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第十章
10.1　随机事件与概率
概　率
第3课时　古典概型
学习 目标 1．了解随机事件概率的含义及表示，理解古典概型的概念及特点．
2．了解古典概型的一般求解思路和策略，掌握利用古典概型的概率公式解决简单的概率计算问题．
新知初探·基础落实
在试验“抛掷一枚均匀的骰子，观察骰子掷出的点数”中，其样本空间为{1，2，3，4，5，6}，共有6个样本点．由于骰子几何形状的对称性，可以认为每个样本点出现的可能性相等．
在试验“连续抛掷一枚均匀的骰子2次，观察每次掷出的点数”的样本空间中，共有36个样本点，也可以认为每个样本点出现的可能性相等．
在上述两个试验中，样本空间中样本点的个数都是有限的，即试验所对应的样本空间Ω为有限样本空间，而且认为样本空间Ω中的各个样本点出现的可能性相等．在这种情况下，任意一个随机事件发生的可能性该如何表示呢？
思考：抛掷一枚质地均匀硬币的试验中的正面情况，及掷一枚质地均匀骰子的试验中的朝上的面的点数，它们的样本点分别是什么？样本点有哪些共同特征？
在抛掷一枚质地均匀硬币的试验中，样本点有两个，正面朝上和正面朝下．由于质地均匀，因此样本点出现的可能性是相等的．
在掷一枚质地均匀骰子的试验中，样本点有6个，出现的点数为1，2，3，4，5，6．由于质地均匀，因此样本点出现的可能性是相等的．
所以共同特征是：①有限性：样本空间的样本点只有有限个；②等可能性：每个样本点发生的可能性相等．
一、 概念生成
当试验的样本空间的样本点只有有限个，且每个样本点发生的可能性相等时，我们将这个试验称为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型．
问题1：“从所有整数中任取一个数的试验中抽取一个整数”是古典概型吗？
不是，因为有无数个样本点．
问题2：一个班级中有18名男生、22名女生．采用抽签的方式，从中随机选择1名学生，事件A＝“抽到男生”，如何度量事件A发生的可能性大小？
班级中共有40名学生，从中选择1名学生，因为是随机选取的，所以选到每个学生的可能性都相等，这是一个古典概型．
显然，这个随机试验的样本空间中有40个样本点，而事件A＝“抽到男生”包含18个样本点，因此，事件A发生的可能性大小为＝0.45．
问题3：抛掷一枚质地均匀的硬币3次，事件B＝“恰好一次正面朝上”，如何度量事件B发生的可能性大小？
我们用1表示硬币“正面朝上”，用0表示硬币“反面朝上”，则试验的样本空间Ω＝{(1，1，1)，(1，1，0)，(1，0，1)，(0，1，1)，(1，0，0)，(0，1，0)，(0，0，1)，(0，0，0)}，共有8个样本点，且每个样本点是等可能发生的，所以这是一个古典概型．
因为B＝{(1，0，0)，(0，1，0)，(0，0，1)}，所以事件B发生的可能性大小为＝0.375．
请同学阅读课本P235—P240，完成下列填空．
二、 概念表述
1．事件的概率
对随机事件发生______________的度量(数值)称为事件的概率，事件A的概率用P(A)表示．
可能性大小
2．古典概型的定义
我们将具有以下两个特征的试验称为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型．
(1) 有限性：样本空间的样本点只有__________；
(2) 等可能性：每个样本点发生的可能性________．
3．古典概型的概率计算公式
一般地，设试验E是古典概型，样本空间Ω包含n个样本点，事件A包含其中的k个样
本点，则定义事件A的概率P(A)＝_____＝________．其中，n(A)和n(Ω)分别表示事件A和样本空间Ω包含的样本点个数．
有限个
相等
三、 概念辨析(判断正误：正确的画“√”，错误的画“×”)
(1) 古典概型中每个事件发生的可能性相等． (　　)
(2) 古典概型有两个重要条件：①样本空间中样本点总数是有限的，每次试验只出现其中的一个结果；②各个样本点的出现是等可能的． (　　)
(3) 用古典概型的概率公式可求“在区间[0，5]上任取一点，此点小于2”的概率． (　　)
(4) 从甲地到乙地共有n条线路，且这n条线路长短各不相同，求某人任选一条路线正好选中最短路线的概率是古典概型问题． (　　)
×
√
×
√
典例精讲·能力初成
探究
1
古典概型的判断
　　　(课本P237例7补充)一个口袋内装有1个白球和编号分别为1，2，3的3个黑球，它们的大小、质地相同，从中任意摸出2个球．
(1) 写出这个试验的样本空间，并判断这个试验是否为古典概型；
1
【解答】
　　　　这个试验的样本空间Ω＝{(白，黑1)，(白，黑2)，(白，黑3)，(黑1，黑2)，(黑1，黑3)，(黑2，黑3)}，且每个样本点是等可能出现的，这个试验是古典概型．
(2) 设事件A＝“摸出的2个球都是黑球”，用集合表示事件A，并求P(A)．
【解答】
　　　　A＝{(黑1，黑2)，(黑1，黑3)，(黑2，黑3)}，P(A)＝＝．
一个试验是否为古典概型，在于这个试验是否具有古典概型的两个特点：有限性和等可能性．并不是所有的试验都是古典概型．
下列三类试验都不是古典概型：
①样本点个数有限，但非等可能．②样本点个数无限，但等可能．③样本点个数无限，也非等可能．
变式　以下试验不是古典概型的有 (　　)
A．从6名同学中，选出4名参加学校文艺会演，每个人被选中的可能性大小
B．同时掷两枚骰子，点数和为7的概率
C．近三天中有一天降雪的概率
D．3个人站成一排，其中甲、乙相邻的概率
【解析】
　　　　A中，从6名同学中，选出4名参加学校文艺会演，每个人被选中的可能性相等，满足有限性和等可能性，是古典概型；B中，同时掷两枚骰子，点数和为7的事件是随机事件，满足有限性和等可能性，是古典概型；C中，不满足等可能性，不是古典概型；D中，3个人站成一排，其中甲、乙相邻的概率，满足有限性和等可能性，是古典概型．
C
探究
2
古典概型的计算
　　　(课本P237例8)抛掷两枚质地均匀的骰子(标记为Ⅰ号和Ⅱ号)，观察两枚骰子分别可能出现的基本结果．
(1) 写出这个试验的样本空间，并判断这个试验是否为古典概型．
2
【解答】
　　　　抛掷一枚骰子有6种等可能的结果，Ⅰ号骰子的每一个结果都可与Ⅱ号骰子的任意一个结果配对，组成掷两枚骰子试验的一个结果．用数字m表示Ⅰ号骰子出现的点数是m，数字n表示Ⅱ号骰子出现的点数是n，则数组(m，n)表示这个试验的一个样本点．因此该试验的样本空间Ω＝{(m，n)|m，n∈{1，2，3，4，5，6}}，其中共有36个样本点．由于骰子的质地均匀，所以各个样本点出现的可能性相等，因此这个试验是古典概型．
　　　(课本P237例8)抛掷两枚质地均匀的骰子(标记为Ⅰ号和Ⅱ号)，观察两枚骰子分别可能出现的基本结果．
(2) 求下列事件的概率：A＝“两个点数之和是5”；B＝“两个点数相等”；
C＝“Ⅰ号骰子的点数大于Ⅱ号骰子的点数”．
2
【解答】
　　　　因为A＝{(1，4)，(2，3)，(3，2)，(4，1)}，所以n(A)＝4，从而P(A)＝＝＝．因为B＝{(1，1)，(2，2)，(3，3)，(4，4)，(5，5)，(6，6)}，所以n(B)＝6，从而P(B)＝＝＝．因为C＝{(2，1)，(3，1)，(3，2)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)}，所以n(C)＝15，从而P(C)＝＝＝．
求解古典概型“四步”法
变式　班级联欢时，主持人拟出了如下一些节目：跳双人舞、独唱、朗诵等，指定3个男生和2个女生来参与，把5个人分别编号为1，2，3，4，5，其中1，2，3号是男生，4，5号是女生，将每个人的号分别写在5张相同的卡片上，并放入一个箱子中充分混合，每次从中随机地取出一张卡片，取出谁的编号谁就参与表演节目．
(1) 为了选出2人来表演双人舞，连续抽取2张卡片，求取出的2人是一男一女的概率；
【解答】
　　　　利用树状图可以列出连续抽取2张卡片的样本空间如图所示．由图可知，试验的所有样本点数为20，因为每次都随机抽取，所以这20个样本点出现的可能性是相同的，试验属于古典概型．设A＝“连续抽取2人是一男一女”，由列出的样本空间可以看出，A的样本点有12个，所以P(A)＝＝．
变式　班级联欢时，主持人拟出了如下一些节目：跳双人舞、独唱、朗诵等，指定3个男生和2个女生来参与，把5个人分别编号为1，2，3，4，5，其中1，2，3号是男生，4，5号是女生，将每个人的号分别写在5张相同的卡片上，并放入一个箱子中充分混合，每次从中随机地取出一张卡片，取出谁的编号谁就参与表演节目．
(2) 为了选出2人分别表演独唱和朗诵，抽取并观察第一张卡片后，又放回箱子中，充分混合后再从中抽取第二张卡片，求独唱和朗诵由同一个人表演的概率．
【解答】
　　　　有放回地连续抽取2张卡片，样本空间可以用下表列出．
第二次抽取 第一次抽取 1 2 3 4 5
1 (1，1) (1，2) (1，3) (1，4) (1，5)
2 (2，1) (2，2) (2，3) (2，4) (2，5)
3 (3，1) (3，2) (3，3) (3，4) (3，5)
4 (4，1) (4，2) (4，3) (4，4) (4，5)
5 (5，1) (5，2) (5，3) (5，4) (5，5)
试验的所有样本点个数为25，并且这25个样本点出现的可能性是相同的，试验属于古典概型．设B＝“独唱和朗诵由同一个人表演”，由上表可以看出，B的样本点共有5个，因此P(B)＝．
探究
3
“有放回”与“无放回”的概率问题
　　　一个袋中装有四个形状、大小完全相同的球，球的编号分别为1，2，3，4．
(1) 从袋中随机取两个球，求取出的球的编号之和不大于4的概率；
3
【解答】
　　　　从袋中随机取两个球，其一切可能的结果组成的基本事件有1和2，1和3，1和4，2和3，2和4，3和4，共6个．从袋中取出的两个球的编号之和不大于4的事件有1和2，1和3，共2个．因此所求事件的概率P＝＝．
　　　一个袋中装有四个形状、大小完全相同的球，球的编号分别为1，2，3，4．
(2) 先从袋中随机取一个球，记该球的编号为m，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，记该球的编号为n，求n＜m＋2的概率．
3
【解答】
　　　　先从袋中随机取一个球，记下编号为m，放回后，再从袋中随机取一个球，记下编号为n，其一切可能的结果(m，n)有(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，共16个．满足条件n＜m＋2的有(1，1)，(1，2)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，共13个．所以满足条件n＜m＋2的事件的概率为．
解决放回与不放回问题的注意点
(1) 关于不放回抽样，计算基本事件个数时，可以看作是没有顺序的，元素是不能重复的．
(2) 关于有放回抽样，计算基本事件个数时，可以看作是有顺序的，元素可以重复．
变式　(课本P238例9)袋子中有5个大小质地完全相同的球，其中2个红球、3个黄球，从中不放回地依次随机摸出2个球，求下列事件的概率：
(1) A＝“第一次摸到红球”；
(2) B＝“第二次摸到红球”；
(3) AB＝“两次都摸到红球”．
【解答】
　将两个红球编号为1，2，三个黄球编号为3，4，5．第一次摸球时有5种等可能的结果，对应第一次摸球的每个可能结果，第二次摸球时都有4种等可能的结果．将两次摸球的结果配对，组成20种等可能的结果如下表．
第一次 第二次 1 2 3 4 5
1 × (1，2) (1，3) (1，4) (1，5)
2 (2，1) × (2，3) (2，4) (2，5)
3 (3，1) (3，2) × (3，4) (3，5)
4 (4，1) (4，2) (4，3) × (4，5)
5 (5，1) (5，2) (5，3) (5，4) ×
(1) 第一次摸到红球的可能结果有8种(表中第1，2行)，即A＝{(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(2，1)，(2，3)，(2，4)，(2，5)}，所以P(A)＝．
(2) 第二次摸到红球的可能结果也有8种(表中第1，2列)，即B＝{(2，1)，(3，1)，(4，1)，(5，1)，(1，2)，(3，2)，(4，2)，(5，2)}，所以P(B)＝．
(3) 事件AB包含2个可能结果，即AB＝{(1，2)，(2，1)}，所以P(AB)＝．
随堂内化·及时评价
1．有四条线段的长度分别是1，3，5，7，从这四条线段中任取三条，则所取出的三条线段能构成一个三角形的概率是 (　　)
A．　 B．
C．　 D．
【解析】
　　　　从长度分别是1，3，5，7的四条线段中任取三条，试验的样本空间Ω＝{(1，3，5)，(1，3，7)，(1，5，7)，(3，5，7)}，共4个样本点．设A＝“所取出的三条线段能构成一个三角形”，则A＝{(3，5，7)}，所以P(A)＝．
A
2．从甲、乙等5名学生中随机选出2人，则甲被选中的概率为 (　　)
A．　 B．
C．　 D．
【解析】
　　　　设5名学生分别为甲、乙、丙、丁、戊，从甲、乙、丙、丁、戊5人中选2人，试验的样本空间Ω＝{(甲，乙)，(甲，丙)，(甲，丁)，(甲，戊)，(乙，丙)，(乙，丁)，(乙，戊)，(丙，丁)，(丙，戊)，(丁，戊)}，共10个样本点．设A＝“甲被选中”，则A＝{(甲，乙)，(甲，丙)，(甲，丁)，(甲，戊)}，共4个样本点，所以P(A)＝＝．
B
3．将一枚质地均匀的骰子(一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具)先后抛掷2次，则出现向上的点数之和大于9的概率是 (　　)
A．　 B．
C．　 D．
【解析】
　　　　抛掷一枚骰子两次，样本点有36个，其中符合题意的有(4，6)，(5，5)，(5，6)，(6，4)，(6，5)，(6，6)，共6个样本点，故所求概率为＝．
C
4．从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为 (　　)
A．　 B．
C．　 D．
【解析】
　　　　从5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，样本点总数为25，第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的样本点的个数为10，故所求概率P＝＝．
D
5．(课本P241练习3)从0~9这10个数中随机选择一个数，求下列事件的概率：
(1) 这个数平方的个位数字为1；
(2) 这个数的四次方的个位数字为1．
【解答】
　　　　从0~9这10个数中随机选择一个数，共有10种可能，其样本空间可表示为Ω＝{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}．
(1) 若这个数平方的个位数字为1，则该数为1或9，共2个，故其概率为＝．
(2) 若这个数的四次方的个位数字为1，则该数平方的个位数为1或9，所以该数为1，3，7，9，共4个，故其概率为＝．第3课时　古典概型
一、 单项选择题
1．下列实验中，是古典概型的有(　　)
A．某人射击中靶或不中靶
B．在平面直角坐标系内，从横坐标和纵坐标都为整数的所有点中任取一个
C．四名同学用抽签法选一人参加会议
D．从区间［1，10］上任取一个实数，求取到1的概率
2．A，B两名学生均打算只去甲、乙两个城市中的一个上大学，且两人去哪个城市是等可能的，则A，B不去同一城市上大学的概率为(　　)
A． B．
C． D．
3．抛掷一枚质地均匀的骰子2次，则2次点数之和为6的概率为(　　)
A． B．
C． D．
4．在如图所示的图形中，每个三角形上各有一个数字，若六个三角形上的数字之和为20，则称该图形是“和谐图形”.已知其中四个三角形上的数字之和为14，现从1，2，3，4，5中任取两个数字标在另外两个三角形上，则恰好使该图形为“和谐图形”的概率为(　　)
　(第4题)
A． B．
C． D．
二、 多项选择题
5．在一个古典概型中，若两个不同的随机事件A，B的概率相等，则称A和B是“等概率事件”，如：随机抛掷一枚骰子一次，事件“点数为奇数”和“点数为偶数”是“等概率事件”.关于“等概率事件”，以下判断正确的是(　　)
A．在同一个古典概型中，所有的样本点之间都是“等概率事件”
B．若一个古典概型的样本空间中样本点的总数大于2，则在这个古典概型中除样本点外没有“等概率事件”
C．因为所有必然事件的概率都是1，所以任意两个必然事件是“等概率事件”
D．同时抛掷三枚硬币一次，则事件“仅有一个正面”和“仅有两个正面”是“等概率事件”
6．袋中有大小相同的黄、红、白球各一个，每次任取一个，有放回地取3次，则下列说法正确的是(　　)
A．取出的3个球颜色相同的概率为
B．取出的3个球颜色不全相同的概率为
C．取出的3个球颜色全不相同的概率为
D．取出的3个球无红球的概率为
三、 填空题
7．从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽到的第一张卡片上的数不小于第二张卡片上的数的概率为________．
8．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想是：每个大于2的偶数可以表示为两个质数的和，如14＝3＋11.在不超过15的质数中，随机选取2个不同的数，其和不等于16的概率是________．
四、 解答题
9．现有6道题，其中4道甲类题，2道乙类题，张同学从中任取2道题解答.
(1) 求所取的2道题都是甲类题的概率；
(2) 求所取的2道题不是同一类题的概率.
10．某工厂生产的产品A的直径(单位：mm)均位于区间［110，118］内.若生产一件产品A的直径位于区间［110，112)，［112，114)，［114，116)，［116，118］内，则该厂可获利(单位：元)分别为10，30，20，10.现从该厂生产的产品A中随机抽取200件测量它们的直径，得到如图所示的频率分布直方图.
(第10题)
(1) 求a的值，并估计该厂生产一件A产品的平均利润；
(2) 现用分层随机抽样的方法从直径位于区间［112，116)内的产品中随机抽取一个容量为5的样本，从样本中随机抽取两件产品进行检测，求两件产品中至多有一件产品的直径位于区间［114，116)内的概率.
11．一个袋子中装有形状、大小完全相同的6个红球，n个绿球，现采用不放回的方式从中依次随机取出2个球.若取出的2个球都是红球的概率为，则n的值为(　　)
A．4 B．5
C．12 D．15
12．(多选)按先后顺序抛两枚均匀的硬币，观察正反面出现的情况，记事件A＝“第一次出现正面”，事件B＝“第二次出现反面”，事件C＝“两次都出现正面”，事件D＝“至少出现一次反面”，则(　　)
A．C与D对立 B．A与B互斥
C．P(A＋B)＝ D．P(D)＝
13．古代“五行”学说认为“物质分金、木、水、火、土五种属性，金克木、木克土、土克水、水克火、火克金”.从五种不同属性的物质中随机抽取两种，则抽取的两种物质不相克的概率为(　　)
A． B．
C． D．
14．现有一款闯关游戏，共有4关，规则如下：在第n关要抛掷骰子n次，每次观察向上面的点数并做记录，如果这n次抛掷所出现的点数之和大于2n＋n，则算过第n关.假定每次过关互不影响，则直接挑战第2关并过关的概率为________；若直接挑战第4关，则过关的概率为________．
第3课时　古典概型
基础打底·熟练掌握
1．C　2．C　3．C　4．B
5．AD　【解析】 对于A，由古典概型的定义知，所有样本点的概率都相等，故所有样本点之间都是“等概率事件”，故A正确.对于B，如在1，3，5，7，9五个数中，“任取两个数所得和为10”与“任取两个数所得和为8”，这两种情况的概率相等，故B错误.对于C，由本题的条件可知“等概率事件”是针对同一个古典概型的，故C不正确.对于D，随机同时抛掷三枚硬币一次共有8个样本点，其中“仅有一个正面”包含3个样本点，其概率为；“仅有两个正面”包含3个样本点，其概率为，故这两个事件是“等概率事件”，故D正确.
6．BC　【解析】 设取得黄、红、白球分别为1，2，3，有放回地取球3次，共有(1，1，1)，(1，1，2)，(1，1，3)，(1，2，1)，(1，3，1)，(2，1，1)，(3，1，1)，(1，2，3)，(1，3，2)，(1，2，2)，(1，3，3)，(2，1，3)，(3，1，2)，(2，1，2)，(3，1，3)，(3，2，1)，(2，3，1)，(2，2，1)，(3，3，1)，(2，2，2)，(3，3，3)，(2，2，3)，(2，3，2)，(3，2，2)，(3，3，2)，(3，2，3)，(2，3，3)27种等可能结果，其中颜色相同的结果有(1，1，1)，(2，2，2)，(3，3，3)3种，其概率为＝，故A错误；颜色不全相同的结果有24种，(1，1，2)，(1，1，3)，(1，2，1)，(1，3，1)，(2，1，1)，(3，1，1)，(1，2，3)，(1，3，2)，(1，2，2)，(1，3，3)，(2，1，3)，(3，1，2)，(2，1，2)，(3，1，3)，(3，2，1)，(2，3，1)，(2，2，1)，(3，3，1)，(2，2，3)，(2，3，2)，(3，2，2)，(3，3，2)，(3，2，3)，(2，3，3)，其概率为＝，故B正确；颜色全不相同的结果有(1，2，3)，(1，3，2)，(2，1，3)，(3，1，2)，(3，2，1)，(2，3，1)6种，其概率为＝，故C正确；无红球的结果有(1，1，1)，(1，1，3)，(1，3，1)，(3，1，1)，(1，3，3)，(3，3，3)，(3，1，3)，(3，3，1)8种，其概率为，故D错误.
7．　【解析】 由从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，基本事件的总数为N＝5×5＝25个.抽到的第一张卡片上的数不小于第二张卡片上的数包含的基本事件为：(1，1)，(2，2)，(2，1)，(3，3)，(3，2)，(3，1)，(4，4)，(4，3)，(4，2)，(4，1)，(5，5)，(5，4)，(5，3)，(5，2)，(5，1)，共有15个，所以抽到的第一张卡片上的数不小于第二张卡片上的数的概率为P＝＝.
8．　【解析】 不超过15的质数有2，3，5，7，11，13，共6个，从中选2个质数，一共有15个样本点，和等于16的有2个样本点：(3，13)，(5，11).由古典概型的概率计算公式知，和等于16的概率为，则和不等于16的概率为1－＝．
9．【解答】 (1) 将4道甲类题依次编号为1，2，3，4；2道乙类题依次编号为5，6.任取2道题，这个试验的样本空间为Ω＝｛(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(4，5)，(4，6)，(5，6)｝，共15个样本点，且每个样本点出现的可能性是等可能的，可用古典概型来计算概率.设事件A＝“所取的2道题都是甲类题”，则A＝｛(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，3)，(2，4)，(3，4)｝，共6个样本点，所以P(A)＝＝.
(2) 由(1)知试验的样本空间共有15个样本点.设事件B＝“所取的2道题不是同一类题”，则B＝｛(1，5)，(1，6)，(2，5)，(2，6)，(3，5)，(3，6)，(4，5)，(4，6)｝，共8个样本点，所以P(B)＝.
10．【解答】 (1) 由频率分布直方图得2×(0.050＋0.150＋a＋0.075)＝1，所以a＝0.225，直径位于区间［110，112)的频数为200×2×0.050＝20，位于区间［112，114)的频数为200×2×0.150＝60，位于区间［114，116)的频数为200×2×0.225＝90，位于区间［116，118］的频数为200×2×0.075＝30，所以生产一件A 产品的平均利润为＝20.5(元).
(2) 由频率分布直方图得，直径位于区间［112，114)和［114，116)的频率之比为2∶3，所以应从直径位于区间［112，114)的产品中抽取2件产品，记为A，B，从直径位于区间［114，116)的产品中抽取3件产品，记为a，b，c.从中随机抽取两件，试验的样本空间Ω＝｛(A，B)，(A，a)，(A，b)，(A，c)，(B，a)，(B，b)，(B，c)，(a，b)，(a，c)，(b，c)｝，共10个样本点.设事件M＝“两件产品中至多有一件产品的直径位于区间［114，116)内”，则M＝｛(A，B)，(A，a)，(A，b)，(A，c)，(B，a)，(B，b)，(B，c)｝，共7个样本点，所以P(M)＝.
能力进阶·融会贯通
11．A　【解析】 由题意可得＝，解得n＝4(负值舍去).
12．AC　【解析】 设出现正面为1，出现反面为2，由题意可知，A＝｛(1，1)，(1，2)｝，B＝｛(1，2)，(2，2)｝，C＝｛(1，1)｝，D＝｛(1，2)，(2，2)，(2，1)｝，由C∩D＝ ，C∪D＝｛(1，1)，(1，2)，(2，1)，(2，2)｝，知A正确；由A∩B＝｛(1，2)｝≠ ，知B错误；由A＋B＝｛(1，1)，(1，2)，(2，2)｝，得P(A＋B)＝，故C正确；由P(D)＝，知D错误.
13．C　【解析】 从五种不同属性的物质中随机抽取两种，则样本空间Ω＝｛(金，木)，(金，水)，(金，火)，(金，土)，(木，水)，(木，火)，(木，土)，(水，火)，(水，土)，(火，土)｝，共10个样本点.其中金克木、木克土、土克水、水克火、火克金，即相克的有5种，则不相克的也是5种，所以抽取的两种物质不相克的概率为.
14．　　【解析】 直接挑战第2关过关需两次点数之和大于22＋2＝6，两次点数满足要求的有如下几种情况：(1，6)，(2，5)，(2，6)，(3，4)，…，(6，5)，(6，6)，则概率为＝.直接挑战第4关过关需四次点数之和大于24＋4＝20，四次点数满足要求的有如下几种情况：(5，5，5，6)四种，(4，5，6，6)十二种，(5，5，6，6)六种，(3，6，6，6)四种，(4，6，6，6)四种，(5，6，6，6)四种，(6，6，6，6)一种，合计35种，故概率为＝.第3课时　古典概型
学习 目标 1．了解随机事件概率的含义及表示，理解古典概型的概念及特点． 2．了解古典概型的一般求解思路和策略，掌握利用古典概型的概率公式解决简单的概率计算问题．
新知初探基础落实
在试验“抛掷一枚均匀的骰子，观察骰子掷出的点数”中，其样本空间为{1，2，3，4，5，6}，共有6个样本点．由于骰子几何形状的对称性，可以认为每个样本点出现的可能性相等．
在试验“连续抛掷一枚均匀的骰子2次，观察每次掷出的点数”的样本空间中，共有36个样本点，也可以认为每个样本点出现的可能性相等．
在上述两个试验中，样本空间中样本点的个数都是有限的，即试验所对应的样本空间Ω为有限样本空间，而且认为样本空间Ω中的各个样本点出现的可能性相等．在这种情况下，任意一个随机事件发生的可能性该如何表示呢？
思考：抛掷一枚质地均匀硬币的试验中的正面情况，及掷一枚质地均匀骰子的试验中的朝上的面的点数，它们的样本点分别是什么？样本点有哪些共同特征？
在抛掷一枚质地均匀硬币的试验中，样本点有两个，正面朝上和正面朝下．由于质地均匀，因此样本点出现的可能性是相等的．
在掷一枚质地均匀骰子的试验中，样本点有6个，出现的点数为1，2，3，4，5，6．由于质地均匀，因此样本点出现的可能性是相等的．
所以共同特征是：①有限性：样本空间的样本点只有有限个；②等可能性：每个样本点发生的可能性相等．
一、 概念生成
当试验的样本空间的样本点只有有限个，且每个样本点发生的可能性相等时，我们将这个试验称为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型．
问题1：“从所有整数中任取一个数的试验中抽取一个整数”是古典概型吗？
不是，因为有无数个样本点．
问题2：一个班级中有18名男生、22名女生．采用抽签的方式，从中随机选择1名学生，事件A＝“抽到男生”，如何度量事件A发生的可能性大小？
班级中共有40名学生，从中选择1名学生，因为是随机选取的，所以选到每个学生的可能性都相等，这是一个古典概型．
显然，这个随机试验的样本空间中有40个样本点，而事件A＝“抽到男生”包含18个样本点，因此，事件A发生的可能性大小为＝0.45．
问题3：抛掷一枚质地均匀的硬币3次，事件B＝“恰好一次正面朝上”，如何度量事件B发生的可能性大小？
我们用1表示硬币“正面朝上”，用0表示硬币“反面朝上”，则试验的样本空间Ω＝{(1，1，1)，(1，1，0)，(1，0，1)，(0，1，1)，(1，0，0)，(0，1，0)，(0，0，1)，(0，0，0)}，共有8个样本点，且每个样本点是等可能发生的，所以这是一个古典概型．
因为B＝{(1，0，0)，(0，1，0)，(0，0，1)}，所以事件B发生的可能性大小为＝0.375．
请同学阅读课本P235—P240，完成下列填空．
二、 概念表述
1．事件的概率
对随机事件发生__可能性大小__的度量(数值)称为事件的概率，事件A的概率用P(A)表示．
2．古典概型的定义
我们将具有以下两个特征的试验称为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型．
(1) 有限性：样本空间的样本点只有__有限个__；
(2) 等可能性：每个样本点发生的可能性__相等__．
3．古典概型的概率计算公式
一般地，设试验E是古典概型，样本空间Ω包含n个样本点，事件A包含其中的k个样本点，则定义事件A的概率P(A)＝____＝____．其中，n(A)和n(Ω)分别表示事件A和样本空间Ω包含的样本点个数．
三、 概念辨析(判断正误：正确的画“√”，错误的画“×”)
(1) 古典概型中每个事件发生的可能性相等．(　×　)
(2) 古典概型有两个重要条件：①样本空间中样本点总数是有限的，每次试验只出现其中的一个结果；②各个样本点的出现是等可能的．(　√　)
(3) 用古典概型的概率公式可求“在区间[0，5]上任取一点，此点小于2”的概率．(　×　)
(4) 从甲地到乙地共有n条线路，且这n条线路长短各不相同，求某人任选一条路线正好选中最短路线的概率是古典概型问题．(　√　)
典例精讲能力初成
探究1　古典概型的判断
例1　(课本P237例7补充)一个口袋内装有1个白球和编号分别为1，2，3的3个黑球，它们的大小、质地相同，从中任意摸出2个球．
(1) 写出这个试验的样本空间，并判断这个试验是否为古典概型；
【解答】这个试验的样本空间Ω＝{(白，黑1)，(白，黑2)，(白，黑3)，(黑1，黑2)，(黑1，黑3)，(黑2，黑3)}，且每个样本点是等可能出现的，这个试验是古典概型．
(2) 设事件A＝“摸出的2个球都是黑球”，用集合表示事件A，并求P(A)．
【解答】A＝{(黑1，黑2)，(黑1，黑3)，(黑2，黑3)}，P(A)＝＝．
一个试验是否为古典概型，在于这个试验是否具有古典概型的两个特点：有限性和等可能性．并不是所有的试验都是古典概型．
下列三类试验都不是古典概型：
①样本点个数有限，但非等可能．②样本点个数无限，但等可能．③样本点个数无限，也非等可能．
变式　以下试验不是古典概型的有(　C　)
A．从6名同学中，选出4名参加学校文艺会演，每个人被选中的可能性大小
B．同时掷两枚骰子，点数和为7的概率
C．近三天中有一天降雪的概率
D．3个人站成一排，其中甲、乙相邻的概率
【解析】A中，从6名同学中，选出4名参加学校文艺会演，每个人被选中的可能性相等，满足有限性和等可能性，是古典概型；B中，同时掷两枚骰子，点数和为7的事件是随机事件，满足有限性和等可能性，是古典概型；C中，不满足等可能性，不是古典概型；D中，3个人站成一排，其中甲、乙相邻的概率，满足有限性和等可能性，是古典概型．
探究2　古典概型的计算
例2　(课本P237例8)抛掷两枚质地均匀的骰子(标记为Ⅰ号和Ⅱ号)，观察两枚骰子分别可能出现的基本结果．
(1) 写出这个试验的样本空间，并判断这个试验是否为古典概型．
【解答】抛掷一枚骰子有6种等可能的结果，Ⅰ号骰子的每一个结果都可与Ⅱ号骰子的任意一个结果配对，组成掷两枚骰子试验的一个结果．用数字m表示Ⅰ号骰子出现的点数是m，数字n表示Ⅱ号骰子出现的点数是n，则数组(m，n)表示这个试验的一个样本点．因此该试验的样本空间Ω＝{(m，n)|m，n∈{1，2，3，4，5，6}}，其中共有36个样本点．由于骰子的质地均匀，所以各个样本点出现的可能性相等，因此这个试验是古典概型．
(2) 求下列事件的概率：
A＝“两个点数之和是5”；
B＝“两个点数相等”；
C＝“Ⅰ号骰子的点数大于Ⅱ号骰子的点数”．
【解答】因为A＝{(1，4)，(2，3)，(3，2)，(4，1)}，所以n(A)＝4，从而P(A)＝＝＝．因为B＝{(1，1)，(2，2)，(3，3)，(4，4)，(5，5)，(6，6)}，所以n(B)＝6，从而P(B)＝＝＝．因为C＝{(2，1)，(3，1)，(3，2)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)}，所以n(C)＝15，从而P(C)＝＝＝．
求解古典概型“四步”法
变式　班级联欢时，主持人拟出了如下一些节目：跳双人舞、独唱、朗诵等，指定3个男生和2个女生来参与，把5个人分别编号为1，2，3，4，5，其中1，2，3号是男生，4，5号是女生，将每个人的号分别写在5张相同的卡片上，并放入一个箱子中充分混合，每次从中随机地取出一张卡片，取出谁的编号谁就参与表演节目．
(1) 为了选出2人来表演双人舞，连续抽取2张卡片，求取出的2人是一男一女的概率；
【解答】利用树状图可以列出连续抽取2张卡片的样本空间如图所示．由图可知，试验的所有样本点数为20，因为每次都随机抽取，所以这20个样本点出现的可能性是相同的，试验属于古典概型．设A＝“连续抽取2人是一男一女”，由列出的样本空间可以看出，A的样本点有12个，所以P(A)＝＝．
(2) 为了选出2人分别表演独唱和朗诵，抽取并观察第一张卡片后，又放回箱子中，充分混合后再从中抽取第二张卡片，求独唱和朗诵由同一个人表演的概率．
【解答】有放回地连续抽取2张卡片，样本空间可以用下表列出．
第二次抽取 第一次抽取 1 2 3 4 5
1 (1，1) (1，2) (1，3) (1，4) (1，5)
2 (2，1) (2，2) (2，3) (2，4) (2，5)
3 (3，1) (3，2) (3，3) (3，4) (3，5)
4 (4，1) (4，2) (4，3) (4，4) (4，5)
5 (5，1) (5，2) (5，3) (5，4) (5，5)
试验的所有样本点个数为25，并且这25个样本点出现的可能性是相同的，试验属于古典概型．设B＝“独唱和朗诵由同一个人表演”，由上表可以看出，B的样本点共有5个，因此P(B)＝．
探究3　“有放回”与“无放回”的概率问题
例3　一个袋中装有四个形状、大小完全相同的球，球的编号分别为1，2，3，4．
(1) 从袋中随机取两个球，求取出的球的编号之和不大于4的概率；
【解答】从袋中随机取两个球，其一切可能的结果组成的基本事件有1和2，1和3，1和4，2和3，2和4，3和4，共6个．从袋中取出的两个球的编号之和不大于4的事件有1和2，1和3，共2个．因此所求事件的概率P＝＝．
(2) 先从袋中随机取一个球，记该球的编号为m，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，记该球的编号为n，求n＜m＋2的概率．
【解答】先从袋中随机取一个球，记下编号为m，放回后，再从袋中随机取一个球，记下编号为n，其一切可能的结果(m，n)有(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，共16个．满足条件n＜m＋2的有(1，1)，(1，2)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，共13个．所以满足条件n＜m＋2的事件的概率为．
解决放回与不放回问题的注意点
(1) 关于不放回抽样，计算基本事件个数时，可以看作是没有顺序的，元素是不能重复的．
(2) 关于有放回抽样，计算基本事件个数时，可以看作是有顺序的，元素可以重复．
变式　(课本P238例9)袋子中有5个大小质地完全相同的球，其中2个红球、3个黄球，从中不放回地依次随机摸出2个球，求下列事件的概率：
(1) A＝“第一次摸到红球”；
(2) B＝“第二次摸到红球”；
(3) AB＝“两次都摸到红球”．
【解答】将两个红球编号为1，2，三个黄球编号为3，4，5．第一次摸球时有5种等可能的结果，对应第一次摸球的每个可能结果，第二次摸球时都有4种等可能的结果．将两次摸球的结果配对，组成20种等可能的结果如下表．
第一次 第二次
1 2 3 4 5
1 × (1，2) (1，3) (1，4) (1，5)
2 (2，1) × (2，3) (2，4) (2，5)
3 (3，1) (3，2) × (3，4) (3，5)
4 (4，1) (4，2) (4，3) × (4，5)
5 (5，1) (5，2) (5，3) (5，4) ×
(1) 第一次摸到红球的可能结果有8种(表中第1，2行)，即A＝{(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(2，1)，(2，3)，(2，4)，(2，5)}，所以P(A)＝．
(2) 第二次摸到红球的可能结果也有8种(表中第1，2列)，即B＝{(2，1)，(3，1)，(4，1)，(5，1)，(1，2)，(3，2)，(4，2)，(5，2)}，所以P(B)＝．
(3) 事件AB包含2个可能结果，即AB＝{(1，2)，(2，1)}，所以P(AB)＝．
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1．有四条线段的长度分别是1，3，5，7，从这四条线段中任取三条，则所取出的三条线段能构成一个三角形的概率是(　A　)
A．　 B．
C．　 D．
【解析】从长度分别是1，3，5，7的四条线段中任取三条，试验的样本空间Ω＝{(1，3，5)，(1，3，7)，(1，5，7)，(3，5，7)}，共4个样本点．设A＝“所取出的三条线段能构成一个三角形”，则A＝{(3，5，7)}，所以P(A)＝．
2．从甲、乙等5名学生中随机选出2人，则甲被选中的概率为(　B　)
A．　 B．
C．　 D．
【解析】设5名学生分别为甲、乙、丙、丁、戊，从甲、乙、丙、丁、戊5人中选2人，试验的样本空间Ω＝{(甲，乙)，(甲，丙)，(甲，丁)，(甲，戊)，(乙，丙)，(乙，丁)，(乙，戊)，(丙，丁)，(丙，戊)，(丁，戊)}，共10个样本点．设A＝“甲被选中”，则A＝{(甲，乙)，(甲，丙)，(甲，丁)，(甲，戊)}，共4个样本点，所以P(A)＝＝．
3．将一枚质地均匀的骰子(一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具)先后抛掷2次，则出现向上的点数之和大于9的概率是(　C　)
A．　 B．
C．　 D．
【解析】抛掷一枚骰子两次，样本点有36个，其中符合题意的有(4，6)，(5，5)，(5，6)，(6，4)，(6，5)，(6，6)，共6个样本点，故所求概率为＝．
4．从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为(　D　)
A．　 B．
C．　 D．
【解析】从5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，样本点总数为25，第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的样本点的个数为10，故所求概率P＝＝．
5．(课本P241练习3)从0~9这10个数中随机选择一个数，求下列事件的概率：
(1) 这个数平方的个位数字为1；
(2) 这个数的四次方的个位数字为1．
【解答】从0~9这10个数中随机选择一个数，共有10种可能，其样本空间可表示为Ω＝{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}．
(1) 若这个数平方的个位数字为1，则该数为1或9，共2个，故其概率为＝．
(2) 若这个数的四次方的个位数字为1，则该数平方的个位数为1或9，所以该数为1，3，7，9，共4个，故其概率为＝．

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