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第十章
10.1　随机事件与概率
概　率
第1课时　有限样本空间与随机事件
学习 目标 1．理解随机试验的概念及特点，理解样本点和样本空间，会求所给试验的样本点和样本空间．
2．理解随机事件、必然事件、不可能事件的概念，并会判断某一事件的性质．
新知初探·基础落实
(1) 抛掷一枚硬币，观察正面、反面出现的情况；
(2) 抛掷一枚骰子，观察出现点数的情况；
(3) 买一注福利彩票，观察中奖、不中奖的情况．
这类现象的共性是：就一次观测而言，出现哪种结果具有偶然性，但在大量重复观测下，各个结果出现的频率却具有稳定性，这类现象叫做随机现象．概率论是研究随机现象数量规律的数学分支．概率是对随机事件发生可能性大小的度量．
一、 概念生成
问题：某彩票摇奖时，将10个质地和大小完全相同的小球标上号码，分别为0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，然后放入摇奖器中经过充分搅拌后摇出一小球．观察这个小球的号码，你知道这个试验的结果有几种情况吗？如何表示这些结果？
10种可能结果；可用集合表示为{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}．
请同学阅读课本P228—P230，完成下列填空．
二、 概念表述
1．随机试验
(1) 定义：对____________的实现和对它的观察称为随机试验，简称试验，常用字母E表示．
(2) 特点：试验可以在______________重复进行；试验的所有可能结果是_______ _______的，并且不止一个；每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但事先____________出现哪一个结果．
随机现象
相同条件下
明确
可知
不能确定
2．样本空间
随机试验E的每个可能的基本结果称为__________，全体样本点的________称为试验E的____________．一般地，用Ω表示样本空间，用ω表示样本点．在本书中，我们只讨论Ω为有限集的情况．如果一个随机试验有n个可能结果ω1，ω2，…，ωn，则称样本空间Ω＝{ω1，ω2，…，ωn}为________________．
样本点
集合
样本空间
有限样本空间
3．事件的概念及分类
(1) 随机事件
一般地，随机试验中的每个随机事件都可以用这个试验的样本空间的子集来表示．为了叙述方便，我们将样本空间Ω的子集称为___________，简称事件，并把只包含一个样本点的事件称为____________．随机事件一般用大写字母A，B，C，…表示．在每次试验中，当且仅当A中某个样本点出现时，称为______________．
(2) 必然事件与不可能事件
在每次试验中总有一个样本点发生，所以Ω总会发生，我们称Ω为___________．而空集 不包含任何样本点，在每次试验中都不会发生，我们称 为______________．
随机事件
基本事件
事件A发生
必然事件
不可能事件
三、 概念辨析(判断正误：正确的画“√”，错误的画“×”)
(1) 随机现象就是随机试验． (　　)
(2) 由于随机试验的所有结果是明确的，从而样本点也是明确的． (　　)
(3) 样本空间与随机试验有关，即不同的随机试验有不同的样本空间． (　　)
(4) 随机试验可以在相同的条件下重复进行． (　　)
×
√
√
√
典例精讲·能力初成
探究
1
样本空间
　　　　　(课本P229例3)抛掷两枚硬币，观察它们落地时朝上的面的情况，写出试验的样本空间．
【解答】
　　　　掷两枚硬币，第一枚硬币可能的基本结果用x表示，第二枚硬币可能的基本结果用y表示，那么试验的样本点可用(x，y)表示．于是，试验的样本空间Ω＝{(正面，正面)，(正面，反面)，(反面，正面)，(反面，反面)}．如果我们用1表示硬币“正面朝上”，用0表示硬币“反面朝上”，
1－1
那么样本空间还可以简单表示为Ω＝{(1，1)，(1，0)，(0，1)，(0，0)}．如图所示，画树状图可以帮助我们理解这道题的解答过程．
　　　　　(课本P230例4)如图，一个电路中有A，B，C三个电器元件，每个元件可能正常，也可能失效．把这个电路是否为通路看作一个随机现象，观察这个电路中各元件是否正常．
(1) 写出试验的样本空间．
1－2
【解答】
　　　　分别用x1，x2和x3表示元件A，B和C的可能状态，则这个电路的工作状态可用(x1，x2，x3)表示．进一步地，用1表示元件的“正常”状态，用0表示“失效”状态，则样本空间Ω＝{(0，0，0)，(1，0，0)，(0，1，0)，(0，0，1)，(1，1，0)，(1，0，1)，(0，1，1)，(1，1，1)}．如图，还可以借助树状图帮助我们列出试验的所有可能结果．
　　　　　(2) 用集合表示下列事件：
M＝“恰好两个元件正常”；
N＝“电路是通路”；
T＝“电路是断路”．
1－1
【解答】
　　　　“恰好两个元件正常”等价于(x1，x2，x3)∈Ω，且x1，x2，x3中恰有两个为1，所以M＝{(1，1，0)，(1，0，1)，(0，1，1)}．“电路是通路”等价于(x1，x2，x3) ∈Ω，x1＝1，且x2，x3中至少有一个是1，所以N＝{(1，1，0)，(1，0，1)，(1，1，1)}．同理，“电路是断路”等价于(x1，x2，x3)∈Ω，x1＝0或x1＝1，x2＝x3＝0，所以T＝{(0，0，0)，(0，1，0)，(0，0，1)，(0，1，1)，(1，0，0)}．
写样本空间的关键是找样本点，具体有三种方法
(1) 列举法：适用样本点个数不是很多，可以把样本点一一列举出来的情况，但列举时必须按一定的顺序，要做到不重不漏．
(2) 列表法：适用于试验中包含两个或两个以上的元素，且试验结果相对较多的样本点个数的求解问题，通常把样本归纳为“有序实数对”，也可用坐标法，列表法的优点是准确、全面、不易遗漏．
(3) 树状图法：适用较复杂问题中的样本点的探求，一般需要分步(两步及两步以上)完成的结果可以用树状图进行列举．
变式1　将一枚骰子先后抛掷两次．
(1) 一共有几个样本点？
【解答】
两次掷出的点数如下表所示．
　　第一次 第二次 1 2 3 4 5 6
1 (1，1) (2，1) (3，1) (4，1) (5，1) (6，1)
2 (1，2) (2，2) (3，2) (4，2) (5，2) (6，2)
3 (1，3) (2，3) (3，3) (4，3) (5，3) (6，3)
4 (1，4) (2，4) (3，4) (4，4) (5，4) (6，4)
5 (1，5) (2，5) (3，5) (4，5) (5，5) (6，5)
6 (1，6) (2，6) (3，6) (4，6) (5，6) (6，6)
由表格可知共有36个样本点．
变式1　将一枚骰子先后抛掷两次．
(2) 写出“出现的点数之和大于8”的样本点．
【解答】
　　　　将事件“出现的点数之和大于8”用集合A表示，则A＝{(6，3)，(5，4)，(6，4)，(4，5)，(5，5)，(6，5)，(3，6)，(4，6)，(5，6)，(6，6)}，共10个样本点．
变式2　同时转动如图所示的两个转盘，记转盘①得到的数为x，转盘②得到的数为y，结果为(x，y)．
(1) 写出这个试验的样本空间；
【解答】
　　　　Ω＝{(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)}．
①　　　　　②
(2) 求这个试验样本点的总数；
【解答】
　　　　样本点的总个数为16．
变式2　同时转动如图所示的两个转盘，记转盘①得到的数为x，转盘②得到的数为y，结果为(x，y)．
(3) “x＋y＝5”这一事件包含哪几个样本点？“x＜3且y＞1”呢？
【解答】
　　　　“x＋y＝5”包含以下4个样本点：(1，4)，(2，3)，(3，2)，(4，1)．“x＜3且y＞1”包含以下6个样本点：(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，2)，(2，3)，(2，4)．
①　　　　　②
(4) “xy＝4”这一事件包含哪几个样本点？“x＝y”呢？
【解答】
　　　　“xy＝4”包含以下3个样本点：(1，4)，(2，2)，(4，1)．“x＝y”包含以下4个样本点：(1，1)，(2，2)，(3，3)，(4，4)．
探究
2
必然事件、不可能事件与随机事件
　　　指出下列事件是必然事件、不可能事件还是随机事件：
(1) 中国体操运动员将在下届奥运会上获得全能冠军；
2
【解答】
　　　　该事件可能发生，也可能不发生，所以是随机事件．
(2) 出租车司机小李驾车通过几个十字路口都将遇到绿灯；
【解答】
　　　　该事件可能发生，也可能不发生，所以是随机事件．
探究
2
必然事件、不可能事件与随机事件
　　　指出下列事件是必然事件、不可能事件还是随机事件：
(3) 若x∈R，则x2＋1≥1；
2
【解答】
　　　　事件一定会发生，是必然事件．
(4) 掷一枚骰子两次，朝上的面的数字之和小于2．
【解答】
　　　　由于骰子朝上的面的数字最小是1，两次朝上面的数字之和最小是2，不可能小于2，所以该事件不可能发生，是不可能事件．
判断事件类型的步骤：要判定事件是何种事件，首先要看清条件，因为三种事件都是相对于一定条件而言的，第二步再看它是一定发生，还是不一定发生，还是一定不发生，一定发生的是必然事件，不一定发生的是随机事件，一定不发生的是不可能事件．
变式　判断下列现象是必然现象还是随机现象：
(1) 掷一枚质地均匀的骰子出现的点数；
【解答】
　　　　掷一枚质地均匀的骰子，其点数有可能出现1，2，3，4，5，6，点数是不能确定的，因此是随机现象．
(2) 行人在十字路口看到的交通信号灯的颜色；
【解答】
　　　　行人在十字路口看到交通信号灯的颜色有可能是红色，有可能是黄色，也有可能是绿色，故是随机现象．
(3) 在10个同类产品中，有8个正品、2个次品，从中任意抽出2个检验的结果．
【解答】
　　　　抽出的2个产品中有可能全部是正品，也有可能是一个正品和一个次品，还有可能是两个次品，故是随机现象．
随堂内化·及时评价
1．下面四个选项中，是随机现象的是 (　　)
A．刻舟求剑　 B．水中捞月
C．流水不腐　 D．守株待兔
D
2．下列事件中是必然事件的是 (　　)
A．10人中至少有2人生日在同一个月
B．11人中至少有2人生日在同一个月
C．12人中至少有2人生日在同一个月
D．13人中至少有2人生日在同一个月
D
3．下列事件中是不可能事件的是 (　　)
A．在数轴上向区间(0，1)内投点，点落在区间(0，1)内
B．在数轴上向区间(0，1)内投点，点落在区间(0，2)内
C．在数轴上向区间(0，2)内投点，点落在区间(0，1)内
D．在数轴上向区间(0，2)内投点，点落在区间(－1，0)内
【解析】
　　　　当x∈(0，1)时，必有x∈(0，1)，x∈(0，2)，所以A中和B中都是必然事件；当x∈(0，2)时，有x∈(0，1)或x (0，1)，所以C中是随机事件；当x∈(0，2)时，x (－1，0)，所以D中是不可能事件．
D
4．给出下列事件：①明天进行的某场足球比赛的比分是3∶1；②同时掷两枚骰子，向上一面的两个点数之和不小于2；③下周一某地的最高气温与最低气温相差10 ℃；④射击一次，命中靶心；⑤当x为实数时，x2＋4x＋4＜0．其中，必然事件有______，不可能事件有______．(填序号)
【解析】
　　　　①为随机事件；②同时掷两枚骰子，向上一面的两个点数最小均为1，此时和为2，其他情况均大于2，所以向上一面的两个点数之和不小于2，为必然事件；③下周一某地的最高气温与最低气温相差10 ℃，为随机事件；④射击一次，命中靶心，为随机事件；⑤当x为实数时，x2＋4x＋4＝(x＋2)2≥0，所以⑤为不可能事件．
②
⑤
5．(课本P231练习3)袋子中有9个大小和质地相同的球，标号为1，2，3，4，5，6，7，8，9，从中随机摸出一个球．
(1) 写出试验的样本空间；
【解答】
　　　　用球的标号表示对应的球，则该试验的样本空间可表示为Ω＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9}．
(2) 用集合表示事件A＝“摸到球的号码小于5”，事件B＝“摸到球的号码大于4”，事件C＝“摸到球的号码是偶数”．
【解答】
　　　　A＝{1，2，3，4}；B＝{5，6，7，8，9}；C＝{2，4，6，8}．10.1　随机事件与概率
第1课时　有限样本空间与随机事件
一、 单项选择题
1．从含有10件正品、2件次品的12件产品中，任意抽取3件，下列是必然事件的是(　　)
A．3件都是正品 B．3件都是次品
C．至少有1件次品 D．至少有1件正品
2．下列事件中是随机事件的是(　　)
A．所有四边形的内角和为180°
B．通常水加热到100 ℃沸腾
C．袋中有2个黄球、3个绿球，共5个球，随机摸出一个球是红球
D．抛掷一枚硬币两次，第一次正面向上，第二次反面向上
3．掷两个面上分别标有数字1至6的正方体玩具，设事件A为“点数之和恰好为6”，则A中样本点个数为(　　)
A．2 B．3
C．4 D．5
4．有红、黄、蓝三种颜色的旗帜各3面，在每种颜色的3面旗帜上分别标上号码1，2和3.现任取3面，事件“三面旗帜的颜色与号码均不相同”所包含的样本点的个数是(　　)
A．4 B．6
C．9 D．12
二、 多项选择题
5．下列事件是随机事件的是(　　)
A．行人在十字路口遇到红灯
B．在10个同类产品中，有8个正品、2个次品，从中任意抽出5个，有4个正品、1个次品
C．三角形的内角和是180°
D．平行四边形的对角线相等
6．在试验连续射击一个目标10次，观察命中的次数中，事件A＝“至少命中6次”，则下列说法正确的是(　　)
A．样本空间中共有10个样本点
B．事件A中有5个样本点
C．样本点6在事件A内
D．事件A中包含样本点11
三、 填空题
7．从1，2，3，4，5中随机取三个不同的数，则其和为奇数这一事件包含的样本点个数为________．
(第8题)
8．某棋类游戏的规则如下：如图，棋子的初始位置在起点处，玩家每掷出一枚骰子，朝上一面的点数即为向终点方向前进的格子数(比如玩家一开始掷出的骰子点数为3，则走到炸弹所在位置)，若踩到炸弹则返回起点重新开始，若达到终点则游戏结束.现在已知小明掷完三次骰子后游戏恰好结束，则试验的样本点为________个．
四、 解答题
9．某转盘被平均分成10份，如图所示.转动转盘，当转盘停止后，指针指向的数字即为转出的数字.回答下列问题：
(1) 设事件A＝“转出的数字是5”，事件A是必然事件、不可能事件还是随机事件？
(2) 设事件B＝“转出的数字是0”，事件B是必然事件、不可能事件还是随机事件？
(3) 设事件C＝“转出的数字x满足1≤x≤10，x∈Z”，事件C是必然事件、不可能事件还是随机事件？
(第9题)
10．某人做试验，从一个装有标号为1，2，3，4的小球的盒子中，无放回地取两个小球，每次取一个，先取的小球的标号为x，后取的小球的标号为y，这样构成有序实数对(x，y).
(1) 写出这个试验的样本空间；
(2) 写出“第一次取出的小球上的标号为2”这一事件.　
11．一个不透明的袋子中装有5个黑球和3个白球，这些球的大小、质地完全相同，随机从袋子中摸出4个球，则下列事件是必然事件的是(　　)
A．摸出的4个球中至少有一个是白球
B．摸出的4个球中至少有一个是黑球
C．摸出的4个球中至少有两个是黑球
D．摸出的4个球中至少有两个是白球
12． 甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中想一个数字，记为a，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为b，其中a，b∈｛1，2，3，4，5，6，7｝，若|a－b|≤1，就称甲、乙“心有灵犀”.现任意找两人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的基本事件个数是(　　)
A．8 B．12
C．19 D．24
13．先后投掷均匀的五角、一元硬币各一枚，观察落地后硬币的正反面情况，则下列事件包含3个样本点的是(　　)
A．“至少一枚硬币正面向上”
B．“只有一枚硬币正面向上”
C．“两枚硬币都是正面向上”
D．“两枚硬币一枚正面向上，另一枚反面向上”
14．汉字是世界上最古老的文字之一，字形结构体现着人类追求均衡对称、和谐稳定的天性.如图，三个汉字可以看成轴对称图形.
(第14题)
小敏和小慧利用“土”“口”“木”三个汉字设计了一个游戏，规则如下：将这三个汉字分别写在背面都相同的三张卡片上，背面朝上，洗匀后抽出一张，放回洗匀后再抽出一张，若两次抽出的汉字能构成上下结构的汉字(如“土”“土”构成“圭”)，则小敏获胜，否则小慧获胜.
(1) 写出该试验的样本空间Ω；
(2) 设事件A＝“小敏获胜”，试用样本点表示A.
第1课时　有限样本空间与随机事件
基础打底·熟练掌握
1．D　2．D　3．D　4．B　5．ABD　
6．BC　【解析】 样本空间中共有11个样本点，故A错误；事件A中有5个样本点，包括样本点6，故B，C正确；样本点中没有11，故D错误.
7．4　【解析】 分别用x，y，z表示每次取的数，则试验的样本点用(x1，x2，x3)表示.试验的样本空间为Ω＝｛(1，2，3)，(1，2，4)，(1，2，5)，(1，3，4)，(1，3，5)，(1，4，5)，(2，3，4)，(2，3，5)，(2，4，5)，(3，4，5)｝，共10个样本点，其中(1，2，4)，(1，3，5)，(2，3，4)，(2，4，5)中三个数字之和为奇数.
8．21　【解析】 分别用x1，x2，x3表示三次掷出的点数，试验的样本点用(x，y，z)表示，则试验的样本空间Ω＝｛(3，4，5)，(3，6，3)，(3，5，4)，(1，3，5)，(1，4，4)，(1，5，3)，(1，6，2)，(2，2，5)，(2，3，4)，(2，4，3)，(2，5，2)，(2，6，1)，(4，1，4)，(4，2，3)，(4，3，2)，(4，4，1)，(5，1，3)，(5，2，2)，(5，3，1)，(6，1，2)，(6，2，1)｝，共21个样本点.
9．【解答】 (1) “转出的数字是5”可能发生，也可能不发生，故事件A是随机事件.
(2) “转出的数字是0”，即B＝｛0｝，不是样本空间Ω＝｛1，2，…，10｝的子集，故事件B是不可能事件.
(3) C＝Ω＝｛1，2，…，10｝，故事件C是必然事件.
10．【解答】 (1) 这个试验的样本空间Ω＝｛(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)｝.
(2) 记事件A＝“第一次取出的小球上的标号为2”，则A＝｛(2，1)，(2，3)，(2，4)｝.
能力进阶·融会贯通
11．B　【解析】 因为袋中有大小、质地完全相同的5个黑球和3个白球，所以从中任取4个球共有：3白1黑，2白2黑，1白3黑，4黑四种情况.故事件“摸出的4个球中至少有一个是白球”是随机事件，故A错误；事件“摸出的4个球中至少有一个是黑球”是必然事件，故B正确；事件“摸出的4个球中至少有两个是黑球”是随机事件，故C错误；事件“摸出的4个球中至少有两个是白球”是随机事件，故D错误.
12． C　【解析】 甲、乙两人猜数字时互不影响，各有7种可能，故基本事件有7×7＝49(种).“心有灵犀”的情况包括：①|a－b|＝0，即a＝b，有7种情况；②|a－b|＝1，若甲想的数字是1和7，“心有灵犀”的情况各有1种，若甲想的数字是2，3，4，5，6，各有2种.故共有7＋2×1＋5×2＝19(种)情况.
13．A　【解析】 先后投掷均匀的五角、一元硬币各一枚，共有4个样本点：五角正面向上，一元正面向上；五角正面向上，一元正面向下；五角正面向下，一元正面向上；五角正面向下，一元正面向下.“至少一枚硬币正面向上”包括“五角正面向上，一元正面向下”“五角正面向下，一元正面向上”“五角、一元正面都向上”三个样本点，A正确；“只有一枚硬币正面向上”包括“五角正面向上，一元正面向下”“五角正面向下，一元正面向上”两个样本点，B错误；“两枚硬币都是正面向上”包括一个样本点，C错误；“两枚硬币一枚正面向上，另一枚反面向上”包括“五角正面向上，一元正面向下”“五角正面向下，一元正面向上”两个样本点，D错误.
14．【解答】 (1) 每次游戏时，所有可能出现的结果如下表所示：
　　　　第二张卡片 第一张卡片　　　　
土 口 木
土 (土，土) (土，口) (土，木)
口 (口，土) (口，口) (口，木)
木 (木，土) (木，口) (木，木)
所以Ω＝｛(土，土)，(土，口)，(土，木)，(口，土)，(口，口)，(口，木)，(木，土)，(木，口)，(木，木)｝.
(2) 能组成上下结构的汉字的样本为(土，土)，(口，口)，(木，口)，(口，木)，所以A＝｛(土，土)，(口，口)，(木，口)，(口，木)｝.10.1　随机事件与概率
第1课时　有限样本空间与随机事件
学习 目标 1．理解随机试验的概念及特点，理解样本点和样本空间，会求所给试验的样本点和样本空间． 2．理解随机事件、必然事件、不可能事件的概念，并会判断某一事件的性质．
新知初探基础落实
(1) 抛掷一枚硬币，观察正面、反面出现的情况；
(2) 抛掷一枚骰子，观察出现点数的情况；
(3) 买一注福利彩票，观察中奖、不中奖的情况．
这类现象的共性是：就一次观测而言，出现哪种结果具有偶然性，但在大量重复观测下，各个结果出现的频率却具有稳定性，这类现象叫做随机现象．概率论是研究随机现象数量规律的数学分支．概率是对随机事件发生可能性大小的度量．
一、 概念生成
问题：某彩票摇奖时，将10个质地和大小完全相同的小球标上号码，分别为0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，然后放入摇奖器中经过充分搅拌后摇出一小球．观察这个小球的号码，你知道这个试验的结果有几种情况吗？如何表示这些结果？
10种可能结果；可用集合表示为{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}．
请同学阅读课本P228—P230，完成下列填空．
二、 概念表述
1．随机试验
(1) 定义：对__随机现象__的实现和对它的观察称为随机试验，简称试验，常用字母E表示．
(2) 特点：试验可以在__相同条件下__重复进行；试验的所有可能结果是__明确可知__的，并且不止一个；每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但事先__不能确定__出现哪一个结果．
2．样本空间
随机试验E的每个可能的基本结果称为__样本点__，全体样本点的__集合__称为试验E的__样本空间__．一般地，用Ω表示样本空间，用ω表示样本点．在本书中，我们只讨论Ω为有限集的情况．如果一个随机试验有n个可能结果ω1，ω2，…，ωn，则称样本空间Ω＝{ω1，ω2，…，ωn}为__有限样本空间__．
3．事件的概念及分类
(1) 随机事件
一般地，随机试验中的每个随机事件都可以用这个试验的样本空间的子集来表示．为了叙述方便，我们将样本空间Ω的子集称为__随机事件__，简称事件，并把只包含一个样本点的事件称为__基本事件__．随机事件一般用大写字母A，B，C，…表示．在每次试验中，当且仅当A中某个样本点出现时，称为__事件A发生__．
(2) 必然事件与不可能事件
在每次试验中总有一个样本点发生，所以Ω总会发生，我们称Ω为__必然事件__．而空集 不包含任何样本点，在每次试验中都不会发生，我们称 为__不可能事件__．
三、 概念辨析(判断正误：正确的画“√”，错误的画“×”)
(1) 随机现象就是随机试验．(　×　)
(2) 由于随机试验的所有结果是明确的，从而样本点也是明确的．(　√　)
(3) 样本空间与随机试验有关，即不同的随机试验有不同的样本空间．(　√　)
(4) 随机试验可以在相同的条件下重复进行．(　√　)
典例精讲能力初成
探究1　样本空间
例1－1　(课本P229例3)抛掷两枚硬币，观察它们落地时朝上的面的情况，写出试验的样本空间．
【解答】掷两枚硬币，第一枚硬币可能的基本结果用x表示，第二枚硬币可能的基本结果用y表示，那么试验的样本点可用(x，y)表示．于是，试验的样本空间Ω＝{(正面，正面)，(正面，反面)，(反面，正面)，(反面，反面)}．如果我们用1表示硬币“正面朝上”，用0表示硬币“反面朝上”，那么样本空间还可以简单表示为Ω＝{(1，1)，(1，0)，(0，1)，(0，0)}．如图所示，画树状图可以帮助我们理解这道题的解答过程．
例1－2　(课本P230例4)如图，一个电路中有A，B，C三个电器元件，每个元件可能正常，也可能失效．把这个电路是否为通路看作一个随机现象，观察这个电路中各元件是否正常．
(1) 写出试验的样本空间．
【解答】分别用x1，x2和x3表示元件A，B和C的可能状态，则这个电路的工作状态可用(x1，x2，x3)表示．进一步地，用1表示元件的“正常”状态，用0表示“失效”状态，则样本空间Ω＝{(0，0，0)，(1，0，0)，(0，1，0)，(0，0，1)，(1，1，0)，(1，0，1)，(0，1，1)，(1，1，1)}．如图，还可以借助树状图帮助我们列出试验的所有可能结果．
(2) 用集合表示下列事件：
M＝“恰好两个元件正常”；
N＝“电路是通路”；
T＝“电路是断路”．
【解答】“恰好两个元件正常”等价于(x1，x2，x3)∈Ω，且x1，x2，x3中恰有两个为1，所以M＝{(1，1，0)，(1，0，1)，(0，1，1)}．“电路是通路”等价于(x1，x2，x3)∈Ω，x1＝1，且x2，x3中至少有一个是1，所以N＝{(1，1，0)，(1，0，1)，(1，1，1)}．同理，“电路是断路”等价于(x1，x2，x3)∈Ω，x1＝0或x1＝1，x2＝x3＝0，所以T＝{(0，0，0)，(0，1，0)，(0，0，1)，(0，1，1)，(1，0，0)}．
写样本空间的关键是找样本点，具体有三种方法
(1) 列举法：适用样本点个数不是很多，可以把样本点一一列举出来的情况，但列举时必须按一定的顺序，要做到不重不漏．
(2) 列表法：适用于试验中包含两个或两个以上的元素，且试验结果相对较多的样本点个数的求解问题，通常把样本归纳为“有序实数对”，也可用坐标法，列表法的优点是准确、全面、不易遗漏．
(3) 树状图法：适用较复杂问题中的样本点的探求，一般需要分步(两步及两步以上)完成的结果可以用树状图进行列举．
变式1　将一枚骰子先后抛掷两次．
(1) 一共有几个样本点？
【解答】两次掷出的点数如下表所示．
　　第一次 第二次 1 2 3 4 5 6
1 (1，1) (2，1) (3，1) (4，1) (5，1) (6，1)
2 (1，2) (2，2) (3，2) (4，2) (5，2) (6，2)
3 (1，3) (2，3) (3，3) (4，3) (5，3) (6，3)
4 (1，4) (2，4) (3，4) (4，4) (5，4) (6，4)
5 (1，5) (2，5) (3，5) (4，5) (5，5) (6，5)
6 (1，6) (2，6) (3，6) (4，6) (5，6) (6，6)
由表格可知共有36个样本点．
(2) 写出“出现的点数之和大于8”的样本点．
【解答】将事件“出现的点数之和大于8”用集合A表示，则A＝{(6，3)，(5，4)，(6，4)，(4，5)，(5，5)，(6，5)，(3，6)，(4，6)，(5，6)，(6，6)}，共10个样本点．
变式2　同时转动如图所示的两个转盘，记转盘①得到的数为x，转盘②得到的数为y，结果为(x，y)．
　　
①　　　　　　②
(1) 写出这个试验的样本空间；
【解答】Ω＝{(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)}．
(2) 求这个试验样本点的总数；
【解答】样本点的总个数为16．
(3) “x＋y＝5”这一事件包含哪几个样本点？“x＜3且y＞1”呢？
【解答】“x＋y＝5”包含以下4个样本点：(1，4)，(2，3)，(3，2)，(4，1)．“x＜3且y＞1”包含以下6个样本点：(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，2)，(2，3)，(2，4)．
(4) “xy＝4”这一事件包含哪几个样本点？“x＝y”呢？
【解答】“xy＝4”包含以下3个样本点：(1，4)，(2，2)，(4，1)．“x＝y”包含以下4个样本点：(1，1)，(2，2)，(3，3)，(4，4)．
探究2　必然事件、不可能事件与随机事件
例2　指出下列事件是必然事件、不可能事件还是随机事件：
(1) 中国体操运动员将在下届奥运会上获得全能冠军；
【解答】该事件可能发生，也可能不发生，所以是随机事件．
(2) 出租车司机小李驾车通过几个十字路口都将遇到绿灯；
【解答】该事件可能发生，也可能不发生，所以是随机事件．
(3) 若x∈R，则x2＋1≥1；
【解答】事件一定会发生，是必然事件．
(4) 掷一枚骰子两次，朝上的面的数字之和小于2．
【解答】由于骰子朝上的面的数字最小是1，两次朝上面的数字之和最小是2，不可能小于2，所以该事件不可能发生，是不可能事件．
判断事件类型的步骤：要判定事件是何种事件，首先要看清条件，因为三种事件都是相对于一定条件而言的，第二步再看它是一定发生，还是不一定发生，还是一定不发生，一定发生的是必然事件，不一定发生的是随机事件，一定不发生的是不可能事件．
变式　判断下列现象是必然现象还是随机现象：
(1) 掷一枚质地均匀的骰子出现的点数；
【解答】掷一枚质地均匀的骰子，其点数有可能出现1，2，3，4，5，6，点数是不能确定的，因此是随机现象．
(2) 行人在十字路口看到的交通信号灯的颜色；
【解答】行人在十字路口看到交通信号灯的颜色有可能是红色，有可能是黄色，也有可能是绿色，故是随机现象．
(3) 在10个同类产品中，有8个正品、2个次品，从中任意抽出2个检验的结果．
【解答】抽出的2个产品中有可能全部是正品，也有可能是一个正品和一个次品，还有可能是两个次品，故是随机现象．
随堂内化及时评价
1．下面四个选项中，是随机现象的是(　D　)
A．刻舟求剑　 B．水中捞月
C．流水不腐　 D．守株待兔
2．下列事件中是必然事件的是(　D　)
A．10人中至少有2人生日在同一个月
B．11人中至少有2人生日在同一个月
C．12人中至少有2人生日在同一个月
D．13人中至少有2人生日在同一个月
3．下列事件中是不可能事件的是(　D　)
A．在数轴上向区间(0，1)内投点，点落在区间(0，1)内
B．在数轴上向区间(0，1)内投点，点落在区间(0，2)内
C．在数轴上向区间(0，2)内投点，点落在区间(0，1)内
D．在数轴上向区间(0，2)内投点，点落在区间(－1，0)内
【解析】当x∈(0，1)时，必有x∈(0，1)，x∈(0，2)，所以A中和B中都是必然事件；当x∈(0，2)时，有x∈(0，1)或x (0，1)，所以C中是随机事件；当x∈(0，2)时，x (－1，0)，所以D中是不可能事件．
4．给出下列事件：①明天进行的某场足球比赛的比分是3∶1；②同时掷两枚骰子，向上一面的两个点数之和不小于2；③下周一某地的最高气温与最低气温相差10 ℃；④射击一次，命中靶心；⑤当x为实数时，x2＋4x＋4＜0．其中，必然事件有__②__，不可能事件有__⑤__．(填序号)
【解析】①为随机事件；②同时掷两枚骰子，向上一面的两个点数最小均为1，此时和为2，其他情况均大于2，所以向上一面的两个点数之和不小于2，为必然事件；③下周一某地的最高气温与最低气温相差10 ℃，为随机事件；④射击一次，命中靶心，为随机事件；⑤当x为实数时，x2＋4x＋4＝(x＋2)2≥0，所以⑤为不可能事件．
5．(课本P231练习3)袋子中有9个大小和质地相同的球，标号为1，2，3，4，5，6，7，8，9，从中随机摸出一个球．
(1) 写出试验的样本空间；
【解答】用球的标号表示对应的球，则该试验的样本空间可表示为Ω＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9}．
(2) 用集合表示事件A＝“摸到球的号码小于5”，事件B＝“摸到球的号码大于4”，事件C＝“摸到球的号码是偶数”．
【解答】A＝{1，2，3，4}；B＝{5，6，7，8，9}；C＝{2，4，6，8}．

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