资源简介

(共25张PPT)
第6章　一次方程组
6.1　二元一次方程组和它的解
　二元一次方程(组)的概念
1.(2025四川德阳期中)下列方程组中,属于二元一次方程组的
是 (　　　)
A. 　　　 B.
C. 　　　 D.
B
解析 A.方程组中含有三个未知数,不是二元一次方程组,故
本选项不符合题意;B.是二元一次方程组,故本选项符合题意;
C.含有未知数的项的最高次数是2,不是二元一次方程组,故本
选项不符合题意;D.方程 + =6不是整式方程,不是二元一次
方程组,故本选项不符合题意.故选B.
2.(2025云南昆明期中)若关于x,y的方程5xa-1-3y=7是二元一次
方程,则a=_________.
2
解析　根据题意得a-1=1,解得a=2,故答案为2.
　二元一次方程(组)的解
3.下列4组数中,不是二元一次方程2x+y=4的解的是 (　　　)
A. 　　　 B.
C. 　　　 D.
D
解析 A.把x=1,y=2代入方程,得左边=4=右边,所以是该方程
的解;B.把x=2,y=0代入方程,得左边=4=右边,所以是该方程的
解;C.把x=0.5,y=3代入方程,得左边=4=右边,所以是该方程的
解;D.把x=-2,y=4代入方程,得左边=0≠右边,所以不是该方程
的解.故选D.
4.(2025陕西西安长安期末)数学课堂上,老师要求写出一个以
为解的二元一次方程组,下列方程组中符合条件的是
(　　　)
A. 　　　 B.
C. 　　　 D.
D
解析　将 依次代入选项中的方程,只有选项D中的两个
方程都成立,故选D.
5.已知 是方程x-ay=-3的解,那么a2 024的值为 (　　　)
A.1　　　 B.-1　　　 C.2 024　　　 D.-2 024
A
解析　将 代入方程x-ay=-3得2+5a=-3,解得a=-1,所以
a2 024=(-1)2 024=1.故选A.
　根据实际问题列二元一次方程组
6.(2025河南南阳兴宛学校月考)长江比黄河长933 km,黄河长
度的6倍比长江长度的5倍多799 km,设长江的长为x km,黄河
的长为y km,则可列方程组为 (　　　)
A. 　　　 B.
C. 　　　 D.
D
解析　根据“长江比黄河长933 km,黄河长度的6倍比长江长
度的5倍多799 km”可得 故选D.
7.(2025海南琼中三模)文昌航天科普中心和铜鼓岭是文昌市
的两大热门旅游景点.五一期间,学校组织师生前往这两个景
点研学.根据以下对话,求学校租用的大巴车和中巴车各有多
少辆.(只列方程组,不解答)

解析　设租用大巴车x辆,中巴车y辆,根据题意可列方程组为

方法解读
列二元一次方程组解应用题的关键是找出题目中的两个相等
关系,设未知数,用含未知数的代数式表示相等关系即可.

8.【学科特色·易错题】(2025河南南阳期末,★★☆)若关于x,y
的方程2x|m|+(m-1)y=3是二元一次方程,则m的值为 (　　　)
A.0　　　 B.-1　　　 C.1　　　 D.2
B
解析　∵关于x,y的方程2x|m|+(m-1)y=3是二元一次方程,∴|m|=
1且m-1≠0,∴m=±1且m≠1,解得m=-1,故选B.
易错警示
本题易因忽略y的系数m-1≠0而出错.
9.(2025甘肃武威期中,★★☆)已知二元一次方程组
的解为 则被“　　”遮盖的方程可能是
(　　　)
A.3x+y=-11　　　 B.x+y=5
C.x-2y=-7　　　 D.2x-y=8
D
解析　将 代入选项A中的方程得左边=7≠右边,故A选
项不符合题意;将 代入选项B中的方程得左边=1≠右
边,故B选项不符合题意;将 代入选项C中的方程得左边
=7≠右边,故C选项不符合题意;将 代入选项D中的方程
得左边=8=右边,故D选项符合题意.故选D.
10.【新考向·数学文化】(2025四川广安中考,★★☆)《九章
算术》中有一道题:“今有共买物,人出八,盈三;人出七,不足
四.问:人数、物价各几何 ”译文:假设共同买东西,如果每人
出8钱,盈余3钱;每人出7钱,不足4钱.问:人数、物价各是多少
设人数为x,物价为y,则可列方程组为 (　　　)
A. 　　　 B.
C. 　　　 D.
B
解析　根据“每人出8钱,盈余3钱;每人出7钱,不足4钱”可列
方程组为 故选B.
11.(2025宁夏吴忠四中二模,★★☆)若关于x,y的二元一次方
程组 的解为 则○和☆代表的数分别为
(　　　)
A.-9和-1　　　 B.9和1
C.-3和-1　　　 D.-3和1
A
解析　把y=3代入2x+y=1,得2x+3=1,解得x=-1,∴☆代表的数
为-1,把x=-1,y=3代入3x-2y=○,得○=3×(-1)-2×3=-9,∴○代表
的数为-9.故选A.
12.(2025四川成都期末,★★☆)甲、乙两位同学在解方程组
时,甲因看错了字母a得到方程组的解为 乙
因看错了字母b得到方程组的解为 则a+b=_________.
3
解析　把 代入方程bx-4y=4,得4b-4×1=4,解得b=2,把
代入方程ax+3y=9,得3a+3×2=9,解得a=1,∴a+b=1+2=3,
故答案为3.
13.(2025广东深圳外国语学校期中改编,★★★)现有一段长3
50米的河边道路需整治,该任务由A,B两个工程队先后接力完
成,A工程队每天整治15米,B工程队每天整治10米,共用时30
天.根据题意,甲、乙两位同学分别列出了不完整的方程组:
甲: 乙:
从甲、乙两位同学所列的方程组中任选一组,解答下列问题:
选择的方程组为_______(填“甲”或“乙”),则x为______
____,y为_______,补全的方程组为_______.
解析　若选择甲列的方程组,则x为A工程队整治的天数,y为B
工程队整治的天数,
补全的方程组为
若选择乙列的方程组,则x为A工程队整治的河道长度,y为B工
程队整治的河道长度,补全的方程组为

14.【新课标·创新意识】把y=ax+b(其中a,b是常数,x,y是未知
数)这样的方程称为“雅系二元一次方程”.当y=x时,“雅系
二元一次方程”y=ax+b中x的值称为“雅系二元一次方程”
的“完美值”.例如:当y=x时,“雅系二元一次方程”y=3x-4化
为x=3x-4,其“完美值”为x=2.
(1)求“雅系二元一次方程”y=5x-6的“完美值”.
(2)若x=-3是“雅系二元一次方程”y= x+m的“完美值”,求
m的值.
(3)是否存在n,使得“雅系二元一次方程”y=- x+n与y=3x-n+
1(n是常数)的“完美值”相同 若存在,请求出n的值及此时的
“完美值”;若不存在,请说明理由.
解析 (1)当y=x时,x=5x-6,解得x= ,∴“雅系二元一次方程”
y=5x-6的“完美值”为x= .
(2)∵x=-3是“雅系二元一次方程”y= x+m的“完美值”,
∴-3= ×(-3)+m,解得m=-2.
(3)存在n,使得“雅系二元一次方程”y=- x+n与y=3x-n+1(n
是常数)的“完美值”相同.
由x=- x+n,得x= n,由x=3x-n+1,得x= ,由题意得 n= ,
解得n=5,∴x=2,∴n的值为5,
此时的“完美值”为x=2.(共24张PPT)
第6章　一次方程组
第3课时　列二元一次方程组解应用题
6.2　二元一次方程组的解法
　列二元一次方程组解应用题
1.(2024内蒙古赤峰中考)用1块A型钢板可制成3块C型钢板和
4块D型钢板,用1块B型钢板可制成5块C型钢板和2块D型钢
板.现在需要58块C型钢板、40块D型钢板,则需用A型钢板、
B型钢板各多少块 设用A型钢板x块,用B型钢板y块,则可列方
程组为 (　　　)
A. 　B. C. 　 D.
C
解析　∵用1块A型钢板可制成3块C型钢板和4块D型钢板,用
1块B型钢板可制成5块C型钢板和2块D型钢板,且现在需要58
块C型钢板、40块D型钢板,∴可列方程组为 故选
C.
2.(2024四川绵阳中考)如图,每只蜻蜓有6条腿,2对翅膀,每只
蝉有6条腿,1对翅膀.现有若干只蜻蜓和蝉,共有42条腿,10对翅
膀,则蜻蜓和蝉的只数分别是 (　　　)

A.3,4　　　 B.4,3　　　 C.2,5　　　 D.5,2
A
解析　设蜻蜓有x只,蝉有y只,由题意得 解得
故选A.
3.【跨物理·天平】(2025海南海口期中)有黑、白两种颜色的
小球若干个,且同色小球质量均相等,在如图所示的两次称量
中,天平恰好平衡,如果每个砝码质量为5克,那么一个黑色小
球和一个白色小球的质量和是 (　　　)

A.1克　　　 B.2克　　　 C.3克　　　 D.4克
D
解析　设一个黑色小球的质量为x克,一个白色小球的质量为
y克,由题意得 解得 ∴x+y=4,∴一个黑色小
球和一个白色小球的质量和是4克,故选D.
4.(2025河南南阳期末)两块试验田去年共产花生470 kg.改用
良种后,今年共产花生523 kg.已知第一块试验田的产量比去
年增加16%,第二块试验田的产量比去年增加10%.求改用良
种后每块试验田的产量.若设去年第一块试验田和第二块试
验田的产量分别为x kg和y kg,根据题意可列方程组为
______________________.
解析　由“两块试验田去年共产花生470 kg”可列方程x+y=
470;由“改用良种后,今年共产花生523 kg.已知第一块试验田
的产量比去年增加16%,第二块试验田的产量比去年增加10%”可列方程(1+16%)x+(1+10%)y=523,∴可列方程组为

5.【跨音乐·钢琴】(2024吉林中考)钢琴素有“乐器之王”的
美称.键盘上白色琴键和黑色琴键共有88个,白色琴键比黑色
琴键多16个.求白色琴键和黑色琴键的个数.
解析　设白色琴键的个数为x,黑色琴键的个数为y,由题意得
解得
答:白色琴键的个数为52,黑色琴键的个数为36.
6.(2025安徽合肥蜀山颐和中学三模)某县计划对一河道进行
改造,现有甲、乙两个工程队参加改造施工,受条件限制,每天
只能由一个工程队施工.已知甲工程队先单独施工2天,再由乙
工程队单独施工1天,共可以完成220米施工任务;甲工程队先
单独施工3天,再由乙工程队单独施工2天,共可以完成360米施
工任务.求甲、乙两个工程队平均每天分别能完成多少米施
工任务.
解析　设甲工程队平均每天能完成x米施工任务,乙工程队平
均每天能完成y米施工任务,由题意可知 解得

答:甲工程队平均每天能完成80米施工任务,乙工程队平均每
天能完成60米施工任务.

7.(2025河南南阳镇平期中,★★☆)如图,老师利用两块大小一
样的长方体木块测量一张桌子的高度,首先将两个木块按照
图①所示的方式放置,再交换两木块的位置,按照图②所示的
方式放置,测量的数据如图所示,则桌子的高度是 (　　　)
C
A.78 cm　　　 B.79 cm　　　 C.80 cm　　　 D.81 cm
解析　设桌子的高度为x cm,长方体木块截面的长比宽多
y cm,根据题意得 解得 ∴桌子的高度为80 cm.
故选C.
8.【新考向·数学文化】(2024四川南充中考改编,★★☆)我国
古代《算法统宗》里有这样一首诗:“我问开店李三公,众客
都来到店中.一房七客多七客,一房九客一房空.”诗中后面两
句的意思是:如果每一间客房住7人,那么有7人无房可住;如果
每一间客房住9人,那么就空出一间客房.设有客房x间,客人y
人,则可列方程组为_________.
解析　根据“每一间客房住7人,有7人无房可住”可列方程
为7x+7=y;根据“每一间客房住9人,就空出一间客房”可列方
程为9(x-1)=y,∴可列方程组为
9.【学科特色·教材变式P52T6】(2025江苏苏州期中,★★☆)
某天,弟弟对哥哥说:“现在我俩的年龄加起来是妈妈年龄的
一半.”哥哥对弟弟说:“现在我比你大4岁,再过18年,我们的
年龄加起来就等于妈妈的年龄了.”则哥哥今年的年龄是
_____岁.
11
解析　设哥哥今年的年龄是x岁,弟弟今年的年龄是y岁,由题
意得
解得 ∴哥哥今年的年龄是11岁,故答案为11.
10.(2025吉林长春期末,★★☆)个人用户微信提现手续费的
收取规则如下:每位用户享有累计1 000元的免费提现额度,超
过1 000元免费额度时,超过部分将按0.1%的费率收取手续费.
例如,首次提现500元(未超过免费额度)不收取手续费,再提现
800元(累计超过免费额度300元),将收取0.3元手续费.
(1)小明妈妈以前从未提现过,现需要把微信中的5 000元提现,
需支付手续费_______元.
(2)若小亮妈妈从使用至今共提现过2次,第一次提现(3a+b)元,
支付手续费2.4元;第二次提现(a+2b)元,支付手续费2.8元.求a,
b的值.
解析 (1)由题意得需支付手续费(5000-1 000)×0.1%=4(元),故
答案为4.
(2)由题意得
解得
答:a的值为800,b的值为1 000.

11.【新课标·空间观念】某企业用规格170 cm×40 cm的标准
板材作为原材料,按照图1中的裁法一或裁法二,裁出甲型与乙
型两种板材(单位:cm).


(1)求图1中a、b的值.
(2)若将40张标准板材按裁法一裁剪,5张标准板材按裁法二裁
剪,裁剪后,将得到的甲型与乙型板材做成如图2所示的竖式与
横式两种无盖的装饰盒若干个(接缝处的长度忽略不计).
①一共可裁剪出甲型板材_______张,乙型板材_______张.
②恰好可以做出竖式和横式两种无盖装饰盒共多少个
解析 (1)依题意得 解得
答:a的值为60,b的值为40.
(2)①一共可裁剪出甲型板材40×2+5×1=85(张),乙型板材40×1
+5×2=50(张).故答案为85;50.
②设可做出m个竖式无盖装饰盒和n个横式无盖装饰盒,
依题意得
解得
∴m+n=4+23=27.
答:恰好可以做出竖式和横式两种无盖装饰盒共27个.(共25张PPT)
第6章　一次方程组
6.4　实践与探索
　几何图形问题
1.(2025河南南阳邓州期中)如图,把一个长为14 cm,宽为10 cm
的大长方形分成五块,其中两个长方形和两个大正方形分别
相同,则中间小正方形的边长为_________cm.

2
解析　设大正方形的边长为x cm,中间小正方形的边长为y cm,
由题意得
解得 ∴中间小正方形的边长为2 cm,故答案为2.
　配套问题
2.(2025吉林长春月考)某学校十周年校庆筹备期间,七年级同
学承担了制作六面体灯笼的任务.制作一个灯笼需要用2个底
面和4个侧面.现共有120张卡纸,已知一张卡纸可以制作10个
底面或20个侧面,为了使制作的底面和侧面刚好配套,则用于
制作底面的卡纸有__________张.
60
解析　设用于制作底面的卡纸有x张,用于制作侧面的卡纸有
y张,根据题意得 解得
∴用于制作底面的卡纸有60张.
　销售问题
3.(2025河南周口郸城月考)小星和小红都是航天爱好者,他们
计划购买甲、乙两种飞船模型.下面是两位同学的对话:
小星:“我买了1件甲种飞船模型和1件乙种飞船模型,共花了
40元.”
小红:“我买了2件甲种飞船模型和3件乙种飞船模型,共花了
95元.”
求甲、乙两种飞船模型每件的售价分别为多少元.
解析　设甲种飞船模型每件的售价为x元,乙种飞船模型每件
的售价为y元,
根据题意得
解得
答:甲种飞船模型每件的售价为25元,乙种飞船模型每件的售
价为15元.
　行程问题
4.(2025河南信阳期末)甲、乙二人在环形跑道上匀速跑步,如
果同时同地出发,相向而行,每隔3分钟相遇一次;如果同向而
行,每隔7分钟相遇一次.已知甲比乙跑得快,则甲每分钟跑
____圈.
解析　设甲每分钟跑x圈,乙每分钟跑y圈,
由题意得 解得
∴甲每分钟跑 圈.
故答案为 .
　积分问题
5.(2025湖南长沙模拟)足球比赛的得分规则为胜一场得3分,
平一场得1分,负一场得0分,某队进行了13场比赛,其中负了4
场,共得19分,那么该队胜了 (　　　)
A.2场　　　 B.3场　　　 C.4场　　　 D.5场
D
解析　设该队胜了x场,平了y场,
根据题意得 解得
∴该队胜了5场,故选D.
　其他问题
6.(2025河南商丘永城期末)某市采用价格调控的手段来引导
市民节约用水:每户居民每年用水不超过180 m3时,按基本水
价收费;超过180 m3时,超过的部分加价收费.该市甲、乙两户
居民去年的用水量和水费如表所示:
用水量/m3 水费/元
甲户 200 930
乙户 240 1 170
(1)求该市居民用水的基本水价和超过180 m3部分的水价.
(2)若该市丙户居民去年的水费为1 050元,求该市丙户居民去
年的用水量.
解析 (1)设该市居民用水的基本水价是x元/m3,超过180 m3部
分的水价是y元/m3,
根据题意得 解得
答:该市居民用水的基本水价是4.5元/m3,超过180 m3部分的水
价是6元/m3.
(2)设该市丙户居民去年的用水量为a m3,根据题意得180×4.5
+6(a-180)=1 050,解得a=220.
答:该市丙户居民去年的用水量为220 m3.

7.(2025山东烟台蓬莱期中,★★☆)佳佳坐在匀速行驶的车上,
每隔一段时间看到的里程碑上的数据如下:
时刻 12:00 13:00 14:00
里程碑上 的数 是一个两位
数,各数位上
的数字之和
为7 十位上的数字和个位上的数字与 12:00时看到的刚
好位置颠倒 比12:00看到
的两位数中
间多了一个0
则12:00时看到的两位数是 (　　　)
A.15　　　 B.16　　　 C.25　　　 D.34
B
解析　设12:00时看到的两位数的十位上的数字为x,个位上的
数字为y,
依题意得 解得
∴10x+y=16,即12:00时看到的两位数是16.故选B.
8.(2025福建泉州晋江期中,★★☆)如图,小明作业本中有一页
被墨水污染了,已知他所列的方程组是正确的.
应用题:小东计划在某商场购买一台电视和一台空调,已知
在五一假期前购买共需花费5 500元,由于该商场开展五一
促销活动,同样的电视打八折销售, 于是小东
在促销期间购买了同样的电视一台,空调两台,共花费7 200
元.问:五一假期前同样的电视和空调每台各多少元
解:设五一假期前同样的电视每台x元,同样的空调每台y元,
根据题意,得
(1)题干中被污染的条件是_______.
(2)请根据以上信息完成解答过程.
解析 (1)∵所列方程组的第二个方程为0.8x+2(y-400)=7 200,
∴被污染的条件是同样的空调每台优惠400元.故答案为同样
的空调每台优惠400元.
(2)设五一假期前同样的电视每台x元,同样的空调每台y元,根
据题意得 解得
答:五一假期前同样的电视每台2 500元,同样的空调每台3 000
元.

9.【新课标·应用意识】(2025河南信阳期末)根据以下素材,探
索解决问题.
素材一:某餐饮公司提供的早餐包含一个60 g的鸡蛋、一份牛
奶和一份谷物.
素材二:100 g谷物、100 g牛奶和100 g鸡蛋的部分营养成分如
表:
谷物 牛奶 鸡蛋
蛋白质/g 9.0 3.0 12.0
脂肪/g 2.1 3.2 8.0
水分/g 40.2 89.8 74.1
素材三:该餐饮公司有A,B两种午餐套餐(如表),为了平衡膳
食,建议在一周内,平均每顿午餐蔬菜的摄入量不少于280 g,肉
类摄入量不少于60 g.
套餐 肉类 蔬菜类 主食
A 80 g 250 g 150 g
B 50 g 300 g 180 g
问题解决:
(1)若一份早餐包含一个60 g的鸡蛋、200 g牛奶和150 g谷物,
求该份早餐中蛋白质的总含量.
(2)若早餐要求蛋白质总含量占早餐总质量的7.35%,已知该餐
饮公司提供的一份早餐的总质量为400 g,求每份早餐中牛奶
和谷物的质量.
(3)为平衡膳食,请你选出一周内符合午餐要求的A,B套餐组合
(一周按5天计算):_______(填序号).①A套餐1天、B套餐4天;
②A套餐2天、B套餐3天;
③A套餐3天、B套餐2天;
④A套餐4天、B套餐1天.
解析 (1)由题意得150×9%+200×3%+60×12%=26.7(g).
答:该份早餐中蛋白质的总含量为26.7 g.
(2)设该早餐中牛奶的质量为x g,谷物的质量为y g,由题意得
解得
答:该早餐中牛奶的质量为140 g,谷物的质量为200 g.
(3)选择①A套餐1天、B套餐4天的蔬菜总质量为250+300×4=
1 450(克),肉类总质量为80+50×4=280(克);
选择②A套餐2天、B套餐3天的蔬菜总质量为250×2+300×3=
1 400(克),肉类总质量为80×2+50×3=310(克);
选择③A套餐3天、B套餐2天的蔬菜总质量为250×3+300×2=
1 350(克),肉类总质量为80×3+50×2=340(克);
选择④A套餐4天、B套餐1天的蔬菜总质量为250×4+300=1 3
00(克),肉类总质量为80×4+50=370(克),∴只有选择A套餐2天、B套餐3天,才能满足一周内蔬菜的摄入量不少于280×5=1 400(克),肉类的摄入量不少于60×5=300(克),故填②.(共28张PPT)
第6章　一次方程组
第2课时　用加减法解二元一次方程组
6.2　二元一次方程组的解法
　用加减消元法解二元一次方程组
1.(2025吉林长春朝阳期中)用加减消元法解方程组
时,由②-①消去未知数y,所得到的一元一次方程
是 (　　　)
A.2x=9　　　 B.2x=3　　　 C.2x=-3　　　 D.2x=-9
A
解析　由②-①得2x=9,故选A.
2.(2025吉林长春九台期末改编)方程组 的解是
(　　　)
A. 　　　 B. 　　 C. 　　 D.

A
解析 ①+②得6x=6,解得x=1,把x=1代入①,得2
×1-y=-5,解得y=7,∴原方程组的解是 故选A.
3.【学科特色·多解法】(2025河南安阳林州模拟)已知二元一
次方程组 则x-y的值为 (　　　)
A.2　　　 B.-2　　　 C.4　　　 D.-4
B
解析　【解法一】 ①-②得x-y=-2,故选B.
【解法二】解方程组 得 所以x-y=- - =-2,
故选B.
4.(2025福建南平光泽模拟)二元一次方程组 的解
为_________.
解析 ①×4,得8x-4y=20③,②+③,得11x=22,解
得x=2,把x=2代入①,得y=-1,所以方程组的解是 故答案
为
5.解下列方程组:
(1) 　　　 (2)
(3) 　　　 (4)
(5)
解析 (1) ②-①得x=2,把x=2代入①得y=4,所以方
程组的解为
(2) ①×2得4x-2y=6③,③+②得7x=14,解得x=2,把x
=2代入①得y=1,所以方程组的解是
(3) ①×3,得6x+9y=-15③,②×2,得6x-8y=36④,④-
③,得-17y=51,解得y=-3,把y=-3代入①,得2x+3×(-3)=-5,解得x=
2,∴方程组的解为
(4)整理得 ②×3,得3x-6y=3③,①-③,得10y=10,解
得y=1,把y=1代入②,得x=3,所以方程组的解是
(5)整理得 ①×2,得8x-6y=64③,③-②,得3x=69,
解得x=23,把x=23代入②,得5×23-6y=-5,解得y=20,所以方程组
的解为

6.(2025河北邯郸曲周期中,★★☆)数学课上,王老师让大家用
加减消元法解方程组 下面是四位同学的求解
过程,其中正确的是 (　　　)
A.消去y,可以将①×5+②×2
B.消去x,可以将①×3-②×5
C.消去y,可以将①×3+②×2
D.消去x,可以将①×5-②×2
D
解析　消去y,可以将①×3+②×5.消去x,可以将①×5-②×2,故
选D.
7.(2025江苏南通期中,★★☆)已知关于x,y的方程组
若x-2y=-3,则k的值为 (　　　)
A.-2　　　 B.-1
C.1　　　 D.2
D
解析 ①×3,得6x+3y=6k③,②+③,得10x=5k,解
得x= k,把x= k代入①,得2× k+y=2k,解得y=k,把x= k,y=k代
入x-2y=-3,得 k-2k=-3,∴- k=-3,解得k=2.故选D.
8.(2025广东梅州一模,★★☆)已知|2x+y+3|+(x-y+3)2=0,则(x
+y)2 025= (　　　)
A.2 025　　　 B.1
C.-2 025　　　 D.-1
D
解析　∵|2x+y+3|+(x-y+3)2=0,∴ ①+②得3x+6
=0,∴x=-2,将x=-2代入②,得y=1,∴方程组的解为 ∴(x+
y)2 025=(-2+1)2 025=-1.故选D.
9.【新考向·新定义题】(2025重庆九龙坡期中,★★☆)对有理
数x,y定义一种新运算“*”:x*y=ax+by-1,其中a,b为常数,等式
右边是通常的四则运算,已知3*2=21,3*(-2)=4,那么a+b的值为
(　　　)
A. 　　　 B.-3
C. 　　　 D.
A
解析　∵x*y=ax+by-1,且3*2=21,3*(-2)=4,
∴ 解得 ∴a+b= + = .故选A.
10.(2025河南周口商水二模,★★☆)已知二元一次方程组
则x+y的值为_________.
2
解析 ①+②,得4 047x+4 047y=8 09
4,∴x+y=8 094÷4 047=2.故答案为2.
11.(2025河南南阳桐柏期中,★★☆)在解关于x,y的方程组
时,可以用①×3+②消去未知数x,也可以用
①-②×6消去未知数y,求a和b的值.
解析
∵①×3+②可以消去未知数x,∴3(a-1)+2b=0,∵①-②×6可以
消去未知数y,∴3b+6(a+1)=0,
联立得 解得
12.【学科特色·同解交换法】(2025湖南衡阳祁东期中,★★
☆)已知关于x,y的方程组 与关于x,y的方程组
的解相同,求(2a+b)2 025的值.
解析　由题意可得 解得 把 代入
得
解得 ∴(2a+b)2 025=(2-3)2 025=-1.
方法解读
两个二元一次方程组的解相同称为两个方程组同解,同解交
换法是利用两个方程组的解相同,将原方程组中的两个方程
重新组合成新的方程组,求出方程组的解,再代入另外两个方
程求解的方法.本题先运用同解交换法求出方程组的解,再代
入另外两个方程组成的方程组求字母的值.
13.(2025河南驻马店期末,★★☆)数学活动课上,小云和小辉
在讨论老师出的一道二元一次方程组的问题:
已知关于x,y的二元一次方程组 的解满足2x
+3y=1③,求m的值.

(1)按照小云的方法,可得x的值为______,y的值为_______.
(2)老师说小辉的方法体现了整体代入的思想,请按照小辉的
思路求出m的值.
解析 (1)由题意可得方程组为 ③×3-①×2,得y=-
3,把y=-3代入①,得3x-12=3,解得x=5,故答案为5;-3.
(2)①+②,得4x+6y=5-3m,即2(2x+3y)=5-3m,∴2x+3y= ,
∵2x+3y=1,
∴ =1,解得m=1.

14.【新课标·运算能力】(2025吉林长春期末)小明同学在解
方程组 时发现:如果用常规的代入消元法、加
减消元法来解,计算量大,且易出现运算错误,若采用下面的解
法则比较简单.
解:①+②得11x+11y=11,即x+y=1.②-①得x-y=9,最后重新组成方程组 进而求得方程组的解.这种解二元一次方程组的方法我们称为二元一次方程组的轮换对称解法.
(1)方程组 的解为_______.
(2)利用轮换对称解法解方程组:
解析 (1)根据题意得
③+④,得2x=10,解得x=5,
将x=5代入③,得y=-4,
∴方程组 的解为
(2)
①+②,得4 049x+4 049y=8 098,
即x+y=2③,
②-①,得x-y=4④,
③+④,得2x=6,解得x=3,
把x=3代入③,得y=-1,所以方程组的解为 (共26张PPT)
第6章　一次方程组
第1课时　用代入法解二元一次方程组
6.2　二元一次方程组的解法
　用代入消元法解二元一次方程组
1.(2025福建厦门六中期中)用代入法解二元一次方程组
时,将方程①代入方程②,所得结果正确的为(　　)
A.x-2+4x=4　　　 B.x+2-4x=4
C.x+2+2x=4　　　 D.x+2-2x=4
B
解析　将方程①代入方程②得x+2(1-2x)=4,∴x+2-4x=4,故
选B.
2.(2025湖北襄阳襄州期中)用代入法解方程组 下
列选项正确的是 (　　　)
A.先将①变形为x=2+y,再代入②
B.先将①变形为x=2-y,再代入②
C.先将②变形为y=7-2x,再代入①
D.先将②变形为x= ,再代入①
B
解析　用代入法解该方程组有以下方法:由①得x=2-y,再代入
②;由②得y=2x-7,再代入①;由②得x= ,再代入①.故选B.
3.【学科特色·多解法】(2025河南南阳西峡期中)二元一次方
程组 的解是 (　　　)
A. 　　　 B. 　　　 C. 　　 D.

A
解析　【解法一】 由②得y=3-2x③,将③代入①
得7x-(3-2x)=15,解得x=2,将x=2代入③得y=3-2×2=-1,∴二元一
次方程组的解为 故选A.
【解法二】将选项中的x,y的值代入方程检验,可得只有选项
A中x,y的值使方程组中的方程成立,故选A.
4.(2025河北唐山滦南期中)下面是老师在黑板上展示的某同
学用代入消元法解方程组的步骤,其中开始出现错误的是
(　　　)
C
解方程组:
解:由①得x= ③,………步骤一
把③代入②得3× -5y=5,………步骤二
去分母得24-9y-10y=5,………步骤三
解得y=1,代入③得x=2.5.………步骤四
A.步骤一　　　 B.步骤二　　 C.步骤三　 D.步骤四
解析
由①得x= ③,
把③代入②得3× -5y=5,去分母得24-9y-10y=10,
解得y= ,把y= 代入③得x= ,故从步骤三开始出现错误.
故选C.
5.(2025福建泉州永春模拟)方程组 的解是_____.
解析 把②代入①,得2x+3x=5,解得x=1,把x=1代
入②,得y=3,
∴方程组的解为
6.(2025湖南长沙期中)已知x、y满足方程组 则xy的
值为_________.
6
解析 把①代入②,得2x-(5-x)=4,去括号,得2x-5+
x=4,解得x=3,把x=3代入①,得y=5-3=2,∴xy=3×2=6.故答案为6.
7.【学科特色·教材变式P35T2】用代入消元法解下列方程组:
(1) 　　 　 (2)
(3) 　　　 (4)
解析 (1) 把①代入②,得2×2y+y=4,
解得y= ,把y= 代入①,得x=2× = ,
∴方程组的解为
(2) 由①得y=2x-5③,
将③代入②得,4x+3(2x-5)=-10,解得x= ,
将x= 代入③得y=-4,∴方程组的解是
(3) 由①得x= ③,
将③代入②得,3× +4y=17,解得y=2,
将y=2代入③得x=3,∴方程组的解是
(4)整理得 由②得,y=3x-12③,
将③代入①得x+8(3x-12)=54,解得x=6,
将x=6代入③得y=6,∴原方程组的解为

8.(2025浙江绍兴期中,★★☆)由方程组 可得x与y的
关系式是 (　　　)
A.x-y=8　　　 B.x-y=2
C.x-y=-2　　　 D.x-y=-8
A
解析 将②代入①得x-(y+3)=5,所以x-y=8,故选A.
9.(2025吉林长春德惠期中,★★☆)已知代数式-3xn-1y3与 xmym+n
是同类项,那么m,n的值分别是 (　　　)
A.1,-2　　　 B.-1,-2
C.1,2　　　 D.-2,1
C
解析　∵代数式-3xn-1y3与 xmym+n是同类项,
∴ 将①代入②得n-1+n=3,解得n=2,将n=2代入①得
m=1,∴m,n的值分别为1,2.故选C.
10.(2025重庆万州二中月考,★★☆)两位同学在解关于x,y的
方程组 时,甲同学正确地解出 乙同学因抄错
c解得 则a,b,c正确的值为 (　　　)
A.-3,-1,-5　　　 B.1,-1,-10
C.2,-4,-10　　　 D.3,1,-10
C
解析　把 代入方程组得 把 代入ax+by
=2得-3a-2b=2,把含a,b的方程联立得 解得
由-c-7=3,得c=-10,∴a,b,c的值为2,-4,-10.故选C.
11.【新考向·新定义题】(2025河南濮阳油田十三中期中,★
★☆)定义一种新运算“※”,规定x※y=ax+by2,其中a、b为常
数,等式右边是通常的加法和乘法运算.若1※2=5,2※2=6,则2
※3=__________.
11
解析　∵x※y=ax+by2,且1※2=5,2※2=6,
∴ 解得 ∴x※y=x+y2,
∴2※3=2+32=2+9=11,故答案为11.
方法解读
新定义运算试题的解题关键是对新定义的运算法则的正确理解.
12.(2025吉林长春月考,★★☆)已知y=kx+b(k,b为常数),当x=2
时,y=-4;当x=1时,y=2.
(1)求k、b的值.
(2)当y=2时,求x的值.
解析 (1)∵当x=2时,y=-4;当x=1时,y=2,∴可得方程组
由②得b=2-k③,将③代入①得2k+2-k=-4,解得k=
-6,将k=-6代入③得b=8,∴方程组的解为
(2)由(1)得y=-6x+8,当y=2时,-6x+8=2,解得x=1.
13.(2025北京十一学校月考,★★☆)若关于x,y的方程组
的解满足x+y=4,求a的值.
解析 由①得y=1+3a-3x③,将③代入②得x+3
(1+3a-3x)-a=1,解得x=a+ ,将x=a+ 代入①得y= ,∴方程组的
解为 ∵x+y=4,∴a+ + =4,解得a= .
14.(★★☆)阅读以下材料,解方程组:
王林在解决这个问题时,发现了一种新的方法,他把这种方法
叫做“整体代入法”,解题过程如下:
解:由①得x-y=1③,将③代入②,……
(1)请你替王林补全解题过程.
(2)请你用“整体代入法”解方程组:
解析 (1)由①得x-y=1③,将③代入②,得3×1-y=0,解得y=3,把y
=3代入①,得x-3-1=0,解得x=4,所以方程组的解是
(2)原方程组可化为 由①得2x-y=2③,将
③代入②,得2×2+1+6y=15,解得y= ,把y= 代入①得2x- -2=0,
解得x= ,所以原方程组的解是

15.【新课标·运算能力】阅读探索:
解方程组:
解:设a-1=x,b+2=y,则原方程组可变形为
由①得x=6-2y③,将③代入②得y=2,则x=6-2×2=2,
所以方程组的解为 即 解得
此种解方程组的方法叫做换元法.
运用上述方法解方程组:
解析　设 -1=m, +2=n,则原方程组可变形为 由
①得m=4-2n③,将③代入②得,2(4-2n)+n=5,解得n=1,将n=1代
入③得m=2,∴方程组的解为 ∴ 解得
∴原方程组的解为 (共28张PPT)
第6章　一次方程组
＊6.3　三元一次方程组及其解法

　三元一次方程(组)的概念
1.下列方程中,属于三元一次方程的是 (　　　)
A.π+x+y=6　　　 　 B.xy+y+z=6
C.x+2y+3z=9　　　 D.3x+2y-4z=4x+2y-2z
C
解析 A.只含有2个未知数,不是三元一次方程,故本选项不符
合题意;B.含未知数的项的最高次数为2,不是三元一次方程,
故本选项不符合题意;C.是三元一次方程,故本选项符合题意;
D.方程可整理为-x-2z=0,不是三元一次方程,故本选项不符合
题意.故选C.
2.下列选项中是方程组 的解的是 (　　　)
A. 　　　 B. 　　 C. 　　　 D.

B
解析　将四个选项依次代入方程组进行检验可得选B.
　三元一次方程组的解法
3.(2025河北邯郸期中)将三元一次方程组 消去
未知数c后,所得的二元一次方程组是 (　　　)
A. 　　　 B.
C. 　　　 D.
A
解析 ②-③得3a+3b=3,即a+b=1,③×3+①得
5a-2b=19,②×3+①得14a+7b=28,即2a+b=4,∴所得的二元一次
方程组为 或 或 故选A.
4.(2025福建泉州七中期中)已知方程组 则x+y+z的
值是 (　　　)
A.3　　 B.2　　 C.1　　 D.无法确定
B
解析 ①+②+③得4x+4y+4z=8,∴x+y+z=2.故选
B.
5.解下列方程组:
(1) 　 (2)
解析 (1)方程组可整理为 ①+③得2x-y=0④,
把④代入②得2z=2,解得z=1,把z=1代入①得x=2,把x=2,z=1代
入③得y=4,∴方程组的解为
(2) ②-①得6y+8z=16,即3y+4z=8④,③-①得3z
=15,解得z=5,把z=5代入④得3y+20=8,解得y=-4,把y=-4,z=5代
入①得x+4-5=2,解得x=3,
∴原方程组的解为
　三元一次方程组的实际应用
6.【跨体育与健康·球赛】(2025山东潍坊期中)某市举行中学
生足球联赛,比赛的计分规则为胜1场得3分,平1场得1分,负1
场得0分.某中学足球队在12场比赛中,平和负的场数之和等于
胜的场数,共得20分.设该队在联赛中胜x场,平y场、负z场,则
可列三元一次方程组为_________.
解析　根据该队共比赛12场可列方程为x+y+z=12,根据平和
负的场数之和等于胜的场数可列方程为x=y+z,根据胜1场得3
分,平1场得1分,负1场得0分,共得20分可列方程为3x+y=20,故
可列方程组为 故答案为
7.(2025湖南岳阳长岭中学开学测试)一个三位数,各数位上的
数字之和为14,十位数字等于个位数字与百位数字之和,如果
把它的个位数字与百位数字交换位置,那么所得的新数比原
数小99,求这个三位数.
解析　设这个三位数的百位数字为x,十位数字为y,个位数字
为z,
由题意得
②-③得y=14-y,解得y=7,由①得x-z=1⑤,将y=7代入③得x+z=7
⑥,⑤+⑥得2x=8,解得x=4,将x=4代入⑤得z=3,
∴这个三位数是473.
8.(2025吉林松原期末)甲地到乙地全程是3.3 km,其中有一段
上坡路,一段平路,一段下坡路,如果保持上坡路每小时走3 km,
平路每小时走4 km,下坡路每小时走5 km,那么从甲地到乙地
需51 min,从乙地到甲地需53.4 min,从甲地到乙地时,上坡
路、平路、下坡路的路程各是多少
解析　设从甲地到乙地时,上坡路、平路、下坡路的路程各
是x km,y km,z km,
根据题意得 解得
答:从甲地到乙地时,上坡路的路程为1.2 km、平路的路程为
0.6 km、下坡路的路程为1.5 km.

9.(2025重庆渝中月考,★★☆)本周末小敏和小丽两个家庭共
14人相约外出旅游,决定在某特色民宿住宿一晚,该民宿有单
人间(可住一人),标间(可住两人),三人间三种房型,她们准备
每种房型至少选一间,共预订7间房,如果每个房间都恰好住
满,则订房方案有_________种.
3
解析　设预订单人间x间,标间y间,三人间z间,
由题意得
②-①得y+2z=7,∵x,y,z均为正整数,
∴x,y,z的可能取值为 或 或
∴订房方案有3种,故答案为3.
10.(2025四川成都天府新区期末,★★☆)有一种加密、解密
的程序的工作原理如下:发送方由明文通过加密规则加密成
密文,接收方由密文通过此规则解密成明文.已知某加密规则
为明文x,y互为相反数,其对应密文为x+2y-k,2x+y-k.若接收方
收到密文为2和-1,则k的值为_______.
　-
解析　根据题意得
解得 故k的值为- .
11.(★★☆)已知方程y=ax2+bx+c(a,b,c是常数),且当x=1时,y=0;
当x=2时,y=3;当x=-3时,y=28.
(1)求a、b、c的值.
(2)当x=-2时,y的值是多少
解析 (1)由题意得 ②-①得3a+b=3④,③-②
得5a-5b=25,即a-b=5⑤,④与⑤组成方程组得 解得
把 代入①,得2-3+c=0,解得c=1,∴a、b、c的值分
别是2、-3、1.
(2)由(1)知a、b、c的值分别是2、-3、1,∴y=2x2-3x+1,当x=-2
时,y=2×(-2)2-3×(-2)+1=2×4+6+1=15.
12.(2025河南南阳期中,★★☆)【阅读理解】
在求代数式的值时,有些题目可以用整体求值的方法,化难为
易.
例:已知 求2x+y+z的值.
解:由②-①得4x+2y+2z=6③,将③× 得2x+y+z=3,所以2x+y+z
的值为3.
【类比迁移】(1)已知 求3x+4y+5z的值.
【实际应用】
(2)某班班委准备把本学期卖废品的钱给同学们买学习用品,
由商店的价格可知购买3本笔记本、2支签字笔、1支记号笔
需要28元;购买7本笔记本、5支签字笔、3支记号笔需要66元.
若本班共有45名同学,则购买45本笔记本、45支签字笔、45
支记号笔共需要多少元
解析 (1) 由①+②得6x+8y+10z=36,∴3x+4
y+5z=18.
(2)设购买1本笔记本需要a元,购买1支签字笔需要b元,购买1
支记号笔需要c元,根据题意得 由②-①×2得
a+b+c=10③,由③×45得45a+45b+45c=450.
答:购买45本笔记本、45支签字笔、45支记号笔共需要450元.

13.【新课标·运算能力】【新考向·数学文化】(2025江苏南
通如皋月考)“格子乘法”作为两个数相乘的一种计算方法,
在明代的《算法统宗》一书中被称为“铺地锦”,如图1,计算
47×51,将乘数47计入上行,乘数51计入右行,然后以乘数47的
每位数字乘乘数51的每位数字,将结果计入相应的格子中,最
后按斜行(沿虚线箭头)加起来,得2 397.如图2,用“格子乘
法”表示两个两位数相乘,求a的值.

解析　设3a的十位上的数字是m,个位上的数字是n,如图,

根据题意得 解得 所以a的值为2.

展开更多......

收起↑