事件B发生的概率．
对于试验2，因为是有放回摸球，第一次摸球的结果与第二次摸球的结果互相不受影响，所以事件A发生与否也不影响事件B发生的概率．
一、 概念生成
1．在试验E“袋中有白球3个(编号为1，2，3)、黑球2个(编号为1，2)，这5个球除颜色外完全相同，从中有放回地摸球，连续摸两次，每次摸1个，观察摸出球的情况”中，设事件A表示“第一次摸出白球”，事件B表示“第二次摸出白球”．
(1) 试写出试验E的样本空间，并分别计算事件A、事件B发生的概率；
试验E的样本空间Ω＝{(白1，白1)，(白1，白2)，(白1，白3)，(白1，黑1)，(白1，黑2)，(白2，白1)，(白2，白2)，(白2，白3)，(白2，黑1)，(白2，黑2)，(白3，白1)，(白3，白2)，(白3，白3)，(白3，黑1)，(白3，黑2)，(黑1，白1)，(黑1，白2)，(黑1，白3)，(黑1，黑1)，(黑1，黑2)，(黑2，白1)，(黑2，白2)，(黑2，白3)，(黑2，黑1)，(黑2，黑2)}，共25个样本点．其中，事件A“第一次摸出白球”包括15个样本点，所以P(A)＝＝，事件B“第二次摸出白球”包括15个样本点，所以P(B)＝＝．
(2) 事件A的发生与否对事件B发生的概率是否有影响？为什么？
事件A的发生与否对事件B发生的概率没有影响，因为这是有放回地摸球，第二次摸球时，第一次摸出的球已放回，袋中球未变化．
(3) 事件AB的含义是什么？试探究P(A)，P(B)与P(AB)的关系．
事件AB的含义是“两次都摸出白球”．易知事件AB包含9个样本点，故P(AB)＝，所以P(AB)＝P(A)P(B)．
2．互为对立的两个事件是非常特殊的一种事件关系．如果事件A与事件B相互独立，那么它们的对立事件是否也相互独立？以课本试验2有放回摸球试验为例，分别验证A与与B，是否独立，你有什么发现？
对于A与，因为A＝AB∪A，而且AB与A互斥，所以P(A)＝P(AB∪A)＝P(AB)＋P(A)＝P(A)P(B)＋P(A)，所以P(A)＝P(A)－P(A)P(B)＝P(A)[1－P(B)]＝P(A)P()．由事件的独立性定义，A与相互独立．类似地，可以证明事件与B，也都相互独立．
请同学阅读课本P249—P252，完成下列填空．
二、 概念表述
1．相互独立事件
对任意两个事件A与B，如果P(AB)＝____________成立，则称事件A与事件B相互独立，简称为独立．
性质1：必然事件Ω、不可能事件 与________事件相互独立．
性质2：如果事件A与B相互独立，则A与与B，也相互独立，即P(A)＝____________，P(B)＝_____________，P( )＝____________．
拓展：两个事件的相互独立性可以推广到n(n＞2，n∈N*)个事件的相互独立性，即若事件A1，A2，…，An相互独立，则这n个事件同时发生的概率P(A1A2·…·An)＝________________________．
P(A)P(B)
任意
P(A)P()
P()P(B)
P()P()
P(A1)P(A2)·…·P(An)
2．相互独立事件概率的求法
已知两个事件A，B相互独立，它们的概率分别为P(A)，P(B)，则有
事件 表示 概率
A，B同时发生 AB P(AB)＝______________
A，B都不发生 P()＝_____________________
P(A)P(B)
[1－P(A)][1－P(B)]
事件 表示 概率
A，B恰有一个发生 AB P(A
＝_____________________
A，B中至少有一个发生 AB∪AB P(AB∪AB)＝_____________________
或P(AB∪AB)＝_______________
A，B中至多有一个发生 B∪A P()＝______________________或P()＝_____________
)P(B)
P(AB)＋P(AB)
1－P()
P()
1－P(AB)
3．两个事件相互独立与互斥的区别
两个事件互斥是指两个事件不可能同时发生；两个事件相互独立是指一个事件的发生与否对另一事件发生的概率没有影响．
一般地，两个事件不可能既互斥又相互独立，因为互斥事件不可能同时发生，而相互独立事件是以它们能够同时发生为前提的．
三、 概念辨析(判断正误：正确的画“√”，错误的画“×”)
(1) 若事件A与B相互独立，则也相互独立． (　　)
(2) 必然事件与任何一个事件相互独立． (　　)
(3) 不可能事件与任何一个事件相互独立． (　　)
(4) “P(AB)＝P(A)P(B)”是“事件A，B相互独立”的充要条件． (　　)
√
√
√
√
典例精讲·能力初成
探究
1
相互独立事件的判断
　　　(课本P251例1)一个袋子中有标号分别为1，2，3，4的4个球，除标号外没有其他差异．采用不放回方式从中任意摸球两次．设事件A＝“第一次摸出球的标号小于3”，事件B＝“第二次摸出球的标号小于3”，那么事件A与事件B是否相互独立？
1
【解答】
　　　　因为样本空间Ω＝{(m，n)|m，n∈{1，2，3，4}，且m≠n}，A＝{(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，3)，(2，4)}，B＝{(1，2)，(2，1)，(3，1)，(3，2)，(4，1)，(4，2)}，所以P(A)＝P(B)＝＝，P(AB)＝＝．
此时P(AB)≠P(A)P(B)，因此，事件A与事件B不独立．
两个事件是否相互独立的判断方法
(1) 直接法：由事件本身的性质直接判断两个事件发生是否相互影响，如果没有影响，则两个事件相互独立．
(2) 定义法：如果事件A，B同时发生的概率等于事件A发生的概率与事件B发生的概率的积，则事件A，B为相互独立事件．
变式1　一个家庭中有若干个小孩，假定生男孩和生女孩是等可能的，令A＝“一个家庭中既有男孩又有女孩”，B＝“一个家庭中最多有一个女孩”．对下述两种情形，讨论A与B的独立性：
(1) 家庭中有两个小孩；
【解答】
　　　　试验的样本空间为Ω＝{(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)}，共4个样本点，由等可能性知每个样本点的概率都为．此时A＝{(男，女)，(女，男)}，B＝{(男，男)，(男，女)，(女，男)}，AB＝{(男，女)，(女，男)}，于是P(A)＝，P(B)＝，P(AB)＝．由此可知P(AB)≠P(A)P(B)，所以事件A，B不相互独立．
变式1　一个家庭中有若干个小孩，假定生男孩和生女孩是等可能的，令A＝“一个家庭中既有男孩又有女孩”，B＝“一个家庭中最多有一个女孩”．对下述两种情形，讨论A与B的独立性：
(2) 家庭中有三个小孩．
【解答】
　　　　试验的样本空间为Ω＝{(男，男，男)，(男，男，女)，(男，女，男)，(女，男，男)，(男，女，女)，(女，男，女)，(女，女，男)，(女，女，女)}．由等可能性知这8个样本点的概率均为，A中含有6个样本点，B中含有4个样本点，AB中含有3个样本点．于是P(A)＝＝，P(B)＝＝，P(AB)＝，显然P(AB)＝P(A)P(B)成立，从而事件A与B是相互独立事件．
变式2　有以下3个问题，判断M，N是否是相互独立事件：
(1) 掷一枚骰子一次，事件M＝“出现的点数为奇数”，事件N＝“出现的点数为偶数”；
【解答】
　　　　M，N是互斥事件，不是相互独立事件．
(2) 袋中有5红、5黄10个大小相同的小球，依次不放回地摸两球，事件M＝“第1次摸到红球”，事件N＝“第2次摸到红球”；
【解答】
　　　　事件M的结果对事件N的结果有影响，所以M，N不是相互独立事件．
变式2　有以下3个问题，判断M，N是否是相互独立事件：
(3) 分别抛掷2枚相同的硬币，事件M＝“第1枚为正面”，事件N＝“两枚结果相同”．
【解答】
　　　　易知P(M)＝，P(N)＝，P(MN)＝，P(M)P(N)＝P(MN)，故M，N是相互独立事件．
探究
2
相互独立事件同时发生的概率
　　　(课本P251例2)甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶概率为0.8，乙的中靶概率为0.9，求下列事件的概率：
(1) 两人都中靶；
(2) 恰好有一人中靶；
(3) 两人都脱靶；
(4) 至少有一人中靶．
2
【解答】
　　　　设A＝“甲中靶”，B＝“乙中靶”，则＝“甲脱靶”，＝“乙脱靶”．由于两个人射击的结果互不影响，所以A与B相互独立，A与与B，都相互独立．由已知可得，P(A)＝0.8，P(B)＝0.9，P()＝0.2，P()＝0.1．
(1) AB＝“两人都中靶”，由事件独立性的定义，得P(AB)＝P(A)P(B)＝0.8×0.9＝0.72．
(2) “恰好有一人中靶”＝A∪B，且AB互斥，根据概率的加法公式和事件的独立性定义，得P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝P(A)·P()＋P()P(B)＝0.8×0.1＋0.2×0.9＝0.26．
(3) 事件“两人都脱靶”＝ ，所以P( )＝P()P()＝(1－0.8)×(1－0.9)＝0.02．
(4) 方法一：事件“至少有一人中靶”＝AB∪A∪B，且AB，AB两两互斥，所以P(AB∪A∪B)＝P(AB)＋P(A)＋P(B)＝P(AB)＋P(A∪B)＝0.72＋0.26＝0.98．
方法二：由于事件“至少有一人中靶”的对立事件是“两人都脱靶”，根据对立事件的性质，得事件“至少有一人中靶”的概率为1－P( )＝1－0.02＝0.98．
用相互独立事件的乘法公式解题的步骤
(1) 用恰当的字母表示题中有关事件；
(2) 根据题设条件，分析事件间的关系；
(3) 将需要计算概率的事件表示为所设事件的乘积或若干个事件的乘积之和(相互乘积的事件之间必须满足相互独立)；
(4) 利用乘法公式计算概率．
变式　本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多．某自行车租车点的收费标准是每车每次租车时间不超过两小时免费，超过两小时的部分每小时收费2元(不足一小时的部分按一小时计算)．有甲、乙两人来该租车点租车骑游(各租一车一次)，设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为，两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为，两人租车时间都不会超过四小时．
(1) 求甲、乙两人所付租车费用相同的概率；
【解答】
　　　　甲、乙两人租车时间超过三小时且不超过四小时的概率分别为1－－＝，1－－＝．租车费用相同可分为租车费都为0元、2元、4元三种情况．两人租车费都为0元的概率为p1＝＝，两人租车费都为2元的概率为p2＝＝，两人租车费都为4元的概率为p3＝＝，所以甲、乙两人所付租车费用相同的概率为p＝p1＋p2＋p3＝．
变式　本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多．某自行车租车点的收费标准是每车每次租车时间不超过两小时免费，超过两小时的部分每小时收费2元(不足一小时的部分按一小时计算)．有甲、乙两人来该租车点租车骑游(各租一车一次)，设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为，两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为，两人租车时间都不会超过四小时．
(2) 求甲、乙两人所付的租车费用之和为4元的概率．
【解答】
　　　　设甲、乙两人所付的租车费用之和为ξ，则“ξ＝4”表示“两人的租车费用之和为4元”，其可能的情况是甲、乙的租车费分别为①0元、4元，②2元、2元，③4元、0元．所以P(ξ＝4)＝＋＋＝，即甲、乙两人所付的租车费用之和为4元的概率为．
探究
3
相互独立、互斥事件概率计算的综合应用
　　　甲、乙2人独立地破译一个密码，他们能译出密码的概率分别为．
(1) 求2人都译出密码的概率；
3
【解答】
　　　　记事件A＝“甲独立地译出密码”，事件B＝“乙独立地译出密码”，A与B为相互独立事件，且P(A)＝，P(B)＝．“2人都译出密码”的概率为P(AB)＝P(A)P(B)＝＝．
　　　甲、乙2人独立地破译一个密码，他们能译出密码的概率分别为．
(2) 求2人都译不出密码的概率；
3
【解答】
　　　　“2人都译不出密码”的概率为P()＝P()P()＝[1－P(A)]×[1－P(B)]＝＝．
(3) 求至多有1人译出密码的概率；
【解答】
　　　　“至多有1人译出密码”的对立事件为“2人都译出密码”，所以“至多有1人译出密码”的概率为1－P(AB)＝1－＝．
　　　甲、乙2人独立地破译一个密码，他们能译出密码的概率分别为．
(4) 求恰有1人译出密码的概率；
3
【解答】
　　　　“恰有1人译出密码”可以分为两类，即“甲译出乙未译出”和“甲未译出乙译出”，且两个事件为互斥事件，所以“恰有1人译出密码”的概率为P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝P(A)P()＋P()P(B)＝＋＝．
(5) 求至少有1人译出密码的概率．
【解答】
　　　　“至少有1人译出密码”的对立事件为“2人都未译出密码”，所以“至少有1人译出密码”的概率为1－P( )＝1－＝．
求较复杂事件的概率的一般步骤
(1) 列出题中涉及的各个事件，并且用适当的符号表示．
(2) 理清事件之间的关系(两个事件是互斥还是对立，或者是相互独立的)，列出关系式．
(3) 根据事件之间的关系准确选取概率公式进行计算．
(4) 当直接计算符合条件的事件的概率较复杂时，可先间接地计算其对立事件的概率，再求出符合条件的事件的概率．
变式　(课本P252例3)甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为．在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响．求“星队”在两轮活动中猜对3个成语的概率．
【解答】
　　　　设A1，A2分别表示甲两轮猜对1个，2个成语的事件，B1，B2分别表示乙两轮猜对1个，2个成语的事件．根据独立性假定，得P(A1)＝＋＝，P(A2)＝＝．P(B1)＝＋＝，P(B2)＝＝．设A＝“两轮活动‘星队’猜对3个成语”，则A＝A1B2∪A2B1，且A1B2与A2B1互斥，A1与B2，A2与B1分别相互独立，所以P(A)＝P(A1B2)＋P(A2B1)＝P(A1)P(B2)＋P(A2)P(B1)＝＋＝．因此，“星队”在两轮活动中猜对3个成语的概率是．
探究
4
方程思想在相互独立事件概率中的应用
　　　在某社区举办的“环保我参与”有奖问答比赛活动中，甲、乙、丙三个家庭同时回答一道有关环保知识的问题．已知甲家庭回答正确这道题的概率是，甲、丙两个家庭都回答错误的概率是，乙、丙两个家庭都回答正确的概率是．若各家庭回答是否正确互不影响．
(1) 求乙、丙两个家庭各自回答正确这道题的概率；
4
【解答】
　　　　记事件A＝“甲家庭回答正确这道题”，B＝“乙家庭回答正确这道题”，C＝“丙家庭回答正确这道题”．由于A，B，C相互独立，所以相互独立，则
解得所以乙、丙两个家庭各自回答正确这道题的概率分别为．
　　　在某社区举办的“环保我参与”有奖问答比赛活动中，甲、乙、丙三个家庭同时回答一道有关环保知识的问题．已知甲家庭回答正确这道题的概率是，甲、丙两个家庭都回答错误的概率是，乙、丙两个家庭都回答正确的概率是．若各家庭回答是否正确互不影响．
(2) 求甲、乙、丙三个家庭中恰有2个家庭回答正确这道题的概率．
4
【解答】
　　　　因为A，B，C相互独立，且AB，AC，BC相互互斥，所以P(AB＋AC＋BC)＝P(AB)＋P(AC)＋P(BC)＝P(A)P(B)P()＋P(A)P()P(C)＋P()P(B)P(C)＝＋＋＝，所以恰有2个家庭回答正确这道题的概率为．
随堂内化·及时评价
1．若P(AB)＝，P()＝，P(B)＝，则事件A与B的关系是 (　　)
A．互斥　 B．对立
C．相互独立　 D．互斥且独立
【解析】
　　　　因为P(A)＝1－P()＝1－＝，所以P(AB)＝P(A)P(B)＝≠0，所以事件A与B相互独立，不是互斥、对立事件．
C
2．甲、乙两名同学参加一项射击比赛游戏，其中任何一人每射击一次击中目标得2分，未击中目标得0分．若甲、乙两人射击的命中率分别为0.6和p，且甲、乙两人各射击一次得分之和为2的概率为0.45．假设甲、乙两人射击互不影响，则p的值为 (　　)
A．0.8　 B．0.75 C．0.6　 D．0.25
【解析】
　　　　设事件A＝“甲射击一次，击中目标”，事件B＝“乙射击一次，击中目标”，则＝“甲射击一次，未击中目标”，＝“乙射击一次，未击中目标”，故P(A)＝0.6，P()＝1－0.6＝0.4，P(B)＝p，P()＝1－p，依题意得0.6×(1－p)＋0.4×p＝0.45，解得p＝0.75．
B
3．甲、乙两歼击机的飞行员向同一架敌机射击，设击中的概率分别为0.4，0.5，则恰有一人击中敌机的概率为 (　　)
A．0.6　 B．0.2
C．0.7　 D．0.5
【解析】
　　　　设A＝“甲飞行员击中敌机”，B＝“乙飞行员击中敌机”，则P(A)＝0.4，P(B)＝0.5，则恰有一人击中敌机的概率为P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝P(A)P()＋P()P(B)＝P(A)[1－P(B)]＋[1－P(A)]P(B)＝0.4×(1－0.5)＋(1－0.4)×0.5＝0.5．
D
4．(课本P252练习1)分别抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件A＝“第1枚正面朝上”，事件B＝“第2枚正面朝上”，事件C＝“两枚硬币朝上的面相同”，A，B，C中哪两个相互独立？
【解答】
　　　　P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝，P(AB)＝，P(AC)＝，P(BC)＝，所以P(AB)＝P(A)P(B)，P(AC)＝P(A)P(C)，P(BC)＝P(B)P(C)．由独立事件概率性质可知A与B，A与C，B与C都相互独立．10.2　事件的相互独立性
一、 单项选择题
1．在某次考试中，甲、乙通过的概率分别为0.7，0.4，若两人考试相互独立，则甲未通过而乙通过的概率为(　　)
A．0.28 B．0.12
C．0.42 D．0.16
2．已知事件A和B相互独立，P(A)＝，P(A＋B)＝，则P(B)＝(　　)
A． B．
C． D．
3．荷花池中，有一只青蛙在成“品”字形的三片荷叶上跳来跳去(每次跳跃时，均从一片荷叶跳到另一片荷叶)，而且逆时针方向跳的概率是顺时针方向跳的概率的2倍.如图，假设现在青蛙在A荷叶上，则跳三次之后停在A荷叶上的概率是(　　)
　(第3题)
A． B．
C． D．
4．高一年级某同学参加了学校“数学社”“物理社”“话剧社”三个社团的选拔，该同学能否成功进入这三个社团是相互独立的.假设该同学能够进入“数学社”“物理社”“话剧社”三个社团的概率分别为m，n，，该同学进入两个社团的概率为，且三个社团都进不了的概率为，则m＋n＝(　　)
A． B．
C． D．
二、 多项选择题
5．分别抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件A＝“第一枚硬币正面朝上”，事件B＝“第二枚硬币反面朝上”，则(　　)
A．A与B互斥 B．A与B相互独立
C．P(A∪B)＝ D．P(A)＝P(B)
6．有5个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，从中有放回地随机取两次，每次取1个球.记事件A＝“第一次取出的球的数字是奇数”，事件B＝“两次取出的球的数字相同”，事件C＝“两次取出的球的数字之和是6”，则(　　)
A．A与B相互独立
B．A与C相互独立
C．B与C相互独立
D．AB与C相互独立
三、 填空题
7．已知事件A，B相互独立，且P(A)＝2P()，2P(B)＝P()，则P(AB)＝________．
8．甲、乙两队进行篮球决赛，采取三场两胜制(当一队赢得两场胜利时，该队获胜，决赛结束).根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主客主”.设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以2∶1获胜的概率是________．
四、 解答题
9．一个不透明的袋子中，放有大小相同的5个小球，其中3个黑球、2个白球.如果不放回地依次取出2个球.
(1) 求第一次取出的是黑球的概率；
(2) 求第一次取出的是黑球，且第二次取出的是白球的概率.
10．某校举行围棋比赛，甲、乙、丙三人通过初赛，进入决赛.决赛比赛规则如下：首先通过抽签的形式确定甲、乙两人进行第一局比赛，丙轮空；第一局比赛结束后，胜利者和丙进行比赛，失败者轮空，以此类推，每局比赛的胜利者跟本局比赛轮空者进行下一局比赛，直到一人累计获胜三局，则此人获得比赛胜利，比赛结束.假设每局比赛双方获胜的概率均为，且每局比赛相互独立.
(1) 求丙每局都获胜的概率；
(2) 求甲获得比赛胜利的概率.
11．已知P(A∪B)＝，P()＝，P(B)＝，则事件A与B的关系是(　　)
A．A与B互斥不对立 B．A与B对立
C．A与B相互独立 D．A与B既互斥又独立
12．(多选)口袋中装有大小、质地完全相同的白球和黑球各2个，从中不放回地依次取出2个球，事件A＝“取出的两球同色”，事件B＝“第一次取出的是白球”，事件C＝“第二次取出的是白球”，事件D＝“取出的两球不同色”，则(　　)
A．P(B)＝ B．B与C互斥
C．A与B相互独立 D．A与D互为对立事件
13．(多选)如图所示的电路中，5只盒子表示保险匣，设5个盒子分别被断开为事件A，B，C，D，E，盒中所示数值表示通电时保险丝被切断的概率，下列结论正确的是(　　)
(第13题)
A．M1，M2串联后畅通的概率为
B．M4，M5并联后畅通的概率为
C．M1，M2，M3混联后畅通的概率为
D．当开关合上时，整个电路畅通的概率为
14．本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多.某自行车租车点的收费标准是每车每次租车时间不超过两小时免费，超过两小时的部分每小时收费2元(不足一小时的部分按一小时计算).有甲、乙两人分别来该租车点租车骑游(各租一车一次)，设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为，；两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为，；两人租车时间互不影响且都不会超过四小时.
(1) 甲、乙两人所付的租车费用相同的概率为 ________；
(2) 甲、乙两人所付的租车费用之和为4的概率为________．
10.2　事件的相互独立性
基础打底·熟练掌握
1．B
2．D　【解析】 因为事件A和B相互独立，事件A＋B为和事件，则P(A＋B)＝P(A)＋P(B)－P(AB)＝P(A)＋P(B)－P(A)P(B)，所以＝＋P(B)－P(B)，解得P(B)＝.　
3．A　【解析】 由已知得逆时针跳一次的概率为，顺时针跳一次的概率为，则逆时针跳三次停在A上的概率为P1＝××＝，顺时针跳三次停在A上的概率为P2＝××＝.所以该青蛙跳三次之后停在A上的概率为P＝P1＋P2＝＋＝.
4．A　【解析】 由该同学可以进入两个社团的概率为，得mn·＋m(1－n)＋n(1－m)＝①，由三个社团都进不了的概率为，可得(1－m)(1－n)＝②.由①②可得m＋n＝.
5．BCD　
6．ABC　【解析】 记第一次取出的球的数字为a，第二次取出的球的数字为b，其中a，b∈｛1，2，3，4，5｝，用(a，b)表示两次取球的号码，则试验的样本空间Ω＝｛(1，1)，(1，2)，…，(5，5)｝，共有25个样本点，事件C＝｛(1，5)，(2，4)，(3，3)，(4，2)，(5，1)｝，则P(C)＝＝.同理可知，P(A)＝，P(B)＝，事件AB＝｛(1，1)，(3，3)，(5，5)｝，则P(AB)＝，事件AC＝｛(1，5)，(3，3)，(5，1)｝，则P(AC)＝，事件BC＝｛(3，3)｝，则P(BC)＝，事件ABC＝｛(3，3)｝，则P(ABC)＝.对于A，P(A)P(B)＝×＝＝P(AB)，则A与B相互独立，故A正确；对于B，P(A)P(C)＝×＝＝P(AC)，所以A与C相互独立，故B正确；对于C，P(B)P(C)＝×＝＝P(BC)，所以B与C相互独立，故C正确；对于D，P(AB)P(C)＝×＝≠P(ABC)，所以AB与C不相互独立，故D错误.
7．　【解析】 因为P(A)＝2P()＝2［1－P(A)］，所以P(A)＝.因为2P(B)＝P()＝1－P(B)，所以P(B)＝.又事件A，B相互独立，所以P(AB)＝P(A)P(B)＝.
8．0.3　【解析】 甲队以2∶1获胜是指甲队前两场比赛中一胜一负，第三场比赛甲胜，则甲队以2∶1获胜的概率是P＝0.6×0.5×0.6＋0.4×0.5×0.6＝0.3.
9．【解答】 设A＝“第一次取出的是黑球”，B＝“第二次取出的是白球”.
(1) 因为黑球有3个，球的总数为5，所以P(A)＝.
(2) 第一次取出的是黑球，且第二次取出的是白球的概率为P(AB)＝×＝.
10．【解答】 (1) 丙每局都获胜有以下两种情况：第一局甲获胜，后三局丙获胜；第一局乙获胜，后三局丙获胜.第一局甲获胜，后三局丙获胜的概率P1＝×××＝，第一局乙获胜，后三局丙获胜的概率P2＝×××＝，故丙每局都获胜的概率P＝P1＋P2＝＋＝.
(2) 设甲获胜为事件A，乙获胜为事件B，丙获胜为事件C.比赛进行三局，甲获胜的概率为××＝；比赛进行五局，甲获胜有以下6种情况：AABBA，AABCA，ACBAA，ACCAA，BBAAA，BCAAA，甲获胜的概率为×××××6＝；比赛进行七局，甲获胜有以下8种情况：AABCCBA，ACBBCAA，ACBACBA，ACCABBA，BBACCAA，BCAACBA，BCABCAA，BCCBAAA，甲获胜的概率为×××××××8＝.综上，甲获得比赛胜利的概率为＋＋＝.
能力进阶·融会贯通
11．C　【解析】 由P()＝可得P(A)＝1－P()＝1－＝.因为P(A)＋P(B)＝≠P(A∪B)，所以A与B不互斥，不对立.由P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)可得P(A∩B)＝，因为P(A)×P(B)＝＝P(A∩B)，所以A与B相互独立.
12．ACD　【解析】 设2个白球为a1，a2，2个黑球为b1，b2，则样本空间为Ω＝｛(a1，a2)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，a1)，(a2，b1)，(a2，b2)，(b1，a1)，(b1，a2)，(b1，b2)，(b2，a1)，(b2，a2)，(b2，b1)｝，共12个基本事件.事件A＝｛(a1，a2)，(a2，a1)，(b1，b2)，(b2，b1)｝，共4个基本事件；事件B＝｛(a1，a2)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，a1)，(a2，b1)，(a2，b2)｝，共6个基本事件；事件C＝｛(a1，a2)，(a2，a1)，(b1，a1)，(b1，a2)，(b2，a1)，(b2，a2)｝，共6个基本事件；事件D＝｛(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，b1)，(a2，b2)，(b1，a1)，(b1，a2)，(b2，a1)，(b2，a2)｝，共8个基本事件.对于A，P(B)＝＝，故A正确；对于B，因为B∩C≠ ，所以事件B与C不互斥，故B错误；对于C，因为P(A)＝＝，P(B)＝＝，P(AB)＝＝，所以P(AB)＝P(A)P(B)，故事件A与B相互独立，故C正确；对于D，因为A∩D＝ ，A∪D＝Ω，所以事件A与D互为对立事件，故D正确.
13．ACD　【解析】 由题意知，P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝，P(D)＝，P(E)＝，所以M1，M2畅通的概率为×＝，因此A正确；M4，M5并联后畅通的概率为1－×＝1－＝，因此B错误；M1，M2，M3混联后畅通的概率为1－×＝1－＝，故C正确；当开关合上时，电路畅通的概率为×＝，故D正确.
14．(1) 　(2) 　【解析】 甲、乙两人租车时间超过三小时不超过四小时的概率分别为1－－＝，1－－＝.
(1) 租车费用相同可分为租车费用都为0元、2元、4元三种情况.都付0元的概率为P1＝×＝；都付2元的概率为P2＝×＝；都付4元的概率为P3＝×＝.所以甲、乙两人所付租车费用相同的概率为P＝P1＋P2＋P3＝.
(2) 设甲、乙两人所付的租车费用之和为ξ，则ξ＝4表示两人的租车费用之和为4元，则甲、乙的租车费用分别为①0元，4元；②2元，2元；③4元，0元.P(ξ＝4)＝×＋×＋×＝，即甲、乙两人所付的租车费用之和为4元的概率为.10.2　事件的相互独立性
学习 目标 1．结合有限样本空间，了解两个随机事件独立性的含义． 2．结合古典概型，利用独立性计算概率，通过对实例的分析，会进行简单的应用．
新知初探基础落实
试验1：分别抛掷两枚质地均匀的硬币，A＝“第一枚硬币正面朝上”，B＝“第二枚硬币反面朝上”．
试验2：一个袋子中装有标号分别是1，2，3，4的4个球，除标号外没有其他差异．采用有放回方式从袋中依次任意摸出两球．设A＝“第一次摸到球的标号小于3”，B＝“第二次摸到球的标号小于3”．
分别计算P(A)，P(B)，P(AB)，你有什么发现？
显然，对于试验1，因为两枚硬币分别抛掷，第一枚硬币的抛掷结果与第二枚硬币的抛掷结果互相不受影响，所以事件A发生与否不影响事件B发生的概率．
对于试验2，因为是有放回摸球，第一次摸球的结果与第二次摸球的结果互相不受影响，所以事件A发生与否也不影响事件B发生的概率．
一、 概念生成
1．在试验E“袋中有白球3个(编号为1，2，3)、黑球2个(编号为1，2)，这5个球除颜色外完全相同，从中有放回地摸球，连续摸两次，每次摸1个，观察摸出球的情况”中，设事件A表示“第一次摸出白球”，事件B表示“第二次摸出白球”．
(1) 试写出试验E的样本空间，并分别计算事件A、事件B发生的概率；
试验E的样本空间Ω＝{(白1，白1)，(白1，白2)，(白1，白3)，(白1，黑1)，(白1，黑2)，(白2，白1)，(白2，白2)，(白2，白3)，(白2，黑1)，(白2，黑2)，(白3，白1)，(白3，白2)，(白3，白3)，(白3，黑1)，(白3，黑2)，(黑1，白1)，(黑1，白2)，(黑1，白3)，(黑1，黑1)，(黑1，黑2)，(黑2，白1)，(黑2，白2)，(黑2，白3)，(黑2，黑1)，(黑2，黑2)}，共25个样本点．其中，事件A“第一次摸出白球”包括15个样本点，所以P(A)＝＝，事件B“第二次摸出白球”包括15个样本点，所以P(B)＝＝．
(2) 事件A的发生与否对事件B发生的概率是否有影响？为什么？
事件A的发生与否对事件B发生的概率没有影响，因为这是有放回地摸球，第二次摸球时，第一次摸出的球已放回，袋中球未变化．
(3) 事件AB的含义是什么？试探究P(A)，P(B)与P(AB)的关系．
事件AB的含义是“两次都摸出白球”．易知事件AB包含9个样本点，故P(AB)＝，所以P(AB)＝P(A)P(B)．
2．互为对立的两个事件是非常特殊的一种事件关系．如果事件A与事件B相互独立，那么它们的对立事件是否也相互独立？以课本试验2有放回摸球试验为例，分别验证A与与B，与是否独立，你有什么发现？
对于A与，因为A＝AB∪A，而且AB与A互斥，所以P(A)＝P(AB∪A)＝P(AB)＋P(A)＝P(A)P(B)＋P(A)，所以P(A)＝P(A)－P(A)P(B)＝P(A)[1－P(B)]＝P(A)P()．由事件的独立性定义，A与相互独立．类似地，可以证明事件与B，与也都相互独立．
请同学阅读课本P249—P252，完成下列填空．
二、 概念表述
1．相互独立事件
对任意两个事件A与B，如果P(AB)＝__P(A)P(B)__成立，则称事件A与事件B相互独立，简称为独立．
性质1：必然事件Ω、不可能事件 与__任意__事件相互独立．
性质2：如果事件A与B相互独立，则A与与B，与也相互独立，即P(A)＝__P(A)P()__，P(B)＝__P()P(B)__，P( )＝__P()P()__．
拓展：两个事件的相互独立性可以推广到n(n＞2，n∈N*)个事件的相互独立性，即若事件A1，A2，…，An相互独立，则这n个事件同时发生的概率P(A1A2·…·An)＝__P(A1)P(A2)·…·P(An)__．
2．相互独立事件概率的求法
已知两个事件A，B相互独立，它们的概率分别为P(A)，P(B)，则有
事件 表示 概率
A，B同时发生 AB P(AB)＝__P(A)P(B)__
A，B都不发生 P()＝__[1－P(A)][1－P(B)]__
A，B恰有一个发生 AB P(A＝__ P(A)P()＋P() P(B)__
A，B中至少有一个发生 AB∪AB P(AB∪AB)＝__P(AB)＋P(AB)__ 或P(AB∪AB)＝__1－P()__
A，B中至多有一个发生 B∪A P()＝__P()__或P()＝__1－P(AB)__
3．两个事件相互独立与互斥的区别
两个事件互斥是指两个事件不可能同时发生；两个事件相互独立是指一个事件的发生与否对另一事件发生的概率没有影响．
一般地，两个事件不可能既互斥又相互独立，因为互斥事件不可能同时发生，而相互独立事件是以它们能够同时发生为前提的．
三、 概念辨析(判断正误：正确的画“√”，错误的画“×”)
(1) 若事件A与B相互独立，则与也相互独立．(　√　)
(2) 必然事件与任何一个事件相互独立．(　√　)
(3) 不可能事件与任何一个事件相互独立．(　√　)
(4) “P(AB)＝P(A)P(B)”是“事件A，B相互独立”的充要条件．(　√　)
典例精讲能力初成
探究1　相互独立事件的判断
例1　(课本P251例1)一个袋子中有标号分别为1，2，3，4的4个球，除标号外没有其他差异．采用不放回方式从中任意摸球两次．设事件A＝“第一次摸出球的标号小于3”，事件B＝“第二次摸出球的标号小于3”，那么事件A与事件B是否相互独立？
【解答】因为样本空间Ω＝{(m，n)|m，n∈{1，2，3，4}，且m≠n}，A＝{(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，3)，(2，4)}，B＝{(1，2)，(2，1)，(3，1)，(3，2)，(4，1)，(4，2)}，所以P(A)＝P(B)＝＝，P(AB)＝＝．
此时P(AB)≠P(A)P(B)，因此，事件A与事件B不独立．
两个事件是否相互独立的判断方法
(1) 直接法：由事件本身的性质直接判断两个事件发生是否相互影响，如果没有影响，则两个事件相互独立．
(2) 定义法：如果事件A，B同时发生的概率等于事件A发生的概率与事件B发生的概率的积，则事件A，B为相互独立事件．
变式1　一个家庭中有若干个小孩，假定生男孩和生女孩是等可能的，令A＝“一个家庭中既有男孩又有女孩”，B＝“一个家庭中最多有一个女孩”．对下述两种情形，讨论A与B的独立性：
(1) 家庭中有两个小孩；
【解答】试验的样本空间为Ω＝{(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)}，共4个样本点，由等可能性知每个样本点的概率都为．此时A＝{(男，女)，(女，男)}，B＝{(男，男)，(男，女)，(女，男)}，AB＝{(男，女)，(女，男)}，于是P(A)＝，P(B)＝，P(AB)＝．由此可知P(AB)≠P(A)P(B)，所以事件A，B不相互独立．
(2) 家庭中有三个小孩．
【解答】试验的样本空间为Ω＝{(男，男，男)，(男，男，女)，(男，女，男)，(女，男，男)，(男，女，女)，(女，男，女)，(女，女，男)，(女，女，女)}．由等可能性知这8个样本点的概率均为，A中含有6个样本点，B中含有4个样本点，AB中含有3个样本点．于是P(A)＝＝，P(B)＝＝，P(AB)＝，显然P(AB)＝P(A)P(B)成立，从而事件A与B是相互独立事件．
变式2　有以下3个问题，判断M，N是否是相互独立事件：
(1) 掷一枚骰子一次，事件M＝“出现的点数为奇数”，事件N＝“出现的点数为偶数”；
【解答】M，N是互斥事件，不是相互独立事件．
(2) 袋中有5红、5黄10个大小相同的小球，依次不放回地摸两球，事件M＝“第1次摸到红球”，事件N＝“第2次摸到红球”；
【解答】事件M的结果对事件N的结果有影响，所以M，N不是相互独立事件．
(3) 分别抛掷2枚相同的硬币，事件M＝“第1枚为正面”，事件N＝“两枚结果相同”．
【解答】易知P(M)＝，P(N)＝，P(MN)＝，P(M)P(N)＝P(MN)，故M，N是相互独立事件．
探究2　相互独立事件同时发生的概率
例2　(课本P251例2)甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶概率为0.8，乙的中靶概率为0.9，求下列事件的概率：
(1) 两人都中靶；
(2) 恰好有一人中靶；
(3) 两人都脱靶；
(4) 至少有一人中靶．
【解答】设A＝“甲中靶”，B＝“乙中靶”，则＝“甲脱靶”，＝“乙脱靶”．由于两个人射击的结果互不影响，所以A与B相互独立，A与与B，与都相互独立．由已知可得，P(A)＝0.8，P(B)＝0.9，P()＝0.2，P()＝0.1．
(1) AB＝“两人都中靶”，由事件独立性的定义，得P(AB)＝P(A)P(B)＝0.8×0.9＝0.72．
(2) “恰好有一人中靶”＝A∪B，且A与B互斥，根据概率的加法公式和事件的独立性定义，得P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝P(A)·P()＋P()P(B)＝0.8×0.1＋0.2×0.9＝0.26．
(3) 事件“两人都脱靶”＝ ，所以P( )＝P()P()＝(1－0.8)×(1－0.9)＝0.02．
(4) 方法一：事件“至少有一人中靶”＝AB∪A∪B，且AB，A与B两两互斥，所以P(AB∪A∪B)＝P(AB)＋P(A)＋P(B)＝P(AB)＋P(A∪B)＝0.72＋0.26＝0.98．
方法二：由于事件“至少有一人中靶”的对立事件是“两人都脱靶”，根据对立事件的性质，得事件“至少有一人中靶”的概率为1－P( )＝1－0.02＝0.98．
用相互独立事件的乘法公式解题的步骤
(1) 用恰当的字母表示题中有关事件；
(2) 根据题设条件，分析事件间的关系；
(3) 将需要计算概率的事件表示为所设事件的乘积或若干个事件的乘积之和(相互乘积的事件之间必须满足相互独立)；
(4) 利用乘法公式计算概率．
变式　本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多．某自行车租车点的收费标准是每车每次租车时间不超过两小时免费，超过两小时的部分每小时收费2元(不足一小时的部分按一小时计算)．有甲、乙两人来该租车点租车骑游(各租一车一次)，设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为，两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为，两人租车时间都不会超过四小时．
(1) 求甲、乙两人所付租车费用相同的概率；
【解答】甲、乙两人租车时间超过三小时且不超过四小时的概率分别为1－－＝，1－－＝．租车费用相同可分为租车费都为0元、2元、4元三种情况．两人租车费都为0元的概率为p1＝＝，两人租车费都为2元的概率为p2＝＝，两人租车费都为4元的概率为p3＝＝，所以甲、乙两人所付租车费用相同的概率为p＝p1＋p2＋p3＝．
(2) 求甲、乙两人所付的租车费用之和为4元的概率．
【解答】设甲、乙两人所付的租车费用之和为ξ，则“ξ＝4”表示“两人的租车费用之和为4元”，其可能的情况是甲、乙的租车费分别为①0元、4元，②2元、2元，③4元、0元．所以P(ξ＝4)＝＋＋＝，即甲、乙两人所付的租车费用之和为4元的概率为．
探究3　相互独立、互斥事件概率计算的综合应用
例3　甲、乙2人独立地破译一个密码，他们能译出密码的概率分别为和．
(1) 求2人都译出密码的概率；
【解答】记事件A＝“甲独立地译出密码”，事件B＝“乙独立地译出密码”，A与B为相互独立事件，且P(A)＝，P(B)＝．“2人都译出密码”的概率为P(AB)＝P(A)P(B)＝＝．
(2) 求2人都译不出密码的概率；
【解答】“2人都译不出密码”的概率为P()＝P()P()＝[1－P(A)]×[1－P(B)]＝＝．
(3) 求至多有1人译出密码的概率；
【解答】“至多有1人译出密码”的对立事件为“2人都译出密码”，所以“至多有1人译出密码”的概率为1－P(AB)＝1－＝．
(4) 求恰有1人译出密码的概率；
【解答】“恰有1人译出密码”可以分为两类，即“甲译出乙未译出”和“甲未译出乙译出”，且两个事件为互斥事件，所以“恰有1人译出密码”的概率为P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝P(A)P()＋P()P(B)＝＋＝．
(5) 求至少有1人译出密码的概率．
【解答】“至少有1人译出密码”的对立事件为“2人都未译出密码”，所以“至少有1人译出密码”的概率为1－P()＝1－＝．
求较复杂事件的概率的一般步骤
(1) 列出题中涉及的各个事件，并且用适当的符号表示．
(2) 理清事件之间的关系(两个事件是互斥还是对立，或者是相互独立的)，列出关系式．
(3) 根据事件之间的关系准确选取概率公式进行计算．
(4) 当直接计算符合条件的事件的概率较复杂时，可先间接地计算其对立事件的概率，再求出符合条件的事件的概率．
变式　(课本P252例3)甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为．在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响．求“星队”在两轮活动中猜对3个成语的概率．
【解答】设A1，A2分别表示甲两轮猜对1个，2个成语的事件，B1，B2分别表示乙两轮猜对1个，2个成语的事件．根据独立性假定，得P(A1)＝＋＝，P(A2)＝＝．P(B1)＝＋＝，P(B2)＝＝．设A＝“两轮活动‘星队’猜对3个成语”，则A＝A1B2∪A2B1，且A1B2与A2B1互斥，A1与B2，A2与B1分别相互独立，所以P(A)＝P(A1B2)＋P(A2B1)＝P(A1)P(B2)＋P(A2)P(B1)＝＋＝．因此，“星队”在两轮活动中猜对3个成语的概率是．
探究4　方程思想在相互独立事件概率中的应用
例4　在某社区举办的“环保我参与”有奖问答比赛活动中，甲、乙、丙三个家庭同时回答一道有关环保知识的问题．已知甲家庭回答正确这道题的概率是，甲、丙两个家庭都回答错误的概率是，乙、丙两个家庭都回答正确的概率是．若各家庭回答是否正确互不影响．
(1) 求乙、丙两个家庭各自回答正确这道题的概率；
【解答】记事件A＝“甲家庭回答正确这道题”，B＝“乙家庭回答正确这道题”，C＝“丙家庭回答正确这道题”．由于A，B，C相互独立，所以和相互独立，则
解得所以乙、丙两个家庭各自回答正确这道题的概率分别为．
(2) 求甲、乙、丙三个家庭中恰有2个家庭回答正确这道题的概率．
【解答】因为A，B，C相互独立，且AB，AC，BC相互互斥，所以P(AB＋AC＋BC)＝P(AB)＋P(AC)＋P(BC)＝P(A)P(B)P()＋P(A)P()P(C)＋P()P(B)P(C)＝＋＋＝，所以恰有2个家庭回答正确这道题的概率为．
随堂内化及时评价
1．若P(AB)＝，P()＝，P(B)＝，则事件A与B的关系是(　C　)
A．互斥　 B．对立
C．相互独立　 D．互斥且独立
【解析】因为P(A)＝1－P()＝1－＝，所以P(AB)＝P(A)P(B)＝≠0，所以事件A与B相互独立，不是互斥、对立事件．
2．甲、乙两名同学参加一项射击比赛游戏，其中任何一人每射击一次击中目标得2分，未击中目标得0分．若甲、乙两人射击的命中率分别为0.6和p，且甲、乙两人各射击一次得分之和为2的概率为0.45．假设甲、乙两人射击互不影响，则p的值为(　B　)
A．0.8　 B．0.75
C．0.6　 D．0.25
【解析】设事件A＝“甲射击一次，击中目标”，事件B＝“乙射击一次，击中目标”，则＝“甲射击一次，未击中目标”，＝“乙射击一次，未击中目标”，故P(A)＝0.6，P()＝1－0.6＝0.4，P(B)＝p，P()＝1－p，依题意得0.6×(1－p)＋0.4×p＝0.45，解得p＝0.75．
3．甲、乙两歼击机的飞行员向同一架敌机射击，设击中的概率分别为0.4，0.5，则恰有一人击中敌机的概率为(　D　)
A．0.6　 B．0.2
C．0.7　 D．0.5
【解析】设A＝“甲飞行员击中敌机”，B＝“乙飞行员击中敌机”，则P(A)＝0.4，P(B)＝0.5，则恰有一人击中敌机的概率为P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝P(A)P()＋P()P(B)＝P(A)[1－P(B)]＋[1－P(A)]P(B)＝0.4×(1－0.5)＋(1－0.4)×0.5＝0.5．
4．(课本P252练习1)分别抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件A＝“第1枚正面朝上”，事件B＝“第2枚正面朝上”，事件C＝“两枚硬币朝上的面相同”，A，B，C中哪两个相互独立？
【解答】P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝，P(AB)＝，P(AC)＝，P(BC)＝，所以P(AB)＝P(A)P(B)，P(AC)＝P(A)P(C)，P(BC)＝P(B)P(C)．由独立事件概率性质可知A与B，A与C，B与C都相互独立．

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