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第十章
10.1　随机事件与概率
概　率
第2课时　事件的关系和运算
学习 目标 1．理解事件的关系(包含、相等、并事件和交事件)与运算．
2．通过事件之间的运算，理解互斥事件和对立事件的概念．
新知初探·基础落实
在掷骰子的试验中，可以定义许多事件．例如，事件C1＝“出现1点”，事件C2＝“出现2点”，事件C3＝“出现3点”，事件C4＝“出现4点”，事件C5＝“出现5点”，事件C6＝“出现6点”，事件D1＝“出现的点数不大于1”，事件D2＝“出现的点数大于3”，事件D3＝“出现的点数小于5”，事件E＝“出现的点数小于7”，事件F＝“出现的点数为偶数”，事件G＝“出现的点数为奇数”，等等．
你还能写出这个实验中的其他事件吗？请用集合的形式表示这些事件．借助集合与集合的关系和运算，你能发现这些事件之间的联系吗？
一、 概念生成
1．用集合的形式表示事件C1＝“点数为1”和事件G＝“点数为奇数”．
C1＝{1}，G＝{1，3，5}．
显然，如果事件C1发生，那么事件G一定发生．事件之间的这种关系用集合的形式表示，就是{1} {1，3，5}，即C1 G．这时我们说事件G包含事件C1．
一般地，若事件A发生，则事件B一定发生，我们就称事件B包含事件A(或事件A包含于事件B)，记作B A(或A B)．可以用图(1)表示．
特别地，如果事件B包含事件A，事件A也包含事件B，即B A且
A B，则称事件A与事件B相等，记作A＝B．
图(1)
2．用集合的形式表示事件D1＝“点数不大于3”，事件E1＝“点数为1或2”和事件E2＝“点数为2或3”．
D1＝{1，2，3}，E1＝{1，2}，E2＝{2，3}．
可以发现，事件E1和事件E2至少有一个发生，相当于事件D1发生．事件之间的这种关系用集合的形式表示，就是{1，2}∪{2，3}＝{1，2，3}，即E1∪E2＝D1，这时我们称事件D1为事件E1和事件E2的并事件．
图(2)
一般地，事件A与事件B至少有一个发生，这样的一个事件中的样本点或者在事件A中，或者在事件B中，我们称这个事件为事件A与事件B的并事件(或和事件)，记作A∪B(或A＋B)．可以用图(2)中的阴影区域表示这个并事件．
请同学阅读课本P231—P235，完成下列填空．
二、 概念表述
1．事件的关系
定义 符号 图示
包含 关系 一般地，_________________________ _________，我们就称事件B包含事件A(或事件A包含于事件B) _____________
相等 关系 _______________________________________________________，则称事件A与事件B相等 ________
若事件A发生，则事件B一定发生
B A(或A B)
如果事件B包含事件A，事件A也包含事件B，即B A且A B
A＝B
2．交事件与并事件
定义 符号 图示
并事件 (或和 事件) 一般地，_____________________________ ____________________________________________________________，我们称这个事件为事件A与事件B的并事件(或和事件) ____________
交事件 (或积 事件) 一般地，_____________________________ _________________________________________________，我们称这样的一个事件为事件A与事件B的交事件(或积事件) ____________
事件A与事件B至少有一个发生，这样的一个事件中的样本点或者在事件A中，或者在事件B中
A∪B(或A＋B)
事件A与事件B同时发生，这样的一个事件中的样本点既在事件A中，也在事件B中
A∩B(或AB)
3．互斥事件和对立事件
定义 符号 图示
互斥 事件 一般地，_____________________________ ________________________________________________，则称事件A与事件B互斥(或互不相容) ___________
对立 事件 一般地，_____________________________ __________________________________________________，那么称事件A与事件B互为对立，事件A的对立事件记为 ________________________
如果事件A与事件B不能同时发生，也就是说A∩B是一个不可能事件，即A∩B＝
A∩B＝
如果事件A和事件B在任何一次试验中有且仅有一个发生，即A∪B＝Ω，且A∩B＝
A∪B＝Ω，A∩B＝
三、 概念辨析(判断正误：正确的画“√”，错误的画“×”)
(1) 两个相等的事件总是同时发生或同时不发生． (　　)
(2) 若两个事件是互斥事件，则这两个事件是对立事件． (　　)
(3) 若两个事件是对立事件，则这两个事件也是互斥事件． (　　)
(4) 若事件A与B是互斥事件，则在一次试验中事件A和B至少有一个发生． (　　)
√
×
√
×
典例精讲·能力初成
探究
1
事件关系的判断
视角1　包含关系或事件相等
　　　　　同时掷两枚硬币，记“向上的面都是正面”为事件A，“向上的面至少有一枚是正面”为事件B，则有 (　　)
A．A＝B　 B．A B
C．A B　 D．A与B之间没有关系
【解析】
　　　　由同时抛掷两枚硬币，试验的样本空间Ω＝{(正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反)}，其中事件A＝{(正，正)}，事件B＝{(正，正)，(正，反)，(反，正)}，所以A B．
C
1－1
包含关系、相等关系的判定
(1) 事件的包含关系与集合的包含关系相似；
(2) 两事件相等的实质为相同事件，即同时发生或同时不发生．
视角2　互斥事件与对立事件
　　　　　(课本P233例5)如图，由甲、乙两个元件组成一个并联电路，每个元件可能正常或失效．设事件A＝“甲元件正常”，B＝“乙元件正常”．
(1) 写出表示两个元件工作状态的样本空间；
1－2
【解答】
　　　　用x1，x2分别表示甲、乙两个元件的状态，则可以用(x1，x2)表示这个并联电路的状态．以1表示元件正常，0表示元件失效，则样本空间为Ω＝{(0，0)，(0，1)，(1，0)，(1，1)}．
　　　　　(课本P233例5)如图，由甲、乙两个元件组成一个并联电路，每个元件可能正常或失效．设事件A＝“甲元件正常”，B＝“乙元件正常”．
(2) 用集合的形式表示事件A，B以及它们的对立事件；
1－2
【解答】
　　　　根据题意，可得A＝{(1，0)，(1，1)}，B＝{(0，1)，(1，1)}，＝{(0，0)，(0，1)}，＝{(0，0)，(1，0)}．
(3) 用集合的形式表示事件A∪B和事件∩，并说明它们的含义及关系．
【解答】
　　　　A∪B＝{(0，1)，(1，0)，(1，1)}，∩＝{(0，0)}．A∪B表示电路工作正常，∩表示电路工作不正常．A∪B和∩互为对立事件．
辨析互斥事件与对立事件的思路
(1) 从发生的角度看：①在一次试验中，两个互斥事件有可能都不发生，也可能有一个发生，但不可能同时发生．②两个对立事件必有一个发生，但不可能同时发生，即两事件对立，必定互斥，但两事件互斥，未必对立．对立事件是互斥事件的一个特例．
(2) 从事件个数的角度看：互斥的概念适用于两个或多个事件，但对立的概念只适用于两个事件．
变式　某城有甲、乙两种报纸供居民订阅，记事件A＝“只订甲报”，事件B＝“至少订一种报”，事件C＝“至多订一种报”，事件D＝“不订甲报”，事件E＝“一种报也不订”．判断下列事件是否为互斥事件，如果是，判断它们是否为对立事件．
(1) A与C；　(2) B与E；　(3) B与D；　(4) B与C；　(5) C与E．
【解答】
　　　　(1) 由于事件“至多订一种报”可能只订甲报，即事件A与事件C有可能同时发生，故A与C不是互斥事件．
(2) 因为事件“至少订一种报”与事件“一种报也不订”是不可能同时发生的，故事件B与E是互斥事件．由于事件B和事件E必有一个发生，故B与E也是对立事件．
(3) 事件“至少订一种报”中有可能只订乙报，即有可能不订甲报，也就是说事件B与事件D可能同时发生，故B与D不是互斥事件．
(4) 事件“至少订一种报”中有3种可能：只订甲报、只订乙报、订甲、乙两种报；事件“至多订一种报”中有3种可能：一种报也不订、只订甲报、只订乙报．故事件B与事件C可能同时发生，故B与C不是互斥事件．
(5) 由(4)的分析可知，事件“一种报也不订”仅仅是事件C的一种可能，事件C与事件E可能同时发生，故C与E不是互斥事件．
探究
2
事件的运算
　　　(课本P234例6)一个袋子中有大小和质地相同的4个球，其中有2个红色球(标号为1和2)，2个绿色球(标号为3和4)，从袋中不放回地依次随机摸出2个球．设事件R1＝“第一次摸到红球”，R2＝“第二次摸到红球”，R＝“两次都摸到红球”，G＝“两次都摸到绿球”，M＝“两个球颜色相同”，N＝“两个球颜色不同”．
(1) 用集合的形式分别写出试验的样本空间以及上述各事件；
2
【解答】
　　　　所有的试验结果如图所示．用数组(x1，x2)表示可能的结果，x1是第一次摸到的球的标号，x2是第二次摸到的球的标号，则试验的样本空间Ω＝{(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)}．
　　　(课本P234例6)一个袋子中有大小和质地相同的4个球，其中有2个红色球(标号为1和2)，2个绿色球(标号为3和4)，从袋中不放回地依次随机摸出2个球．设事件R1＝“第一次摸到红球”，R2＝“第二次摸到红球”，R＝“两次都摸到红球”，G＝“两次都摸到绿球”，M＝“两个球颜色相同”，N＝“两个球颜色不同”．
(2) 事件R与R1，R与G，M与N之间各有什么关系？
2
【解答】
　　　　因为R R1，所以事件R1包含事件R．因为R∩G＝ ，所以事件R与事件G互斥．因为M∪N＝Ω，M∩N＝ ，所以事件M与事件N互为对立事件．
　　　(课本P234例6)一个袋子中有大小和质地相同的4个球，其中有2个红色球(标号为1和2)，2个绿色球(标号为3和4)，从袋中不放回地依次随机摸出2个球．设事件R1＝“第一次摸到红球”，R2＝“第二次摸到红球”，R＝“两次都摸到红球”，G＝“两次都摸到绿球”，M＝“两个球颜色相同”，N＝“两个球颜色不同”．
(3) 事件R与事件G的并事件与事件M有什么关系？事件R1与事件R2的交事件与事件R有什么关系？
2
　　　　因为R∪G＝M，所以事件M是事件R与事件G的并事件．因为R1∩R2＝R，所以事件R是事件R1与事件R2的交事件．
事件R1＝“第一次摸到红球”，即x1＝1或2，于是R1＝{(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，3)，(2，4)}；事件R2＝“第二次摸到红球”，即x2＝1或2，于是R2＝{(2，1)，(3，1)，(4，1)，(1，2)，(3，2)，(4，2)}．同理，有R＝{(1，2)，(2，1)}，G＝{(3，4)，(4，3)}，M＝{(1，2)，(2，1)，(3，4)，(4，3)}，N＝{(1，3)，(1，4)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(4，1)，(4，2)}．
【解答】
事件运算应注意的两个问题
(1) 进行事件的运算时，一是要紧扣运算的定义，二是要全面考察同一条件下的试验可能出现的全部结果，必要时可利用Venn图或列出全部的试验结果进行分析．
(2) 在一些比较简单的题目中，需要判断事件之间的关系时，可以根据常识来判断，但如果遇到比较复杂的题目，就得严格按照事件之间关系的定义来推理．
变式1　盒子里有6个红球，4个白球，现从中任取3个球，设事件A＝“3个球中有1个红球、2个白球”，事件B＝“3个球中有2个红球、1个白球”，事件C＝“3个球中至少有1个红球”，事件D＝“3个球中既有红球又有白球”．
(1) 事件D与A，B是什么样的运算关系？
【解答】
　　　　事件D包含的结果为1个红球、2个白球或2个红球、1个白球，故D＝A∪B．
(2) 事件C与A的交事件与事件A是什么关系？
【解答】
　　　　事件C包含的结果为1个红球、2个白球或2个红球、1个白球或3个均为红球，所以A C，故C∩A＝A．
变式2　如图所示是某班级50名学生订阅数学、语文、英语学习资料的情况，其中A表示订阅数学学习资料的学生，B表示订阅语文学习资料的学生，C表示订阅英语学习资料的学生．
【解答】
　　　　由图可知：区域1表示数学、语文、英语三种学习资料都订阅的学生；区域4表示只订阅数学、语文两种学习资料的学生；区域5表示只订阅语文学习资料的学生；区域8表示三种学习资料都未订阅的学生．
(1) 从这个班任意选择一名学生，用自然语言描述1，4，5，8各区域所代表的事件；
变式2　如图所示是某班级50名学生订阅数学、语文、英语学习资料的情况，其中A表示订阅数学学习资料的学生，B表示订阅语文学习资料的学生，C表示订阅英语学习资料的学生．
【解答】
　　　　①“恰好订阅一种学习资料”包括只订阅数学为A ，只订阅语文为B ，只订阅英语为 C，并且这三个事件两两互斥，所以“恰好订阅一种学习资料”用A，B，C表示为A　＋B ＋ C．
②“没有订阅任何学习资料”用A，B，C表示为 ．
(2) 用A，B，C表示下列事件：
①恰好订阅一种学习资料；②没有订阅任何学习资料．
随堂内化·及时评价
1．抛掷一枚骰子，事件A＝“向上的点数是1或2”，事件B＝“向上的点数是2或3”，则下列说法正确的是 (　　)
A．A B
B．A＝B
C．A＋B表示向上的点数是1或2或3
D．AB表示向上的点数是1或2或3
【解析】
　　　　设A＝{1，2}，B＝{2，3}，则A∩B＝{2}，A∪B＝{1，2，3}，所以A＋B表示向上的点数为1或2或3．
C
2．已知事件M＝“3粒种子全部发芽”，事件N＝“3粒种子都不发芽”，则事件M和N (　　)
A．是不可能事件 B．不是互斥事件
C．是互斥但不对立事件 D．是对立事件
C
3．打靶3次，事件Ai＝“击中i次”，其中i＝0，1，2，3，那么A＝A1∪A2∪A3表示 (　　)
A．全部击中　 B．至少击中1次
C．至少击中2次　 D．以上均不正确
【解析】
　　　　由题意可得事件A1，A2，A3是彼此互斥的事件，且A0∪A1∪A2∪A3为必然事件，A＝A1∪A2∪A3表示的是打靶3次至少击中1次．
B
4．抽查10件产品，设A＝“至多有1件次品”，则事件A的对立事件是 (　　)
A．至多有2件正品　 B．至多有1件次品
C．至少有1件正品　 D．至少有2件次品
D
5．(课本P235练习2)抛掷一颗质地均匀的骰子，有如下随机事件：Ci＝“点数为i”，其中i＝1，2，3，4，5，6；D1＝“点数不大于2”，D2＝“点数大于2”，D3＝“点数大于4”；E＝“点数为奇数”，F＝“点数为偶数”．判断下列结论是否正确．
(1) C1与C2互斥；(2) C2，C3为对立事件；(3) C3 D2；(4) D3 D2；(5) D1∪D2＝Ω，D1D2＝ ；(6) D3＝C5∪C6；(7) E＝C1∪C3∪C5；(8) E，F为对立事件；(9) D2∪D3＝D2；(10) D2∩D3＝D3．
【解答】
　　　　该试验的样本空间可表示为Ω＝{1，2，3，4，5，6}，由题意知Ci＝{i}，D1＝{1，2}，D2＝{3，4，5，6}，D3＝{5，6}，E＝{1，3，5}，F＝{2，4，6}．
(1) C1＝{1}，C2＝{2}，满足C1∩C2＝ ，所以C1与C2互斥，故正确．
(2) C2＝{2}，C3＝{3}，满足C2∩C3＝ 但不满足C2∪C3＝Ω，所以为互斥事件，但不是对立事件，故错误．
根据对应的集合易得，(3)正确，(4)正确，(5)正确．
(6) C5∪C6＝{5，6}，所以D3＝C5∪C6，故正确．
(7) C1∪C3∪C5＝{1，3，5}，故E＝C1∪C3∪C5，故正确．
(8) 因为E∩F＝ ，E∪F＝Ω，所以E，F为对立事件，故正确．
(9) 正确．(10) 正确．第2课时　事件的关系和运算
一、 单项选择题
1．掷一枚质地均匀的正方体骰子，事件E＝“向上的点数为1”，事件F＝“向上的点数为5”，事件G＝“向上的点数为1或5”，则有(　　)
A．E F B．G F
C．E∪F＝G D．E∩F＝G
2．从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，则下列与事件“恰有2个红球”既不对立也不互斥的事件是(　　)
A．至少有1个黑球 B．恰好有1个黑球
C．至多有1个红球 D．至少有1个红球
3．把红、黑、蓝、白4张纸牌随机地分发给甲、乙、丙、丁四个人，每人分得1张，事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”是(　　)
A．对立事件
B．不可能事件
C．互斥但不是对立事件
D．以上答案都不正确
4．对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设A＝｛两次都击中飞机｝，B＝｛两次都没击中飞机｝，C＝｛恰有一弹击中飞机｝，D＝｛至少有一弹击中飞机｝，下列关系不正确的是(　　)
A．A D B．B∩D＝
C．A∪C＝D D．A∪B＝B∪D
二、 多项选择题
5．一批产品共有100件，其中5件是次品，95件是合格品.从这批产品中任意抽取5件，现给出以下四个事件：A＝“恰有一件次品”；B＝“至少有两件次品”；C＝“至少有一件次品”；D＝“至多有一件次品”.下列结论正确的是(　　)
A．A∪B＝C B．B∪D是必然事件
C．A∩B＝C D．A∩D＝C
6．袋子中有4个大小、质地完全相同的球，其中2个红球、2个黄球，从中不放回依次摸出2个球，记A＝“恰有一次摸到红球”，B＝“两次都摸到红球”，C＝“两次都摸到黄球”，D＝“至少有一次摸到红球”，E＝“至多一次摸到红球”，则下列说法正确的是(　　)
A．事件A与事件B是互斥事件
B．事件B与事件C是对立事件
C．事件C与事件D是对立事件
D．事件D与事件E是互斥事件
三、 填空题
7．在随机抛掷一枚质地均匀骰子的试验中，事件A＝“出现不大于4的偶数点”，事件B＝“出现小于6的点数”，则事件A∪的含义为________________，事件A∩B的含义为________________．
8．如图所示电路中，用A表示事件“灯亮”，用B，C，D依次表示“开关Ⅰ闭合”“开关Ⅱ闭合”“开关Ⅲ闭合”，则A＝ ________.(用B，C，D间的运算关系式表示)
(第8题)
四、 解答题
9．从40张扑克牌(红桃、黑桃、方块、梅花各10张，且点数都为1~10)中任取1张，判断下列给出的每对事件是否为互斥事件，是否为对立事件，并说明理由.
(1) “抽出红桃”与“抽出黑桃”；
(2) “抽出红色牌”与“抽出黑色牌”；
(3) “抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”.
10．抛掷一枚骰子，给出下列事件：A＝“出现奇数点”，B＝“出现偶数点”，C＝“出现点数小于3”，D＝“出现点数大于2”，E＝“出现点数是3的倍数”.
(1) 求A∩B，B∩C；
(2) 求A∪B，B∪C；
(3) 记是事件H的对立事件，求，∩C，∪C，∪.
11．(多选)某学校为了丰富同学们的课外活动，为同学们举办了四种科普活动：科技展览、科普讲座、科技游艺、科技绘画.记事件A＝“只参加科技游艺活动”，事件B＝“至少参加两种科普活动”，事件C＝“只参加一种科普活动”，事件D＝“一种科普活动都不参加”，事件E＝“至多参加一种科普活动”，则下列说法正确的是(　　)
A．A与D是互斥事件
B．B与E是对立事件
C．E＝C∪D
D．A＝C∩E
12．设H，E，F为三个事件，，，分别表示它们的对立事件，表示“三个事件恰有一个发生”的表达式为(　　)
A．H＋E＋F
B．H＋＋F
C．HE＋HF＋EF
D．
13．利用如图所示的两个转盘玩配色游戏，两个转盘各转一次，观察指针所指区域颜色(不考虑指针落在分界线上的情况).事件A＝“转盘①指针所指区域是黄色”，事件B＝“转盘②指针所指区域是绿色”.用样本点表示：A∩B＝______，A∪B＝ ________．
　
(第13题)
第2课时　事件的关系和运算
基础打底·熟练掌握
1．C　2．D　3．C　
4．D　【解析】 用(x1，x2)表示试验的射击情况，其中x1表示第1次射击的情况，x2表示第2次射击的情况，以1表示击中，0表示没中，则样本空间Ω＝｛(0，0)，(0，1)，(1，0)，(1，1)｝.由题意得，A＝｛(1，1)｝，B＝｛(0，0)｝，C＝｛(0，1)，(1，0)｝，D＝｛(0，1)，(1，0)，(1，1)｝，则A D，A∪C＝D，且B∩D＝ ，即A，B，C都正确；又B∪D＝Ω，A∪B＝｛(0，0)，(1，1)｝≠Ω，所以A∪B≠B∪D，故D不正确．
5．AB　【解析】 事件A∪B＝“至少有一件次品”，即事件C，所以A正确；事件A∩B＝ ，所以C不正确；事件B∪D＝“至少有两件次品或至多有一件次品”，包括了所有情况，所以B正确；事件A∩D＝“恰有一件次品”，即事件A，所以D不正确.
6．AC　【解析】 对于A，由于事件A与事件B不可能同时发生，故二者是互斥事件，A正确；对于B，B∩C＝ ，但B∪C≠Ω，故二者为互斥事件，不是对立事件，B错误；对于C，“至少有一次摸到红球”包括“有一次摸到红球、一次摸到黄球”和“两次都摸到红球”，其对立事件为“没有一次摸到红球”，即“两次都摸到黄球”，故事件C与事件D是对立事件，C正确；对于D，D∩E＝｛有一次摸到红球，另一次摸到黄球｝，故二者不互斥，D错误.
7．出现2，4，6点　出现2，4点
8．(BC)∪(BD)(或B∩(C∪D))　【解析】 灯亮必须开关Ⅰ闭合，开关Ⅱ和Ⅲ中至少有一个闭合，因此A＝B∩(C∪D).
9．【解答】 (1) 是互斥事件，不是对立事件.理由：从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出红桃”和“抽出黑桃”是不可能同时发生的，所以是互斥事件，同时不能保证其中必有一个发生，这是由于还可能抽出“方块”或者“梅花”，因此，二者不是对立事件.
(2) 既是互斥事件，又是对立事件.理由：从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”两个事件不可能同时发生，且其中必有一个发生，所以它们既是互斥事件，又是对立事件.
(3) 不是互斥事件，也不是对立事件.理由：从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”这两个事件可能同时发生，如抽得牌点数为10，因此，二者不是互斥事件，当然也不可能是对立事件.
10．【解答】 由题意知A＝｛1，3，5｝，B＝｛2，4，6｝，C＝｛1，2｝，D＝｛3，4，5，6｝，E＝｛3，6｝．
(1) A∩B＝ ，B∩C＝｛2｝.
(2) A∪B＝｛1，2，3，4，5，6｝，B∪C＝｛1，2，4，6｝.
(3) 因为＝｛2，4，6｝，＝｛1，3，5｝，＝｛1，2，4，5｝，＝｛1，2｝，所以∩C＝｛2｝，∪C＝｛1，2，3，5｝，∪＝｛1，2，4，5｝.
能力进阶·融会贯通
11．ABC　【解析】 对于A，互斥事件表示两事件的交集为空集，事件A与事件D二者不可能同时发生，交集为空集，故A正确；对于B，对立事件表示两事件互斥且必定有一个发生，事件B和事件E满足两个特点，故B正确；对于C，C∪D表示“至多参加一种科普活动”，即为事件E，故C正确；对于D，C∩E表示“只参加一种科普活动”，但不一定是科技游艺活动，故D错误.
12．B　【解析】 A中表示H，E，F三个事件至少有一个发生；B中表示三个事件恰有一个发生；C中表示三个事件恰有一个不发生；D中为A中的对立事件，即表示三个事件都不发生.
13．｛(黄，绿)｝　｛(黄，绿)，(黄，黄)，(黄，红)，(黄，蓝)，(黄，紫)，(红，绿)，(蓝，绿)｝　【解析】 列表如下：
　　　　①的颜色 ②的颜色　　　　
红 黄 蓝
蓝 (红，蓝) (黄，蓝) (蓝，蓝)
黄 (红，黄) (黄，黄) (蓝，黄)
红 (红，红) (黄，红) (蓝，红)
绿 (红，绿) (黄，绿) (蓝，绿)
紫 (红，紫) (黄，紫) (蓝，紫)
由上表可知A＝｛(黄，蓝)，(黄，黄)，(黄，红)，(黄，绿)，(黄，紫)｝，B＝｛(红，绿)，(黄，绿)，(蓝，绿)｝，A∩B＝｛(黄，绿)｝，A∪B＝｛(黄，绿)，(黄，黄)，(黄，红)，(黄，蓝)，(黄，紫)，(红，绿)，(蓝，绿)｝.第2课时　事件的关系和运算
学习 目标 1．理解事件的关系(包含、相等、并事件和交事件)与运算． 2．通过事件之间的运算，理解互斥事件和对立事件的概念．
新知初探基础落实
在掷骰子的试验中，可以定义许多事件．例如，事件C1＝“出现1点”，事件C2＝“出现2点”，事件C3＝“出现3点”，事件C4＝“出现4点”，事件C5＝“出现5点”，事件C6＝“出现6点”，事件D1＝“出现的点数不大于1”，事件D2＝“出现的点数大于3”，事件D3＝“出现的点数小于5”，事件E＝“出现的点数小于7”，事件F＝“出现的点数为偶数”，事件G＝“出现的点数为奇数”，等等．
你还能写出这个实验中的其他事件吗？请用集合的形式表示这些事件．借助集合与集合的关系和运算，你能发现这些事件之间的联系吗？
一、 概念生成
1．用集合的形式表示事件C1＝“点数为1”和事件G＝“点数为奇数”．
C1＝{1}，G＝{1，3，5}．
显然，如果事件C1发生，那么事件G一定发生．事件之间的这种关系用集合的形式表示，就是{1} {1，3，5}，即C1 G．这时我们说事件G包含事件C1．
一般地，若事件A发生，则事件B一定发生，我们就称事件B包含事件A(或事件A包含于事件B)，记作B A(或A B)．可以用图(1)表示．
特别地，如果事件B包含事件A，事件A也包含事件B，即B A且A B，则称事件A与事件B相等，记作A＝B．
图(1)
图(2)
2．用集合的形式表示事件D1＝“点数不大于3”，事件E1＝“点数为1或2”和事件E2＝“点数为2或3”．
D1＝{1，2，3}，E1＝{1，2}，E2＝{2，3}．
可以发现，事件E1和事件E2至少有一个发生，相当于事件D1发生．事件之间的这种关系用集合的形式表示，就是{1，2}∪{2，3}＝{1，2，3}，即E1∪E2＝D1，这时我们称事件D1为事件E1和事件E2的并事件．
一般地，事件A与事件B至少有一个发生，这样的一个事件中的样本点或者在事件A中，或者在事件B中，我们称这个事件为事件A与事件B的并事件(或和事件)，记作A∪B(或A＋B)．可以用图(2)中的阴影区域表示这个并事件．
请同学阅读课本P231—P235，完成下列填空．
二、 概念表述
1．事件的关系
定义 符号 图示
包含 关系 一般地，__若事件A发生，则事件B一定发生__，我们就称事件B包含事件A(或事件A包含于事件B) __B A(或A B)__
相等 关系 __如果事件B包含事件A，事件A也包含事件B，即B A且A B__，则称事件A与事件B相等 __A＝B__
2．交事件与并事件
定义 符号 图示
并事件 (或和 事件) 一般地，__事件A与事件B至少有一个发生，这样的一个事件中的样本点或者在事件A中，或者在事件B中__，我们称这个事件为事件A与事件B的并事件(或和事件) __A∪B(或A＋B)__
交事件 (或积 事件) 一般地，__事件A与事件B同时发生，这样的一个事件中的样本点既在事件A中，也在事件B中__，我们称这样的一个事件为事件A与事件B的交事件(或积事件) __A∩B(或AB)__
3．互斥事件和对立事件
定义 符号 图示
互斥 事件 一般地，__如果事件A与事件B不能同时发生，也就是说A∩B是一个不可能事件，即A∩B＝ __，则称事件A与事件B互斥(或互不相容) __A∩B＝ __
对立 事件 一般地，__如果事件A和事件B在任何一次试验中有且仅有一个发生，即A∪B＝Ω，且A∩B＝ __，那么称事件A与事件B互为对立，事件A的对立事件记为 __A∪B＝Ω，A∩B＝ __
三、 概念辨析(判断正误：正确的画“√”，错误的画“×”)
(1) 两个相等的事件总是同时发生或同时不发生．(　√　)
(2) 若两个事件是互斥事件，则这两个事件是对立事件．(　×　)
(3) 若两个事件是对立事件，则这两个事件也是互斥事件．(　√　)
(4) 若事件A与B是互斥事件，则在一次试验中事件A和B至少有一个发生．(　×　)
典例精讲能力初成
探究1　事件关系的判断
视角1　包含关系或事件相等
例1－1　同时掷两枚硬币，记“向上的面都是正面”为事件A，“向上的面至少有一枚是正面”为事件B，则有(　C　)
A．A＝B　 B．A B
C．A B　 D．A与B之间没有关系
【解析】由同时抛掷两枚硬币，试验的样本空间Ω＝{(正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反)}，其中事件A＝{(正，正)}，事件B＝{(正，正)，(正，反)，(反，正)}，所以A B．
包含关系、相等关系的判定
(1) 事件的包含关系与集合的包含关系相似；
(2) 两事件相等的实质为相同事件，即同时发生或同时不发生．
视角2　互斥事件与对立事件
例1－2　(课本P233例5)如图，由甲、乙两个元件组成一个并联电路，每个元件可能正常或失效．设事件A＝“甲元件正常”，B＝“乙元件正常”．
(1) 写出表示两个元件工作状态的样本空间；
【解答】用x1，x2分别表示甲、乙两个元件的状态，则可以用(x1，x2)表示这个并联电路的状态．以1表示元件正常，0表示元件失效，则样本空间为Ω＝{(0，0)，(0，1)，(1，0)，(1，1)}．
(2) 用集合的形式表示事件A，B以及它们的对立事件；
【解答】根据题意，可得A＝{(1，0)，(1，1)}，B＝{(0，1)，(1，1)}，＝{(0，0)，(0，1)}，＝{(0，0)，(1，0)}．
(3) 用集合的形式表示事件A∪B和事件∩，并说明它们的含义及关系．
【解答】A∪B＝{(0，1)，(1，0)，(1，1)}，∩＝{(0，0)}．A∪B表示电路工作正常，∩表示电路工作不正常．A∪B和∩互为对立事件．
辨析互斥事件与对立事件的思路
(1) 从发生的角度看：①在一次试验中，两个互斥事件有可能都不发生，也可能有一个发生，但不可能同时发生．②两个对立事件必有一个发生，但不可能同时发生，即两事件对立，必定互斥，但两事件互斥，未必对立．对立事件是互斥事件的一个特例．
(2) 从事件个数的角度看：互斥的概念适用于两个或多个事件，但对立的概念只适用于两个事件．
变式　某城有甲、乙两种报纸供居民订阅，记事件A＝“只订甲报”，事件B＝“至少订一种报”，事件C＝“至多订一种报”，事件D＝“不订甲报”，事件E＝“一种报也不订”．判断下列事件是否为互斥事件，如果是，判断它们是否为对立事件．
(1) A与C；　(2) B与E；　(3) B与D；　(4) B与C；　(5) C与E．
【解答】(1) 由于事件“至多订一种报”可能只订甲报，即事件A与事件C有可能同时发生，故A与C不是互斥事件．
(2) 因为事件“至少订一种报”与事件“一种报也不订”是不可能同时发生的，故事件B与E是互斥事件．由于事件B和事件E必有一个发生，故B与E也是对立事件．
(3) 事件“至少订一种报”中有可能只订乙报，即有可能不订甲报，也就是说事件B与事件D可能同时发生，故B与D不是互斥事件．
(4) 事件“至少订一种报”中有3种可能：只订甲报、只订乙报、订甲、乙两种报；事件“至多订一种报”中有3种可能：一种报也不订、只订甲报、只订乙报．故事件B与事件C可能同时发生，故B与C不是互斥事件．
(5) 由(4)的分析可知，事件“一种报也不订”仅仅是事件C的一种可能，事件C与事件E可能同时发生，故C与E不是互斥事件．
探究2　事件的运算
例2　(课本P234例6)一个袋子中有大小和质地相同的4个球，其中有2个红色球(标号为1和2)，2个绿色球(标号为3和4)，从袋中不放回地依次随机摸出2个球．设事件R1＝“第一次摸到红球”，R2＝“第二次摸到红球”，R＝“两次都摸到红球”，G＝“两次都摸到绿球”，M＝“两个球颜色相同”，N＝“两个球颜色不同”．
(1) 用集合的形式分别写出试验的样本空间以及上述各事件；
【解答】所有的试验结果如图所示．用数组(x1，x2)表示可能的结果，x1是第一次摸到的球的标号，x2是第二次摸到的球的标号，则试验的样本空间Ω＝{(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)}．
事件R1＝“第一次摸到红球”，即x1＝1或2，于是R1＝{(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，3)，(2，4)}；事件R2＝“第二次摸到红球”，即x2＝1或2，于是R2＝{(2，1)，(3，1)，(4，1)，(1，2)，(3，2)，(4，2)}．同理，有R＝{(1，2)，(2，1)}，G＝{(3，4)，(4，3)}，M＝{(1，2)，(2，1)，(3，4)，(4，3)}，N＝{(1，3)，(1，4)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(4，1)，(4，2)}．
(2) 事件R与R1，R与G，M与N之间各有什么关系？
【解答】因为R R1，所以事件R1包含事件R．因为R∩G＝ ，所以事件R与事件G互斥．因为M∪N＝Ω，M∩N＝ ，所以事件M与事件N互为对立事件．
(3) 事件R与事件G的并事件与事件M有什么关系？事件R1与事件R2的交事件与事件R有什么关系？
【解答】因为R∪G＝M，所以事件M是事件R与事件G的并事件．因为R1∩R2＝R，所以事件R是事件R1与事件R2的交事件．
事件运算应注意的两个问题
(1) 进行事件的运算时，一是要紧扣运算的定义，二是要全面考察同一条件下的试验可能出现的全部结果，必要时可利用Venn图或列出全部的试验结果进行分析．
(2) 在一些比较简单的题目中，需要判断事件之间的关系时，可以根据常识来判断，但如果遇到比较复杂的题目，就得严格按照事件之间关系的定义来推理．
变式1　盒子里有6个红球，4个白球，现从中任取3个球，设事件A＝“3个球中有1个红球、2个白球”，事件B＝“3个球中有2个红球、1个白球”，事件C＝“3个球中至少有1个红球”，事件D＝“3个球中既有红球又有白球”．
(1) 事件D与A，B是什么样的运算关系？
【解答】事件D包含的结果为1个红球、2个白球或2个红球、1个白球，故D＝A∪B．
(2) 事件C与A的交事件与事件A是什么关系？
【解答】事件C包含的结果为1个红球、2个白球或2个红球、1个白球或3个均为红球，所以A C，故C∩A＝A．
变式2　如图所示是某班级50名学生订阅数学、语文、英语学习资料的情况，其中A表示订阅数学学习资料的学生，B表示订阅语文学习资料的学生，C表示订阅英语学习资料的学生．
(1) 从这个班任意选择一名学生，用自然语言描述1，4，5，8各区域所代表的事件；
【解答】由图可知：区域1表示数学、语文、英语三种学习资料都订阅的学生；区域4表示只订阅数学、语文两种学习资料的学生；区域5表示只订阅语文学习资料的学生；区域8表示三种学习资料都未订阅的学生．
(2) 用A，B，C表示下列事件：
①恰好订阅一种学习资料；
②没有订阅任何学习资料．
【解答】①“恰好订阅一种学习资料”包括只订阅数学为A ，只订阅语文为B ，只订阅英语为 C，并且这三个事件两两互斥，所以“恰好订阅一种学习资料”用A，B，C表示为A　＋B ＋ C．
②“没有订阅任何学习资料”用A，B，C表示为 ．
随堂内化及时评价
1．抛掷一枚骰子，事件A＝“向上的点数是1或2”，事件B＝“向上的点数是2或3”，则下列说法正确的是(　C　)
A．A B
B．A＝B
C．A＋B表示向上的点数是1或2或3
D．AB表示向上的点数是1或2或3
【解析】设A＝{1，2}，B＝{2，3}，则A∩B＝{2}，A∪B＝{1，2，3}，所以A＋B表示向上的点数为1或2或3．
2．已知事件M＝“3粒种子全部发芽”，事件N＝“3粒种子都不发芽”，则事件M和N(　C　)
A．是不可能事件 B．不是互斥事件
C．是互斥但不对立事件 D．是对立事件
3．打靶3次，事件Ai＝“击中i次”，其中i＝0，1，2，3，那么A＝A1∪A2∪A3表示(　B　)
A．全部击中　 B．至少击中1次
C．至少击中2次　 D．以上均不正确
【解析】由题意可得事件A1，A2，A3是彼此互斥的事件，且A0∪A1∪A2∪A3为必然事件，A＝A1∪A2∪A3表示的是打靶3次至少击中1次．
4．抽查10件产品，设A＝“至多有1件次品”，则事件A的对立事件是(　D　)
A．至多有2件正品　 B．至多有1件次品
C．至少有1件正品　 D．至少有2件次品
5．(课本P235练习2)抛掷一颗质地均匀的骰子，有如下随机事件：Ci＝“点数为i”，其中i＝1，2，3，4，5，6；D1＝“点数不大于2”，D2＝“点数大于2”，D3＝“点数大于4”；E＝“点数为奇数”，F＝“点数为偶数”．判断下列结论是否正确．
(1) C1与C2互斥；
(2) C2，C3为对立事件；
(3) C3 D2；
(4) D3 D2；
(5) D1∪D2＝Ω，D1D2＝ ；
(6) D3＝C5∪C6；
(7) E＝C1∪C3∪C5；
(8) E，F为对立事件；
(9) D2∪D3＝D2；
(10) D2∩D3＝D3．
【解答】该试验的样本空间可表示为Ω＝{1，2，3，4，5，6}，由题意知Ci＝{i}，D1＝{1，2}，D2＝{3，4，5，6}，D3＝{5，6}，E＝{1，3，5}，F＝{2，4，6}．
(1) C1＝{1}，C2＝{2}，满足C1∩C2＝ ，所以C1与C2互斥，故正确．
(2) C2＝{2}，C3＝{3}，满足C2∩C3＝ 但不满足C2∪C3＝Ω，所以为互斥事件，但不是对立事件，故错误．
根据对应的集合易得，(3)正确，(4)正确，(5)正确．
(6) C5∪C6＝{5，6}，所以D3＝C5∪C6，故正确．
(7) C1∪C3∪C5＝{1，3，5}，故E＝C1∪C3∪C5，故正确．
(8) 因为E∩F＝ ，E∪F＝Ω，所以E，F为对立事件，故正确．
(9) 正确．(10) 正确．

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