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(共31张PPT)
第5章　一元一次方程
5.2.2　解一元一次方程
第2课时　解含分母的一元一次方程
5.2　解一元一次方程
　解含分母的一元一次方程
1.【学科特色·易错题】(2025山西临汾期中)解方程 =1-
时,去分母正确的是 (　　　)
A.2(3x-1)=1-3(x+3) B.3(3x-1)=1-2(x+3)
C.2(3x-1)=6-3(x+3) D.3(3x-1)=6-2(x+3)
D
解析　原方程两边同乘6,得3(3x-1)=6-2(x+3),故选D.
易错警示
本题容易在去分母时漏乘不含分母的项“1”而出错.
2.(2025山东淄博桓台期中)已知代数式 比 的值小1,
则x的值为 (　　　)
A.5　　　 B.3　　　 C.2　　　 D.
D
解析　由题意,得 +1= ,去分母,得3(3x-1)+6=2(2x+
2),去括号,得9x-3+6=4x+4,移项、合并同类项,得5x=1,系数化
为1,得x= .故选D.
3.解方程 - =1,去分母,得2x+6-2x-1=6.以上过程错在
______________________________________.
　去分母时分子没有加括号,出现符号错误
解析　两边同时乘6,得2(x+3)-(2x-1)=6,故错在去分母时分子
没有加括号,出现符号错误.
4.【学科特色·多解法】(2025河南安阳期末)已知x=-1是方程
=3(x-1)的解,则a=__________.
10
解析　【解法一】因为x=-1是方程 =3(x-1)的解,所以
=3×(-1-1),解得a=10.故答案为10.
【解法二】解方程 =3(x-1)得,x= ,根据题意,得 =
-1,解得a=10.故答案为10.
6+ + =0
5.(2025四川巴中平昌期中)若式子6+ 与 的值互为相反
数,则可列方程为_______________,解得x=_______.
　-2
解析　∵式子6+ 与 的值互为相反数,∴6+ + =0,去
分母,得12+x+x-8=0,移项、合并同类项,得2x=-4,将系数化为1,
得x=-2.故答案为6+ + =0;-2.
6.【跨物理·滑轮】(2025福建泉州泉港期中)如图,利用滑轮组
拉动物体可以省力,其计算公式是F= (G1+G2)(F表示拉力,n
表示绳子股数,G1为滑轮重量,G2为所拉物体重量),已知F=500,
n=2,G1=200,则G2=___________.

800
解析　把F=500,n=2,G1=200代入F= (G1+G2),
得500= (200+G2),去分母,得1 000=200+G2,
解得G2=800.
7.【学科特色·教材变式P12例5】解下列方程:
(1) = .　　　
(2)1- = .
(3)x- =1- .
(4) + = +1.
(5)2 = .
(6) = .
解析 (1)去分母,得2(2x-1)=3(x+1),去括号,得4x-2=3x+3,移
项、合并同类项,得x=5.
(2)去分母,得4-(3x-1)=2(3+x),去括号,得4-3x+1=6+2x,移项,得-
3x-2x=6-4-1,合并同类项,得-5x=1,系数化为1,得x=- .
(3)去分母,得6x-2(3x+2)=6-3(x-2),去括号,得6x-6x-4=6-3x+6,移
项,得6x-6x+3x=6+6+4,合并同类项,得3x=16,系数化为1,得x=
.
(4)去分母,得5(x-2)+4(x+2)=2-2x+10,去括号,得5x-10+4x+8=2-
2x+10,移项、合并同类项,得11x=14,系数化为1,得x= .
(5)∵2 = ,
∴2 = ,∴2 = ,
∴ x+1= ,∴ x= ,∴x= .
(6)∵ = ,∴ = ,
∴2(5-2x)=3(3-5x),∴10-4x=9-15x,∴15x-4x=9-10,
∴11x=-1,∴x=- .
8.(2025山西运城河津期末改编)学习了一元一次方程的解法
后,老师布置了这样一道题:
解方程: =1- .
甲同学的解答过程如下:
解方程: =1- .
解: ×6=1×6- ×6,…第①步
2(x-1)=6-3x+1,…第②步
2x-2=6-3x+1,…第③步
2x+3x=6+2+1,…第④步
5x=9,…第⑤步
x= .…第⑥步
老师发现甲同学的解答过程有错误.请根据甲同学的解答过
程回答下列问题:
(1)甲同学完成第①步的依据是_______.
(2)甲同学是第_______步出错的,具体的错误是_______.
(3)请直接写出该方程的正确解.
解析 (1)甲同学完成第①步的依据是等式的基本性质2.故答
案为等式的基本性质2.
(2)甲同学是第②步出错的,具体的错误是约分时分子“3x+
1”没有加括号.故答案为②;约分时分子“3x+1”没有加括
号.
(3)该方程的正确解为x= .
详解:去分母,得2(x-1)=6-(3x+1),去括号,得2x-2=6-3x-1,移项,得
2x+3x=6-1+2,合并同类项,得5x=7,系数化为1,得x= .

9.(2025重庆江北鲁能巴蜀中学期末,★★☆)若关于x的方程
- =1的解是整数,则所有满足条件的正整数k的值之
和为 (　　　)
A.12　　　 B.13　　　 C.18　　　 D.19
D
解析 - =1,去分母,得2kx-6-3x-3=6,整理,得2kx-3x=1
5,∴x= .∵方程 - =1的解是整数,∴ 是整数.
∵k是正整数,∴2k-3=±1,3,5,15.∴k=2,1,3,4,9.∴所有满足条件
的正整数k的值之和为2+1+3+4+9=19.故选D.
10.【新考向·新定义题】(2025湖南衡阳衡山期中,★★☆)定
义一种新运算:a*b= a- b.若(x+3)*(2x-1)=1,则x的值为______.
5
解析　根据题意,得 (x+3)- (2x-1)=1,
去分母,得3(x+3)-2(2x-1)=6,
去括号,得3x+9-4x+2=6,移项,得3x-4x=6-2-9,合并同类项,得-x=
-5,系数化为1,得x=5.
故答案为5.
11.【学科特色·多解法】(2025重庆万州月考,★★☆)已知关
于x的方程3x-2= 与3x-m=x+ 的解互为倒数,求m的值.
解析　【解法一】解方程3x-2= 得x=2,∵方程3x-2=
与3x-m=x+ 的解互为倒数,∴方程3x-m=x+ 的解为x=
,∴代入得 -m= + ,解得m= ,故m的值为 .
【解法二】解方程3x-2= 得x=2,解方程3x-m=x+ 得x=
m,根据题意,得 m= ,解得m= .
12.(2025安徽合肥期末,★★☆)解关于x的方程 = -1
时,小刚在去分母的过程中,等号右边的“-1”漏乘了公分母
6,因而求得方程的解为x=4,则方程正确的解是多少
解析　小刚的解题过程如下: = -1,
去分母,得2(2x-1)=3(x+a)-1,
去括号,得4x-2=3x+3a-1,
移项,得4x-3x=3a-1+2,
合并同类项,得x=3a+1,
因为小刚的求解结果为x=4,
所以3a+1=4,解得a=1,
故原方程为 = -1,
去分母,得2(2x-1)=3(x+1)-6,
去括号,得4x-2=3x+3-6,
移项,得4x-3x=3-6+2,
合并同类项,得x=-1.

13.【新课标·运算能力】(2025江苏连云港期末)定义:如果两
个一元一次方程的解相同,我们就称这两个方程为“美好方
程”.例如:方程2x=6和x-3=0为“美好方程”.
(1)若关于x的方程x-4m+1=0与 (x-5)-m=0是“美好方程”,求
m的值.
(2)若无论k取何有理数,关于x的方程 = +k(a,b为常数)
与方程2x+1=x-2都为“美好方程”,求ab的值.
解析 (1)解方程x-4m+1=0,
得x=4m-1,
解方程 (x-5)-m=0,得x=2m+5.
因为关于x的方程x-4m+1=0与 (x-5)-m=0是“美好方程”,
所以4m-1=2m+5,解得m=3.
(2)解方程 = +k(a,b为常数),得x= ,
解方程2x+1=x-2,得x=-3.
因为关于x的方程 = +k(a,b为常数)与方程2x+1=x-2为
“美好方程”,
所以 =-3,
整理,得(2a-6)k-12-3b=0,
因为无论k取何有理数此等式都成立,
所以2a-6=0,-12-3b=0,
解得a=3,b=-4,
所以ab=3×(-4)=-12.
微专题　运用方程的解求字母的值
方法解读
运用方程的解求字母的值时,应先将解代入方程得到一个含
待求字母的方程,再解所得方程求字母的值.
1.(2025河南南阳新野期中)若x=3是关于x的方程2(x-1)-(a+4)=
3的解,则a的值是 (　　　)
A.-1　　　 B.-2　　　 C.-3　　　 D.-4
C
解析　把x=3代入关于x的方程2(x-1)-(a+4)=3得2×(3-1)-a-4=
3,∴4-a-4=3,∴-a=3,∴a=-3,故选C.
2.已知关于x的两个方程4x- = +4与1-2x=7-5x,如果这两个
方程的解相同,那么a的值为 (　　　)
A.-5　　　 B.5
C.10　　　 D.-10
A
解析　解方程1-2x=7-5x,得x=2,∵两个方程的解相同,∴方程4
x- = +4的解也为x=2,将x=2代入4x- = +4,得8- =5+4,解
得a=-5,故选A.
3.已知关于x的方程 =1- (a,b为常数),无论k为何值,
它的解总是x=1,则a+b=_________.
0
解析　把x=1代入方程 =1- ,得 =1- ,整理
得(2+b)k+2a-4=0,∵无论k为何值,方程的解总是x=1,∴2+b=0,
2a-4=0,∴b=-2,a=2,∴a+b=2-2=0.(共25张PPT)
第5章　一元一次方程
5.1　从实际问题到方程
　方程的有关概念
1.(2025河南南阳期中)下列各式中,属于方程的是 (　　　)
A.3-2=1　　　 B.y-5
C.3m>2　　　 D.x=5
D
解析 A.3-2=1中不含有未知数,不是方程;B.y-5不是等式,不
是方程;C.3m>2不是等式,不是方程;D.x=5是含有未知数的等
式,是方程.故选D.
2.(2025河南南阳期中)x=3是下列哪个方程的解 (　　　)
A.3x-1=2　　　 B.2x-3=-x
C.|x-3|=1　　　 D.(x-1)2=4
D
解析 A.把x=3代入方程3x-1=2,可得左边=8,右边=2,左边≠
右边,∴x=3不是方程3x-1=2的解,故此选项不符合题意;B.把x=
3代入方程2x-3=-x,可得左边=3,右边=-3,左边≠右边,∴x=3不
是2x-3=-x的解,故此选项不符合题意;C.把x=3代入方程|x-3|=1,
可得左边=0,右边=1,左边≠右边,∴x=3不是方程|x-3|=1的解,
故此选项不符合题意;D.把x=3代入方程(x-1)2=4,可得左边=4,
右边=4,左边=右边,∴x=3是方程(x-1)2=4的解,故此选项符合
题意.故选D.
3.在有理数-3,0, 中,是方程|x-4|=3x+2的解的是_________.
解析　将x=-3代入方程左、右两边,得左边=7,右边=-7,左边≠
右边,所以x=-3不是该方程的解;将x=0代入方程左、右两边,
得左边=4,右边=2,左边≠右边,所以x=0不是该方程的解;将x=
代入方程左、右两边,得左边= ,右边= ,左边=右边,所以x=
是该方程的解.
4.【学科特色·教材变式P5T1】检验下列方程后面小括号内x
的值是不是相应方程的解.
(1)2x+5=10x-3 (x=1).
(2)2(x-1)- (x+1)=3(x+1)- (x-1) (x=0).
解析 (1)当x=1时,左边=2×1+5=2+5=7,右边=10×1-3=10-3=7,
左边=右边,∴x=1是此方程的解.
(2)当x=0时,左边=2×(0-1)- ×(0+1)=-2- =- ,右边=3×(0+1)-
×(0-1)=3+ = ,左边≠右边,∴x=0不是此方程的解.
　根据实际问题列方程
5.(2025安徽芜湖无为期末)一件夹克衫先按成本价提高50%
标价,再以标价的8折出售,结果获利20元,设这件夹克衫的成
本价是x元,根据题意,可列方程为 (　　　)
A.(1+50%)x×80%=x-20 B.(1+50%)x×80%=x+20
C.(1+50%x)×80%=x-20 D.(1+50%x)×80%=x+20
B
解析　由题意得,这件夹克衫的实际售价为(1+50%)x×80%,
∴可列方程为(1+50%)x×80%=x+20.故选B.
6.(2024福建中考)2024年我国国民经济开局良好,市场销售稳
定增长,社会消费增长较快,第一季度社会消费品零售总额为1
20 327亿元,比去年第一季度增长4.7%,求去年第一季度社会
消费品零售总额.若将去年第一季度社会消费品零售总额设
为x亿元,则可列方程为(　　　)
A.(1+4.7%)x=120 327　　 B.(1-4.7%)x=120 327
C. =120 327　　　
A
D. =120 327
解析　根据“第一季度社会消费品零售总额为120 327亿元,
比去年第一季度增长4.7%”可列方程为(1+4.7%)x=120 327,
故选A.
7.(2025山西阳泉盂县开学测试)一个长方形的周长为26 cm,
将这个长方形的长减少1 cm,宽增加2 cm就可成为一个正方
形,设该长方形的长为x cm,则可列方程为 (　　　)
A.x-1=(26-x)+2　　　 B.x-1=(26÷2-x)+2
C.x+1=(26-x)-2　　　 D.x+1=(26÷2-x)-2
B
解析　由题意可知该长方形的宽是(26÷2-x)cm,根据等量关系
“长方形的长-1 cm=长方形的宽+2 cm”,可列方程为x-1=(26
÷2-x)+2,故选B.
8.小林家来了客人,妈妈叫他去水果市场买一些水果招待客
人,小林在水果市场看中了一家店的苹果和橘子,询问后得知
苹果的单价要比橘子多9元,且买2千克苹果与买5千克橘子的
费用相等.设橘子的单价为x元.
(1)根据题意列出方程.
(2)在x=5,x=6,x=7中,哪一个是(1)中所列方程的解
解析 (1)根据题意得,2(x+9)=5x.
(2)把x=5,x=6,x=7分别代入方程检验,当x=5时,左边=2×(5+9)=
28,右边=5×5=25,左边≠右边,所以x=5不是方程的解;当x=6时,
左边=2×(6+9)=30,右边=5×6=30,左边=右边,所以x=6是方程的
解;当x=7时,左边=2×(7+9)=32,右边=5×7=35,左边≠右边,所以
x=7不是方程的解.故x=6是(1)中所列方程的解.

9.(2025广西南宁二模,★★☆)某班50名学生中,参加安全知识
竞赛的有27人,参加法律知识竞赛的有15人,两种竞赛都不参
加的有10人,则两种竞赛都参加的有多少人 设两种竞赛都参
加的有x人,某同学运用直观分析策略画出了分析图(如图所
示),则能体现这一分析过程的方程是 (　　　)
D

A.27+15+x-10=50 B.(27-x)+(15-x)+10=50
C.(27+x)+(15+x)-10=50
D.(27-x)+x+(15-x)+10=50
解析　由题中分析图得(27-x)+x+(15-x)+10=50,故选D.
10.【跨物理·自由落体运动】(2025江苏无锡宜兴模拟,★★
★)已知物体自由下落的距离可以表示为s= v末t,其中s表示下
落的距离,v末表示物体下落的末速度,t表示物体下落的时间,声
音传播的速度为340米/秒.若将一块石头从井口自由落下,7秒
后听到它落水的声音,测得v末=60米/秒,设石头下落的时间为x
秒,则可列方程为 (　　　)
A.30x=340×7　　　 B.30x=340(7-x)
C.30(7-x)=340x　　　 D.30(7+x)=340×7
B
解析　石头下落的时间为x秒,则从石头落水到声音传到井口
用的时间为(7-x)秒,所以从井中水面到井口的距离为340(7-x)
米,将s=340(7-x)米,v末=60米/秒,t=x秒代入s= v末t,得 ×60x=
340(7-x),即30x=340(7-x).故选B.
11.【学科特色·整体思想】(2025山东济南历城期末,★★☆)
若x=3是关于x的方程ax2-bx=6的解,则2 025-6a+2b的值是
_____________.
2 021
解析　∵x=3是方程ax2-bx=6的解,
∴a×32-3b=6,∴3a-b=2,
∴2 025-6a+2b
=2 025-2(3a-b)=2 025-2×2=2 025-4=2 021.
故答案为2 021.
方法解读
整体思想就是从问题的整体性质出发,把某些式子或图形看成一个
整体,把握它们之间的关联,进行有目的、有意识的整体处理.本题运
用方程的解的意义,将方程的解代入方程得3a-b=2,再运用整体代换
求代数式的值.
12.【新考向·数学文化】(2025山西太原三十七中月考,★★
☆)我国古代数学名著《九章算术》第七章“盈不足”中有
这样一个问题:“今有共买物,人出八,盈三;人出七,不足四.问:
人数、物价各几何 ”题目大意:几个人合伙买东西,若每人出
8钱,则会多出3钱;若每人出7钱,则还少4钱,人数、物品的价格
分别是多少
(1)如果设人数为x,则物价可以表示成_______钱或_______
钱,于是可列方程为_______________.
(2)如果设物价为y钱,则人数可以表示成_______或______
____,于是可列方程为_________________.
解析 (1)根据题意得物价可以表示成(8x-3)钱或(7x+4)钱,
∴可列方程为8x-3=7x+4.故答案为(8x-3);(7x+4);8x-3=7x+4.
(2)根据题意得人数可以表示成 或 ,∴可列方程为
= .故答案为 ; ; = .
13.(★★☆)七年级(2)班的一个综合实践活动小组去A、B两
个超市调查去年和今年“五一”假期期间的销售情况,如图
所示的是调查后小敏与小丽、小琳两位同学进行交流的情
景.根据她们的对话,求A、B两个超市去年“五一”假期期间
的销售额各是多少(只需列出方程).
解析　设A超市去年的销售额为x万元,则B超市去年的销售
额为(150-x)万元,所以A超市今年的销售额为(1+15%)x万元,
B超市今年的销售额为(1+10%)·(150-x)万元,所以可列方程为
(1+15%)x+(1+10%)(150-x)=170.

14.【新课标·模型观念】根据图中的信息,求梅花鹿和长颈鹿
现在的高度.(只列方程,不解答)

解析　设梅花鹿现在的高度为x m,则长颈鹿现在的高度为(x+
4)m.根据题意得x+4=3x+1.(所设未知数不唯一)(共23张PPT)
第5章　一元一次方程
5.2.2　解一元一次方程
第2课时　行程问题、销售问题与配套问题
5.3　实践与探索
　行程问题
1.(2025吉林长春期中)从甲地到乙地,公共汽车原来需要行驶
7小时,开通高速公路后,路程缩短了20千米,车速平均每小时
增加了40千米,结果只需要4小时即可到达,则甲、乙两地之间
高速公路的全程是 (　　　)
A.320千米　　　 B.380千米
C.400千米　　　 D.420千米
C
解析　设甲、乙两地之间的高速公路的全程是x千米,由题意
可得 +40= ,解得x=400,
∴甲、乙两地之间的高速公路的全程是400千米,故选C.
2.小明和小强两人在学校400 米长的环形操场跑道匀速跑步,
小明的速度是小强的1.5倍.两人同时从同一起点同向出发,4
分钟后小明第一次追上小强.
(1)求小明和小强两人跑步的速度.
(2)如果小明和小强两人同时从同一起点背向出发,经过多长
时间两人恰好第三次相遇
解析 (1)设小强跑步的速度为x 米/分钟,
则小明跑步的速度为1.5 x米/分钟.
由题意得4(1.5x-x)=400,解得x=200.
所以1.5x=300.
答:小明跑步的速度为300 米/分钟,小强跑步的速度为200 米/
分钟.
(2)设经过y分钟两人恰好第三次相遇,
由题意得(200+300)y=400×3,解得y= .
答:经过 分钟两人恰好第三次相遇.
　销售问题
3.(2025四川绵阳北川期末)为尽快出售甲、乙两种服装,商场
决定打折销售,已知甲、乙两种服装的原单价一共为800元,现
将甲种服装打八折,乙种服装打七折,结果两种服装的单价一
共为600元,则甲、乙两种服装的原单价分别为(　　　)
A.320元,480元　　　 B.480元,320元
C.400元,400元　　　 D.240元,560元
C
解析　设甲种服装的原单价是x元,则乙种服装的原单价是
(800-x)元,根据题意得0.8x+0.7(800-x)=600,解得x=400,∴800-x=
800-400=400,∴甲种服装的原单价是400元,乙种服装的原单价
是400元,故选C.
4.(2025山东烟台中考)某商场打折销售一款风扇,若按标价的
六折出售,则每台风扇亏损10元;若按标价的九折出售,则每台
风扇盈利95元.则这款风扇每台的标价为 (　　　)
A.350元　　　 B.320元　　　 C.270元　　　 D.220元
A
解析　设这款风扇每台的标价为x元,根据题意,得0.6x+10=
0.9x-95,解得x=350,∴这款风扇每台的标价为350元.故选A.
5.(2025河南驻马店驿城期末)元旦期间,某商场进行促销活动,
某种商品的进价为500元/件,将其按标价的八折出售,仍可达
到20%的利润率 ,则这种商品的标价为
___________元/件.
750
解析　设这种商品的标价为x元/件,依题意得80%x-500=500×
20%,解得x=750,∴这种商品的标价为750元/件,故答案为750.
6.(2025山西临汾期中)端午节到来之际,小月家的商店准备销
售粽子和咸鸭蛋.据了解,购进50个粽子和20个咸鸭蛋共需170
元,已知一个粽子的进价比一个咸鸭蛋的进价多2元.求每个粽
子和每个咸鸭蛋的进价分别为多少元.
解析　设每个咸鸭蛋的进价为x元,则每个粽子的进价为(x+2)
元,根据题意得50(x+2)+20x=170,解得x=1,∴x+2=1+2=3.
答:每个粽子的进价为3元,每个咸鸭蛋的进价为1元.
　配套问题
7.(2025重庆七中期中)用1 m3的原材料可制作5个甲产品或13
个乙产品,3个甲产品和7个乙产品组成一套商品出售,现用66 m3的原材料生产这两种产品,应如何分配原材料,才能使生产的产品恰好配套成商品 根据题意设生产甲产品所用的原材料的体积为x m3时,能使生产的产品恰好配套成商品,则可列方程为(　)
A.3×13x=7×5(66-x)　　　 B.7×13x=3×5(66-x)
C.7×5x=3×13(66-x)　　　 D.3×5x=7×13(66-x)
C
解析　根据题意得7×5x=3×13(66-x),故选C.
8.(2025山西临汾期中)某学校为学生配备物理电学实验器材,
一个电表包内装有1个电压表和2个电流表.某生产线共60名
工人,每名工人每天可生产14个电压表或20个电流表,则分配
__________名工人生产电压表,可恰好使每天生产的电压表、
电流表配成套.
25
解析　设分配x名工人生产电压表,根据题意得2×14x=20(60
-x),解得x=25,∴分配25名工人生产电压表,可恰好使每天生产
的电压表、电流表配成套.故答案为25.

9.【新考向·数学文化】(2024四川宜宾中考,★★☆)元朝朱世
杰所著的《算学启蒙》中,记载了这样一道题:“良马日行二
百四十里,驽马日行一百五十里,驽马先行一十二日,问良马几
何日追及之 ”其大意是:快马每天行240里,慢马每天行150
里,慢马先行12天,问快马几天可追上慢马 则快马追上慢马的
天数是 (　　　)
A.5　　　 B.10　　　 C.15　　　 D.20
D
解析　设快马追上慢马的天数是x,
根据题意得240x=150(x+12),解得x=20,
故快马追上慢马的天数是20.
10.(2025福建龙岩新罗期末,★★☆)某服装店推出如下优惠
方案:
方案 一次性购买的商品 的总标价 优惠方式
A 不超过100元 无优惠
B 超过100元且不超
过300元 按总标价打9折
C 超过300元 按总标价打8折
小李在该服装店两次购物分别付款80元、252元.若他一次性
购买与以上两次相同的商品,则他应付款_______________元.
288或316
解析　∵100×0.9=90(元),90>80,∴小李在该服装店第一次所
购商品的总标价为80元.设小李在该服装店第二次所购商品
的总标价为x元,当100次性购买应付的钱数为0.8×(80+280)=288(元);当x>300时,0.8x
=252,解得x=315,此时一次性购买应付的钱数为0.8×(80+315)
=316(元),∴当小李一次性购买与前两次相同的商品时,应付
款288元或316元.故答案为288或316.
11.(2025甘肃兰州城关树人中学期末,★★☆)七年级(4)班共
有学生48人,其中男生人数比女生人数多2.
(1)求七年级(4)班有男生和女生各多少人.
(2)老师组织同学们自己动手设计制作便携式垃圾盒,每名学
生一节课能做盒身11个或盒底26个,原计划女生负责做盒身,
男生负责做盒底,每个盒身匹配2个盒底,那么这节课做出的盒
身和盒底不能完全配套,最后决定男生去支援女生,求需要多
少名男生去支援女生,才能使这节课制作的盒身和盒底刚好
配套.
解析 (1)设七年级(4)班有女生x人,则有男生(x+2)人,根据题
意得x+2+x=48,解得x=23,∴x+2=23+2=25.
答:七年级(4)班有男生25人,女生23人.
(2)设需要m名男生去支援女生,才能使这节课制作的盒身和
盒底刚好配套,根据题意得26(25-m)=2×11(23+m),解得m=3.
答:需要3名男生去支援女生,才能使这节课制作的盒身和盒底
刚好配套.

12.【新课标·应用意识】【学科特色·教材变式P27T12】(202
5四川德阳中江期末)如图,甲、乙两船从B港口同时出发,反向
而行,甲船顺水,乙船逆水,两船在静水中的速度都是50千米/
时,水流速度是a千米/时,5小时后两船分别同时到达A、C两
港口,装卸货物后,又同时出发,甲船驶往C港口,乙船驶往A港
口.(提示:顺水速度=船在静水中的速度+水速;逆水速度=船在
静水中的速度-水速)
(1)A、C两港口相距多远
(2)A、B两港口之间的距离比B、C两港口之间的距离多多少
千米 (用含a的代数式表示)
(3)两船在装卸货物后,又经过多少小时相遇 若相遇处距B港
口50千米,求甲船还需几小时到达C港口.

解析 (1)由题意得,在航行过程中顺水速度为(50+a)千米/时,
逆水速度为(50-a)千米/时,
由题目条件可知甲船顺水航行5小时从B港口到达A港口,乙船
逆水航行5小时从B港口到达C港口,
∴B港口到A港口的距离为5×(50+a)=(250+5a)千米,B港口到C
港口的距离为5×(50-a)=(250-5a)千米,
则A、C两港口相距(250+5a)+(250-5a)=500(千米).
(2)由(1)知A、B两港口的距离比B、C两港口的距离多(250+5
a)-(250-5a)=10a(千米).
(3)设经过t小时相遇,依题意得(50+a)t+(50-a)t=500,解得t=5,
∴两船在装卸货物后,经过5小时相遇.
易知甲船从A港口到C港口是逆水航行,乙船从C港口到A港口
是顺水航行,
∴两船相遇时,甲船走了5×(50-a)=(250-5a)千米,此时甲船还
没到达B港口,
∵相遇处距B港口50千米,
∴(250+5a)-(250-5a)=50,解得a=5,
∴两船相遇时,甲船航行的距离为250-5×5=225(千米),
此时甲船距离C港口还有500-225=275(千米),
∴甲船到达C港口还需要275÷(50-5)= (小时).(共25张PPT)
第5章　一元一次方程
5.2.1　等式的性质与方程的简单变形
第2课时　方程的简单变形
5.2　解一元一次方程
　方程的变形规则
1.(2024海南中考)若代数式x-3的值为5,则x等于(　　　)
A.8　　　 B.-8
C.2　　　 D.-2
A
解析　根据题意得x-3=5,解得x=8,故选A.
2.(2025吉林长春八十七中期中)将方程x+5=1-2x移项,得 ( )
A.x+2x=1-5　　　
B.x-2x=1+5
C.x+2x=1+5　　　
D.x+2x=-1+5
A
解析 x+5=1-2x,移项,得x+2x=1-5,故选A.
3.(2025福建漳州南靖期中)下列方程变形正确的是 (　　　)
A.若2+m=1,则m=1+2
B.若m-3=2,则m=2-3
C.若 n=1,则n=3
D.若-2m=3,则m=-
C
解析　若2+m=1,则m=1-2,故选项A不符合题意;
若m-3=2,则m=2+3,故选项B不符合题意;
若 n=1,则n=3,故选项C符合题意;
若-2m=3,则m=- ,故选项D不符合题意.
故选C.
4.(2025河北廊坊广阳期末)将方程2(x-1)=3(x-1)的两边同除以
(x-1),得2=3,其错误的原因是(　　　)
A.方程本身是错的
B.方程无解
C.如果x-1=0,那么方程两边不能同时除以(x-1)
D.一定条件下2=3
C
解析　错误的原因是如果x-1=0,那么方程两边不能同时除以
(x-1),故选C.
5.(2025四川遂宁中考)已知x=2是方程3a-2x=2的解,则a=_____.
2
解析　把x=2代入方程3a-2x=2得3a-2×2=2,即3a-4=2,解得a=2.
6.(2025河南南阳月考)如果3x=10-2x,那么3x+__________=10.
2x
解析　将等式两边同时加上2x,得3x+2x=10,故答案为2x.
7.(2025江苏南通通州期末)已知3x=-5,那么x=_______.
　-
解析　∵3x=-5,∴将等式两边同时除以3,得x=- .故答案为- .
8.(2025福建漳州龙海期中)若代数式1-2m与m-2的值相等,则m
的值是_________.
1
解析　由题意,得1-2m=m-2,移项、合并同类项,
得-3m=-3,系数化为1,得m=1.故答案为1.
9.【学科特色·教材变式P9例3】解方程:
(1)3x-2=2x.　　　 (2)3x+3=x-1.
(3)5x+3=6-2x.　　　 (4)2x-2+3x=6.
(5)3x-8=5x-6.　　　 (6)0.5x-0.7=6.5-1.3x.
解析 (1)3x-2=2x,移项,得3x-2x=2,合并同类项,得x=2.
(2)3x+3=x-1,移项,得3x-x=-1-3,合并同类项,得2x=-4,系数化为
1,得x=-2.
(3)5x+3=6-2x,移项,得5x+2x=6-3,合并同类项,得7x=3,系数化
为1,得x= .
(4)2x-2+3x=6,移项,得2x+3x=2+6,合并同类项,得5x=8,系数化
为1,得x= .
(5)3x-8=5x-6,移项、合并同类项,得-2x=2,系数化为1,得x=-1.
(6)0.5x-0.7=6.5-1.3x,移项,得0.5x+1.3x=6.5+0.7,合并同类项,得
1.8x=7.2,系数化为1,得x=4.

10.【学科特色·分类讨论思想】(2025河北唐山滦南期末,★
★☆)对于两个不相等的有理数a,b,我们规定符号min{a,b}表
示a,b两数中较小的数,例如min{2,-4}=-4,则方程min{x,-x}=3x
+4的解为(　　　)
A.x=-2　　　 B.x=-1
C.x=-1或x=-2　　　 D.x=1或x=2
A
解析　根据题意易知,x≠-x,∴x≠0,故可以分两种情况讨论:
①当x>0时,x>-x,∵min{x,-x}=3x+4,∴-x=3x+4,解得x=-1,不符
合题意,舍去;②当x<0时,x<-x,∵min{x,-x}=3x+4,∴x=3x+4,解
得x=-2,符合题意.综上可得,方程min{x,-x}=3x+4的解为x=-2.
故选A.
11.(2025北京朝阳期中,★★☆)已知关于x的方程ax-3x=3,若x
是正整数,则整数a的取值是___________.
6或4
解析　方程ax-3x=3,解得x= .∵x是正整数,a是整数,∴x的
值可以为1,3,∴a的值是6或4.故答案为6或4.
12.(2025四川成都中考,★★☆)任意给一个数x,按下列程序进
行计算.若输出的结果是15,则x的值为_________.

3
解析　由题意可得6x-3=15,解得x=3,∴x的值为3.
13.【新考向·新定义题】(2025河北邢台任泽期末,★★☆)定
义:如果两个一元一次方程的解的和为0,我们就称这两个方程
为“美好方程”.例如:方程3x=6和x+2=0为“美好方程”.
(1)请判断方程4x-x=6与方程x+6=-2x是不是“美好方程”,并
说明理由.
(2)若关于x的方程3x+a=2与方程4x-2=x+10是“美好方程”,
求a的值.
解析 (1)是“美好方程”.理由:解方程4x-x=6得x=2,解方程x
+6=-2x得x=-2,因为2+(-2)=0,所以这两个方程是“美好方
程”.
(2)解方程4x-2=x+10得x=4,根据题意可得方程3x+a=2的解应
为x=-4,将其代入方程3x+a=2得3×(-4)+a=2,解得a=14.
方法解读
新定义试题的解题技巧
解答新定义试题的关键是对新定义的运算或概念的理解与应用,
例如本题中对“美好方程”概念的理解是解决问题的关键,可以
根据概念判断、列方程求字母的值.

14.【学科特色·方程思想】【新课标·运算能力】(2025河南
省实验中学月考改编)阅读下列材料:
问题:怎样将0. 表示成分数
小明的探究过程如下:
设x=0. ,则10x=10×0. ,∴10x=8. ,∴10x=8+0. ,∴10x=8+x,∴
9x=8,∴x= .
仿照上述探究过程,将0. 表示成分数的形式为_________.
解析　设0. =x,则100x=100×0. ,∴100x=36. ,∴100x=36
+x,∴99x=36,∴x= .
15.【新课标·运算能力】(2025山西临汾曲沃期中)阅读与思
考.
我们把绝对值符号内含有未知数的方程叫做含有绝对值的方
程.如:|x|=3,|x-2|=3,|2a-1|=|5+7a|都是含有绝对值的方程,怎样
才能求出含有绝对值的方程的解
以方程|x-2|=3为例来探究解法.
探究思路:根据绝对值的意义,把绝对值的符号去掉,将含有绝
对值的方程转化为一元一次方程进行求解.
探究结论:
解法一:把x-2看成一个整体,根据绝对值的意义,得x-2=3或x-2
=-3,解得x=5或x=-1.
解法二:当x-2≥0时,原方程可化为x-2=3,解得x=5;当x-2<0时,
原方程可化为-(x-2)=3,即2-x=3,解得x=-1,所以原方程的解为x
=5或x=-1.
应用以上方法解决下面的问题:
(1)解方程:|4x+7|=11.
(2)若关于x的方程|x+1|=2m只有1个解,求方程的解及m的值.
解析 (1)∵|4x+7|=11,
∴4x+7=11或4x+7=-11,
解得x=1或x=- .
(2)∵|x+1|=2m,
∴x+1=2m或x+1=-2m,∴x=2m-1或x=-2m-1,
∵原方程只有1个解,
∴-2m-1=2m-1,∴m=0,∴方程的解为x=-1.(共20张PPT)
第5章　一元一次方程
第3课时　工程问题及其他问题
5.3　实践与探索
　工程问题
1.(2025广西南宁模拟)一项工程,甲单独做需8天完成,乙单独
做需6天完成,现在甲先做3天,然后乙再加入,设此项工程共用
x天完成,由题意可列方程为 (　　　)
A. + =1　　　 B. + =1
C. + =1　　　 D. + =1
A
解析　由“甲完成的工作量+乙完成的工作量=1”得 +
=1.故选A.
2.(2025河南安阳汤阴期末)一项工程,甲单独做要10天完成,乙
单独做要15天完成,两人一起做2天后,剩下的部分由乙单独
做,则还需要__________天才能完成.
10
解析　设乙还需要x天才能完成,由题意得 ×2+ x=1,
解得x=10,∴乙还需要10天才能完成.故答案为10.
　其他问题
3.某班在校园安全教育主题班会上开展了安全知识抢答赛,每
组一共30个抢答题,规则:每道题答对得5分,答错或不答扣2分,
晓红最后得80分,则晓红答对题目的个数是 (　　　)
A.18　　　 B.19　　　 C.20　　　 D.22
C
解析　设晓红答对题目的个数为x,则答错或不答的个数为(30
-x),根据题意得5x-(30-x)×2=80,解得x=20,∴晓红答对题目的
个数为20.故选C.
4.(2025山西临汾翼城期中)一个两位数,个位上的数字比十位
上的数字大3,且个位上的数字与十位上的数字之和是这个两
位数的 ,则这个两位数是__________.
36
解析　设这个两位数十位上的数字为x,则个位上的数字为(x+
3),根据题意得x+x+3= [10x+(x+3)],解得x=3,∴这个两位数为
36.故答案为36.
5.(2025四川成都成华期末)校园足球超级联赛的积分规则为
胜一场得3分,平一场得1分,负一场得0分.某校足球队进行了9
场比赛,其中负3场,共得12分,那么这个足球队共胜了_______
场.
3
解析　设这个足球队共胜了x场,则平了(9-x-3)场,根据题意得
3x+(9-x-3)=12,解得x=3,∴这个足球队共胜了3场.故答案为3.
6.【新课标·中华优秀传统文化】(2025吉林松原宁江一模)
“曹冲称象”是流传很广的故事.如图,按照曹冲的方法,先将
象牵到大船上,并在船的侧面标记水位,再将象牵出,然后往船
上抬入20块等重的条形石,并在船上留3个搬运工,这时水位恰
好到达标记位置,如果再抬入1块同样的条形石,船上只留1个
搬运工,水位也恰好到达标记位置.已知每名搬运工的体重均
为60 kg,试求每块条形石的质量和这头象的质量.
解析　设一块条形石的质量是x kg,由题意得20x+x+60=20x+3
×60,解得x=120,∴象的质量为20×120+3×60=2 580(kg).
答:每块条形石的质量是120 kg,象的质量是2 580 kg.

7.【新考向·数学文化】(2024山东烟台中考,★★☆)《周髀算
经》是中国现存最早的数理天文著作.书中记载了这样一道
题:“今有女子不善织,日减功迟.初日织五尺,末日织一尺,今
三十日织讫.问织几何 ”意思是:现有一个不擅长织布的女
子,织布的速度越来越慢,并且每天减少的数量相同,第一天织
了五尺布,最后一天仅织了一尺布,30天完工,问一共织了多少
布 (　　　)
A.45尺　　　 B.88尺　　　 C.90尺　　　 D.98尺
C
解析　设每天减少x尺布,∵第一天织了五尺布,最后一天仅织
了一尺布,30天完工,
∴5-29x=1,解得x= ,
∴一共织布5+5- +5-2× +…+1
= =90(尺),故选C.
8.(2025山西临汾翼城期中,★★☆)甲、乙两工程队承接某段
隧道挖掘工程,已知该段隧道长度为600米,甲工程队每天挖掘
的长度是乙工程队每天挖掘长度的1.5倍,甲、乙两工程队合
作4天完成该工程的 .
(1)求甲、乙两工程队每天分别挖掘隧道多少米.
(2)若甲工程队先单独挖掘若干天,剩下的再由乙工程队单独
完成,总费用刚好为94万元.已知甲工程队每天的挖掘费用为5
万元,乙工程队每天的挖掘费用为3万元,求甲工程队单独挖掘
的天数.
解析 (1)设乙工程队每天挖掘隧道x米,则甲工程队每天挖掘
隧道1.5x米,根据题意得4(x+1.5x)=600× ,解得x=20,∴1.5x=1.
5×20=30.
答:甲工程队每天挖掘隧道30米,乙工程队每天挖掘隧道20米.
(2)设甲工程队单独挖掘m天,则乙工程队单独挖掘
天,即 天.由题意得5m+3 30- m =94,解得m=8.
答:甲工程队单独挖掘8天.
9.(2025河南安阳期末,★★☆)某地政府为鼓励居民节约用电,
采用阶梯式电价计量标准.根据每户居民每月的用电量(用电
量均为整数,单位:千瓦时)分为三档进行收费(第一档:月用电
量不超过240千瓦时;第二档:月用电量为240~400千瓦时;第三
档:月用电量超过400千瓦时).设居民每月的用电量为x千瓦时,
收费标准如表.
月用电量 收费标准
不超过240千瓦时 每千瓦时0.55元
240~400千瓦时 超过240千瓦时但不超过400
千瓦时的部分每千瓦时0.75
元
超过400千瓦时 超过400千瓦时的部分每千
瓦时1.5元
(1)若每月的用电量不超过240千瓦时,则应缴电费_______
元;若每月的用电量超过400千瓦时,则应缴电费_______元.
(两空均填含x的代数式)
(2)若某户居民某月的用电量为150千瓦时,求该户居民本月应
缴电费多少元.
(3)若某户居民某月缴电费231元,求该户居民该月用电量为多
少千瓦时.
解析 (1)当每月的用电量不超过240千瓦时时,应缴电费0.55x
元.当每月的用电量超过400千瓦时时,应缴电费0.55×240+
0.75×(400-240)+1.5(x-400)=(1.5x-348)元.故答案为0.55x;(1.5x-
348).
(2)150×0.55=82.5(元).
答:该户居民本月应缴电费82.5元.
(3)∵0.55×240=132(元),0.55×240+0.75×(400-240)=252(元),
132<231<252,∴240=372.
答:该户居民该月用电量为372千瓦时.

10.【新课标·应用意识】如图,棋盘旁有甲、乙两个围棋盒.
(1)若甲盒中都是黑子,共12个,乙盒中都是白子,共8个,嘉嘉从
甲盒中拿出a个黑子放入乙盒,使乙盒棋子总数是甲盒所剩棋
子数的3倍,求a的值.
(2)若甲盒中都是黑子,共m(m>2)个,乙盒中都是白子,共3m个,
嘉嘉从甲盒中拿出a(1总数比甲盒所剩棋子数多_______;接下来,嘉嘉又从乙盒拿
回a个棋子放到甲盒,其中含有x(0y个黑子,则x-y的值为_______.

解析 (1)∵甲盒中都是黑子,共12个,∴从甲盒中拿出a个黑
子放入乙盒后,甲盒剩(12-a)个棋子,乙盒有(8+a)个棋子,根据
题意可知3(12-a)=8+a,解得a=7.
(2)∵甲盒中都是黑子,共m(m>2)个,乙盒中都是白子,共3m个,
∴从甲盒中拿出a(1个数为3m+a,甲盒所剩棋子个数为m-a,∴乙盒棋子总个数比
甲盒所剩棋子个数多3m+a-(m-a)=2m+2a.∵又从乙盒拿回a个
棋子放到甲盒,其中含有x(0∴a-(a-x)=y,即y=x,∴x-y=0.故答案为2m+2a;0.(共12张PPT)
第5章　一元一次方程
5.2.1　等式的性质与方程的简单变形
第1课时　等式的基本性质
5.2　解一元一次方程
　等式的基本性质
1.(2025吉林长春103中月考)若a=b,则下列等式变形一定正确
的是 (　　　)
A.a+1=b-1　　　 B.3a=2b
C.-2a=-2b　　　 D. =
C
解析 A.∵a=b,∴a+1=b-1不成立,故本选项不符合题意;B.由
a=b,无法推出3a=2b一定成立,故本选项不符合题意;C.∵a=b,
∴-2a=-2b,故本选项符合题意;D.由a=b,无法推出 = 一定成
立,故本选项不符合题意.故选C.
2.【学科特色·易错题】(2025河南新乡原阳期中)下列运用等
式的基本性质对等式进行的变形中,不正确的是 (　　　)
A.若x=y,则x-y=0
B.若a=b,则ac=bc
C.若 = ,则a=b
D.若a=b,则 =
D
解析　∵x=y,∴x-y=0,故选项A不符合题意;∵a=b,∴ac=bc,故
选项B不符合题意;∵ = ,∴a=b,故选项C不符合题意;只有当
a=b,c≠0时, = 才成立,故选项D符合题意.故选D.
易错警示
运用等式的基本性质2时,容易忽略除数不能为0而出错.
3.【跨物理·密度】(2025湖南永州十六中期中)在物理学中,物
体的密度ρ、物体的体积V以及物体的质量m之间有以下关
系:m=ρV,变形可得ρ= ,其变形的依据是__________________
____________________________________.
以同一个不为0的数,等式依然成立
　等式两边同时除
解析　因为V≠0,所以根据题意可知变形的依据是等式两边
同时除以同一个不为0的数,等式依然成立.
4.【跨物理·天平】(2025福建莆田荔城期末)如图,标有相同字
母的物体的质量相同,若物体A的质量为20克,则当物体B的质
量为__________克时,天平处于平衡状态.

10
解析　由题图可知A=2B,∵A的质量为20克,∴B的质量为10
克,故答案为10.

5.(2025吉林大学尚德学校一模,★★☆)等式的基本性质在生
活中有着广泛应用.如图,a、b分别表示两位同学的身高,c表
示台阶的高度,左边的同学比右边的同学高5 cm,则图中两人
的对话体现的数学原理可表示为 (　　　)

A
A.若a=b+5,则a+c=b+c+5
B.若a=b+c,则a+5=b+c+5
C.若a=b+5,则ac=(b+5)c
D.若a=b+5,则 =
解析　根据等式的基本性质1,将等式a=b+5的两边同时加
上c,得a+c=b+c+5,∴选项A符合题意,选项B、C、D不符合题
意.故选A.
6.【学科特色·作差法】【新考向·代数推理】(2025江苏泰州
兴化期中,★★☆)若a-b>0,则a>b;若a-b=0,则a=b;若a-b<0,则a
(1)试比较代数式5m2-4m+2与4m2-4m-7的值之间的大小关系.
(2)已知代数式3a+2b与2a+3b的值相等,试用等式的基本性质
比较a,b的大小关系.
(3)已知 m- n-1= n- m,试用等式的基本性质比较m,n的大小
关系.
解析 (1)(5m2-4m+2)-(4m2-4m-7)=5m2-4m+2-4m2+4m+7=m2+9.
∵m2≥0,∴无论m为何值,都有m2+9>0.∴5m2-4m+2>4m2-4m-7.
(2)∵3a+2b=2a+3b,∴将等式两边同时减去(2a+3b),得3a+2b-
(2a+3b)=0,整理得a-b=0,∴a=b.
(3)∵ m- n-1= n- m,∴将等式两边同时乘6,得3m-2n-6=3n-
2m,整理得5m-5n=6,即5(m-n)=6,∴m-n>0,∴m>n.
方法解读
本题综合运用了作差法和等式的基本性质比较两个代数式的
大小.(共22张PPT)
第5章　一元一次方程
5.2.2　解一元一次方程
第3课时　一元一次方程的应用
5.2　解一元一次方程
　列一元一次方程解应用题
1.(2025河南驻马店遂平期中)甲组有34人,乙组有26人,从乙组
调若干人到甲组后,甲组的人数恰好是乙组人数的3倍,则乙组
调到甲组的人数是(　　　)
A.9　　　 B.10　　　 C.11　　　 D.12
C
解析　设乙组调到甲组的人数是x,根据题意得34+x=3(26-x),
解得x=11,∴乙组调到甲组的人数是11.故选C.
2.(2025河南南阳月考)一块正方形的林地,若将其一边增加5
米,这一边的邻边增加3米,且扩建后的林地面积比原来增加了
71平方米,则原正方形的边长是 (　　　)
A.7米　　　 B. 米　　　 C.3米　　　 D.4米
A
解析　设原正方形的边长是x米,由题意可得(x+5)(x+3)-x2=71,
解得x=7,即原正方形的边长为7米,故选A.
3.(2025甘肃平凉期末)一个两位数的个位数字与十位数字的
和是9,若这个两位数的个位数字与十位数字对调后所得的新
数比原数大9,则原来的两位数为 (　　　)
A.54　　　 B.27　　　 C.72　　　 D.45
D
解析　设原来的两位数的个位数字是x,则十位数字是9-x.根
据题意得10x+(9-x)=10(9-x)+x+9,解得x=5,∴9-x=4,∴原来的
两位数为45.故选D.
4.(2025陕西咸阳模拟)某服装店决定将一批进价为200元/件
的服装涨价40%后再打折销售,每件服装仍可获利38元,则该
服装打_______折销售.
　八五
解析　设该服装打x折销售,根据题意得200×(1+40%)× -200
=38,解得x=8.5,∴该服装打八五折销售.故答案为八五.
5.【学科特色·教材变式P15例7】(2025四川巴中平昌期中)某
工厂的25名工人要完成650件产品的生产,其中男工每人定额
20件,女工每人定额30件.若这25名工人中男、女工都有,则男
工与女工各有多少名
解析　设男工有x名,则女工有(25-x)名,根据题意得20x+30(25-
x)=650,解得x=10,∴25-x=25-10=15.
答:男工有10名,女工有15名.
6.(2025吉林省吉林市永吉期末)元旦前夕,为感谢环卫工人的
辛苦付出,某校七年级(1)班的“文化”小组和“智慧”小组
计划一起做一批贺卡.如果每人做8张,那么比计划多23张;如
果每人做5张,那么比计划少25张.则这两个小组一共有多少
人 计划做多少张贺卡
这两个小组分别列出了如下尚不完整的方程.
“文化”小组的方程:8x-23=5x□25.
“智慧”小组的方程: = .
(1)上述两个方程中,未知数x表示的是____________,
未知数y表示的是____________.
(2)上述两个方程中,“□”内的运算符号是______,“( )”
内的数字是_______.
(3)试从上述方法中选择一种,解答原题中的问题.
解析 (1)未知数x表示的是这两个小组的总人数,未知数y表
示的是计划做贺卡的张数.故答案为这两个小组的总人数;计
划做贺卡的张数.
(2)根据“如果每人做8张,那么比计划多23张;如果每人做5张,
那么比计划少25张”可得“文化”小组的方程为8x-23=5x+25,“智慧”小组的方程为 = .故答案为+;23.
(3)【方法一】设这两个小组共有x人,根据题意,得8x-23=5x+25,解得x=16,∴计划做贺卡8×16-23=105(张).
答:这两个小组共有16人,计划做105张贺卡.
【方法二】设计划做y张贺卡,根据题意得 = ,解得y
=105,∴这两个小组共有 =16(人).
答:这两个小组共有16人,计划做105张贺卡.
(以上两种方法任选一种即可)

7.(2025四川绵阳平武期末,★★☆)A、B两地相距550千米,
甲、乙两车分别从A、B两地同时出发,相向而行,已知甲车的
速度为110千米/时,乙车的速度为90千米/时,经过t小时后,两
车相距50千米,则t的值为 (　　　)
A.2.5　　　 B.2或10
C.2.5或3　　　 D.3
C
解析　依题意,得110t+90t=550-50或110t+90t=550+50,解得t=
2.5或t=3,∴经过2.5小时或3小时后,两车相距50千米.故选C.
8.【跨语文·成语故事】(2025四川德阳旌阳期末,★★☆)成语
“朝三暮四”讲述了一位老翁喂养猴子的故事,老翁为了限
定猴子每天的食量,分早晚两次喂食,早上的粮食是晚上的 ,
猴子们对这个安排很不满意,于是老翁进行了调整,从晚上的
粮食中取2千克放在早上投食,这样早上的粮食是晚上的 ,猴
子们对这样的安排非常满意,则老翁给猴子限定的每天食量
为 (　　　)
A.14千克　　　 B.10千克
A
C.8千克　　　 D.6千克
解析　设调整前每天晚上喂食x千克,则调整前每天早上喂食
x千克,根据题意得 x+2= (x-2),解得x=8,∴ x+x= ×8+8=14,
∴老翁给猴子限定的每天食量为14千克.故选A.
9.(2025四川绵阳江油期末,★★☆)小王同学想根据方程8x+3
=6(x+8)-5编一道应用题:“学校为了建花坛,雇了一些人搬砖,
_______,求参与搬砖的人数.”若设参与搬砖的有x人,那么
横线部分的条件为 (　　　)
A.若每人搬8块,则缺3块;若再添8人一起搬,则每人搬6块,还缺
5块
B.若每人搬8块,则剩3块未搬;若再添8人一起搬,则每人搬6块,
还缺5块
C.若每人搬8块,则缺3块;若再添8人一起搬,则每人搬6块,还剩
B
5块未搬
D.若每人搬8块,则剩3块未搬;若再添8人一起搬,则每人搬6块,
还剩5块未搬
解析　由题意可得方程8x+3=6(x+8)-5的左、右两边均为这
批砖的块数,∴方程的左边为若每人搬8块,则剩3块未搬;方程
的右边为若再添8人一起搬,则每人搬6块,还缺5块.故选B.
10.(2025吉林省第二实验学校月考,★★☆)某市今年进行天
然气工程改造,甲、乙两个工程队共同承包这个工程,甲队单
独做需要8天完成,乙队单独做需要12天完成.若甲、乙两队同
时施工4天,余下的工程由乙队单独完成,则乙队还需要_______
天完成任务.
2
解析　设乙队还需要x天完成任务,由题意得 + =1,解得x
=2,∴乙队还需要2天完成任务,故答案为2.
11.【新考向·数学文化】(2025吉林中考改编,★★☆)我国古
代数学著作《孙子算经》中记载了“多人共车”问题:“今
有三人共车,二车空;二人共车,九人步,问人与车各几何 ”其
意思是每3人共乘一辆车,恰好空余2辆车;每2人共乘一辆车,
最终有9人无车可乘,问人和车的数量各是多少 求人和车的
数量.
解析　设有x个人,根据题意,得 +2= ,解得x=39,所以车有
+2=15(辆).
答:有39人,15辆车.

12.【新课标·应用意识】(2025重庆北碚西南大学附中月考)
如图,学校的饮水机有温水、开水两个按钮.利用图中信息解
决下列问题.
物理常识
开水和温水混合时会发生热传递,开水放出的热量等于温水
吸收的热量,可以转化为“开水的体积×开水降低的温度=温
水的体积×温水升高的温度”.
(1)王老师拿空水杯先接了9 s的温水,然后接了2 s的开水,求此
时水的温度.
(2)王老师拿空水杯先接了一会儿温水,又接了一会儿开水,得
到一杯400 mL,温度为51 ℃的水(不计热损失),求王老师的接
水时间(不计中间换出水口的时间).
解析 (1)设此时水的温度是x ℃,根据题意得15×2(100-x)=20
×9(x-30),解得x=40.
答:此时水的温度是40 ℃.
(2)设王老师接了y s的温水,则他接了20y mL的温水,(400-20y)
mL的开水,∴王老师接开水用了 s,根据题意得(400-
20y)(100-51)=20y(51-30),解得y=14,
∴y+ =14+ =22.
答:王老师的接水时间是22 s.(共26张PPT)
第5章　一元一次方程
5.2.2　解一元一次方程
第1课时　解含括号的一元一次方程
5.2　解一元一次方程
　一元一次方程的概念
1.(2025福建漳州龙海期中)下列式子是一元一次方程的是
(　　　)
A.x-y=0　　　 B.x-
C.x+4=0　　　 D.3x2-1=2
C
解析 A.x-y=0不符合一元一次方程的定义,故A选项不符合
题意;B.x- 不是方程,故B选项不符合题意;C.x+4=0符合一元
一次方程的定义,故C选项符合题意;D.3x2-1=2不符合一元一
次方程的定义,故D选项不符合题意.故选C.
2.【学科特色·易错题】(2025河南安阳汤阴期末)已知方程(m-
1)x|m|+3=0是关于x的一元一次方程,则m的值是 (　　　)
A.±1　　　 B.1　　　 C.-1　　　 D.0或1
C
解析　根据一元一次方程的定义可得 解得m=-1.故
选C.
易错警示
本题容易忽略未知数的系数m-1≠0,即m≠1而出错.
3.【学科特色·易错题】(2025广西贵港平南期末)在解方程3(x
-1)-2(2x-3)=0时,去括号正确的是 (　　　)
A.3x-1-4x+6=0　　　 B.3x-3-6x+3=0
C.3x-3-4x-6=0　　　 D.3x-3-4x+6=0
D
解析　将3(x-1)-2(2x-3)=0去括号,得3x-3-4x+6=0.故选D.
易错警示
去括号时,如果括号前面是“-”号,去括号后括号里面的各项
要改变符号,去括号时常出现符号错误.
　解含括号的一元一次方程
4.(2025河南驻马店遂平期中)若 (2x-1)与 x+3互为相反数,则
x的值为 (　　　)
A.- 　　　 B.- 　　　 C. 　　　 D.-1
B
解析　由题意可得 (2x-1)+ x+3=0,∴5(2x-1)+18x+45=0,
∴10x-5+18x+45=0,解得x=- .故选B.
5.(2025吉林四平双辽期末)当x=________时,式子3(x-2)和4(x+
3)-4的值相等.
　-14
解析　根据题意得3(x-2)=4(x+3)-4,去括号,得3x-6=4x+12-4,移
项,得3x-4x=12-4+6,合并同类项,得-x=14,系数化为1,得x=-14.
故答案为-14.
6.【学科特色·教材变式P12例4】解下列方程.
(1)(2025河南安阳期末)2x-7=5-4(2-x).
(2)3(x-1)-2(x+2)=0.
(3)(2025福建泉州泉港期中)5(x-5)+2(x-12)=0.
(4)(2025四川德阳中江期末)2(x-1)=2-5(x+2).
(5)5(y-2)+4=y-2(3+y).
(6)2x-3(2x-3)=12-2(x+3).
解析 (1)2x-7=5-4(2-x),去括号,得2x-7=5-8+4x,移项,得2x-4x=
5-8+7,合并同类项,得-2x=4,系数化为1,得x=-2.
(2)3(x-1)-2(x+2)=0,去括号,得3x-3-2x-4=0,移项,得3x-2x=3+4,
合并同类项,得x=7.
(3)5(x-5)+2(x-12)=0,去括号,得5x-25+2x-24=0,移项,得5x+2x=25+24,合并同类项,得7x=49,系数化为1,得x=7.
(4)2(x-1)=2-5(x+2),去括号,得2x-2=2-5x-10,移项,得2x+5x=2-10
+2,合并同类项,得7x=-6,系数化为1,得x=- .
(5)5(y-2)+4=y-2(3+y),去括号,得5y-10+4=y-6-2y,移项、合并同
类项,得6y=0,系数化为1,得y=0.
(6)2x-3(2x-3)=12-2(x+3),去括号,得2x-6x+9=12-2x-6,移项,得2x
-6x+2x=12-6-9,合并同类项,得-2x=-3,系数化为1,得x= .
7.(2025甘肃兰州期末)设P=2y-2,Q=2y+3,且3P-Q=1,求y的值.
解析　根据题意得3(2y-2)-(2y+3)=1,去括号,得6y-6-2y-3=1,移
项、合并同类项,得4y=10,系数化为1,得y= .

8.(2025陕西西安雁塔高新一中期末,★★☆)若关于x的方程(k
-3)x=6-2(x+1)的解为整数,则满足条件的所有整数k的和为
(　　　)
A.10　　　 B.-4　　　 C.4　　　 D.6
D
解析　∵(k-3)x=6-2(x+1),∴(k-3)x=6-2x-2,∴(k-3)x+2x=6-2,
∴(k-1)x=4,∴x= ,∵关于x的方程(k-3)x=6-2(x+1)的解为整数,
k为整数,∴k-1=±1或±2或±4,解得k=2或0或3或-1或5或-3,∴满
足条件的所有整数k的和为2+0+3-1+5-3=6,故选D.
9.(2025天津滨海新区经开一中期中改编,★★☆)已知关于x
的方程x(2m-1)=3x+2m+2的解是x=-2,则5m-2(m-3)的值为_____.
9
解析　由题意可知-2(2m-1)=3×(-2)+2m+2,解得m=1,∴5m-2(m
-3)=5×1-2×(1-3)=5-2×(-2)=5+4=9.
10.【学科特色·多解法】(2025安徽阜阳期中改编,★★☆)已知x=2是关于x的方程ax-7=10x-a的解,则关于x的方程a(x-3)-7=10(x-3)-a的解为___________.
x=5
解析　【解法一】把x=2代入方程ax-7=10x-a,得2a-7=20-a,解
得a=9,所以方程a(x-3)-7=10(x-3)-a可写为9(x-3)-7=10(x-3)-9,
解得x=5.
【解法二】∵方程ax-7=10x-a的解为x=2,∴关于x的方程a(x-
3)-7=10(x-3)-a的解可表示为x-3=2,即x=5.
11.【学科特色·分类讨论思想】(★★☆)若ab<0,且m= - ,
则关于x的一元一次方程(m+2)x+4=2(x+1)的解是____________.
x=±1
解析　∵ab<0,∴a,b异号,当a>0,b<0时,m= - =1-(-1)=2,当
a<0,b>0时,m= - =-1-1=-2.化简(m+2)x+4=2(x+1),得mx+2=
0,当m=2时,2x+2=0,解得x=-1,当m=-2时,-2x+2=0,解得x=1.
综上,关于x的一元一次方程(m+2)x+4=2(x+1)的解是x=±1.
12.【新考向·新定义题】(2025甘肃兰州六十六中期末,★★
☆)规定:用{m}表示大于m的最小整数,例如,{2.3}=3,{8}=9,
{-4.9}=-4;用[m]表示不大于m的最大整数,例如,[3.9]=3,[-4]=
-4,[-1.8]=-2.如果整数x满足关系式3[x]-2{x-2}=7,则x=______.
5
解析　∵x为整数,[x]表示不大于x的最大整数,{x}表示大于x
的最小整数,
∴[x]=x,{x-2}=x-1,
∵3[x]-2{x-2}=7,
∴3x-2(x-1)=7,
解得x=5.
故答案为5.
13.【学科特色·换元法】(2025甘肃兰州榆中期末,★★☆)解
方程3(2x-1)+2(1-2x)=2(2x-1)+3时,可以有多种不同的解法,观
察此方程,设2x-1=y.
(1)原方程可变形为3y-2y=2y+3,解这个方程得y=_______,从
而可得x=_______.
(2)上述解法所用到的数学思想是_______.
(3)利用上述方法解方程:6(4x-3)+2(3-4x)=3(4x-3)+5.
解析 (1)移项,得3y-2y-2y=3,合并同类项,得-y=3,系数化为1,
得y=-3,∴2x-1=-3,解得x=-1.故答案为-3;-1.
(2)换元思想.
(3)设4x-3=z,则原方程可变形为6z-2z=3z+5,移项、合并同类
项,得z=5,
∴4x-3=5,解得x=2.
方法解读　　 换元法
把某个式子看成一个整体,用一个变量去代替它,从而使问题得到
简化,这种方法叫换元法.换元的实质是转化,关键是构造元和设元,
并将问题移至新对象的知识背景中去研究,从而使非标准型问题标
准化,使复杂问题简单化.例如本题中令4x-3=z.
14.(★★☆)在一元一次方程中,如果两个方程的解相同,则称
这两个方程为同解方程.
(1)若方程3x=6与关于x的方程mx=1是同解方程,求m的值.
(2)若关于x的两个方程3x=a+2与3 =1是同解方程,求a
的值.
(3)若关于x的两个方程4x=2(2mn+x)与3x-4=2x+2n是同解方程,
求符合要求的正整数m,n的值.
解析 (1)∵3x=6,∴x=2,∵方程3x=6与关于x的方程mx=1是同
解方程,∴方程mx=1的解为x=2,∴2m=1,∴m= .
(2)由3 =1得3x-2a=1,∴3x=2a+1,∵关于x的两个方程3x
=a+2与3 =1是同解方程,∴2a+1=a+2,∴a=1.
(3)由4x=2(2mn+x)得x=2mn,由3x-4=2x+2n得x=4+2n,∵关于x
的两个方程4x=2(2mn+x)与3x-4=2x+2n是同解方程,∴2mn=4+
2n,∴m=1+ ,∵m,n是正整数,∴n=1,2,当n=1时,m=3;当n=2时,
m=2.综上所述,m=3,n=1或m=2,n=2.

15.【新课标·运算能力】(2025黑龙江哈尔滨期中)如图1,数轴
上的点A,B,C表示的数依次为a,b,4,其中a为方程2(a-5)=-14的
解.
(1)求a的值.
(2)为了求点B表示的数b,小明同学将刻度尺按如图2所示的方
式放置,使刻度尺上的数字0对齐数轴上的点B,此时点A对齐
刻度尺上的1.8 cm,点C对齐刻度尺上的5.4 cm,求b的值.
(3)在(2)的条件下,点D是射线CB上的点(点D不与点A,点B,点C
重合),点D表示的数为t,若3BD-2CD= ,求t的值.
解析 (1)2(a-5)=-14,解得a=-2,∴a的值为-2.
(2)由题意可知BC=3AB,AC=2AB,在数轴上AC=4-(-2)=6,
∴AB=3,∴a-b=3,∴b=-5.
(3)由题意可知BD=|t+5|,CD=4-t,
∵3BD-2CD= ,
∴3|t+5|-2(4-t)= = ,
∴当-5≤t<4时,方程可化为3(t+5)-2(4-t)= ,解得t=- ;当t<-5
时,方程可化为3(-t-5)-2(4-t)= ,解得t=- ,∴t的值为- 或- .(共25张PPT)
第5章　一元一次方程
第1课时　图形问题与和、差、倍、分问题
5.3　实践与探索
　图形问题
1.(2025山东济宁期中)如图,小明从一张正方形纸片上剪去一
个宽为2 cm的长条后,再从剩下的长方形纸片上剪去一个宽
为3 cm的长条,如果两次剪下的长条面积正好相等,那么原来
的正方形纸片的面积是 (　　　)
A.25 cm2　　　 B.64 cm2　　　
C.49 cm2　　　 D.36 cm2
D
解析　设原来的正方形纸片的边长为x cm,根据“两次剪下
的长条面积正好相等”可得2x=3(x-2),解得x=6,∴原来的正方
形纸片的面积为6×6=36(cm2),故选D.
2.(2025重庆七中期中)如图所示的宽为50 cm的大长方形是由
10个全等的小长方形拼成的,则大长方形的面积为 (　　　)

A.4 000 cm2　　　 B.5 000 cm2
C.6 000 cm2　　　 D.3 000 cm2
A
解析　设小长方形的宽为x cm,则小长方形的长为(50-x)cm,
根据题意得2(50-x)=50-x+4x,解得x=10,∴10(50-x)x=10×(50-
10)×10=4 000,∴大长方形的面积为4 000 cm2.故选A.
3.(2025吉林松原长岭三模)如图,在大长方形草坪中规划出了
3块相同的小长方形(图中阴影部分)区域种植鲜花.已知大长
方形的长和宽分别为60 m、45 m,求小长方形的长和宽.

解析　设小长方形的长为x m,则小长方形的宽为(60-2x)m,根
据题意得x+2(60-2x)=45,解得x=25,∴60-2x=60-2×25=10.
答:小长方形的长为25 m,宽为10 m.
4.【学科特色·教材变式P20练习T2】(2025河南洛阳汝阳期
中)在一个底面直径为10 cm,高为18 cm的圆柱形玻璃瓶内装
满水,再将瓶内的水倒入一个底面直径为12 cm,高为10 cm的
圆柱形玻璃杯中,能否完全装下 若装不下,则瓶内水面还有多
高 若没装满,求杯内水面的高度.(不计玻璃瓶和玻璃杯的厚
度)
解析　设圆柱形玻璃瓶内的水可以完全倒入圆柱形玻璃杯
中,且水面的高度为x cm,根据题意得π· ·x=π· ·18,解
得x=12.5,∵12.5>10,∴圆柱形玻璃瓶内的水不可以完全倒入
圆柱形玻璃杯中,此时瓶内水面的高度为π· ·(12.5-10)÷π·
=3.6(cm).∴不能完全装下,且此时瓶内水面的高度为3.6
cm.
　和、差、倍、分问题
5.(2025河南开封期末)如果三个连续偶数的和为72,那么其中
最大的偶数为 (　　　)
A.26　　　 B.27　　　 C.28　　　 D.30
A
解析　设这三个连续偶数中最大的偶数为x,则另外两个偶数
分别为x-4,x-2,根据题意得x-4+x-2+x=72,解得x=26,∴这三个
连续偶数中最大的偶数为26.故选A.
6.(2025吉林长春期中)今年女儿4岁,妈妈30岁,若n年后,妈妈
的年龄是女儿年龄的3倍,则n的值为_________.
9
解析　由题意得n年后女儿的年龄为(4+n)岁,妈妈的年龄为
(30+n)岁,∴30+n=3(4+n),解得n=9,∴n的值为9.故答案为9.
7.(2025河南安阳殷都期末)在2024年巴黎奥运会上,中国体育
代表团共获得91枚奖牌,其中金牌40枚,银牌数与铜牌数的比
是9∶8,则中国体育代表团在本届奥运会获得________枚银牌.
27
解析　设获得x枚银牌,则获得 x枚铜牌,由题意可得 x+x+40
=91,解得x=27,
∴中国体育代表团在2024年巴黎奥运会上获得27枚银牌.故
答案为27.
8.(2025吉林长春绿园一模)随着2025年第九届亚冬会圆满落
幕,全国范围内再度掀起一股强劲的冰雪运动热潮.某地举办
了青少年冰雪运动会,某校参加比赛的女生比男生多28人,男
生全部获奖,女生有75%的人获奖,该校参加比赛的男、女生
共有42人获奖.该校参加比赛的男、女生各有多少人
解析　设该校参加比赛的男生有x人,则该校参加比赛的女生
有(28+x)人,由题意得x+75%(28+x)=42,解得x=12,
∴28+x=28+12=40.
答:该校参加比赛的男生有12人,女生有40人.

9.(2025湖南湘西州凤凰期末,★★☆)如图所示,根据图中给出
的信息解决下列问题:如果在只有水的瓶中(如图②所示)放入
10个球,要使水面上升到50 cm,应放入大球、小球的个数分别
为(　　　)

A.3,7　　　 B.4,6　　　 C.5,5　　　 D.6,4
B
解析　设放入小球x个,则放入大球(10-x)个,由题意得 x
+ (10-x)=50-26,解得x=6,∴10-x=4,∴应放入小球6个,大
球4个,故选B.
10.【新考向·数学文化】(2025四川绵阳北川期末,★★☆)程
大位的《直指算法统宗》中有如下问题:一百馒头一百僧,大
僧三个更无争,小僧三人分一个,大、小和尚得几丁.意思是:有
100个和尚分100个馒头,如果大和尚1人分3个,小和尚3人分1
个,正好分完,求大、小和尚各有多少人.下列结果正确的是
(　　　)
A.大和尚有25人,小和尚有75人 B.大和尚有75人,小和尚有25人
C.大和尚有50人,小和尚有50人 D.大、小和尚各有100人
A
解析　设大和尚有x人,则小和尚有(100-x)人,依题意得3x+ (100
-x)=100,
解得x=25,∴100-x=75.
答:大和尚有25人,小和尚有75人.故选A.
11.(2024江西中考,★★☆)如图,书架宽84 cm,在该书架上按
图示方式摆放若干本数学书和语文书(书与书之间的缝隙忽
略不计),已知每本数学书厚0.8 cm,每本语文书厚1.2 cm.
(1)数学书和语文书共90本恰好摆满该书架,求书架上数学书
和语文书各多少本.
(2)如果书架上已摆放10本语文书,那么数学书最多还可以摆
多少本
解析 (1)设书架上有x本数学书,则有(90-x)本语文书,根据题
意得0.8x+1.2(90-x)=84,
解得x=60,则90-x=90-60=30.
答:书架上有60本数学书,30本语文书.
(2)设数学书最多还可以摆y本,
根据题意得1.2×10+0.8y=84,解得y=90.
答:数学书最多还可以摆90本.
12.【新课标·应用意识】(2025黑龙江哈尔滨南岗期中)如图1,
已知一个圆柱形储水容器的底面周长为2.4 m.(π取3)
(1)该圆柱形储水容器的底面半径为______m.
(2)如图2,现有两个圆柱形铁块,已知小圆柱形铁块的底面积
是大圆柱形铁块底面积的 ,小圆柱形铁块的底面积为100 cm2,高为54 cm.已知大圆柱形铁块的体积是小圆柱形铁块体积
的2倍,求大圆柱形铁块的高是多少.
(3)如图3,在(2)的条件下,将这两个圆柱形铁块竖直放入图1中
盛有一定量水的圆柱形储水容器中,并完全浸没,此时水位高
度为80 cm,在圆柱形储水容器底部安装2个进水管,4个出水
管,同时打开,已知每个进水管的进水速度为每分钟10 L,经过
6分钟后,水位下降到36 cm,求每个出水管的出水速度.(1 L=
1 000 cm3)

解析 (1)根据题意得该圆柱形储水容器的底面半径为2.4÷3÷
2=0.4(m).故答案为0.4.
(2)设大圆柱形铁块的高是x cm,
根据题意得100÷ x=100×54×2,解得x=72.
答:大圆柱形铁块的高是72 cm.
(3)该圆柱形储水容器的底面半径为0.4 m=40 cm.设每个出水
管的出水速度为每分钟y L,根据题意得6×4y-6×2×10= ×
3×402×(80-36)-100×(54-36)-100÷ ×(72-36) ,
解得y=13.5.
答:每个出水管的出水速度为每分钟13.5 L.(共28张PPT)
第5章　自主检测
时间：40分钟 满分：100分
一、选择题(每小题4分,共32分)
1.(2025云南昆明西山期末)下列式子中,是一元一次方程的是
(　　　)
A.x-5=y　　　 B.x2+6=2
C.2x+4=3　　　 D.4x+5<0
C
解析 A.x-5=y中含有两个未知数,不是一元一次方程,故本选
项不符合题意;B.x2+6=2中x的次数是2,不是一元一次方程,故
本选项不符合题意;C.2x+4=3是一元一次方程,故本选项符合
题意;D.4x+5<0不是一元一次方程,故本选项不符合题意.故选
C.
2.(2025江苏无锡梁溪二模)已知x=2是方程2x-3m=-5的解,那么
m的值是 (　　　)
A.- 　　　 B. 　　　 C.-3　　　 D.3
D
解析　将x=2代入2x-3m=-5得,2×2-3m=-5,解得m=3,∴m的值为
3.故选D.
3.【跨物理·天平】(2025江苏扬州仪征期末)假设“ ”“ ”
“ ”分别表示三种不同的物体.如图,前两架天平保持平衡,
要使第三架天平也保持平衡,则“ ”处应放“ ”的个数是
(　　　)

A.4　　　 B.5　　　 C.6　　　 D.7
C
解析　由题意可得 = , =2 ,则3 =3 =6 ,故选C.
4.(2025四川乐山马边期中)解方程 - =1时,去分母正
确的为 (　　　)
A.3(3x-7)-2+2x=6
B.(3x-7)-2(1+x)=7
C.3(3x-7)-2(1+x)=1
D.3(3x-7)-2(1+x)=6
D
解析 - =1,去分母,得3(3x-7)-2(1+x)=6.故选D.
5.(2025贵州毕节金沙期末)小明在做作业时,不小心将方程2(x
-3)-■=x+1中的一个常数污染了.他翻开书后的答案,发现方
程的解是x=9.这个被污染的常数是 (　　　)
A.1　　　 B.2　　　 C.3　　　 D.4
B
解析　设被污染的常数为y,则原方程可以写为2(x-3)-y=x+1,
将x=9代入得2×6-y=10,解得y=2.故选B.
6.【学科特色·多解法】已知关于x的方程3x- = +4与3-2x=
7-4x,如果这两个方程的解相同,那么a的值为 (　　　)
A.9　　　 B.-9　　　 C.3　　　 D.-3
B
解析　【解法一】解方程3-2x=7-4x,得x=2.因为方程3x- =
+4与3-2x=7-4x的解相同,所以方程3x- = +4的解也为x=2,将
x=2代入方程3x- = +4,得6- =5+4,解得a=-9.故选B.
【解法二】解方程3-2x=7-4x,得x=2.解方程3x- = +4,得x=
,因为方程3x- = +4与3-2x=7-4x的解相同,所以
=2,解得a=-9,故选B.
7.(2025河北石家庄四十二中三模)明代数学家程大位的《算
法统宗》中有一个问题,其大意为:有一群人分银子,如果每人
分七两,则剩余四两;如果每人分九两,则还差八两,求这群人的
人数和总银两数.嘉嘉和淇淇根据题意分别列出如下方程,下
列判断正确的是 (　　　)
嘉嘉:7x+4=9x-8;
淇淇: = .
A.嘉嘉设总银两为x两
B.淇淇设这群人共有y人
C
C.嘉嘉所列方程用的相等关系是两次分钱的总银两数相同
D.淇淇所列方程用的相等关系是每人分到的银两数相同
解析　由题意可得嘉嘉设这群人共有x人,所列方程用的相等
关系是两次分钱的总银两数相同;淇淇设总银两数为y两,所列
方程用的相等关系是总人数相同,故C正确.故选C.
8.【新考向·新定义题】(2025山东菏泽曹县期末)对于两个不
相等的有理数a,b,我们规定符号max{a,b}表示a,b两数中较大
的数,例如max{-4,3}=3,按照这个规定,关于x的方程max{-1,x}
= x-2的解为 (　　　)
A.x= 　　　 B.x=
C.x= 或x= 　　　 D.x=
A
解析　分两种情况讨论:当x>-1时,max{-1,x}=x,方程为x= x-
2,解得x= ,∵ >-1,∴x= 符合题意;当x<-1时,max{-1,x}=-1,方
程为-1= x-2,解得x= ,∵ >-1,∴x= 不符合题意.
综上所述,方程max{-1,x}= x-2的解为x= .故选A.
二、填空题(每小题5分,共20分)
9.(2025吉林长春月考改编)若(m-4)x|m|-3-6=0是关于x的一元一
次方程,则这个方程的解为____________.
x=-
解析　因为(m-4)x|m|-3-6=0是关于x的一元一次方程,∴|m|-3=1,
且m-4≠0,∴m=-4,所以原方程可化为-8x-6=0,解得x=- .故答
案为x=- .
10.(2025河南洛阳汝阳期中)当a=_______时,关于x的方程 -
=1的解是x=-1.
　-1
解析　∵x=-1是关于x的方程 - =1的解,∴把x=-1代
入方程得 - =1,去分母、去括号得2+3-a=6,移项、合并
同类项得a=-1,∴当a=-1时,关于x的方程 - =1的解是x
=-1.故答案为-1.
11.【新考向·新定义题】(2025河北邯郸临漳期末)符号
“ ”称为“二阶行列式”,规定它的运算法则为 =
ad-bc,则 =1中x的值为_________.
解析　∵ =ad-bc, =1,∴2× - =1,去分母,
得2(x-1)-3(1-x)=6,去括号,得2x-2-3+3x=6,移项,得2x+3x=6+2+
3,合并同类项,得5x=11,系数化为1,得x= .故答案为 .
12.(2025河南郑州中牟期末)已知A,B两地相距200千米,甲车
以80千米/时的速度从A地出发,乙车以60千米/时的速度从B地
出发,乙车在前,甲车在后.如果两车同时出发,同向而行,那么
出发____________小时后,两车相距20千米.
9或11
解析　设出发x小时后,两车相距20千米,由题意可知,分两种
情况讨论:当两车相遇前相距20千米时,80x-60x=200-20,解得x
=9;当两车相遇后相距20千米时,80x-60x=200+20,解得x=11,
∴出发9小时或11小时后,两车相距20千米.故答案为9或11.
三、解答题(共48分)
13.【学科特色·教材变式P26T1】(12分)解下列方程:
(1)(2025河南安阳汤阴期末)3-(x-2)=5(x+1).
(2)(2025江西赣州期末) =1- .
解析 (1)去括号,得3-x+2=5x+5,移项,得-x-5x=-3-2+5,合并同
类项,得-6x=0,系数化为1,得x=0.
(2)去分母,得5x=15-3(x-1),去括号,得5x=15-3x+3,移项,得5x+3x
=15+3,合并同类项,得8x=18,系数化为1,得x= .
14.(2024陕西中考)(10分)塞罕坝机械林场经过三代务林人的
接续奋斗,已知现在该林场的林木总蓄积比原来增加了1 007
万m3,已成为目前世界上最大的人工林场,又知现在该林场的
林木总蓄积比原来的31倍还多17万m3,则该林场原来的林木
总蓄积是多少万m3
解析　设该林场原来的林木总蓄积是x万m3,则现在该林场的
林木总蓄积是(31x+17)万m3,根据题意得31x+17-x=1 007,解得
x=33.
答:该林场原来的林木总蓄积是33万m3.
15.【新考向·新定义题】(2025江苏泰州泰兴期末)(12分)如果
2m+3n=5(m+n),那么我们把数m和n称为等式2m+3n=5(m+n)的
“共和数对”,记作[m,n].
(1)[4,6], 中,可以被称为等式2m+3n=5(m+n)的“共和数
对”的是_______.
(2)若 是等式2m+3n=5(m+n)的“共和数对”,求x的值.
(3)已知a为常数,无论k取何值,[ak-a,-3k+3]总是等式2m+3n=
5(m+n)的“共和数对”,求a的值.
解析 (1)对于[4,6],2m+3n=2×4+3×6=26,5(m+n)=5×(4+6)=50,
因为26≠50,所以[4,6]不是等式2m+3n=5(m+n)的“共和数
对”;对于 ,
2m+3n=2× +3× = ,5(m+n)=5× = ,所以
是等式2m+3n=5(m+n)的“共和数对”.故答案为 .
(2)∵ 是等式2m+3n=5(m+n)的“共和数对”,∴2×2+3×
x=5 ,解得x=-9.
(3)∵[ak-a,-3k+3]是等式2m+3n=5(m+n)的“共和数对”,
∴2(ak-a)+3(-3k+3)=5[(ak-a)+(-3k+3)],整理得(a-2)k=a-2,
∵无论k取何值,[ak-a,-3k+3]总是等式2m+3n=5(m+n)的“共和数对”,∴a-2=0,∴a=2.
16.(2025江苏苏州期末)(14分)某市对居民生活用水实行阶梯
水价,每年的收费标准如表:
阶梯 家庭每年用水量 水价/(元/立方米)
第一阶梯 不超过x立方米的部分 a
第二阶梯 超过x立方米但不超过300立方米的部分 4.4
第三阶梯 超过300立方米的部分 7.1
已知小明家2024年共用水190立方米,处于第一阶梯,共缴水费
646元;小丽家2024年共用水241立方米,处于第二阶梯,共缴水
费844.4元.
(1)填空:a=_______,x=_______.
(2)2024年小慧家共缴水费1 246元,求小慧家2024年的用水量.
解析 (1)∵小明家2024年共用水190立方米,处于第一阶梯,
共缴水费646元,
∴190a=646,解得a=3.4,∴第一阶梯的水价为3.4元/立方米.
∵小丽家2024年共用水241立方米,处于第二阶梯,共缴水费
844.4元,∴3.4x+4.4(241-x)=844.4,解得x=216.故答案为3.4;216.
(2)设小慧家2024年的用水量为y立方米,∵3.4×216+4.4×(300-
216)=1 104(元),
∴用水量为300立方米时,所缴水费为1 104元,∵2024年小慧
家共缴水费1 246元,且1 246元>1 104元,∴小慧家2024年的用
水量超过300立方米,根据题意得1 104+7.1(y-300)=1 246,解得
y=320.
答:小慧家2024年的用水量为320立方米.

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