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(共24张PPT)
第7章　一元一次不等式
7.1.1　不等式
7.1　认识不等式
　不等式
1.(2025四川成都温江东辰外国语学校期中)下列各式中,是不
等式的是 (　　　)
A.x-1=3　　　 B.y-2x>3
C.x2-2x+1　　　 D.x+y=1
B
解析 A.x-1=3是一元一次方程,故本选项不符合题意;
B.y-2x>3是不等式,故本选项符合题意;
C.x2-2x+1是代数式,故本选项不符合题意;
D.x+y=1是二元一次方程,故本选项不符合题意.故选B.
2.(2025福建泉州晋江期中)若x+y□0是不等式,则符号“□”
不能是 (　　　)
A.= 　　　 B.>　　　 C.≤　　　 D.<
A
解析　∵x+y>0,x+y≤0,x+y<0都是不等式,∴选项B,C,D都不
符合题意;∵x+y=0是方程,不是不等式,∴选项A符合题意.故
选A.
3.(2025福建龙岩永定期中)下列式子:①a(b+c)=ab+ac;②4>0;
③x≠5;④2a>b+1;⑤x-2xy+y;⑥2x-3>6.其中是不等式的有
______个.
4
解析　不等式有②4>0,③x≠5,④2a>b+1,⑥2x-3>6,共4个,故
答案为4.
　不等式的解
4.(2025福建福州模拟)下列各数中,是不等式3x-2<3的解的是
(　　　)
A.1　　　 B.2　　　 C.3　　　 D.4
A
解析　将各选项中的数代入不等式进行检验,可知只有1是不
等式的解,故选A.
5.【新考向·结论开放题】写出一个关于x的不等式,使-5,2都
是它的解,这个不等式可以为___________________.
2x<6(答案不唯一)
解析　由-5,2均小于3可得x<3,所以符合条件的不等式可以是
2x<6(答案不唯一).
　列不等式表示不等关系
6.(2025吉林长春力旺实验学校模拟)若不等式“x■5”表示
“不大于5的数”,则被墨迹覆盖的不等号是 (　　　)
A.≤　　　 B.<　　　 C.≥　　　 D.>
A
解析　∵“x■5”表示“不大于5的数”,∴被墨迹覆盖的不
等号是≤,故选A.
7.(2025重庆万州期末)x的2倍与y的和小于5,用不等式表示为
______________.
2x+y<5
解析 x的2倍为2x,则x的2倍与y的和小于5为2x+y<5.故答案
为2x+y<5.
8.不同的交通标志(如图),它们有着不同的意义.设某汽车的质
量为x t,行驶速度为y km/h,高度为h m,宽度为l m,用不等式表
示各图所代表的意义:
图①:_____________;图②:____________;图③:_____________;图④:______.

l≤2
h≤4.5
y≤30
x≤5.5
解析　易知限重、限速、限高、限宽中的“限”字的意义就
是不超过,也就是小于或等于,用“≤”表示.所以分别为x≤
5.5,y≤30,h≤4.5,l≤2.
9.(2025陕西西安新城月考)用不等式表示下列不等关系:
(1)a的5倍加上b小于2.
(2)m的 与n的 的和是非负数.
(3)x的2倍减去x的 不大于11.
解析 (1)5a+b<2.
(2) m+ n≥0.
(3)2x- x≤11.
10.某校号召同学们把零用钱积攒起来,存入银行,第一个月小
明存入50元,小华存入30元,从第二个月开始,小明每月存入12
元,小华每月存入16元,那么至少几个月后,小华的存款额不少
于小明的存款额
(1)根据题意列出不等式.
(2)说明在4,5,6,7,8中是否存在(1)中所列不等式的解.
解析 (1)设x个月后,小华的存款额不少于小明的存款额,根
据题意得50+12(x-1)≤30+16(x-1).
(2)通过检验可知,6,7,8是(1)中所列不等式的解.

11.(2025广东佛山顺德月考,★★☆)下列不等关系中,正确的
是 (　　　)
A.a不是正数可表示为a<0
B.x不大于4可表示为x<4
C.x与2的和是非负数可表示为x+2>0
D.m与5的差是负数可表示为m-5<0
D
解析 A.a不是正数可表示为a≤0,故本选项错误,不符合题
意;B.x不大于4可表示为x≤4,故本选项错误,不符合题意;C.x
与2的和是非负数可表示为x+2≥0,故本选项错误,不符合题
意;D.m与5的差是负数可表示为m-5<0,故本选项正确,符合题
意.故选D.
12.(★★☆)在|-1|,-12 024,-(-2)和-|-2|中,是不等式3x+1>-2的解的
有 (　　　)
A.1个　　　 B.2个
C.3个　　　 D.4个
B
解析　|-1|=1,-12 024=-1,-(-2)=2,-|-2|=-2,分别代入不等式3x+1>-2
中,可知|-1|和-(-2)是不等式的解,故选B.
13.(2024湖南常德澧县期末,★★☆)琪琪同学购买了一个手
机支架,让同学们猜价格(价格为整数).甲说:“至少20元.”乙
说:“至多18元.”丙说:“至多15元.”琪琪说:“你们都猜错
了.”则这个手机支架的价格为 (　　　)
A.15元　　　 B.18元　　　 C.19元　　　 D.20元
C
解析　由题意可得,甲、乙、丙的说法都是错误的,根据甲的
说法错误可得手机支架的价格少于20元,根据乙、丙的说法
错误可得手机支架的价格高于18元,因为该手机支架的价格
为整数,所以该手机支架的价格是19元,故选C.
14.(2025山东烟台经开区期末,★★☆)已知x≥5的最小值为a,
x≤-7的最大值为b,则ab=________.
　-35
解析　因为x≥5的最小值是a,所以a=5.因为x≤-7的最大值是
b,所以b=-7.所以ab=5×(-7)=-35.故答案为-35.
15.(2025江西南昌月考,★★★)为贯彻执行“德、智、体、
美、劳”五育并举的教育方针,某中学组织全体师生共255人
前往某劳动实践基地开展劳动实践活动.现有甲、乙两种型
号的客车,它们的载客量和租金如表所示.
甲型客车 乙型客车
载客量/(人/辆) 35 30
租金/(元/辆) 400 320
(1)现租用这两种型号的客车共8辆,试写出所租甲型客车的数
量m(辆)应满足的不等式.
(2)在(1)的条件下,学校还要求租车的总费用不超过3 000元,
请写出m(辆)满足的另一个不等式.
解析 (1)根据题意得,所租甲型客车的数量m(辆)应满足的不
等式为35m+30(8-m)≥255.
(2)根据题意得400m+320(8-m)≤3 000.

16.【新课标·应用意识】(2025河北张家口桥西期中改编)如
图1,一个容积为200 cm3的杯子中装有50 cm3的水,将五颗相同
的玻璃球放入这个杯子中,结果水没有满,如图2所示.
(1)设每颗玻璃球的体积为x cm3,列出x满足的不等式.
(2)已知每个玻璃球的体积为10 cm3(球放入水中会沉底),小明
认为要使水不溢出,杯子中最多可以放15个玻璃球,你认为小
明的想法正确吗 请说明理由.
解析 (1)由题意得5x+50<200.
(2)小明的想法正确.理由:当放入的玻璃球的个数小于15时,杯
子里水的体积和玻璃球的体积之和小于200 cm3;当放入15个
玻璃球时,杯子里水的体积和玻璃球的体积之和为15×10+50=
200(cm3),与杯子容积相等;当放入的玻璃球的个数大于15时,
杯子里水的体积和玻璃球的体积之和大于200 cm3,此时水会
溢出杯子,所以要使水不溢出杯子,最多可以放15个玻璃球.(共31张PPT)
第7章　一元一次不等式
第1课时　解一元一次不等式
7.3　解一元一次不等式
　一元一次不等式
1.(2025福建泉州一中期中)下列式子中是一元一次不等式的
是 (　　　)
A. +2≥4　　　 B.4x+5>0　　　
C.x-3=0　　　 D.x2+x<0
B
解析 A. +2≥4中分母含有未知数,所以该不等式不是一元
一次不等式,故本选项不符合题意;B.4x+5>0,符合一元一次不
等式的定义,故本选项符合题意;C.x-3=0是等式,不是一元一次
不等式,故本选项不符合题意;D.x2+x<0中含未知数的项的最
高次数是2,不是一元一次不等式,故本选项不符合题意.故
选B.
2.【学科特色·易错题】(2025四川内江期中)若(k-1)x|k|+3≥0是
关于x的一元一次不等式,则k的值为 (　　　)
A.±1　　　 B.1　　　 C.-1　　　 D.2
C
解析　∵(k-1)x|k|+3≥0是关于x的一元一次不等式,∴|k|=1且k-
1≠0,∴k=-1,故选C.
易错警示
本题易因忽略未知数的系数k-1≠0而出错.
　不等式的简单变形
3.(2025福建中考)不等式 x+1≤2的解集在数轴上表示正确
的是 (　　　)
　　　
　　　
C
解析　∵ x+1≤2,∴ x≤2-1,∴ x≤1,∴x≤2,将其表示在数
轴上为 .故选C.
4.(2025福建泉州七中期中)如图,两位同学在讨论一个一元一
次不等式.根据对话提供的信息,他们讨论的不等式可以是
(　　　)

A.3x≤15　　　 B.3x<15
C.-3x≥-15　　　 D.-3x≤-15
C
解析　由数轴可得该不等式的解集为x≤5.
A.由3x≤15可得x≤5,但求解过程中不需要改变不等号的方
向,故本选项不符合题意;B.由3x<15可得x<5,故本选项不符合
题意;C.由-3x≥-15可得x≤5,且求解过程中需要改变不等号的
方向,故本选项符合题意;D.由-3x≤-15可得x≥5,故本选项不
符合题意,故选C.
5.(2025安徽宿州灵璧月考)根据不等式的基本性质,将下列不
等式化成“x>a”或“x(1)- x<-2.　　 (2)10x>7x+1.
解析 (1)∵- x<-2,∴- x÷ >-2÷ ,∴x>3.
(2)∵10x>7x+1,∴10x-7x>7x-7x+1,∴3x>1,∴3x÷3>1÷3,∴x> .
　一元一次不等式的解法
6.(2024陕西中考A卷)不等式2(x-1)≥6的解集是 (　　　)
A.x≤2　　　 B.x≥2
C.x≤4　　　 D.x≥4
D
解析　去括号,得2x-2≥6,移项,得2x≥6+2,合并同类项,得2x≥
8,系数化为1,得x≥4.
故选D.
7.【学科特色·易错题】(2025山西临汾曲沃期中)解一元一次
不等式 -1≤ 时,去分母正确的是 (　　　)
A.2(2x-1)-10≤5x　　　
B.2(2x-1)-1≤5x
C.2x-1-10≤5x　　　
D.2x-1-1≤5x
A
解析　将不等式的左、右两边同乘10得2(2x-1)-10≤5x.故选
A.
易错警示
解含分母的一元一次不等式时常常因漏乘不含分母的项而出
错,例如本题中去分母时,在不等式的两边同时乘10时易漏乘
不含分母的项“-1”.
8.(2025河南新乡卫辉期中)若关于x的方程4x-2m+1=5x-8的解
是非负数,则m的取值范围是 (　　　)
A.m≤0　　　 B.m≥
C.m≤ 　　　 D.m>0
C
解析　∵4x-2m+1=5x-8,∴x=9-2m.∵关于x的方程4x-2m+1=5x
-8的解是非负数,∴9-2m≥0,解得m≤ .故选C.
9.【学科特色·数形结合思想】(2025湖南株洲芦淞模拟)如图,
完整的数轴上有A、B两点,分别表示数 和数1-x,且点A在
点B左侧,则x的值可能为 (　　　)

A.-3　　　 B.-2
C.-1　　　 D.0
A
解析　根据题意可知 <1-x,解得x<-2,
结合选项可知-3在x的取值范围内,故选A.
方法解读
数形结合思想是数学中一种通过数与形的相互转化来解决问
题的思想方法,其核心在于利用图形与数量关系的紧密联系,
实现复杂问题的简化和抽象问题的具体化.本题运用数轴表
示出两个代数式的大小关系,以此建立不等式求字母的取值
范围.
10.(2025河南商丘宁陵三模)不等式 >2x-1的解集是_______.
x<1
解析 >2x-1,去分母,得x+1>4x-2,移项、合并同类项,得-3
x>-3,系数化为1,得x<1,故答案为x<1.
11.(2025陕西西安碑林铁一中学月考)不等式4x-1≤2x+1的所
有非负整数解的和是_________.
1
解析　∵4x-1≤2x+1,∴4x-2x≤1+1,∴2x≤2,∴x≤1,∴不等式
4x-1≤2x+1的非负整数解为0,1,∴不等式4x-1≤2x+1的所有非
负整数解之和为0+1=1,故答案为1.
12.【学科特色·教材变式P66例3】解不等式,并将解集在数轴
上表示出来.
(1)2(x+1)-1≥4x-3. 　 (2) >x-1.
解析 (1)2(x+1)-1≥4x-3,去括号,得2x+2-1≥4x-3,移项,得2x-4
x≥-3+1-2,合并同类项,得-2x≥-4,系数化为1,得x≤2,将不等式
的解集表示在数轴上,如图:

(2) >x-1,去分母,得1+2x>3x-3,移项,得2x-3x>-3-1,合并同
类项,得-x>-4,系数化为1,得x<4.将不等式的解集表示在数轴
上,如图:

13.(2025陕西安康期末,★★☆)已知关于x的不等式 x>4x-2a
的解集为x<-3,则a的值为 (　　　)
A.-5　　　 B.5　　　 C.-6　　　 D.6
A
解析　∵ x>4x-2a,∴2x>12x-6a,∴2x-12x>-6a,∴-10x>-6a,∴x
< a,∵不等式的解集为x<-3,∴ a=-3,∴a=-5.故选A.
14.(2025四川达州期中,★★☆)阅读理解:我们把 称作二
阶行列式,规定它的运算法则为 =ad-bc,例如 =1×4-3
×2=-2.若 >0,则 (　　　)
A.x>1　　　 B.x<-1　　　 C.x>3　　　 D.x<-3
A
解析　∵ >0,∴2x-(3-x)>0,∴2x-3+x>0,∴2x+x>3,∴
3x>3,∴x>1.故选A.
15.(2025江苏苏州高新区期末,★★☆)已知关于x的方程
+m=3,若该方程的解是不等式2x-1< 的最大整数解,则代
数式m2-2m+5的值为_________.
8
解析 2x-1< ,去分母,得4x-2<1+3x,移项、合并同类项,得
x<3,所以该不等式的最大整数解为2,所以关于x的方程 +
m=3的解为x=2,把x=2代入,得m=3,∴m2-2m+5=9-6+5=8.故答案
为8.
16.(2025河南平顶山汝州期中,★★☆)若关于x的不等式m-
≤1-x有正数解,则m的值可以是________________(写出一个
即可).
0(答案不唯一)
解析　移项、合并同类项得 x≤1-m,系数化为1得x≤2-2m,
∵不等式m- ≤1-x有正数解,∴2-2m>0,解得m<1,∴m的值可
以是0.(答案不唯一)
17.(2025河南洛阳期末,★★☆)已知方程组 的解满
足3x+a>15,则a的取值范围是___________.
a>3
解析　解方程组 得 ∵方程组的解满足3x+a>
15,∴3×4+a>15,解得a>3.故答案为a>3.
18.(2025河南周口沈丘期中,★★☆)观察下列不等式及其解
集:
|x|>1的解集为x>1或x<-1;
|x|> 的解集为x> 或x<- ;
|x|>15的解集为x>15或x<-15;
|x|>100的解集为x>100或x<-100.
回答下列问题:
(1)|x|>3的解集是___________.
(2)归纳:当a>0时,不等式|x|>a的解集是_______.
(3)运用(2)中的结论解不等式|2x+1|>27.
解析 (1)x>3或x<-3.
(2)x>a或x<-a.
(3)由(2)中的结论得2x+1>27或2x+1<-27,解得x>13或x<-14.

19.【新课标·运算能力】【学科特色·分类讨论思想】阅读下
面的材料:
对于有理数a,b,我们定义符号max{a,b}:当a当a≥b时,max{a,b}=a.
例如:max{-4,2}=2,max{5,5}=5.
根据上面的材料,解答下列问题:
(1)max{-1,3}=_______.
(2)若max{x-1,7}=x-1,则x的取值范围是_______.
(3)当max{2x-3,x+2}= 时,求x的值.
解析 (1)max{-1,3}=3.故答案为3.
(2)∵max{x-1,7}=x-1,∴x-1≥7,解得x≥8.故答案为x≥8.
(3)当2x-3≥x+2时,2x-3= ,解得x=-9(此时2x-3题意,舍去);当2x-3方法解读
分类讨论思想是一种非常重要的数学思想,同时也是一种逻
辑方法与解题策略.本题运用分类讨论思想求字母的值.(共28张PPT)
第7章　一元一次不等式
7.4　解一元一次不等式组
　 一元一次不等式组及其解集
1.(2025甘肃兰州月考)下列选项是一元一次不等式组的是
(　　　)
A. 　　　 B.
C. 　　　 D.
C
2.(2025四川宜宾中考)满足不等式组 的解是 (　　　)
A.x=-3　　　 B.x=-1　　　 C.x=1　　　 D.x=3
C
解析　易得不等式组 的解集为0足不等式组 的解是x=1.故选C.
3.已知有理数a、b对应的点在数轴上的位置如图所示.

请写出下列不等式组的解集:
(1) ___________. (2) ___________.
(3) _____________. (4) _______.
　无解
a x x>b
　一元一次不等式组的解法
4.(2025山西中考)不等式组 的解集是 (　　　)
A.x<2　　　 B.x≥3　　　 C.2 C
解析 解不等式①得x>2,解不等式②得x≤3,
∴不等式组的解集为2故选C.
5.(2025四川南充营山二模)已知关于x的不等式组
无解,则a的取值范围是 (　　　)
A.a<1　　　 B.a≤1　　　 C.a>1　　　 D.a≥1
B
解析　解不等式-2x+3<1得x>1,解不等式x-a<0得x不等式组无解,所以a≤1.故选B.
6.(2025浙江中考)不等式组 的解集是___________.
　-2≤x<4
解析　解不等式2x-3<5得x<4,所以不等式组的解集为-2≤x<
4.故答案为-2≤x<4.
7.【学科特色·教材变式P72T2】解下列不等式组,并把解集表
示在数轴上.
(1) 　 (2)
解析 (1) 解不等式①得x>-3,解不等式②得x
<1,∴不等式组的解集为-3
(2) 解不等式①得x≤4,解不等式②得x>-2,∴不等
式组的解集为-28.(2025江苏扬州中考)解不等式组 并写出它的所
有负整数解.
解析 解不等式①得x≤1,解不等式②得x>-3,
∴不等式组的解集为-3∴该不等式组的所有负整数解为-2、-1.
　列一元一次不等式组解应用题
9.(2025黑龙江哈尔滨十七中月考)某市出租车的收费标准:起
步价8元(即行驶距离不超过3千米时都须付8元车费),超过3千
米以后,每增加1千米,加收2元(不足1千米的部分按1千米计).
某人乘出租车从甲地到乙地共付车费18元,那么甲地到乙地
的路程x满足 (　　　)
A.x=8.5　　　 B.7≤x<8
C.7≤x≤8　　　 D.7 D
解析　根据题意得 解得7的路程x满足710.(2025四川达州月考)有一家人参加登山活动,他们要将矿
泉水分装在旅行包内带上山.若每人带2瓶,则剩余5瓶;若每人
带4瓶,则其中有1个人带了矿泉水,但不足3瓶,则这家人参加
登山活动的人数为_________.
4
解析　设参加登山活动的人数为x,则矿泉水有(2x+5)瓶,由题
意得
解得3为4.故答案为4.

11.(2025河北邯郸三模,★★☆)关于x的不等式组
的解集在数轴上表示如图所示,则a+b= ( )

A.1　　　 B.2　　　 C.3　　　 D.0

C
解析 解不等式①得x≤ ,解不等式②
得x>-b,∴不等式组的解集为-b组的解集为-1选C.
12.【学科特色·易错题】(2025黑龙江龙东地区中考,★★☆)
若关于x的不等式组 恰有3个整数解,则a的取值范围
是____________.
　-2≤a<-1
解析　解不等式2x-3≤0得x≤ ,解不等式x-a>0得x>a,所以该
不等式组的解集为a所以这3个整数解为1,0,-1,所以-2≤a<-1.故答案为-2≤a<-1.
易错警示
根据不等式组的整数解的个数确定字母的取值范围时,常常
在端点的取值上出错,例如本题中a的值可以等于-2但不能等
于-1.
13.(2025重庆合川期末,★★☆)若关于x的不等式组
的解集为x≥4,且关于x的方程-7x+a=7的解为正整
数,则所有满足条件的整数a的和为__________.
35
解析　解不等式7x-a>1得x> ,解不等式 ≤x-1得x≥4,
∵关于x的不等式组 的解集为x≥4,∴ <4,∴a<
27,解关于x的方程-7x+a=7得x= ,∵关于x的方程-7x+a=7
的解为正整数,∴a-7>0,解得a>7,∴a的取值范围为7= 为正整数,∴a=14或a=21,∴所有满足条件的整数a的和
为14+21=35.故答案为35.
14.(2025河南新乡原阳期末,★★☆)已知关于x、y的方程组

(1)求方程组的解(用含m的代数式表示).
(2)若x>0,y>0,试化简:|m+1|+|m-3|.
(3)若y>a,2x-3≥1-a,且x有解,求a的取值范围.
解析 (1) 由①×2+②,得7x=7+7m,解得x=m+1,
把x=m+1代入②,得m+1+2y=7-m,解得y=3-m,所以原方程组的
解为
(2)∵x>0,y>0,∴ 解得 ∴-1=m+1+3-m=4.
(3)由(1)得 ∴m=x-1,∴y=3-(x-1)=4-x,∵y>a,∴4-x>a,
∴x<4-a,
∵2x-3≥1-a,∴x≥2- ,∵x有解,∴4-a>x≥2- ,∴4-a>2- ,∴a
<4.
15.(2025河南南阳方城期中,★★★)某学校计划购买甲、乙
两种品牌的足球.已知购买7个甲种品牌的足球和6个乙种品
牌的足球共需要1 600元;购买2个甲种品牌的足球和3个乙种
品牌的足球共需要650元.
(1)求每个甲种品牌的足球和每个乙种品牌的足球的价格分
别为多少元.
(2)学校计划购买甲、乙两种品牌的足球共50个,总花费不超
过6 500元,且购买的乙种品牌足球不少于28个,则共有哪几种
购买方案
解析 (1)设每个甲种品牌的足球的价格为x元,每个乙种品牌
的足球的价格为y元,根据题意,得 ∴
答:每个甲种品牌的足球的价格为100元,每个乙种品牌的足球
的价格为150元.
(2)设购买甲种品牌的足球a个,则购买乙种品牌的足球(50-a)
个,由题意得 解得20≤a≤22,因为x
为正整数,所以共有3种购买方案,
方案一:购买甲种品牌的足球22个,乙种品牌的足球28个;
方案二:购买甲种品牌的足球21个,乙种品牌的足球29个;
方案三:购买甲种品牌的足球20个,乙种品牌的足球30个.

16.【新课标·运算能力】阅读下列材料.
例题:求不等式(x+2)(x-2)>0的解集.
解:要使(x+2)(x-2)>0成立,由有理数的乘法法则“两数相乘,同
号得正”可得① 或② 解不等式组①,得x>2,
解不等式组②,得x<-2,∴不等式(x+2)·(x-2)>0的解集为x>2或x
<-2.请根据上面例题的解法,解决下列问题:
(1)不等式(x+4)(x-2)>0的解集是_______.
(2)求不等式 <0的解集.
解析 (1)原不等式可化为① 或② 解不等式
组①,得x>2,解不等式组②,得x<-4,
∴原不等式的解集为x>2或x<-4.
(2)原不等式可化为① 或② 解不等式组①,得
1第7章　自主检测
时间：40分钟 满分：100分
一、选择题(每小题4分,共32分)
1.(2025吉林长春净月期中)下列各式中,是一元一次不等式的
是 (　　　)
A.x2+1>1　　　 B.2x-5>x
C. +2≥10　　　 D.3x+2y<0
B
解析 A.x2+1>1中含未知数的项的最高次数是2,故不是一元
一次不等式,故本选项不符合题意;B.2x-5>x是一元一次不等
式,故本选项符合题意;C. +2≥10中分母含有未知数,故不是
一元一次不等式,故本选项不符合题意;D.3x+2y<0中含有两个
未知数,故不是一元一次不等式,故本选项不符合题意.故选B.
2.(2025山东青岛市北期中)已知 是不等式kx+3y≤4的
一个解,则整数k的最小值为 (　　　)
A.6　　　 B.5　　　 C.-6　　　 D.-5
A
解析　由题意可得-2k+15≤4,解得k≥ ,∴整数k的最小值是
6.故选A.
3.【学科特色·教材变式P77T2】(2025四川内江隆昌知行中学
期末)下列不等式变形正确的是 (　　　)
A.若aB.若aC.若ac>bc,则a>b
D.若m>n,则m-1 A
解析 A.若aax2=bx2,故本选项不正确;C.若ac>bc,当c<0时,a正确;D.若m>n,则m-1>n-1,故本选项不正确.故选A.
4.(2025河北邯郸临漳期中)下列不等式中,与-x<1组成的不等
式组无解的是 (　　　)
A.x>2　　　 B.x<0　　　 C.x<-2　　　 D.x>-3
C
解析　∵-x<1,∴x>-1.
A.组成的不等式组为 ∴不等式组的解集为x>2,故本选
项不符合题意;
B.组成的不等式组为 ∴不等式组的解集为-1选项不符合题意;
C.组成的不等式组为 ∴不等式组无解,故本选项符合
题意;
D.组成的不等式组为 ∴不等式组的解集为x>-1,故本
选项不符合题意.故选C.
5.(2025广东广州白云期末)不等式1-2x■5的解集在数轴上表
示如图所示,则■盖住的符号是 (　　　)

A.≥　　　 B.≤　　　 C.>　　　 D.<
C
解析　由数轴可得该不等式的解集为x<-2,∴-2x>4,所以1-2x>
5,所以■盖住的符号是>.故选C.
6.(2024山西模拟)不等式组 的解集在数轴上表示
正确的是 (　　　)
　　　
　　　
A
解析 解不等式①,得x≤3,解不等式②,得x>-1,
∴该不等式组的解集是-1 .故选A.
7.(2025河南周口项城期中)若关于y的一元一次不等式组
有3个整数解,则a的取值范围是 (　　　)
A.a≤2 　　　 B.1C.a≥1 　　　 D.1≤a<2
B
解析 解不等式①得y>-2,解不等式②得y∴原不等式组的解集为-2 有3个整数解,∴整数解为-1,0,1,∴1B.
8.(2025安徽滁州全椒期中)某品牌台灯的生产成本为220元/
个,春节期间,商店为了让利给顾客,要求原价满300元的产品,
需在原价的基础上减去50元出售,若要保证该品牌台灯的利
润率不低于30%,则以下定价不能达到要求的是(　　　)
A.290元/个　　　 B.330元/个
C.340元/个　　　 D.350元/个
B
解析　设原定价为x元/个,当x<300时,x-220≥220×30%,解得x
≥286,∴286≤x<300;当x≥300时,x-50-220≥220×30%,解得x
≥336.结合选项可知当原定价为330元/个时,不能达到要求.故
选B.
二、填空题(每小题5分,共20分)
9.(2025上海崇明期末)已知(b+2)xb+1<-3是关于x的一元一次不
等式,则这个不等式的解集是____________.
x<-
解析　由题意知b+1=1,解得b=0,所以该不等式为2x<-3,解得x
<- .故答案为x<- .
10.定义一种新的运算“#”,规定:对于任意的有理数a、b,有a
#b= - ,例如,1#2= - =- ,则不等式(1-2x)#(3x-4)<1的解集为
___________.
x>
解析　由题意得 - <1,解得x> .
11.(2025湖北武汉江岸期末)把一些图书分给几名同学,如果
每人分3本,那么剩余8本;如果前面的同学每人分5本,那么最
后一名同学分到了书但不足4本,则这些图书有____________.
23本或26本
解析　设共有x名同学分图书,则这些图书有(3x+8)本,根据题
意得 解得 为5或6,∴3x+8=3×5+8=23或3x+8=3×6+8=26,∴这些图书有23
本或26本.故答案为23本或26本.
12.(2025重庆忠县期末)如果关于x的不等式组 有
且最多有2个整数解,关于y的方程4y=a+3的解为整数,则满足
条件的所有a值之和为__________.
14
解析　解不等式 >x+1得x>-3,解不等式3x+a≤1-x得x≤
,∵不等式组有且最多有2个整数解,∴-3< <0,解得1<13,解关于y的方程4y=a+3得y= ,∵方程4y=a+3的解为整
数,∴a=5或a=9,∴满足条件的所有a值之和为5+9=14.故答案
为14.
三、解答题(共48分)
13.(2025河南新乡原阳期末)(10分)
(1)解不等式: < -1.
(2)解不等式组 并在数轴上表示此不等式组的
解集.
解析 (1) < -1,去分母,得3(x+3)<5(2x-5)-15,去括号,
得3x+9<10x-25-15,移项,得3x-10x<-25-15-9,合并同类项,得-7x
<-49,系数化为1,得x>7.
(2) 解不等式①得x>1,解不等式②得x≤3,∴
不等式组的解集为1
14.(2025河南南阳期末)(12分)已知关于x,y的方程组
的解满足x为非正数,y为负数.
(1)求m的取值范围.
(2)当m取何整数时,不等式2mx+x>2m+1的解集为x<1
解析 (1)解方程组 得
∵x为非正数,y为负数,∴ 解得-2(2)不等式2mx+x>2m+1可整理为(2m+1)x>2m+1,
∵不等式2mx+x>2m+1的解集为x<1,
∴2m+1<0,∴m<- ,
∵-2∴当m=-1时,不等式2mx+x>2m+1的解集为x<1.
15.(2025江苏南通海安期末)(12分)小张为公司团建活动租车,
了解到客运公司有两种型号的客车可供租用,两种型号客车
的载客量和租金如表所示.
车型 A型 B型
载客量/(人/辆) 40 56
租金/(元/辆) 1 000 1 200
(1)小张计算后,向公司申报租金费用3 900元(恰好全部用完),
会计认为他计算错误.你赞同会计的说法吗 并说明理由.
(2)公司共有246人参加团建,计划租用5辆车,共有几种租车方
案 哪种方案最划算
解析 (1)赞同.理由如下:假设小张计算正确,设租用x辆A型
客车,y辆B型客车,根据题意得1 000x+1 200y=3 900,∴y=
,又∵x,y均为非负整数,∴原方程无解,∴假设不成立,
∴小张计算错误.
(2)设租用m辆A型客车,则租用(5-m)辆B型客车,根据题意得40
m+56(5-m)≥246,解得m≤ ,又∵m为非负整数,∴m的值为0
或1或2,∴共有3种租车方案,
方案1:租用5辆B型客车,所需总租金为1 200×5=6 000(元);
方案2:租用1辆A型客车,4辆B型客车,所需总租金为1 000×1+
1 200×4=5 800(元);
方案3:租用2辆A型客车,3辆B型客车,所需总租金为1 000×2+
1 200×3=5 600(元),
∵6 000>5 800>5 600,∴租用2辆A型客车,3辆B型客车最划算.
16.(2025河南信阳浉河期末)(14分)先阅读绝对值不等式|x|<6
和|x|>6的解法,再解答问题.
①当|x|<6时,从数轴上(如图1)可以看出只有大于-6且小于6的
数的绝对值小于6,所以|x|<6的解集为-6②当|x|>6时,从数轴上(如图2)可以看出只有小于-6的数和大
于6的数的绝对值大于6,所以|x|>6的解集为x<-6或x>6.
(1)|x|<2的解集为_______,|x|>5的解集为_______.
(2)已知关于x,y的二元一次方程组 的解满足|x
+y|≤3,其中m是负整数,求m的值.


解析 (1)-25.
(2) ②×2-①得9y=-21m,解得y=- m,将y=- m
代入①得2x- =5m+4,解得x= m+2,∴方程组的解为

∵|x+y|≤3,∴ ≤3,
即|2-m|≤3,∴-3≤2-m≤3,解得-1≤m≤5,
∵m是负整数,∴m的值为-1.(共25张PPT)
第7章　一元一次不等式
第2课时　列一元一次不等式解应用题
7.3　解一元一次不等式
　列一元一次不等式解应用题
1.(2025四川宜宾中考)某校举办“科学与艺术”主题知识竞
赛,共有20道题,每答一道题,答对得10分,答错或不答扣5分.若
小明同学想要在这次竞赛中得分不低于80分,则他至少要答
对的题数是 (　　　)
A.14道　　　 B.13道
C.12道　　　 D.11道
C
解析　设小明要答对x道题,则答错或不答(20-x)道题,根据题
意得10x-5(20-x)≥80,解得x≥12,∴他至少要答对的题数是12
道.故选C.
2.(2025吉林松原宁江一模)台灯的灯光照射范围相对比较集
中,便于阅读、学习、工作且节省能源.某款小台灯的进价为
每台10元,标价为每台15元,商店为了促销,决定打折销售,但每
台的利润不少于2元,则最多可打几折出售 (　　　)
A.6折　　　 B.7折　　　 C.8折　　　 D.9折
C
解析　设打x折销售,由题意,得15× -10≥2,解得x≥8,∴最多
打8折出售,故选C.
3.【学科特色·教材变式P69T7】(2025浙江温州龙港二模)某
种礼花弹导火索燃烧的速度是0.02 m/s,点导火索的人需在礼
花燃放前跑到10 m以外的安全区域.如果人跑开的速度是3 m
/s,那么这根导火索至少为多长 设这根导火索的长度为x m,
则可列不等式为 (　　　)
A. > 　　　 B. ≥
C. < 　　　 D. ≤
A
解析　根据题意得导火索燃烧完的时间要大于人跑到安全区
域的时间,即 > .故选A.
4.(2025辽宁沈阳铁西期中)为增强学生的劳动意识,养成劳动
的习惯,某校组织学生参加劳动实践活动.经学校与劳动基地
联系,计划组织学生协助种植甲、乙两种作物.已知协助种植1
亩甲种作物需要5名学生,协助种植1亩乙种作物需要6名学生.
要种植甲、乙两种作物共10亩,所需学生人数不超过55人,则
至少种植甲种作物_________亩.
5
解析　设种植甲种作物x亩,则种植乙种作物(10-x)亩,根据题
意得5x+6(10-x)≤55,解得x≥5,
∴至少种植甲种作物5亩.故答案为5.
5.(2024吉林长春九台期中)有3人要携带装修材料乘坐电梯,
这3人的体重共210 kg,每捆材料重20 kg,电梯的最大载重量不
超过1 060 kg,则该电梯在此3人乘坐的情况下最多能携带多
少捆材料
解析　设能携带x捆材料,依题意得20x+210≤1 060,解得x≤
42.5,又∵x为正整数,
∴x的最大值为42.∴最多能携带42捆材料.
6.(2025内蒙古中考)智能机器人的广泛应用是智慧农业的发
展趋势之一.某品牌苹果采摘机器人的机械手能自动对成熟
的苹果进行采摘,一个机器人可以搭载多个机械手同时工作.
在正常工作状态下,该机器人的每一个机械手平均a秒采摘一
个成熟的苹果,它的一个机械手用800秒采摘苹果的个数比用
600秒采摘苹果的个数多25.
(1)求a的值.
(2)现需要一定数量的苹果发往外地,采摘工作由多个机器人
共同完成.每个机器人搭载4个相同的机械手,那么至少需要多
少个这样的机器人同时工作1小时,才能使采摘的苹果个数不
少于10 000
解析 (1)根据题意得25a=800-600,解得a=8.
答:a的值为8.
(2)设需要x个这样的机器人,根据题意得 ×4x≥10 000,
解得x≥ ,又∵x为正整数,∴x的最小值为6.
答:至少需要6个这样的机器人同时工作1小时,才能使采摘的
苹果个数不少于10 000.

7.(2025福建福州鼓楼期末,★★☆)把一些书分给几名同学,若
每人分5本,则书本有剩余,若______,依题意设有x名同学,可列
不等式为3(x+4)>5x,则横线处的条件可以是 (　　　)
A.每人分3本,则剩余4本
B.每人分3本,则最后一人可多分4本
C.每人分3本,则比每人分5本时,书多剩出4本
D.每人分3本,则可多分给4个人
D
解析　由不等式3(x+4)>5x,可得横线处的条件为每人分3本,
则可多分给4个人.故选D.
8.(2025安徽合肥四十六中期中,★★☆)某银行办理业务,按顾
客“先到达,先服务”的方式服务,若某窗口每3分钟服务一位
顾客,且窗口开始工作时,已有8位顾客正在等待,窗口工作1分
钟后,又有1位新顾客到达,且预计以后每5分钟都有一位新顾
客到达,且到达的第m位新顾客不用排队等候,则m的值为
(　　　)
A.13　　　 B.12　　　 C.11　　　 D.10
A
解析　根据题意得3(8+m-1)≤5(m-1)+1,解得m≥ ,又∵m为
正整数,∴m的最小值为13,∴第13位新顾客不用排队等候.故
选A.
9.(2025北京大学附中期中,★★☆)有人问一位教师所教班级
有多少人,教师说:“一半学生在学数学,四分之一学生在学音
乐,七分之一学生在读外语,还剩下不足六位学生在操场上踢
足球.”则这个班有__________名学生.
28
解析　设这个班有x名学生,由题意可得x- x- x- x<6,整理得
x<6,解得x<56,又∵一半学生在学数学,四分之一的学生在
学音乐,七分之一的学生在读外语,∴该班的学生数一定是2、
4、7的公倍数,∴x=28,所以这个班有28名学生.故答案为28.
10.(2025山西临汾永和三模,★★☆)每年的3月14日为国际数
学日,在国际数学日到来之际,某校计划到文具店购买数学益
智玩具七巧板和数独棋,已知购买3副七巧板和2副数独棋需
要130元,购买5副七巧板和4副数独棋需要240元.
(1)求购买一副七巧板和一副数独棋分别需要多少元.
(2)若该校计划购买这两种益智玩具共50副,且购买经费不超
过1 200元,则数独棋最多能购买多少副
解析 (1)设购买一副七巧板需要x元,购买一副数独棋需要y
元,由题意得
解得
答:购买一副七巧板需要20元,购买一副数独棋需要35元.
(2)设数独棋能购买m副,则七巧板能购买(50-m)副,由题意得35
m+20(50-m)≤1 200,解得m≤13 ,∵m为正整数,∴m的最大值
为13.
答:数独棋最多能购买13副.

11.【新课标·应用意识】(2025贵州贵阳月考)新农村实行大
面积机械化种植,为了更好地收割庄稼,农田承包大户张大叔
决定购买8台收割机.现有A,B两种品牌的收割机,其中每种收
割机的价格、每天的收割面积如下表.销售商说,购买一台A
品牌收割机比购买一台B品牌收割机多花费8万元,购买2台A
品牌收割机比购买3台B品牌收割机多花费4万元.
A品牌 收割机 B品牌
收割机
价格/(万元/台) x y
收割面积/(hm2/天) 2 1
(1)求两种品牌的收割机的价格.
(2)如果张大叔购买收割机的资金不超过125万元,那么有哪几
种购买方案
(3)在(2)的条件下,若要求每天收割的总面积不低于9 hm2,为
了节约资金,请求出最佳购买方案.
解析 (1)根据题意得 解得
答:A品牌收割机的价格是20万元/台,B品牌收割机的价格是1
2万元/台.
(2)设张大叔购买了m台A品牌收割机,则他购买了(8-m)台B品
牌收割机,根据题意得20m+12(8-m)≤125,解得m≤ ,
又∵m为非负整数,∴m的值可以为0,1,2,3,
∴共有4种购买方案,方案1:购买8台B品牌收割机;
方案2:购买1台A品牌收割机,7台B品牌收割机;方案3:购买2台
A品牌收割机,6台B品牌收割机;方案4:购买3台A品牌收割机,
5台B品牌收割机.
(3)根据题意得2m+(8-m)≥9,解得m≥1,
又∵m≤ ,且m为非负整数,
∴m的值可以为1,2,3,∴共有3种购买方案,
方案1:购买1台A品牌收割机,7台B品牌收割机,总费用为20×1
+12×7=104(万元);
方案2:购买2台A品牌收割机,6台B品牌收割机,总费用为20×2
+12×6=112(万元);
方案3:购买3台A品牌收割机,5台B品牌收割机,总费用为20×3
+12×5=120(万元),
∵104<112<120,∴最佳购买方案为购买1台A品牌收割机,7台
B品牌收割机.(共14张PPT)
第7章　一元一次不等式
7.2　不等式的基本性质
　不等式的基本性质
1.(2025河南新乡期末)若aA.a-2C.-3a>-3b　　　 D.a-b>0
D
解析 A.∵ab,∴5a<5b,故本选项正确,不符合题意;C.∵a-3b,故
本选项正确,不符合题意;D.∵a合题意.故选D.
2.【新考向·结论开放题】(2025河南洛阳洛宁模拟)已知x+a<
y+a, > ,写出符合题意的a的一个值:______________.
　-1(答案不唯一)
解析　∵x+a ,∴a<0,∴a的值可以是-1,故
答案为-1(答案不唯一).
3.(2025河南郑州新郑月考)比较大小:若x(a-b)y,
则a______b.(填“>”或“<”)
　<
解析　∵x(a-b)y,∴a-b<0,∴a4.【新考向·代数推理】(2025山西吕梁期中)
(1)已知x>y,比较3x-2与3y-2的大小.
解:∵x>y,且3>0(已知),
∴3x_____3y(依据:_________),
∴3x-2_____3y-2(依据:_________).
(2)若x解析 (1)∵x>y,且3>0(已知),∴3x>3y(依据:不等式的基本性
质2),∴3x-2>3y-2(依据:不等式的基本性质1).故答案为>;不等
式的基本性质2;>;不等式的基本性质1.
(2)5-2x>5-2y.理由:∵x-2y,∴5-2x>5-2y.

5.(2025吉林长春力旺实验中学四模,★★☆)不等关系在生活
中广泛存在.如图,小颖与小红现在的年龄分别是a岁,b岁,则图
中两人的对话体现的数学原理是 (　　　)

A.若a>b,则a+n>b+n B.若a>b,b>n,则a>n
C.若a>b,n>0,则an>bn
A
D.若a>b,n>0,则 >
解析　易得题图中两人的对话体现的数学原理是若a>b,则a+
n>b+n.故选A.
6.(★★☆)某小区便利店负责人上午买回来30千克黄瓜,价格
为每千克x元,下午他又买回来20千克黄瓜,价格为每千克y元,
后来他以每千克 元的价格卖完后,发现自己赔了钱,其原
因是 (　　　)
A.xy　　　 C.x≤y　　　 D.x≥y
B
解析　根据题意得,他买黄瓜时每千克的平均价格是
元,因为以每千克 元的价格卖完后,发现自己赔
了钱,所以 > ,所以x>y.所以赔钱的原因是x>y.故
选B.

7.【新课标·推理能力】(2025山西运城月考)阅读感悟:
代数证明题是数学中常见的一种题型,它要求运用逻辑推理
和代数知识来证明某个数学命题的正确性.
例:已知有理数m、n满足m>n>0,证明m2>n2.
证明:因为m>n且m,n均为正数,
所以m2>_______,mn>_______(不等式的两边都乘同一个正
数,不等号的方向不变),
所以m2>n2(不等式的传递性).
解决问题:
(1)请将上面的证明过程填写完整.
(2)尝试证明:若x证明 (1)因为m>n且m,n均为正数,所以m2>mn,mn>n2(不等式
的两边都乘同一个正数,不等号的方向不变),所以m2>n2(不等
式的传递性).
(2)∵x第7章　一元一次不等式
7.1.2　不等式的解集
7.1　认识不等式
　不等式的解集与解不等式
1.(2025陕西西安月考)下列不等式的解集中,不包括-5的是
(　　　)
A.x≤5 　　　 B.x≥-5 　　　 C.x≤-6 　　　 D.x≥-6
C
解析 x≤-6中不包括-5,故选C.
2.(2025河南驻马店实验中学月考)下列4种说法:①x= 是不等
式4x-5>0的解;②x= 是不等式4x-5>0的一个解;③x> 是不等
式4x-5>0的解集;④x>2中任何一个数都可以使不等式4x-5>0
成立,所以x>2也是它的解集.其中正确的有(　　　)
A.1个　　　 B.2个　　　 C.3个　　　 D.4个
B
解析　①不等式4x-5>0的解集为x> ,所以x= 不是不等式4x-
5>0的解,故①错误;②因为x= > ,所以x= 是不等式4x-5>0的
一个解,故②正确;易知③正确;④∵x>2包含在不等式的解
集x> 中,∴x>2是它的解集的一部分,故④错误.故选B.
　在数轴上表示不等式的解集
3.(2025河南周口郸城期中)不等式x>-1的解集在数轴上表示
正确的是 (　　　)
　　　
　　　
D
解析　由题意得不等式x>-1的解集在数轴上表示为
.故选D.
4.不等式的解集在数轴上表示如图所示,则该不等式的解可以
是 (　　　)

A.1　　　 B.2　　　 C.3　　　 D.4
A
解析　由题意得不等式的解集为x<2,结合选项可知该不等式
的解可以是1.故选A.
5.【学科特色·教材变式P59T5】将下列不等式的解集在数轴
上表示出来:①x>-1;②x≤-2;③x≥0;④x<-3.
解析　如图.
①　
②
③　
④

6.(2025江苏徐州期末,★★☆)若不等式的解集在数轴上表示
如图所示,则该不等式的 (　　　)

A.最小整数解是0　　　 B.最小整数解是-1
C.最大整数解是0　　　 D.最大整数解是-1
A
解析　由数轴可知该不等式的解集为x>-1,则该不等式有最
小整数解,为0.故选A.
7.(2025安徽安庆期末改编,★★☆)关于x的不等式的解集为x
≤ ,在数轴上表示如图所示,则a的值为 (　　　)

A.1　　　 B. 　　　 C.-1　　　 D.-
D
解析　根据题意得 =-1,解得a=- .
故选D.
8.(2025江苏泰州姜堰期末,★★☆)已知x整数是5,那么a的取值范围是_____________.
5解析　因为x为5
9.【新课标·运算能力】已知一个不等式的解集为x≤a,该不
等式的所有正整数解为1,2,3,4.
(1)当a为整数时,a的值是多少
(2)当a为有理数时,a的取值范围是多少
解析 (1)当a为整数时,a=4.
(2)当a为有理数时,4≤a<5.

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