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第十章
10.1　随机事件与概率
概　率
第4课时　概率的基本性质
学习 目标 1．理解概率的6条基本性质，重点掌握性质3、性质4、性质6及其公式的应用条件．
2．掌握利用互斥事件和对立事件的概率公式解决与古典概型有关的问题．
新知初探·基础落实
一般而言，给出了一个数学对象的定义，就可以从定义出发研究这个数学对象的性质．例如，在给出指数函数的定义后，我们从定义出发研究了指数函数的定义域、值域、单调性、特殊点的函数值等性质，这些性质在解决问题时可以发挥很大的作用．类似地，在给出了概率的定义后，我们来研究概率的基本性质．
一、 概念生成
问题1：在掷骰子试验中，设事件A＝“点数小于7”，事件B＝“点数大于7”，事件C＝“点数大于1”．以上事件的概率是多少？你认为任意事件的概率的取值范围是多少？
P(A)＝1，P(B)＝0，P(C)＝．任意事件的概率的取值范围为[0，1]．
问题2：在掷骰子试验中，设事件D＝“出现1点”，事件E＝“出现2点”，事件F＝“出现的点数小于3”．事件D与E有什么关系？事件D，E，F的概率分别是多少？它们的概率又有怎样的关系？
事件D与E互斥．P(D)＝，P(E)＝，P(F)＝．P(D)＋P(E)＝P(F)．
问题3：在掷骰子试验中，设事件H＝“出现的点数为奇数”，事件I＝“出现的点数为偶数”，事件H与事件I有什么关系？它们的概率又有什么关系？
事件H与事件I是对立事件．P(H)＝，P(I)＝，P(H)＋P(I)＝1．
问题4：在掷骰子试验中，事件E＝“出现2点”与事件I＝“出现的点数为偶数”有什么关系？它们的概率又有什么关系？
E I．P(E)＜P(I)，P(E∪I)＝P(E)＋P(I)－P(EI)．
请同学阅读课本P241—P244，完成下列填空．
二、 概念表述
1．概率的基本性质
性质1 对任意的事件A，都有P(A)______0
性质2 必然事件的概率为_____，不可能事件的概率为_____，即P(Ω)＝_____，P( )＝_____
性质3 如果事件A与事件B互斥，那么P(A∪B)＝______________
≥
1
0
1
0
P(A)＋P(B)
性质4 如果事件A与事件B互为对立事件，那么P(B)＝_____________，P(A)＝____________
性质5 如果A B，那么P(A)______P(B)
性质6 设A，B是一个随机试验中的两个事件，我们有P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－____________
1－P(A)
1－P(B)
≤
P(A∩B)
2．拓展
如果事件A1，A2，…，Am两两互斥，那么事件A1∪A2∪…∪Am发生的概率如何计算？
提示：等于这m个事件分别发生的概率之和，即P(A1∪A2∪…∪Am)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(Am)．
三、 概念辨析(判断正误：正确的画“√”，错误的画“×”)
(1) 若A，B为两个事件，则P(A＋B)＝P(A)＋P(B)． (　　)
(2) 若事件A，B，C两两互斥，则P(A)＋P(B)＋P(C)＝1． (　　)
(3) 若事件A与B互斥，则有P(A)＝1－P(B)． (　　)
(4) 如果事件A与事件B互斥，那么P(A)＋P(B)≤1． (　　)
×
×
×
√
典例精讲·能力初成
探究
1
互斥事件概率加法公式的应用
　　　(课本P243例11)从一副不包含大小王牌的52张扑克牌中随机抽取一张，设事件A＝“抽到红桃”，事件B＝“抽到方块”，P(A)＝P(B)＝．那么
(1) C＝“抽到红花色”，求P(C)；
1
【解答】
　　　　因为C＝A∪B，且A与B不会同时发生，所以A与B是互斥事件．根据互斥事件的概率加法公式，得P(C)＝P(A)＋P(B)＝＋＝．
　　　(课本P243例11)从一副不包含大小王牌的52张扑克牌中随机抽取一张，设事件A＝“抽到红桃”，事件B＝“抽到方块”，P(A)＝P(B)＝．那么
(2) D＝“抽到黑花色”，求P(D)．
1
【解答】
　　　　因为C与D互斥，又因为C∪D是必然事件，所以C与D互为对立事件．因此P(D)＝1－P(C)＝1－＝．
互斥事件的概率的加法公式的关注点
(1) 公式：P(A∪B)＝P(A)＋P(B)；
(2) 条件：A，B两事件是互斥事件；
(3) 目的：求互斥的两个事件的并事件的概率；
(4) 推广：公式可推广为求有限个互斥事件的并事件的概率．
变式　(1) 抛掷一枚质地均匀的骰子，观察出现的点，设事件A＝“出现1点”，B＝“出现2点”．已知P(A)＝P(B)＝，求出现1点或2点的概率．
【解答】
　　　　设事件C＝“出现1点或2点”．因为事件A，B是互斥事件，由C＝A＋B，可得P(C)＝P(A)＋P(B)＝＋＝，所以出现1点或2点的概率是．
变式　(2) 盒子里装有6只红球，4只白球，从中任取3只球．设事件A＝“3只球中有1只红球，2只白球”，事件B＝“3只球中有2只红球，1只白球”．已知P(A)＝，P(B)＝，求这3只球中既有红球又有白球的概率．
【解答】
　　　　因为A，B是互斥事件，所以P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝＋＝，所以这3只球中既有红球又有白球的概率是．
探究
2
对立事件概率公式的应用
判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”．
(1) 若事件 A，B 满足 P(A)＋P(B)＝1，则 A，B 是对立事件． (　　)
(2) 在同一试验中的两个事件A与B，一定有P(A∪B)＝P(A)＋P(B)． (　　)
(3) 互为对立事件一定是互斥事件． (　　)
(4) 事件A与B的和事件的概率一定大于事件A的概率． (　　)
×
×
√
×
　　　袋中有红、黄、白3种颜色的球各1个，从中每次任取1个，有放回地抽取3次．
(1) 求3个球颜色全相同的概率；
【解答】
　　　　“3个球颜色全相同”有三种情况：3个球全是红球(事件A)，3个球全是黄球(事件B)，3个球全是白球(事件C)，故“3个球颜色全相同”这个事件可记为A＋B＋C．由于事件A，B，C不可能同时发生，因此它们是互斥事件．由于红、黄、白球个数一样，有放回地抽取3次，共有27种结果，故P(A)＝P(B)＝P(C)＝，则P(A＋B＋C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝．故3个球颜色全相同的概率为．
2
　　　袋中有红、黄、白3种颜色的球各1个，从中每次任取1个，有放回地抽取3次．
(2) 求3个球颜色不全相同的概率．
【解答】
　　　　记事件D＝“3个球颜色不全相同”，则事件＝“3个球颜色全相同”，显然事件D与是对立事件，且P()＝P(A＋B＋C)＝，所以P(D)＝1－P()＝1－＝．故3个球颜色不全相同的概率为．
2
公式P(A)＝1－P()的应用说明
(1) 当直接求某一事件的概率较为复杂或根本无法求时，常常使用该公式转化为求其对立事件的概率．
(2) 该公式的使用实际是运用逆向思维(正难则反)，比较适合含有“至多”“至少”“最少”等关键词语型题目．
探究
3
互斥、对立事件与古典概型的综合应用
　　　(课本P244例12)为了推广一种新饮料，某饮料生产企业开展了有奖促销活动：将6罐这种饮料装一箱，每箱中都放置2罐能够中奖的饮料．若从一箱中随机抽出2罐，能中奖的概率为多少？
3
【解答】
　　　　设事件A＝“中奖”，事件A1＝“第一罐中奖”，事件A2＝“第二罐中奖”，那么事件A1A2＝“两罐都中奖”，A1＝“第一罐中奖，第二罐不中奖”，A2＝“第一罐不中奖，第二罐中奖”，且A＝A1A2∪A1∪A2．因为A1A2，A1A2两两互斥，所以根据互斥事件的概率加法公式，可得P(A)＝P(A1A2)＋P(A1)＋P(A2)．我们借助树状图(如图)来求相应事件的样本点数．
方法一：可以得到，样本空间包含的样本点个数为n(Ω)＝6×5＝30，且每个样本点都是等可能的．因为n(A1A2)＝2，n(A1)＝8，n(A2)＝8，所以P(A)＝＋＋＝＝．
方法二：上述解法需要分若干种情况计算概率．注意到事件A的对立事件是“不中奖”，即“两罐都不中奖”，由于＝“两罐都不中奖”，而n()＝4×3＝12，所以P()＝＝．因此P(A)＝1－P()＝1－＝．
求复杂事件的概率通常有两种方法
(1) 将所求事件转化成几个彼此互斥的事件的和事件．
(2) 若将一个较复杂的事件转化为几个互斥事件的和事件时，需要分类太多，而其对立面的分类较少，则可考虑利用对立事件的概率公式，即“正难则反”，它常用来求“至少……”或“至多……”型事件的概率．
变式1　一个盒子里装有三张卡片，分别标记有数字1，2，3，这三张卡片除标记的数字外完全相同．随机有放回地抽取3次，每次抽取1张，将抽取的卡片上的数字依次记为a，b，c．
(1) 求“抽取的卡片上的数字满足a＋b＝c”的概率；
【解答】
　　　　由题意知，试验的样本空间Ω＝{(1，1，1)，(1，1，2)，(1，1，3)，(1，2，1)，(1，2，2)，(1，2，3)，(1，3，1)，(1，3，2)，(1，3，3)，(2，1，1)，(2，1，2)，(2，1，3)，(2，2，1)，(2，2，2)，(2，2，3)，(2，3，1)，(2，3，2)，(2，3，3)，(3，1，1)，(3，1，2)，(3，1，3)，(3，2，1)，(3，2，2)，(3，2，3)，(3，3，1)，(3，3，2)，(3，3，3)}，共27个样本点．设“抽取的卡片上的数字满足a＋b＝c”为事件A，则A＝{(1，1，2)，(1，2，3)，(2，1，3)}，共3个样本点，所以P(A)＝＝．故“抽取的卡片上的数字满足a＋b＝c”的概率为．
变式1　一个盒子里装有三张卡片，分别标记有数字1，2，3，这三张卡片除标记的数字外完全相同．随机有放回地抽取3次，每次抽取1张，将抽取的卡片上的数字依次记为a，b，c．
(2) 求“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”的概率．
【解答】
　　　　设事件B＝“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”，则事件B的对立事件包括的样本点有(1，1，1)，(2，2，2)，(3，3，3)，共3个，所以P(B)＝1－P()＝1－＝．故“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”的概率为．
变式2　某学校的篮球队、羽毛球队、乒乓球队各有10名队员，某些队员不止参加了一支球队，具体情况如图所示，现从中随机抽取一名队员．
(1) 求该队员只属于一支球队的概率；
【解答】
　　　　令抽取的一名队员只属于篮球队、羽毛球队、乒乓球队分别为事件A，B，C．由图知3支球队共有球员20名，则P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝．令D＝“抽取一名队员，该队员只属于一支球队”，则D＝A＋B＋C．因为事件A，B，C两两互斥，所以P(D)＝P(A＋B＋C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝＋＋＝．
变式2　某学校的篮球队、羽毛球队、乒乓球队各有10名队员，某些队员不止参加了一支球队，具体情况如图所示，现从中随机抽取一名队员．
(2) 求该队员最多属于两支球队的概率．
【解答】
　　　　令E＝“抽取一名队员，该队员最多属于两支球队”，则＝“抽取一名队员，该队员属于3支球队”，所以P(E)＝1－P()＝1－＝．
随堂内化·及时评价
1．某校高一(1)班50名学生参加1 500 m体能测试，其中23人成绩为A，其余人成绩都是B或C．从这50名学生中任抽1人，若抽得B的概率是0.4，则抽得C的概率是 (　　)
A．0.14　 B．0.20
C．0.40　 D．0.60
【解析】
　　　　由于成绩为A的有23人，故抽到C的概率为1－－0.4＝0.14．
A
2．甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是，甲获胜的概率是，则甲不输的概率为 (　　)
A．　 B．
C．　 D．
【解析】
　　　　因为甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是，甲获胜的概率是，所以甲不输的概率为P＝＋＝．
A
3．已知随机事件A和B互斥，且P(A∪B)＝0.7，P(B)＝0.2，则P()＝ (　　)
A．0.5　 B．0.1
C．0.7　 D．0.8
【解析】
　　　　因为事件A和B互斥，所以P(A∪B)＝P(B)＋P(A)＝0.7，则P(A)＝0.7－0.2＝0.5，故P()＝1－P(A)＝0.5．
A
4．(多选)一个人连续射击2次，则下列各事件关系中，说法正确的是 (　 　)
A．事件“两次均击中”与事件“至少一次击中”互为对立事件
B．事件“恰有一次击中”与事件“两次均击中”互为互斥事件
C．事件“第一次击中”与事件“第二次击中”互为互斥事件
D．事件“两次均未击中”与事件“至少一次击中”互为对立事件
【解析】
　　　　对于A，事件“至少一次击中”包含“恰有一次击中”和“两次均击中”，所以不是对立事件，A错误；对于B，事件“恰有一次击中”是“一次击中、一次不中”，它与事件“两次均击中”是互斥事件，B正确；对于C，事件“第一次击中”包含“第一次击中、第二次击中”和“第一次击中、第二次不中”，所以与事件“第二次击中”不是互斥事件，C错误；对于D，事件“两次均未击中”的对立事件是“至少一次击中”，D正确．
BD
5．(课本P245练习1)已知P(A)＝0.5，P(B)＝0.3．
(1) 如果B A，那么P(A∪B)＝_______，P(AB)＝_______；
(2) 如果A，B互斥，那么P(A∪B)＝_______，P(AB)＝_____．
【解析】
　　　　(1) 如果B A，那么A∪B＝A，A∩B＝B，所以P(A∪B)＝P(A)＝0.5，P(AB)＝P(B)＝0.3．
(2) 如果A，B互斥，那么A∩B＝ ，所以P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.5＋0.3＝0.8，P(AB)＝0．
0.5
0.3
0.8
0第4课时　概率的基本性质
一、 单项选择题
1．从一副混合后的扑克牌(不含大小王)中，随机抽取1张，设事件A＝“抽得红桃K”，事件B＝“抽得黑桃”，则P(A∪B)＝(　　)
A． B．
C． D．
2．根据湖北某医疗所的调查，某地区居民血型的分布为O型52%，A型15%，AB型5%，B型28%.现有一血型为A型的病人需要输血，若在该地区任选一人，则此人能为病人输血的概率为(　　)
A．67% B．85%
C．48% D．15%
3．已知事件A，B，C两两互斥，若P(A)＝，P(C)＝，P(A∪B)＝，则P(B∪C)＝(　　)
A． B．
C． D．
4．口袋中装有编号为1，2的2个红球和编号为1，2，3，4，5的5个黑球，小球除颜色、编号外，形状、大小完全相同，现从中取出1个小球，记事件A＝“取到的小球的编号为2”，事件B＝“取到的小球是黑球”，则下列说法正确的是(　　)
A．A与B互斥 B．A与B对立
C．P(A＋B)＝ D．P(AB)＝
二、 多项选择题
5．利用简单随机抽样的方法抽查某工厂的100件产品，其中一等品有20件，合格品有70件，其余为不合格品，现在这个工厂随机抽查一件产品，设事件A＝“该产品是一等品”，B＝“该产品是合格品”，C＝“该产品是不合格品”，则下列结果正确的是(　　)
A．P(B)＝ B．P(A∪B)＝
C．P(A∩B)＝0 D．P(A∪B)＝P(C)
(第6题)
6．某学校成立了数学、英语、音乐3个课外兴趣小组，3个小组分别有39，32，33个成员，一些成员参加了不止一个小组，具体情况如图所示.现随机选取一个成员，则(　　)
A．他只属于音乐小组的概率为
B．他只属于英语小组的概率为
C．他属于至少2个小组的概率为
D．他属于不超过2个小组的概率为
三、 填空题
7．保险柜的密码由0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中的四个数字组成，假设一个人记不清自己的保险柜密码，只记得密码全部由奇数组成且按照递增顺序排列，则最多输入2次就能开锁的概率是________．
8．一个口袋内装有大小相同的红球、白球和黑球，从中摸出一个球，摸出红球或白球的概率为0.58，摸出红球或黑球的概率为0.62，那么摸出红球的概率为________．
四、 解答题
9．在数学考试中，小明的成绩在90分以上的概率是0.18，80~89分的概率是0.51，70~79分的概率是0.15，60~69分的概率是0.09，在60分以下的概率是0.07.
(1) 求小明在数学考试中取得80分以上成绩的概率；
(2) 求小明考试及格的概率.
10．(1) 在一个袋子中放入3个白球、1个红球，摇匀后随机摸球，摸出的球不放回袋中，求第1次或第2次摸出红球的概率；
(2) 在一个袋子中放入3个白球、1个红球，摇匀后随机摸球，摸出的球放回袋中，连续摸2次，求第1次或第2次摸出的球是红球的概率.
11．已知A，B，C，D四个开关控制着1，2，3，4号四盏灯，只要打开开关A则1，4号灯就会亮，只要打开开关B则2，3号灯就会亮，只要打开开关C则3，4号灯就会亮，只要打开开关D则2，4号灯就会亮.开始时，A，B，C，D四个开关均未打开，四盏灯也都没亮.现随意打开A，B，C，D这四个开关中的两个不同的开关，则其中2号灯灯亮的概率为(　　)
(第11题)
A． B．
C． D．
12．从装有若干个红球和白球(除颜色外其余均相同)的黑色布袋中，随机不放回地摸球两次，每次摸出一个球.若事件“两个球都是红球”的概率为，“两个球都是白球”的概率为，则“两个球颜色不同”的概率为(　　)
A． B．
C． D．
13．某网站登录密码由四位数字组成，某同学将四个数字0，3，2，5编排了一个顺序作为密码.由于长时间未登录该网站，他忘记了密码.若登录时随机输入由0，3，2，5组成的一个密码，则该同学不能顺利登录的概率是(　　)
A． B．
C． D．
14．三个臭皮匠顶上一个诸葛亮，能顶得上吗？在一次有关“三国演义”的知识竞赛中，三个臭皮匠A，B，C能答对题目的概率分别为P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝，诸葛亮D能答对题目的概率为P(D)＝.如果将三个臭皮匠A，B，C组成一组与诸葛亮D比赛，答对题目多者为胜方，问：哪方胜？
第4课时　概率的基本性质
基础打底·熟练掌握
1．A　2．A
3．B　【解析】 因为事件A，B，C两两互斥，所以P(B)＝P(A∪B)－P(A)＝－＝，所以P(B∪C)＝P(B)＋P(C)＝＋＝.
4．C　5．ABC　
6．CD　【解析】 由题图知参加兴趣小组的共有6＋7＋8＋8＋10＋10＋11＝60(人)，只属于数学、英语、音乐小组的人数分别为10，6，8，故只属于音乐小组的概率为＝，只属于英语小组的概率为＝，“至少2个小组”包含“2个小组”和“3个小组”两种情况，故他属于至少2个小组的概率为＝，“不超过2个小组”包含“1个小组”和“2个小组”，其对立事件是“3个小组”，故他属于不超过2个小组的概率是P＝1－＝.
7．　【解析】 密码全部由奇数组成且按照递增顺序排列的结果有：(1，3，5，7)，(1，3，5，9)，(1，3，7，9)，(1，5，7，9)，(3，5，7，9)，共5个，它们等可能，记“最多输入2次就能开锁”为事件A，“输入1次能开锁”为事件A1，“第2次输入才能开锁”为事件A2，事件A是事件A1和事件A2的和，且它们互斥，P(A1)＝，P(A2)＝，则P(A)＝P(A1)＋P(A2)＝，故最多输入2次就能开锁的概率是.
8．0.2
9．【解答】 记小明的成绩“在90分以上”“80~89分”“70~79分”“60~69分”分别为事件B，C，D，E，这四个事件彼此互斥.
(1) 小明成绩在80分以上的概率为P(B∪C)＝P(B)＋P(C)＝0.18＋0.51＝0.69.
(2) 方法一：小明考试及格的概率为P(B∪C∪D∪E)＝P(B)＋P(C)＋P(D)＋P(E)＝0.18＋0.51＋0.15＋0.09＝0.93.
方法二：因为小明考试不及格的概率为0.07，所以小明考试及格的概率为1－0.07＝0.93.
10．【解答】 (1) 记事件A＝“第1次或第2次摸出红球”.摸两次球，试验的样本空间Ω＝｛(白1，白2)，(白1，白3)，(白1，红)，(白2，白1)，(白2，白3)，(白2，红)，(白3，白1)，(白3，白2)，(白3，红)，(红，白1)，(红，白2)，(红，白3)｝，共12个样本点.A＝｛(白1，红)，(白2，红)，(白3，红)，(红，白1)，(红，白2)，(红，白3)｝，共6个样本点，所以P(A)＝.
(2) 把第1次、第2次摸球的结果列举出来，除了上题中列举的12种以外，由于放回，又会增加4个样本点，即(白1，白1)，(白2，白2)，(白3，白3)，(红，红)，共有16个样本点.事件A也增加了(红，红)这个样本点，所以P(A)＝.
能力进阶·融会贯通
11．D　【解析】 由题意，随意打开A，B，C，D这四个开关中的两个不同的开关，共有AB，AC，AD，BC，BD，CD 6种，其中只有打开AC开关时2号灯不会亮，其余情况2号灯均会亮，所以2号灯灯亮的概率为1－＝.
12．C　【解析】 设“两个球都是红球”为事件A，“两个球都是白球”为事件B，“两个球颜色不同”为事件C，则P(A)＝，P(B)＝，且＝A∪B.因为A，B，C两两互斥，所以P(C)＝1－P()＝1－P(A∪B)＝1－［P(A)＋P(B)］＝1－－＝.
13．B　【解析】 设事件A＝“输入由0，3，2，5组成的一个四位数字，但不是密码”，则其对立事件为“输入由0，3，2，5组成的一个四位数字，恰是密码”.四个数字0，3，2，5随机编排顺序，如图，所有可能结果可用树状图表示.
(第13题)
从树状图可以看出，将四个数字0，3，2，5随机编排顺序，共有24种可能的结果，即样本空间共含有24个样本点，且24个样本点出现的结果是等可能的，所以P()＝，则P(A)＝1－P()＝，即登录时随机输入由0，3，2，5组成的一个密码，该同学不能顺利登录的概率为.
14．【解答】 如果三个臭皮匠A，B，C能答对的题目彼此互斥(他们能答对的题目不重复)，则P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝>P(D)＝，故三个臭皮匠方为胜方，即三个臭皮匠顶上一个诸葛亮.如果三个臭皮匠A，B，C能答对的题目不互斥，则三个臭皮匠未必能顶上一个诸葛亮.第4课时　概率的基本性质
学习 目标 1．理解概率的6条基本性质，重点掌握性质3、性质4、性质6及其公式的应用条件． 2．掌握利用互斥事件和对立事件的概率公式解决与古典概型有关的问题．
新知初探基础落实
一般而言，给出了一个数学对象的定义，就可以从定义出发研究这个数学对象的性质．例如，在给出指数函数的定义后，我们从定义出发研究了指数函数的定义域、值域、单调性、特殊点的函数值等性质，这些性质在解决问题时可以发挥很大的作用．类似地，在给出了概率的定义后，我们来研究概率的基本性质．
一、 概念生成
问题1：在掷骰子试验中，设事件A＝“点数小于7”，事件B＝“点数大于7”，事件C＝“点数大于1”．以上事件的概率是多少？你认为任意事件的概率的取值范围是多少？
P(A)＝1，P(B)＝0，P(C)＝．任意事件的概率的取值范围为[0，1]．
问题2：在掷骰子试验中，设事件D＝“出现1点”，事件E＝“出现2点”，事件F＝“出现的点数小于3”．事件D与E有什么关系？事件D，E，F的概率分别是多少？它们的概率又有怎样的关系？
事件D与E互斥．P(D)＝，P(E)＝，P(F)＝．P(D)＋P(E)＝P(F)．
问题3：在掷骰子试验中，设事件H＝“出现的点数为奇数”，事件I＝“出现的点数为偶数”，事件H与事件I有什么关系？它们的概率又有什么关系？
事件H与事件I是对立事件．P(H)＝，P(I)＝，P(H)＋P(I)＝1．
问题4：在掷骰子试验中，事件E＝“出现2点”与事件I＝“出现的点数为偶数”有什么关系？它们的概率又有什么关系？
E I．P(E)＜P(I)，P(E∪I)＝P(E)＋P(I)－P(EI)．
请同学阅读课本P241—P244，完成下列填空．
二、 概念表述
1．概率的基本性质
性质1 对任意的事件A，都有P(A)__≥__0
性质2 必然事件的概率为__1__，不可能事件的概率为__0__，即P(Ω)＝__1__，P( )＝__0__
性质3 如果事件A与事件B互斥，那么P(A∪B)＝__P(A)＋P(B)__
性质4 如果事件A与事件B互为对立事件，那么P(B)＝__1－P(A)__，P(A)＝__1－P(B)__
性质5 如果A B，那么P(A)__≤__P(B)
性质6 设A，B是一个随机试验中的两个事件，我们有P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－__P(A∩B)__
2．拓展
如果事件A1，A2，…，Am两两互斥，那么事件A1∪A2∪…∪Am发生的概率如何计算？
提示：等于这m个事件分别发生的概率之和，即P(A1∪A2∪…∪Am)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(Am)．
三、 概念辨析(判断正误：正确的画“√”，错误的画“×”)
(1) 若A，B为两个事件，则P(A＋B)＝P(A)＋P(B)．(　×　)
(2) 若事件A，B，C两两互斥，则P(A)＋P(B)＋P(C)＝1．(　×　)
(3) 若事件A与B互斥，则有P(A)＝1－P(B)．(　×　)
(4) 如果事件A与事件B互斥，那么P(A)＋P(B)≤1．(　√　)
典例精讲能力初成
探究1　互斥事件概率加法公式的应用
例1　(课本P243例11)从一副不包含大小王牌的52张扑克牌中随机抽取一张，设事件A＝“抽到红桃”，事件B＝“抽到方块”，P(A)＝P(B)＝．那么
(1) C＝“抽到红花色”，求P(C)；
【解答】因为C＝A∪B，且A与B不会同时发生，所以A与B是互斥事件．根据互斥事件的概率加法公式，得P(C)＝P(A)＋P(B)＝＋＝．
(2) D＝“抽到黑花色”，求P(D)．
【解答】因为C与D互斥，又因为C∪D是必然事件，所以C与D互为对立事件．因此P(D)＝1－P(C)＝1－＝．
互斥事件的概率的加法公式的关注点
(1) 公式：P(A∪B)＝P(A)＋P(B)；
(2) 条件：A，B两事件是互斥事件；
(3) 目的：求互斥的两个事件的并事件的概率；
(4) 推广：公式可推广为求有限个互斥事件的并事件的概率．
变式　(1) 抛掷一枚质地均匀的骰子，观察出现的点，设事件A＝“出现1点”，B＝“出现2点”．已知P(A)＝P(B)＝，求出现1点或2点的概率．
【解答】设事件C＝“出现1点或2点”．因为事件A，B是互斥事件，由C＝A＋B，可得P(C)＝P(A)＋P(B)＝＋＝，所以出现1点或2点的概率是．
(2) 盒子里装有6只红球，4只白球，从中任取3只球．设事件A＝“3只球中有1只红球，2只白球”，事件B＝“3只球中有2只红球，1只白球”．已知P(A)＝，P(B)＝，求这3只球中既有红球又有白球的概率．
【解答】因为A，B是互斥事件，所以P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝＋＝，所以这3只球中既有红球又有白球的概率是．
探究2　对立事件概率公式的应用
判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”．
(1) 若事件 A，B 满足 P(A)＋P(B)＝1，则 A，B 是对立事件．(　×　)
(2) 在同一试验中的两个事件A与B，一定有P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．(　×　)
(3) 互为对立事件一定是互斥事件．(　√　)
(4) 事件A与B的和事件的概率一定大于事件A的概率．(　×　)
例2　袋中有红、黄、白3种颜色的球各1个，从中每次任取1个，有放回地抽取3次．
(1) 求3个球颜色全相同的概率；
【解答】“3个球颜色全相同”有三种情况：3个球全是红球(事件A)，3个球全是黄球(事件B)，3个球全是白球(事件C)，故“3个球颜色全相同”这个事件可记为A＋B＋C．由于事件A，B，C不可能同时发生，因此它们是互斥事件．由于红、黄、白球个数一样，有放回地抽取3次，共有27种结果，故P(A)＝P(B)＝P(C)＝，则P(A＋B＋C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝．故3个球颜色全相同的概率为．
(2) 求3个球颜色不全相同的概率．
【解答】记事件D＝“3个球颜色不全相同”，则事件＝“3个球颜色全相同”，显然事件D与是对立事件，且P()＝P(A＋B＋C)＝，所以P(D)＝1－P()＝1－＝．故3个球颜色不全相同的概率为．
公式P(A)＝1－P()的应用说明
(1) 当直接求某一事件的概率较为复杂或根本无法求时，常常使用该公式转化为求其对立事件的概率．
(2) 该公式的使用实际是运用逆向思维(正难则反)，比较适合含有“至多”“至少”“最少”等关键词语型题目．
探究3　互斥、对立事件与古典概型的综合应用
例3　(课本P244例12)为了推广一种新饮料，某饮料生产企业开展了有奖促销活动：将6罐这种饮料装一箱，每箱中都放置2罐能够中奖的饮料．若从一箱中随机抽出2罐，能中奖的概率为多少？
【解答】设事件A＝“中奖”，事件A1＝“第一罐中奖”，事件A2＝“第二罐中奖”，那么事件A1A2＝“两罐都中奖”，A1＝“第一罐中奖，第二罐不中奖”，A2＝“第一罐不中奖，第二罐中奖”，且A＝A1A2∪A1∪A2．因为A1A2，A1A2两两互斥，所以根据互斥事件的概率加法公式，可得P(A)＝P(A1A2)＋P(A1)＋P(A2)．我们借助树状图(如图)来求相应事件的样本点数．
方法一：可以得到，样本空间包含的样本点个数为n(Ω)＝6×5＝30，且每个样本点都是等可能的．因为n(A1A2)＝2，n(A1)＝8，n(A2)＝8，所以P(A)＝＋＋＝＝．
方法二：上述解法需要分若干种情况计算概率．注意到事件A的对立事件是“不中奖”，即“两罐都不中奖”，由于＝“两罐都不中奖”，而n()＝4×3＝12，所以P()＝＝．因此P(A)＝1－P()＝1－＝．
求复杂事件的概率通常有两种方法
(1) 将所求事件转化成几个彼此互斥的事件的和事件．
(2) 若将一个较复杂的事件转化为几个互斥事件的和事件时，需要分类太多，而其对立面的分类较少，则可考虑利用对立事件的概率公式，即“正难则反”，它常用来求“至少……”或“至多……”型事件的概率．
变式1　一个盒子里装有三张卡片，分别标记有数字1，2，3，这三张卡片除标记的数字外完全相同．随机有放回地抽取3次，每次抽取1张，将抽取的卡片上的数字依次记为a，b，c．
(1) 求“抽取的卡片上的数字满足a＋b＝c”的概率；
【解答】由题意知，试验的样本空间Ω＝{(1，1，1)，(1，1，2)，(1，1，3)，(1，2，1)，(1，2，2)，(1，2，3)，(1，3，1)，(1，3，2)，(1，3，3)，(2，1，1)，(2，1，2)，(2，1，3)，(2，2，1)，(2，2，2)，(2，2，3)，(2，3，1)，(2，3，2)，(2，3，3)，(3，1，1)，(3，1，2)，(3，1，3)，(3，2，1)，(3，2，2)，(3，2，3)，(3，3，1)，(3，3，2)，(3，3，3)}，共27个样本点．设“抽取的卡片上的数字满足a＋b＝c”为事件A，则A＝{(1，1，2)，(1，2，3)，(2，1，3)}，共3个样本点，所以P(A)＝＝．故“抽取的卡片上的数字满足a＋b＝c”的概率为．
(2) 求“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”的概率．
【解答】设事件B＝“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”，则事件B的对立事件包括的样本点有(1，1，1)，(2，2，2)，(3，3，3)，共3个，所以P(B)＝1－P()＝1－＝．故“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”的概率为．
变式2　某学校的篮球队、羽毛球队、乒乓球队各有10名队员，某些队员不止参加了一支球队，具体情况如图所示，现从中随机抽取一名队员．
(1) 求该队员只属于一支球队的概率；
【解答】令抽取的一名队员只属于篮球队、羽毛球队、乒乓球队分别为事件A，B，C．由图知3支球队共有球员20名，则P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝．令D＝“抽取一名队员，该队员只属于一支球队”，则D＝A＋B＋C．因为事件A，B，C两两互斥，所以P(D)＝P(A＋B＋C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝＋＋＝．
(2) 求该队员最多属于两支球队的概率．
【解答】令E＝“抽取一名队员，该队员最多属于两支球队”，则＝“抽取一名队员，该队员属于3支球队”，所以P(E)＝1－P()＝1－＝．
随堂内化及时评价
1．某校高一(1)班50名学生参加1 500 m体能测试，其中23人成绩为A，其余人成绩都是B或C．从这50名学生中任抽1人，若抽得B的概率是0.4，则抽得C的概率是(　A　)
A．0.14　 B．0.20
C．0.40　 D．0.60
【解析】由于成绩为A的有23人，故抽到C的概率为1－－0.4＝0.14．
2．甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是，甲获胜的概率是，则甲不输的概率为(　A　)
A．　 B．
C．　 D．
【解析】因为甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是，甲获胜的概率是，所以甲不输的概率为P＝＋＝．
3．已知随机事件A和B互斥，且P(A∪B)＝0.7，P(B)＝0.2，则P()＝(　A　)
A．0.5　 B．0.1
C．0.7　 D．0.8
【解析】因为事件A和B互斥，所以P(A∪B)＝P(B)＋P(A)＝0.7，则P(A)＝0.7－0.2＝0.5，故P()＝1－P(A)＝0.5．
4．(多选)一个人连续射击2次，则下列各事件关系中，说法正确的是(　BD　)
A．事件“两次均击中”与事件“至少一次击中”互为对立事件
B．事件“恰有一次击中”与事件“两次均击中”互为互斥事件
C．事件“第一次击中”与事件“第二次击中”互为互斥事件
D．事件“两次均未击中”与事件“至少一次击中”互为对立事件
【解析】对于A，事件“至少一次击中”包含“恰有一次击中”和“两次均击中”，所以不是对立事件，A错误；对于B，事件“恰有一次击中”是“一次击中、一次不中”，它与事件“两次均击中”是互斥事件，B正确；对于C，事件“第一次击中”包含“第一次击中、第二次击中”和“第一次击中、第二次不中”，所以与事件“第二次击中”不是互斥事件，C错误；对于D，事件“两次均未击中”的对立事件是“至少一次击中”，D正确．
5．(课本P245练习1)已知P(A)＝0.5，P(B)＝0.3．
(1) 如果B A，那么P(A∪B)＝__0.5__，P(AB)＝__0.3__；
(2) 如果A，B互斥，那么P(A∪B)＝__0.8__，P(AB)＝__0__．
【解析】(1) 如果B A，那么A∪B＝A，A∩B＝B，所以P(A∪B)＝P(A)＝0.5，P(AB)＝P(B)＝0.3．
(2) 如果A，B互斥，那么A∩B＝ ，所以P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.5＋0.3＝0.8，P(AB)＝0．

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