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(共32张PPT)
第8章　三角形
8.1.3　三角形的三边关系
8.1　与三角形有关的边和角
　三角形的三边关系
1.【学科特色·教材变式P91T1】(2025江苏连云港中考)下列
长度的3根小木棒能搭成三角形的是 (　　　)
A.1 cm,2 cm,3 cm　　　 B.2 cm,3 cm,4 cm
C.3 cm,5 cm,8 cm　　　 D.4 cm,5 cm,10 cm
B
解析 A.∵1+2=3,∴长度为1 cm,2 cm,3 cm的小木棒不能搭
成三角形,故本选项不符合题意;B.∵2+3>4,∴长度为2 cm,
3 cm,4 cm的小木棒能搭成三角形,故本选项符合题意;C.∵3+5=
8,∴长度为3 cm,5 cm,8 cm的小木棒不能搭成三角形,故本选
项不符合题意;D.∵5+4<10,∴长度为4 cm,5 cm,10 cm的小木
棒不能搭成三角形,故本选项不符合题意.故选B.
2.(2025福建泉州南安二模)为估计池塘两岸A、B之间的距离,
小明在池塘一侧选取了一点P,测得PA=16 m,PB=14 m,则A、
B之间的距离不可能是 (　　　)

A.14 m　　　 B.16 m　　　 C.28 m　　　 D.32 m
D
解析　设A、B之间的距离为x m,则由三角形的三边关系可得
16-14故选D.
3.(2025河北石家庄九中期中)将周长为12 cm的三角形的三条
边依次放在一条直线上,则所标数据正确的是 (　　　)
　　　
　　　
D
解析　由选项A中的图形可得三条线段的长分别为6 cm,4
cm,2 cm,∵4+2=6,∴不符合构成三角形的条件,∴该选项中所
标的数据不正确,故选项A不符合题意;由选项B中的图形可得
三条线段的长分别为6 cm,3 cm,3 cm,∵3+3=6,∴不符合构成
三角形的条件,∴该选项中所标的数据不正确,故选项B不符
合题意;由选项C中的图形可得三条线段的长分别为7 cm,3
cm,2 cm,∵3+2<7,∴不符合构成三角形的条件,∴该选项中所
标的数据不正确,故选项C不符合题意;由选项D中的图形可得
三条线段的长分别为5 cm,5 cm,2 cm,∵5+2>5,∴符合构成三
角形的条件,∴该选项中所标的数据正确,故选项D符合题意.
故选D.
4.【学科特色·教材变式P91T2】(2025福建厦门六中模拟)已
知△ABC的两边长分别为2和4,第三边长为偶数,则第三边长
为_________.
4
解析　设第三边长为x,根据三角形的三边关系可得4-22,即25.(2025重庆南川期中)已知△ABC的三边长分别为a,b,c,且a=
4,b=6.
(1)求c的取值范围.
(2)若c为小于8的偶数,求△ABC的周长.
解析 (1)因为a=4,b=6,所以6-4(2)因为c为小于8的偶数,所以c=4或c=6.
当c=4时,△ABC的周长=4+4+6=14;
当c=6时,△ABC的周长=6+4+6=16.
综上所述,△ABC的周长为14或16.
6.小明和小红在一本数学资料上看到这样一道竞赛题:已知△
ABC的三边长分别为a、b、c(a>b),且满足(b+c-2a)2+|b+c-8|=
0,求c的取值范围.
(1)小明说:“我不知道如何求c的取值范围,但我能求出a的
值.”你知道小明是如何计算的吗 请帮他写出求解的过程.
(2)小红说:“我也不知道如何求c的取值范围,但我能用含c的
代数式表示b.”请你帮小红写出过程.
(3)小明和小红一起去问数学老师,老师说:“根据你们二人的
求解,再结合三角形的三边关系即可求出答案.”你知道答案
吗 请写出过程.
解析 (1)由题意得 ∴a=4.
(2)由b+c-8=0,得b=8-c.
(3)由三角形的三边关系得a+b>c>a-b,即4+8-c>c>4-(8-c),解得
c<6,由a>b得4>8-c,∴c>4,∴4 　三角形的稳定性
7.(2025福建泉州晋江期末)篮球架是篮球场地的必需设备,设
置三角形支架使篮球架变得牢固,这样做所蕴含的数学原理
是 (　　　)
A.三角形的稳定性　　　 B.三角形的不稳定性
C.四边形的稳定性　　　 D.四边形的不稳定性
A
解析　设置三角形支架使篮球架变得牢固,这样做所蕴含的
数学原理是三角形的稳定性.故选A.
8.(2025吉林长春模拟)下面是用木条钉成的框架,其中不容易
变形的是 (　　　)
　　　 　　　 　　　

B
解析　选项A、C、D中的框架由四边形构成,四边形具有不
稳定性,因此选项A、C、D中的框架容易变形,选项B中的框
架由三角形构成,三角形具有稳定性,因此选项B中的框架不
容易变形.故选B.

9.(2025河北唐山十二中二模,★★☆)三根底端对齐的小棒中
有一根被挡板遮住了,它们的长度如图所示.若三根小棒可以
围成三角形,则第三根小棒的长度可以是 (　　　)

A.2　　　 B.3 C.4或5　　　 D.6
C
解析　设第三根小棒的长度是x,∵三根小棒可以围成三角形,
∴由三角形的三边关系可得10-7知x≤5,∴3是4或5.故选C.
10.(2025福建三明三元一模,★★☆)为方便劳动技术小组实
践教学,需用篱笆围一块三角形空地,现已连好三段篱笆AB、
BC、CD,这三段篱笆的长度如图所示,其中篱笆AB、CD可分
别绕轴BE和CF转动.若要围成一个三角形的空地,则可以在篱
笆AB的一端连上多长的新的篱笆 (　　　)
D
A.1 m　　　 B.2 m　　　 C.3 m　　　 D.4 m
解析　设在篱笆AB的一端连上x m新的篱笆,根据题意得AB=
2 m,BC=8 m,CD=3 m,易得8-3<2+x<8+3,∴3知新的篱笆的长度可以为4 m.故选D.
11.【新考向·新定义题】(2025重庆七中期中,★★☆)定义:一
个三角形的一边长是另一边长的2倍,这样的三角形叫做“倍
长三角形”.若△ABC是“倍长三角形”,且较短的两条边长
分别为2和3,则第三条边的长为_________.
4
解析　设第三条边的长为x,则3-2当第三条边的长是2的2倍时,第三条边的长为4,符合题意;
当第三条边的长是3的2倍时,第三条边的长为6,不符合题意,
舍去.
∴第三条边的长为4.
故答案为4.
12.(2025重庆八中期末,★★☆)已知a、b、c是△ABC的三边
长,化简|a+b-c|+|b-c-a|的结果为__________.
2a
解析　由三角形的三边关系可得a+b>c,a+c>b,∴a+b-c>0,b-c-
a<0,∴|a+b-c|+|b-c-a|=a+b-c+[-(b-c-a)]=a+b-c-b+c+a=2a.故答
案为2a.
13.(2025重庆长寿川维中学期中,★★★)已知△ABC的边
AB、BC的长度分别是不等式组 的最大整数解与最
小整数解,若△ABC的周长是奇数,则△ABC的第三条边AC的
长度的最小值为_________.
3
解析　解不等式组 得5∵△ABC的边AB、BC的长度分别是该不等式组的最大整数
解与最小整数解,∴AB=8,BC=6,∴8-6∵△ABC的周长是奇数,AB+BC=14,∴△ABC的第三条边AC
的长度的最小值为3.故答案为3.
14.(2025吉林四平双辽期末,★★☆)在学习了三角形后,老师
给同学们每人准备了一根12 cm长的木棒,让同学们通过剪拼
的形式,制作一个三角形木框.
(1)小明想把木棒剪成三段,第一段长为a cm,第二段的长比第
一段长的3倍少2 cm.试判断第一段的长能否为3 cm,并说明理
由.
(2)小亮先把木棒剪成如图所示的两段,其中AB=4 cm,CD=8
cm,现要将木棒CD从P处剪开,使得三根木棒首尾顺次相接能
组成三角形,请直接写出符合条件的CP的整数长度.
解析 (1)第一段的长不能为3 cm.理由如下:根据题意可得第
二段的长为(3a-2)cm,第三段的长为[12-a-(3a-2)]=(14-4a)cm,
当a=3时,3a-2=7,14-4a=2,∵3+2<7,∴长度为3 cm,2 cm,7 cm的
三根木棒不能拼成一个三角形木框,∴第一段的长不能为
3 cm.
(2)设CP=x cm,则PD=(8-x)cm,∵AB、CP、PD能组成三角形,
∴x+4>8-x且4+8-x>x,解得25,即符合条件的CP的整数长度为3 cm或4 cm或5 cm.

15.【新课标·推理能力】(2025福建泉州期中)若三边均不相
等的三角形的三边长a、b、c满足a-b>b-c(a为最长边,c为最
短边),则称它为“不均衡三角形”,例如,一个三角形的三边
长分别为7,5,4,因为7-5>5-4,所以这个三角形为“不均衡三角
形”.
(1)以下两组长度的小木棒能组成“不均衡三角形”的为____
_____(填序号).
①13 cm,18 cm,9 cm;②9 cm,8 cm,6 cm.
①
(2)已知一个“不均衡三角形”的三边长分别为2x+2,16,2x-6,
直接写出x的整数值:___________________.
10或12或13或14
解析 (1)∵18-13=5,13-9=4,∴18-13>13-9,∴长度为13 cm,18
cm,9 cm的小木棒能组成“不均衡三角形”;
∵9-8=1,8-6=2,∴9-8<8-6,∴长度为9 cm,8 cm,6 cm的小木棒
不能组成“不均衡三角形”.故答案为①.
(2)可分3种情况讨论:①当2x+2>16>2x-6时,716>16-(2x-6),解得x>9,∴92x+2=22,2x-6=14,∵16+14>22,∴能构成三角形.
②当16>2x+2>2x-6,且(2x+2)+(2x-6)>16时,5“不均衡三角形”,∴16-(2x+2)>2x+2-(2x-6),解得x<3,与57矛盾,∴此种情况不存在.
③当2x+2>2x-6>16时,x>11,此时2x+2-(2x-6)>2x-6-16,解得x<1
5,∴112x-6=18,∵18+16>26,∴能构成三角形;当x=13时,2x+2=28,2x-
6=20,∵20+16>28,∴能构成三角形;当x=14时,2x+2=30,2x-6=2
2,∵22+16>30,∴能构成三角形.综上所述,x的整数值为10或1
2或13或14.(共30张PPT)
第8章　三角形
8.1.2　三角形的内角和与外角和
第1课时　三角形的内角和及其推论
8.1　与三角形有关的边和角
　三角形的内角和
1.(2024山西太原清徐二中期末)在△ABC中,若∠A=80°,∠B=
20°,则∠C= (　　　)
A.80° 　　　 B.70°　　　 C.60° 　　　 D.100°
A
解析　∵∠A+∠B+∠C=180°,且∠A=80°,∠B=20°,∴∠C=180°-∠A-∠B=180°-80°-20°=80°.故选A.
2.(2025重庆九龙坡期末)如图,在△ABC中,AD是BC边上的高,
AE是∠BAC的平分线,∠BAC=60°,∠C=70°,则∠DAE的度数
为 (　　　)

A.15°　　　 B.8°　　　 C.10°　　　 D.12°
C
解析　∵AE是∠BAC的平分线,∴∠CAE= ∠BAC= ×60°=30°,∵AD是BC边上的高,∴∠ADC=90°,∵∠CAD+∠ADC+∠C
=180°,∠C=70°,∴∠CAD=180°-90°-70°=20°,∴∠DAE=∠CAE-∠CAD=30°-20°=10°.故选C.
3.(2025重庆江津期末)如图,在△ABC中,∠BAC=α,BP平分∠ABC,CP平分∠ACB,则∠BPC的度数为 (　　　)

A. α　　　 B.90°+ α
C.90°- α　　 D.α
B
解析　∵∠BAC=α,∴∠ABC+∠ACB=180°-α,
∴ ∠ABC+ ∠ACB=90°- α,
∵BP平分∠ABC,CP平分∠ACB,
∴∠PBC+∠PCB= ∠ABC+ ∠ACB=90°- α,
∴∠BPC=180°-(∠PBC+∠PCB)=180°- 90°- α =90°+ α.故
选B.
4.(2025吉林四平双辽期末)如图,直尺的一边经过三角板DCB
的直角顶点B,若∠C=30°,∠ABC=20°,则∠DEF的大小为______
_____.

50°
解析　∵∠C=30°,∠ABC=20°,∴∠BAC=180°-(∠C+∠ABC)
=180°-(30°+20°)=130°,∴∠DAB=180°-∠BAC=180°-130°=50°,
由题意得EF∥AB,∴∠DEF=∠DAB=50°.故答案为50°.
5.(2025河南洛阳西工期中)如图,点E、D分别在AB、AC上.若
∠B=35°,∠C=45°,则∠1+∠2=___________.

80°
解析　∵∠B=35°,∠C=45°,∴∠A=180°-(∠B+∠C)=100°,
∴∠1+∠2=180°-∠A=80°.故答案为80°.
　三角形内角和的推论
6.(2025重庆七中期中)下列不能判定△ABC是直角三角形的
是 (　　　)
A.∠A+∠B=90°　　　 B.∠A+∠B=∠C
C.∠A=2∠B=3∠C　　　 D.∠A= ∠B= ∠C
C
解析 A.∵∠A+∠B+∠C=180°,∠A+∠B=90°,∴∠C=180°-9
0°=90°,∴△ABC是直角三角形,故选项A不符合题意;
B.∵∠A+∠B+∠C=180°,∠A+∠B=∠C,∴∠C= ×180°=90°,
∴△ABC是直角三角形,故选项B不符合题意;
C.∵∠A=2∠B=3∠C,∴∠B= ∠A,∠C= ∠A,∵∠A+∠B+
∠C=180°,∴∠A= °,∴∠B= °,∠C= °,∴△
ABC不是直角三角形,故选项C符合题意;
D.∵∠A= ∠B= ∠C,∴∠B=2∠A,∠C=3∠A,∵∠A+∠B+
∠C=180°,∴∠A=30°,∴∠B=60°,∠C=90°,∴△ABC是直角三
角形,故选项D不符合题意.故选C.
7.(2025河南三门峡期末)如图所示,BD、CE是△ABC的两条
高,∠A=50°,则∠BOC= (　　　)

A.110°　　　 B.120°　　　 C.130°　　　 D.140°
C
解析　∵BD、CE是△ABC的两条高,∴∠AEC=∠ADB=90°,
∵∠A=50°,∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A=130°,∠ABD=90°-∠A
=40°,∠ACE=90°-∠A=40°,∴∠OBC+∠OCB=(∠ABC+∠ACB)-
(∠ABD+∠ACE)=130°-80°=50°,∴∠BOC=180°-50°=130°.
故选C.
8.(2025吉林长春月考)如图,在△ABC中,∠BAC=58°,∠C=72°,
AD是高,BE是角平分线,且AD、BE相交于点F.
(1)求∠DAC的度数.
(2)求∠AFB的度数.

解析 (1)∵AD是△ABC的高,∴∠ADC=90°,∴∠C+∠DAC=
90°,∵∠C=72°,∴∠DAC=90°-72°=18°.
(2)∵∠BAC=∠BAD+∠DAC=58°,∴∠BAD=∠BAC-∠DAC=
58°-18°=40°,∵∠BAC+∠C+∠ABC=180°,∴∠ABC=180°-58°
-72°=50°,∵BE是△ABC的角平分线,∴∠ABF= ∠ABC=25°,
∵∠ABF+∠BAD+∠AFB=180°,∴∠AFB=180°-25°-40°=115°.

9.(2025河南安阳文峰期末,★★☆)如图,在△ABC中,∠BCA=4
0°,∠ABC=60°.若BF是△ABC的高,且BF与∠BAC的平分线AE
相交于点O,则∠EOF的度数为 (　　　)

A.130°　　　 B.70°　　　 C.110°　　　 D.100°
A
解析　∵∠BCA=40°,∠ABC=60°,∴∠BAC=180°-∠BCA-∠
ABC=180°-40°-60°=80°.∵AE是∠BAC的平分线,∴∠EAC=
∠BAC=40°.∵BF是△ABC的高,∴∠BFA=90°.∴∠AOF=90°-
∠EAC=90°-40°=50°.∴∠EOF=180°-∠AOF=180°-50°=130°.
故选A.
10.【新考向·新定义题】(2025河南省实验中学期末,★★☆)
若在△ABC中,∠B=2∠C,则称△ABC为“可爱三角形”,称∠
A为“可爱角”.现有一个等腰三角形为“可爱三角形”,这
个三角形的“可爱角”应该是 (　　　)
A.45°或36°　　　 B.72°或36°
C.45°或72°　　　 D.36°,45°或72°
C
解析　设等腰三角形ABC是这个“可爱三角形”,可分两种
情况讨论:
(1)设△ABC三个内角的度数分别为∠C=α,∠A=α,∠B=2α,则α
+α+2α=180°,解得α=45°,此时∠A=45°,即“可爱角”是45°;
(2)设△ABC三个内角的度数分别为∠C=α,∠B=2α,∠A=2α,则
2α+2α+α=180°,解得α=36°,此时∠A=2α=72°,即“可爱角”是
72°.综上,这个三角形的“可爱角”是45°或72°,故选C.
11.(2025重庆辅仁中学教育集团期中,★★★)如图,在△ABC
中,∠ABC与∠ACB的平分线交于点D,且∠EBC= ∠ABC,∠
ECB= ∠ACB,则∠D与∠E的数量关系可表示为 (　　　)
A.3∠E-2∠D=180° B.3∠D-2∠E=180°
C.3∠E-2∠D=90° D.3∠D-2∠E=90°
A
解析　∵∠ABC与∠ACB的平分线交于点D,∴∠DBC= ∠
ABC,∠DCB= ∠ACB,∵∠EBC= ∠ABC,∠ECB= ∠ACB,
∴∠DBC= ∠EBC,∠DCB= ∠ECB,∵∠D+∠DBC+∠DCB
=180°,∴∠D+ ∠EBC+ ∠ECB=180°,∵∠E+∠EBC+∠ECB
=180°,∴∠EBC+∠ECB=180°-∠E,∴∠D+ (180°-∠E)=180°,
整理得3∠E-2∠D=180°.
故选A.
12.【新课标·中华优秀传统文化】(2025山西运城期中,★★
☆)《周礼·考工记》是中国古代春秋战国时期的技术典籍,其
中记载:“半矩谓之宣(xuān),一宣有半谓之欘(zhú).”意思是
“直角的一半的角叫做宣,一宣半的角叫做欘”,即1宣= 矩,1
欘=1 宣(其中,1矩=90°).
问题:图1为中国古代一种强弩图,图2为这种强弩图的部分组
件的示意图,若∠A=1矩,∠B=1欘,则∠C=____________°.
22.5

图1 图2
解析　∵1宣= 矩,1欘=1 宣,1矩=90°,∠A=1矩,∠B=1欘,∴
∠A=90°,∠B=1 × ×90°=67.5°,∴∠C=180°-90°-∠B=180°-90
°-67.5°=22.5°.

13.【新课标·推理能力】已知,如图1,线段AB、CD相交于
点O,连结AD、CB,我们把形如图1的图形称为“8字形”.试
解答下列问题:
(1)在图1中,请直接写出∠A、∠B、∠C、∠D之间的数量关
系:_______.
(2)仔细观察,在图2中,“8字形”的个数为_______.
(3)在图2中,若∠D=40°,∠B=36°,∠DAB和∠BCD的平分线AP
和CP相交于点P,并且与CD、AB分别相交于点M、N,利用(1)
中的结论,求∠P的度数.(4)当图2中∠D和∠B为任意角时,其他条件不变,试问∠P与
∠D、∠B之间存在着怎样的数量关系 (直接写出结论即可)
图1 图2
解析 (1)∠A+∠D=∠B+∠C.
详解:在△AOD中,∠AOD=180°-(∠A+∠D),
在△BOC中,∠BOC=180°-(∠B+∠C),
∵∠AOD=∠BOC,
∴180°-(∠A+∠D)=180°-(∠B+∠C),
∴∠A+∠D=∠B+∠C.
(2)6.详解:以M为交点的“8字形”有1个,△AMD与△CMP;
以O为交点的“8字形”有4个,△AOD与△COB,△AOM与
△CON,△AOM与△COB,△AOD与△CON;
以N为交点的“8字形”有1个,△ANP与△CNB.
∴“8字形”共有6个.
(3)∵∠D=40°,∠B=36°,
∴∠OAD+40°=∠OCB+36°,
∴∠OCB-∠OAD=4°,
∵AP和CP分别是∠DAB和∠BCD的平分线,
∴∠DAM= ∠OAD,∠PCM= ∠OCB,
∵∠DAM+∠D=∠PCM+∠P,
∴∠P=∠DAM+∠D-∠PCM=∠D- (∠OCB-∠OAD)=40°- ×
4°=38°.
(4)2∠P=∠B+∠D.
详解:根据(1)中的结论得,∠OAD+∠D=∠OCB+∠B,∠DAM+
∠D=∠PCM+∠P,∴∠OCB-∠OAD=∠D-∠B,∠PCM-∠
DAM=∠D-∠P,
∵AP和CP分别是∠DAB和∠BCD的平分线,
∴∠DAM= ∠OAD,∠PCM= ∠OCB,
∴ ∠OCB- ∠OAD= (∠D-∠B)=∠D-∠P,
整理得,2∠P=∠B+∠D.(共30张PPT)
第8章　自主检测
时间：40分钟 满分：100分
一、选择题(每小题6分,共42分)
1.(2025北京中考)若一个六边形的每个内角都是x°,则x的值为
(　　　)
A.60　　　 B.90　　　 C.120　　　 D.150
C
解析　∵一个六边形的每个内角都为x°,∴这个六边形为正
六边形,∴每个内角的度数为(6-2)×180°÷6=120°,∴x的值为120.
故选C.
2.(2025河北廊坊固安月考)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,D是
BC上一点,DE⊥AB于点E,连结AD,则以DE为一条高线的三角
形共有 (　　　)

A.1个　　　 B.2个　　　 C.3个　　　 D.4个
C
解析　∵DE⊥AB,∴以DE为一条高线的三角形有△BDE,△
ABD,△ADE.故选C.
3.(2025陕西渭南富平期末)如图,在△ABC中,∠BAC=70°,∠
ACB=80°,AD平分∠BAC,P为线段AD上一点,过点P作PE⊥AD
交BC的延长线于点E,则∠E的度数为 (　　　)

A.20°　　　 B.25°　　　 C.30°　　　 D.35°
B
解析　∵∠BAC=70°,∠ACB=80°,∴∠B=180°-∠BAC-∠ACB
=180°-70°-80°=30°,∵AD平分∠BAC,∴∠BAD= ∠BAC=35°,
∴∠PDE=∠B+∠BAD=65°,∵PE⊥AD,∴∠E=90°-∠PDE=9
0°-65°=25°.故选B.
4.(2025河北石家庄新华期末)一个多边形被截去一个角后,其
内角和为900°,求原多边形的边数.以下是甲、乙、丙三位同
学的说法:
甲:边数可以为6;乙:边数可以为7;丙:边数可以为9.其中说法
正确的是 (　　　)
A.只有甲正确　　　 B.只有乙正确
C.甲、乙、丙都正确　　　 D.只有甲、乙正确
D
解析　设原多边形为n边形,当n边形截去一个角时,可形成(n-
1)边形或n边形或(n+1)边形,∴(n-1-2)×180°=900°或(n-2)×
180°=900°或(n+1-2)×180°=900°,解得n=8或n=7或n=6,∴只有
甲、乙的说法正确.故选D.
5.(2025江苏南通月考)如图,在四边形MNCB中,设∠M=α,∠N=
β,四边形MNCB的内角∠MBC与四边形MNCB的外角∠NCD
的平分线BP、CP相交于点P,则∠P的度数为(用含α和β的代
数式表示) (　　　)

C
A. 　　　 B.α+β-90°
C. 　　　 D.
解析　如图,延长BM、CN相交于点Q,∵BP平分∠MBC,CP平
分∠NCD,∴∠MBP=∠CBP= ∠MBC,∠NCP=∠DCP= ∠
NCD,∵∠NCD=∠Q+∠QBC,∴2∠DCP=∠Q+2∠CBP,∵∠
DCP=∠P+∠CBP,∴∠P= ∠Q,∵∠Q+∠QMN+∠QNM=180
°,α+∠QMN=180°=β+∠QNM,∴∠P= (180°-∠QMN-∠QNM)
= [180°-(180°-α)-(180°-β)],∴∠P= (α+β-180°).故选C.

6.【跨物理·力学】(2025重庆潼南期中)静止在斜坡上的小正
方体木块的受力情况如图所示,其中摩擦力f的方向OF1∥AC,
支持力N的方向OF2⊥AC,重力G的方向OF3⊥AB.若∠A=α,则
∠F2OF3的度数为 (　　　)
A.180°-α　　　 B.180°- α　　　　 C.90°+α　　　　
A
D.90°+2α
解析　如图,

∵OF3⊥AB,∴∠2=∠1=90°-∠A=90°-α,∵OF1∥AC,∴∠F3OF
1=180°-∠2=90°+α,由题意得OF2⊥OF1,
∴∠F1OF2=90°,∴∠F2OF3=360°-90°-(90°+α)=180°-α.故选A.
7.如图,在△ABC中,∠ABC、∠ACB的平分线交于点O,∠ACF
的平分线所在直线与∠ABC的平分线交于点D,与∠MBC的平
分线交于点E,有下列结论:①∠BOC=90°+ ∠A;②∠D=
∠A;③∠A= ∠E;④∠E+∠DCF=90°+∠ABD.其中所有正确
结论的序号是(　　　)

C
A.①②　　　 B.③④　　　
C.①②④　　　D.①②③④
解析　∵∠ABC、∠ACB的平分线交于点O,∴∠ABD=∠
OBC= ∠ABC,∠OCB=∠ACO= ∠ACB,∴∠OBC+∠OCB=
(∠ABC+∠ACB)= (180°-∠A)=90°- ∠A,∴∠BOC=180°-
(∠OBC+∠OCB)=180°- =90°+ ∠A,故①结论正
确;
∵CD平分∠ACF,∴∠DCF= ∠ACF,∵∠ACF=∠ABC+∠A,
∠DCF=∠OBC+∠D,∴2∠OBC+2∠D=∠ABC+∠A,∴∠D=
∠A,故②结论正确;
如图,
∵∠MBC=∠A+∠ACB,∠BCN=∠A+∠ABC,∠ACB+∠A+∠
ABC=180°,∴∠MBC+∠BCN=∠A+∠ACB+∠ABC+∠A=180°
+∠A,∵BE平分∠MBC,CE平分∠BCN,∴∠MBC=2∠EBC,
∠BCN=2∠BCE,∴∠EBC+∠ECB=90°+ ∠A,∴∠E=180°-(∠
EBC+∠ECB)=90°- ∠A,∴∠A=180°-2∠E,故③结论错误;
∵∠DCF=∠DBC+∠D,∴∠E+∠DCF=90°- ∠A+∠DBC+
∠A=90°+∠DBC,∵∠ABD=∠DBC,∴∠E+∠DCF=90°+∠ABD,故④结论正确.综上所述,正确结论有①②④.故选C.
二、填空题(每小题5分,共15分)
8.(2025重庆长寿中学期末)在△ABC中,如果∠A是∠B的两倍,
且∠C比∠A大30°,那么△ABC是_______三角形.(按角分类)
　直角
解析　设∠B=α,则∠A=2α,∵∠C比∠A大30°,∴∠C=2α+30°,
∵∠A+∠B+∠C=180°,∴2α+α+2α+30°=180°,解得α=30°,
∴∠C=90°,∴△ABC为直角三角形.故答案为直角.
9.(2025河北邯郸武安三模)如图,∠E=∠F=∠G=108°,∠C=∠
D=72°,则∠A+∠B的度数为___________.

72°
解析　如图,连结CD,

易得五边形CDEFG的内角和为(5-2)×180°=540°,∴∠CDE+
∠DCG=540°-(∠E+∠F+∠G)=540°-108°×3=216°,∴∠ADC+
∠BCD=∠CDE+∠DCG-(∠BCG+∠ADE)=216°-72°×2=72°,
∴∠A+∠B=∠ADC+∠BCD=72°.故答案为72°.
10.(2024四川达州中考)如图,在△ABC中,AE1,BE1分别是内角
∠CAB,外角∠CBD的三等分线,且∠E1AD= ∠CAB,∠E1BD=
∠CBD,在△ABE1中,AE2,BE2分别是内角∠E1AB,外角∠E1BD
的三等分线,且∠E2AD= ∠E1AB,∠E2BD= ∠E1BD,……以此
规律作下去,若∠C=m°,则∠En=__________.
°
解析　设∠E1AD=α,∠E1BD=β,则∠CAB=3α,∠CBD=3β,由三
角形的外角的性质得β=α+∠E1,3β=3α+∠C,∴∠E1= ∠C,同
理可得∠E2= ∠E1,∴∠E2= ∠C, ……以此规律,得∠En=
∠C,即∠En= °.
三、解答题(共43分)
11.(2025四川德阳旌阳期中)(13分)已知△ABC的三边长分别
为a、b、c.
(1)化简:|a-b-c|-|b-c-a|+|a+b-c|.
(2)若a=5,b=2,且三角形的周长为偶数,求c的值.
解析 (1)由三角形的三边关系可得ac,∴|a-
b-c|-|b-c-a|+|a+b-c|=-(a-b-c)-[-(b-c-a)]+a+b-c=b+c-a+b-c-a+a+b
-c=3b-a-c.
(2)由三角形的三边关系可得5-2周长是偶数,∴c=5.
12.【学科特色·教材变式P108T2】(2024河南南阳南召期末)
(14分)
(1)已知四边形ABCD如图1所示,试说明∠A+∠B+∠C+∠D=360°.
(2)在如图2所示的模板中,已知AE⊥EC,按规定,AB、CD的延
长线相交所成锐角为40°,因交点不在板上,不便测量,质检员
测得∠BAE=115°,∠DCE=117°,则模板是否合格 为什么
解析 (1)如图,连结BD,
∵∠A+∠ABD+∠ADB=180°,∠C+∠CBD+∠CDB=180°,
∴∠A+∠ABD+∠CBD+∠C+∠CDB+∠ADB=360°,
∵∠ABC=∠ABD+∠CBD,∠ADC=∠CDB+∠ADB,∴∠A+∠ABC+∠C+∠ADC=360°.
(2)不合格.理由:如图,延长AB、CD交于点G,

∵AE⊥EC,∴∠E=90°.∵∠BAE=115°,∠DCE=117°,四边形
AECG的内角和为360°,∴∠G=360°-(∠A+∠E+∠C)=38°≠40
°,∴该模板不合格.
13.【跨物理·光的反射】(2025四川广元朝天期末)(16分)【生
活常识】射到平面镜上的光线(入射光线)和改变方向后的光
线(反射光线)与平面镜所夹的角相等.如图1,MN是平面镜,若
入射光线AO与平面镜的夹角为∠1,反射光线OB与平面镜的
夹角为∠2,则∠1=∠2.
【应用探究】有两块平面镜OM、ON,入射光线AB经过两次
反射后,得到反射光线CD.
(1)如图2,若OM⊥ON,试说明AB∥CD.
(2)如图3,若光线AB与CD相交于点P,∠MON=48°,求∠BPC的
度数.
(3)如图4,若光线AB与CD所在的直线相交于点P,∠MON=α,∠
BPC=β,试猜想α与β之间满足的数量关系,并说明理由.
　
　
解析 (1)∵OM⊥ON,∴∠MON=90°,∴∠2+∠3=90°,又∵∠1
=∠2,∠3=∠4,∴∠ABC+∠BCD=180°-∠3-∠4+180°-∠1-∠2
=360°-2(∠2+∠3)=360°-2×90°=180°,∴AB∥CD.
(2)∵∠MON=48°,∴∠2+∠3=132°,由(1)可知∠ABC+∠BCD=
180°-∠3-∠4+180°-∠1-∠2=360°-2(∠2+∠3)=360°-2×132°=
96°,∴∠BPC=180°-(∠ABC+∠BCD)=180°-96°=84°.
(3)β=2α.理由:∵∠PBD+∠P=∠O+∠4,∠3=∠4=∠O+∠2,∠
1=∠2=∠PBD,∴∠1+β=α+α+∠1,∴β=2α.(共26张PPT)
第8章　三角形
第2课时　多边形的外角和
8.2　多边形的内角和与外角和
　多边形的外角和
1.(2025云南楚雄州双柏一模)如图,已知∠1+∠2+∠3+∠4=280°,则
∠5的度数为 (　　　)

A.70°　　　 B.80°　　　 C.90°　　　 D.100°
B
解析　由题意得∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=360°,∵∠1+∠2+
∠3+∠4=280°,∴∠5=360°-280°=80°.故选B.
2.(2025四川遂宁中考)已知一个凸多边形的内角和是外角和
的4倍,则该多边形的边数为 (　　　)
A.10　　　 B.11　　　 C.12　　　 D.13
A
解析　设这个多边形的边数为n,根据题意,得(n-2)·180°=4×
360°,解得n=10,∴该多边形的边数为10.故选A.
3.(2024四川遂宁中考)佩佩在“黄峨古镇”研学时学习扎染
技术,得到一个内角和为1 080°的正多边形图案,这个正多边
形的每个外角的度数为 (　　　)
A.36° 　　　 B.40° 　　　 C.45° 　　　 D.60°
C
解析　设这个正多边形的边数为n,由题意得(n-2)×180°=
1 080°,解得n=8,∴这个正多边形的每个外角的度数为360°÷8=
45°.故选C.
4.(2025四川内江隆昌知行中学期末)如图,八边形ABCDEFGH
中,HA、ED的延长线交于点O,若∠1,∠2,∠3,∠4的邻补角的
和等于200°,则∠AOD的度数为 (　　　)

A.20°　　　 B.25°
A
C.30°　　　 D.35°
解析　∵∠1,∠2,∠3,∠4的邻补角的和等于200°,且五边形
OHGFE的外角和为360°,∴∠AOD的邻补角的度数为360°-
200°=160°,∴∠AOD=180°-160°=20°.故选A.
5.【学科特色·多解法】【学科特色·教材变式P98例3】(2025
江苏扬州中考)若多边形的每个内角都是140°,则这个多边形
的边数为_________.
9
解析　【解法一】∵多边形的每个内角都是140°,∴这个多
边形的每个外角都是180°-140°=40°,∴这个多边形的边数为3
60°÷40°=9.
【解法二】设这个多边形的边数为n,则140°n=(n-2)×180°,解
得n=9,∴这个多边形的边数为9.
6.如图,在五边形ABCDE中,AB∥ED,∠1,∠2,∠3是五边形
ABCDE的外角,则∠1+∠2+∠3的度数为____________.

180°
解析　如图,延长BA,DE,

∵AB∥ED,∴∠4+∠5=180°,根据多边形的外角和可得∠1+
∠2+∠3+∠4+∠5=360°,∴∠1+∠2+∠3=360°-180°=180°.

7.(2024河南周口商水一中期末,★★☆)小聪为某机器人编制
了一段程序,如果机器人以0.5 m/s的速度在平地上按照图中
的步骤行走,那么该机器人从开始到停止所需的时间为 ( )

A.12 s　　　 B.24 s　　　 C.48 s　　　 D.60 s
B
解析　由题意得,该机器人所走过的路径是一个正多边形,该
正多边形的边数为 =6,则所走的路程是2×6=12(m),∴所
用时间为12÷0.5=24(s).故选B.
8.(2025吉林长春模拟,★★☆)如图,小明用制作好的树叶标本
遮盖了数学作业本里的一个正n边形的一部分.若直线AM、
BN所夹锐角为36°,则n的值是 (　　　)

A.9　　　 B.8　　　 C.5　　　 D.4
C
解析　如图所示,易知∠C=36°,∵∠1+∠2+∠C=180°,∴∠1+
∠2=144°,∵正多边形的每个外角都相等,∴∠1=∠2=72°,∴
这个正多边形的边数n=360°÷72°=5.故选C.

9.(2025宁夏银川月考,★★☆)如图,在正六边形ABCDEF中,直
线m、n分别与边BC、CD相交,且m∥n,则∠2-∠1的度数是
(　　　)

A.80°　　　 B.60°　　　 C.50°　　　 D.30°
B
解析　如图所示,延长BC交直线n于点H,设DC与直线n交于点
N.
∵m∥n,∴∠NHC=∠1,由题意可得∠DCH= ×360°=60°,
∵∠2=∠DCH+∠NHC,∴∠2=60°+∠1,∴∠2-∠1=60°.故选B.
10.(2025山东淄博张店九中期中,★★☆)如图,∠1+∠2+∠M+
∠N+∠P+∠Q的度数为 (　　　)

A.300°　　　 B.360°　　　 C.400°　　　 D.480°
B
解析　∵∠P+∠Q=∠ABP,∠M+∠N=∠MEA,四边形ABDE的
外角和是360°,∴∠ABP+∠2+∠1+∠MEA=360°,∴∠1+∠2+
∠M+∠N+∠P+∠Q=∠ABP+∠2+∠1+∠MEA=360°.故选B.
11.(★★☆)图①②③所示的四边形是同一个四边形不断缩小
(保持形状不变)的结果.
(1)在缩小的过程中,四边形对应的各个外角的大小是否发生
了变化 如果将四边形不断缩小下去,请你想象一下最终的形
状,并画出来.
(2)如图④,若小明从O点向西走10米,左转30°,再向前走10米,
左转30°,如此重复下去,求小明第一次回到O点时所走的路程.
(3)若小明从O点向西走16米,左转x°,再向前走16米,左转x°,如
此重复下去,已知小明第一次回到O点时所走过的路程为320
米,则x=_______.


解析 (1)四边形对应的各个外角的大小不会发生变化,将四
边形不断缩小下去,四边形的四个顶点重合为一点,这些外角
正好构成周角,即多边形的外角和是360°,所画的图形如图所
示:
(2)由题意可知,小明第一次回到O点时所走的路线形成的图
形是正多边形,由于这个正多边形的每一个外角的度数都是
30°,∴这个正多边形的边数为360°÷30°=12,∴所走的路程为10
×12=120(米).
(3)由题意可知,小明第一次回到O点所走的路线形成的图形
是正多边形,这个正多边形的边数为320÷16=20,∴这个正多
边形是正二十边形,∵正二十边形的每一个外角的度数为
=18°,∴x=18.故答案为18.

12.【新课标·推理能力】
(1)如图①,△ABC三边所在的直线与直线A1A2、A3A4、A5A6分
别两两相交,求∠A1+∠A2+∠A3+∠A4+∠A5+∠A6的度数.
(2)如图②,四边形ABCD四边所在的直线与直线A1A2、A3A4、
A5A6、A7A8分别两两相交,求∠A1+∠A2+∠A3+∠A4+∠A5+∠A6
+∠A7+∠A8的度数.
(3)若n边形n条边所在的直线与直线A1A2、A3A4、A5A6、…、
A2n-1A2n分别两两相交,则∠A1+∠A2+…+∠A2n=_______.
　
解析 (1)如图1,∵∠1+∠2+∠3=360°,∠1=∠A5+∠A6,∠2=∠
A3+∠A4,∠3=∠A1+∠A2,
∴∠A1+∠A2+∠A3+∠A4+∠A5+∠A6=360°.
　
(2)如图2,∵∠1+∠2+∠3+∠4=360°,∠1=∠A7+∠A8,∠2=∠A5
+∠A6,∠3=∠A3+∠A4,∠4=∠A1+∠A2,
∴∠A1+∠A2+∠A3+∠A4+∠A5+∠A6+∠A7+∠A8=360°.
(3)由(1)(2)可知∠A1+∠A2+…+∠A2n=360°.故答案为360°.(共32张PPT)
第8章　三角形
8.1.2　三角形的内角和与外角和
第2课时　三角形的外角及其外角和
8.1　与三角形有关的边和角
　三角形的外角及其性质
1.(2025四川南充中考)如图,把含有60°角的直角三角板的斜
边放在直线l上,则∠α的度数是 (　　　)

A.120°　　　 B.130°　　　 C.140°　　　 D.150°
D
解析　由题意得∠α=90°+60°=150°.故选D.
2.【学科特色·多解法】(2025河南漯河郾城期中)将一副三角
板按如图所示的方式叠放在一起,则图中∠α的度数是 ( )

A.55°　　　 B.60°　　　 C.65°　　　 D.75°

D
解析　【解法一】如图1,由题意得∠1=90°-60°=30°,则∠α=4
5°+30°=75°.故选D.
　
【解法二】如图2,根据三角形外角的性质,可得45°=30°+∠2,
所以∠2=15°,所以∠α=90°-∠2=75°.故选D.
3.(2025吉林长春力旺实验中学一模)如图,AD是△ABC的角平
分线,AE是△ABC的外角的平分线,若∠DAC=20°,则∠EAC=
___________.

70°
解析　∵AD是△ABC的角平分线,∠DAC=20°,∴∠BAC=2∠
DAC=40°,∴∠B+∠ACD=140°,∴∠EAC= ∠FAC= (∠B+∠
ACD)=70°.故答案为70°.
4.【学科特色·教材变式P88例2】(2025四川广元苍溪期中)如
图,已知∠A=75°,∠B=25°,∠C=35°,求∠BDC和∠1的度数.

解析　∵∠A=75°,∠C=35°,∴∠BDC=∠A+∠C=75°+35°=110°,
∵∠B=25°,
∴∠1=∠BDC+∠B=110°+25°=135°.
　三角形的外角和
5.若一个三角形的三个外角度数的比为1∶4∶4,则此三角形
最大内角的度数为___________°.
140
解析　∵三角形的三个外角度数的比为1∶4∶4,∴最小外角
的度数为 ×360°=40°,∴三角形最大内角的度数为180°-
40°=140°.
6.∠1和∠2是△ABC的外角,若∠A=90°,如图1,则∠1+∠2的
度数为________;若∠A=60°,如图2,则∠1+∠2的度数为_______;
若∠A=α,如图3,则∠1+∠2的度数为______________.

180°+α
240°
270°
解析　题图1中∠A的邻补角为90°,根据三角形的外角和为
360°,知∠1+∠2+90°=360°,所以∠1+∠2=270°;题图2中∠A的邻
补角为120°,根据三角形的外角和为360°,知∠1+∠2+120°=
360°,所以∠1+∠2=240°;题图3中∠A的邻补角为180°-α,根据三
角形的外角和为360°,知∠1+∠2+180°-α=360°,所以∠1+∠2=
180°+α.

7.(2025山西大同二中月考,★★☆)如图,CE是△ABC的外角
∠ACD的平分线,且CE交BA的延长线于点E,则∠BAC与
∠B、∠E之间的关系是 (　　　)
A.∠BAC=∠B+∠E
B.∠BAC=∠B+2∠E
C.∠BAC=2∠B+∠E
B
D.∠BAC=∠B+ ∠E
解析　∵CE是∠ACD的平分线,∴∠ACE=∠ECD,∵∠BAC=
∠ACE+∠E,∠ECD=∠ACE=∠B+∠E,∴∠BAC=∠B+∠E+
∠E=∠B+2∠E.故选B.
8.(2025河南洛阳期中,★★★)如图,在△ABC中,BO、CO分别
平分∠ABC、∠ACB,CE为△ABC的外角∠ACD的平分线,且
CE交BO的延长线于点E,记∠BAC=∠1,∠BEC=∠2,下列结论
错误的是 (　　　)

A.∠1=2∠2　　　 B.∠BOC=3∠2
B
C.∠BOC=90°+ ∠1　　 D.∠BOC=90°+∠2
解析　∵CE为△ABC的外角∠ACD的平分线,BE平分∠ABC,
∴∠DCE= ∠ACD,∠DBE= ∠ABC,∵∠DCE是△BCE的外
角,∴∠2=∠DCE-∠DBE= (∠ACD-∠ABC)= ∠1,∴∠1=2
∠2,故选项A正确,不符合题意;∵BO平分∠ABC,CO平分∠
ACB,∴∠OBC= ∠ABC,∠OCB= ∠ACB,∴∠BOC=180°-
(∠OBC+∠OCB)=180°- (∠ABC+∠ACB)=180°- (180°-∠1)
=90°+ ∠1=90°+∠2,故选项C、D正确,不符合题意,选项B错
误,符合题意.故选B.
9.(2025河南南阳方城期末,★★☆)如图,在△ABC中,∠ABC=1
10°,点D在AC上,将△ABD沿BD折叠,点A落在BC边上的点E
处,若∠EDC=25°,则∠C的度数为_____________.

22.5°
解析　∵∠ABC=110°,∴∠A+∠C=180°-110°=70°,由翻折可
知∠A=∠BED,∵∠BED=∠C+∠EDC=∠C+25°,∴∠A=∠C+
25°,∴∠C+25°+∠C=70°,∴∠C=22.5°.故答案为22.5°.

10.【新课标·推理能力】(2025湖北孝感期中)在△ABC中,∠B
=∠C,点D在边BC上,点E在直线AC上,连结AD,DE,∠ADE=
∠AED.
(1)如图1,当点D在边BC上运动(不与点B、C重合),且点E在边
AC上时.
①若∠B=50°,∠ADE=64°,则∠CDE=_______;∠BAD=______.
②猜想∠BAD与∠CDE之间的数量关系,并说明你的猜想的
正确性.
(2)如图2,当点D在边BC上运动(不与点B,C重合),点E在边AC
所在的直线上时,若∠BAD=30°,求∠CDE的度数.
　
解析 (1)①由题意可知∠B=∠C=50°,∠ADE=∠AED=64°,∴
∠CDE=∠AED-∠C=64°-50°=14°,∠BAC=180°-2×50°=80°,∠
DAE=180°-2×64°=52°,∴∠BAD=∠BAC-∠DAE=80°-52°=28°.
故答案为14°;28°.
②猜想:∠BAD=2∠CDE.
如图1,
∵∠1+∠B=∠4+∠2,∠4=∠3=∠2+∠C=∠2+∠B,∴∠1+∠B
=∠4+∠2=∠2+∠B+∠2,
∴∠1=2∠2,即∠BAD=2∠CDE.
(2)如图2,当点E在线段AC上时,由(1)②可知∠CDE= ∠BAD=
×30°=15°;
如图3,当点E在线段CA的延长线上时,
∵∠BAE=∠B+∠C=2∠B,∠ADE+∠AED+∠DAE=180°,∠
ADE=∠AED,∴2∠ADE+∠BAE+∠BAD=2∠ADE+2∠B+∠BAD=180°,
∴∠ADE+∠B= (180°-∠BAD)=75°,
∵∠CDE=∠ADE+∠ADC,∠ADC=∠B+∠BAD,
∴∠CDE=∠ADE+∠B+∠BAD,
∴∠CDE=75°+∠BAD=75°+30°=105°.
综上所述,∠CDE的度数为15°或105°.
微专题　三角形的双角平分线模型
方法解读
三角形的双角平分线模型包括:双内角平分线模型、内外角
平分线模型和双外角平分线模型.通常是运用三角形内角
和、三角形外角的性质进行计算或推理.
1.如图,在△ABC中,AD是高,AE、BF是角平分线,且相交于点
O,∠CAB=50°,∠C=60°,则∠DAE和∠BOA的度数之和为
(　　　)

A.115°　　　 B.120°　　　 C.125°　　　 D.130°
C
解析　∵∠CAB=50°,∠C=60°,∴∠ABC=180°-50°-60°=70°,∵
AD是△ABC的高,∴∠ADC=90°,∴∠DAC=90°-∠C=30°,∵
AE、BF是△ABC的角平分线,∴∠CBF=∠ABF=35°,∠EAF=25°,
∴∠DAE=∠DAC-∠EAF=5°,∠AFB=∠C+∠CBF=60°+35°=95°,
∴∠BOA=∠EAF+∠AFB=25°+95°=120°,∴∠DAE+∠BOA=
5°+120°=125°.故选C.
2.如图,在△ABC中,BI、CI分别平分∠ABC、∠ACB,且∠BIC
=140°,BM、CM分别平分△ABC的外角∠DBC、∠ECB,则∠
BMC的度数是 (　　　)

A.25° 　　　 B.30°
C.35° 　　　 D.40°
D
解析　根据题意得∠ABC+∠DBC=180°,∠ACB+∠ECB=180
°,∵BI、CI分别平分∠ABC、∠ACB,BM、CM分别平分∠
DBC、∠ECB,∴∠IBC= ∠ABC,∠CBM= ∠DBC,∠ICB=
∠ACB,∠BCM= ∠ECB,∴∠IBM=∠IBC+∠CBM= (∠ABC
+∠DBC)= ×180°=90°,∠ICM=∠ICB+∠BCM= (∠ACB+∠
ECB)=90°,∵在四边形IBMC中,∠BIC=140°,∠IBM=∠ICM=90
°,∴∠BMC=360°-140°-90°-90°=40°.故选D.
模型解读
三角形的双角平分线模型
如图1,△ABC两内角平分线相交于点P,则∠P=90°+ ∠A.
如图2,△A1B1C1的内角和外角的平分线相交于P1,则∠P1= ∠
A1.
如图3,△A2B2C2的两外角平分线相交于P2,则∠P2=90°- ∠A2.

3.(2025山东德州月考)如图,BA1和CA1分别是△ABC的内角的
平分线和外角的平分线,BA2是∠A1BD的平分线,CA2是∠A1CD
的平分线,BA3是∠A2BD的平分线,CA3是∠A2CD的平分线,…
…依此规律,若∠A=α,则∠A2 023的度数为__________.

α
解析　∵BA1和CA1分别是△ABC的内角的平分线和外角的平
分线,∴∠ABA1=∠CBA1= ∠ABC,∠ACA1=∠DCA1= ∠
ACD,∵∠A=α,∴∠ACD=∠ABC+∠A=2∠CBA1+∠A①,易得
∠DCA1=∠A1+∠CBA1②,将②×2得2∠DCA1=2∠A1+2∠CBA1,
∴∠ACD=2∠A1+2∠CBA1③,由①③得2∠A1=∠A,∵∠A=α,
∴∠A1= ∠A= α,同理可得∠A2= α,∠A3= α,……,∴∠A2 0
23= α.故答案为 α.(共29张PPT)
第8章　三角形
8.1.1　认识三角形
8.1　与三角形有关的边和角
　三角形的有关概念
1.(2025河北唐山丰南期中)图中的三角形有(　　　)

A.4个　　　 B.3个　　　 C.2个　　　 D.1个
B
2.如图,在△ABC中,线段BE、CD相交于点E,则∠1和∠2分别
是哪个三角形的外角 是哪个三角形的内角

解析　∠1是△ADC的外角,同时又是△BCD和△BED的内角;
∠2是△BED的外角,同时又是△BCE的内角.
　三角形的分类
3.如图,在△ABC中,AE⊥BC,D为BC上一点,连结AD,则图中____
_____________是锐角三角形,_____________________是
直角三角形,_________是钝角三角形.

　△ABD
　△ADE,△ACE,△ABE
△ABC,△ADC
　三角形的中线、角平分线和高
4.(2025河南新乡期末)小涵在求△ABC的面积时,作了AB边上
的高,下列作图正确的是 (　　　)
　　　
　　　
D
解析　由题意可得作AB边上的高就是过点C向边AB所在的
直线引垂线,∴作图正确的是选项D中的图形.故选D.
5.(2025云南西双版纳州期末)如图,在△ABC中,∠C=90°,D、E
是边AC上的两点,AE=DE,BD平分∠EBC,下列说法中不正确
的是 (　　　)
A.BE是△ABD的中线
B.BD是△BCE的角平分线
C
C.∠1=∠2=∠3
D.BC是△ABE的高
解析 A.∵AE=DE,∴BE是△ABD的中线,故本选项说法正确,
不符合题意;B.∵BD平分∠EBC,∴BD是△BCE的角平分线,
故本选项说法正确,不符合题意;C.由题意得∠2=∠3,但∠2、
∠3与∠1的关系不确定,故本选项说法错误,符合题意;
D.∵∠C=90°,点C,E,A在同一条直线上,∴BC是△ABE的高,故本选项说法正确,不符合题意.故选C.
6.如图,已知AD、AE分别是△ABC的中线和高,△ABD的周长
比△ACD的周长大3 cm,且AB=7 cm.
(1)求AC的长.
(2)求△ABD与△ABC的面积关系.

解析 (1)∵AD是△ABC的中线,∴BD=CD,
∵△ABD的周长比△ACD的周长大3 cm,
∴(AB+BD+AD)-(AC+CD+AD)=3 cm,
∴AB-AC=3 cm,∵AB=7 cm,∴AC=4 cm.
(2)∵AD是△ABC的中线,∴BC=2BD,
∵S△ABC= BC·AE,S△ABD= BD·AE,
∴S△ABC=2S△ABD.

7.(2025安徽六安霍邱期末,★★☆)如图所示,在△ABC中,∠
ACB是钝角,若点C在射线BD上向右移动,则 (　　　)

A.△ABC先变成直角三角形,再变成锐角三角形,不会变成钝
角三角形
D
B.△ABC将变成锐角三角形,不会变成钝角三角形
C.△ABC先变成直角三角形,再变成锐角三角形,接着变成钝
角三角形
D.△ABC先变成直角三角形,再变成锐角三角形,接着变成直
角三角形,然后变成钝角三角形
解析　当点C在射线BD上向右移动时,△ABC先由钝角三角
形变成直角三角形,再变成锐角三角形,接着变成直角三角形,
然后变成钝角三角形.故选D.
8.(2025北京海淀月考,★★☆)如图,在直角三角形ABC中,∠ABC=
90°,点D沿CB自点C向点B运动(点D与点C、B不重合),
作BE⊥AD于点E,CF⊥AD交AD的延长线于点F,在点D的运动
过程中,BE+CF的值 (　　　)

A.逐渐变小 　 B.逐渐变大 C.不变　　　 D.无法确定
B
解析　∵BE⊥AD,CF⊥AF,∴S△ABC=S△ABD+S△ACD= AD·BE+
AD·CF= AD(BE+CF),∵△ABC的面积不变,点D沿CB自点C
向点B运动时,AD的长度会逐渐变小,∴BE+CF的值逐渐变大,
故选B.
9.(2025吉林长春榆树期末,★★☆)如图,在△ABC中,∠BAC=9
0°,AD是高,BE是中线,CF是角平分线,CF交AD于点G,交BE于
点H,下列结论:①BF=AF;②∠AFG=∠AGF;③∠FAG=2∠
ACF;④S△ABE=S△BCE.其中正确结论的序号是________.

　②③④
解析　∵BE是△ABC的中线,∴S△ABE=S△BCE,故④正确;∵CF是
△ABC的角平分线,∴∠ACF=∠BCF,∵AD⊥BC,∴∠BCF+
∠CGD=90°,∵∠BAC=90°,∴∠ACF+∠AFG=90°,∴∠CGD=
∠AFG,∵∠CGD=∠AGF,∴∠AGF=∠AFG,故②正确;∵AD
⊥BC,∠BAC=90°,∴∠FAG+∠DAC=90°,∠DAC+∠ACD=90
°,∴∠FAG=∠ACB=2∠ACF,故③正确;根据已知条件无法说
明BF=AF,故①错误.综上,正确结论的序号为②③④.故答案为
②③④.
10.(2024吉林长春德惠期末,★★☆)如图,在△ABC中,∠C=90°,
AC=8 cm,BC=6 cm,AB=10 cm.若动点P从点C开始,按C→A
→B→C的路径运动,且速度为每秒2 cm.设运动的时间为t秒.
(1)当t=_______时,CP把△ABC的周长分成相等的两部分.
(2)当t为何值时,△BCP的面积恰好等于△ABC面积的一半

解析 (1)∵在△ABC中,AC=8 cm,BC=6 cm,AB=10 cm,∴△
ABC的周长=8+6+10=24(cm),当CP把△ABC的周长分成相等
的两部分时,点P在AB上,此时CA+AP=BP+BC=12 cm,∴2t=12,
解得t=6.故答案为6.
(2)要使△BCP的面积恰好等于△ABC面积的一半,分为以下
两种情况:
①当点P在AC上时,∵△BCP的面积=△ABC面积的一半,∴P
为AC的中点,∴CP=4 cm,即2t=4,∴t=2;
②当点P在AB上时,∵△BCP的面积=△ABC面积的一半,∴P
为AB的中点,∴2t=8+5=13,∴t=6.5.
故当t=2或6.5时,△BCP的面积恰好等于△ABC面积的一半.
方法解读
动点问题的解法技巧
解决动点问题的关键:(1)动点停留在某一时刻的相关量的确
定;(2)充分运用分类讨论思想;(3)与方程(不等式)结合.

11.【新课标·推理能力】如图,在△ABC中,E是BC边上的一点,
EC=2BE,D是AC的中点,BD与AE交于点F,若S△ABC=24,则S△ADF-
S△BEF=(　　　)

A.2　　　 B.4　　　 C.6　　　 D.8
B
解析　∵EC=2BE,∴S△AEC= S△ABC= ×24=16,
∵D是AC的中点,
∴S△BCD= S△ABC= ×24=12,∴S△AEC-S△BCD=4,即S△ADF+S四边形CEFD-(S△
BEF+S四边形CEFD)=4,∴S△ADF-S△BEF=4.故选B.
微专题　根据三角形中线的性质求三角形面积
　　 (2024福建泉州丰泽期末)如图,BD为△ABC的中线,E为
BD的中点,若S△ABC=16,则△ADE的面积等于(　　　)

A.3　　　 B.4　　　 C.5　　　 D.6
B
例题
解析　∵BD为△ABC的中线,S△ABC=16,∴S△ADB= S△ABC= ×16=
8,∵E为BD的中点,∴S△ADE= S△ADB= ×8=4.故选B.
变式1　如图,在△ABC中,点D在边BC上,E、F分别是AD、CE
的中点,且△BEF的面积为3,则△ABC的面积是(　　　)

A.9　　　 B.10　　　 C.11　　　 D.12
D
解析　∵E是AD的中点,∴S△BDE= S△ABD,S△CDE= S△ADC,∴S△BDE+
S△CDE= S△ABC,即S△BCE= S△ABC,∵F是CE的中点,∴S△BEF= S△BCE=
S△ABC,∴S△ABC=4S△BEF,
∵△BEF的面积为3,∴S△ABC=4×3=12.故选D.
变式2 (2025山东泰安肥城期末)如图,△ABC的三条中线
AD、BE、CF交于点G.若AG∶GD=2∶1,S△ABC=18,则图中阴
影部分的面积之和为_________.

6
解析　由题意可得S△ABD=S△ACD= S△ABC=9,∵AG∶GD=2∶1,
∴S△ABG= S△ABD=6,S△ACG= S△ACD=6,∵BE、CF是△ABC的中线,
∴E、F分别是AC、AB的中点,∴S△BFG= S△ABG=3,S△CEG= S△ACG=
3,∴S阴影=S△BFG+S△CEG=3+3=6.故答案为6.(共28张PPT)
第8章　三角形
第1课时　多边形的内角和
8.2　多边形的内角和与外角和
　多边形的有关概念
1.下列选项的图形中,不是凸多边形的是 (　　　)

A
解析　根据凸多边形的定义知,A中的图形不是凸多边形.
2.(2025福建厦门一中模拟)下列关于正多边形的说法中,正确
的是 (　　　)
A.各边都相等的多边形是正多边形
B.各内角都相等的多边形是正多边形
C.过正n边形的一个顶点可引出(n-2)条对角线
D.正多边形的各边相等
D
解析　∵各边都相等,各个内角也相等的多边形是正多边形,
∴选项A,B说法错误;过正n边形的一个顶点可引出(n-3)条对
角线,∴选项C说法错误;易得正多边形的各边相等,∴选项D
说法正确.故选D.
　多边形的内角和
3.(2025云南中考)一个六边形的内角和等于 (　　　)
A.360°　　　 B.540°　　　 C.720°　　　 D.900°
C
解析　一个六边形的内角和等于(6-2)×180°=720°.故选C.
4.(2024四川乐山中考)下列多边形中,内角和最小的是(　　　)

A
解析　三角形的内角和为180°,四边形的内角和为(4-2)×180°
=360°,五边形的内角和为(5-2)×180°=540°,六边形的内角和为
(6-2)×180°=720°,∵180°<360°<540°<720°,∴在三角形、四边
形、五边形和六边形中,内角和最小的是三角形.
故选A.
5.【跨化学·实验装置】(2025广东揭阳普宁期末)图1是化学
实验中利用酒精灯给试管中的液体加热的实验装置图,图2是
其简化示意图.若∠1=45°,则∠2的度数为 (　　　)
　
A.140°　　　 B.135° C.130°　　　 D.145°
B
解析　由题意可知∠ABC=∠ADC=90°,四边形ABCD的内角
和为360°,∵∠1=45°,∴∠2=360°-90°-90°-45°=135°.故选B.
6.【学科特色·教材变式P97例2】(2025四川凉山州模拟)某景
区计划打造一个独具特色的多边形花坛,其内角和为1 440°,
则这个多边形花坛的边数是 (　　　)
A.8　　　 B.9　　　 C.10　　　 D.11
C
解析　设这个多边形花坛的边数为n,则(n-2)×180°=1 440°,
∴n=10,∴该多边形花坛的边数为10.故选C.
7.【学科特色·多解法】(2025福建泉州五中期中)如图,从三角
形纸片ABC中剪下△CDE,得到四边形ABDE.如果∠1+∠2=2
40°,那么∠C的度数为 (　　　)

A.40°　　　 B.60°
C.50°　　　 D.55°
B
解析　【解法一】∵∠1=∠CDE+∠C,∠2=∠CED+∠C,∴
∠1+∠2=∠CDE+∠C+∠CED+∠C=180°+∠C,∵∠1+∠2=2
40°,∴∠C=240°-180°=60°.故选B.
【解法二】∵四边形的内角和为(4-2)×180°=360°,∠1+∠2=2
40°,∴∠A+∠B=360°-240°=120°,∴在△ABC中,由三角形的内
角和定理可得∠C=180°-(∠A+∠B)=180°-120°=60°.故选B.
8.(2025湖南长沙中考)如图,在五边形ABCDE中,∠B=120°,∠
C=110°,∠D=105°,则∠A+∠E=____________.

205°
解析　∵五边形的内角和为(5-2)×180°=540°,
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=540°,∵∠B=120°,∠C=110°,∠D
=105°,∴∠A+∠E=540°-120°-110°-105°=205°.故答案为205°.
9.(2025河南南阳新野期末)如图,将五边形ABCDE沿虚线裁去
一个角后,得到六边形ABCDGF,则内角和增加了_________度.

180
解析　易得五边形ABCDE的内角和是(5-2)×180°=540°,六边
形ABCDGF的内角和是(6-2)×180°=720°,720°-540°=180°,∴内
角和增加了180°.故答案为180.
10.(2025吉林朝阳第二实验学校期末)阅读小明和小红的对
话,解决下列问题.

(1)通过列方程说明“多边形的内角和不可能是1 520°”.
(2)求该多边形的内角和.
解析 (1)设多边形的边数为n,由题意得180°(n-2)=1 520°,解
得n=10 .∵n为正整数,∴多边形的内角和不可能为1 520°.
(2)设这个外角的度数为α,根据题意可得(n-2)·180°+α=1 520°,
∴α=1 520°-(n-2)·180°,∵0°<α<180°,∴0°<1 520°-(n-2)·180°<1
80°,解得9 ∴该多边形的边数为10,∴该多边形的内角和为(10-2)×180°=
1 440°.

11.(2025福建泉州永春一中月考,★★☆)从一个n边形的同一
个顶点出发,分别连结这个顶点与其余各顶点,把这个n边形分
割成6个三角形,则这个n边形的内角和为 (　　　)
A.720°　　　 B.900°　　　 C.1 080°　　　 D.1 260°
C
解析　由题意得n-2=6,解得n=8,∴这个多边形的内角和为180°×
(8-2)=1 080°.故选C.
12.(2025四川内江隆昌知行中学期末,★★☆)如图,∠A+∠B+
∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=____________.

540°
解析　如图所示,
由三角形外角的性质可得∠1=∠A+∠G,由四边形的内角和
是360°可得∠1+∠2+∠E+∠F=360°,∠3+∠B+∠C+∠D=360
°,∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=∠1+∠B+∠C+∠D+
∠E+∠F=∠1+360°-∠3+360°-(∠1+∠2)=360°×2-(∠2+∠3)=
360°×2-180°=540°.故答案为540°.
13.(2025吉林朝阳第二实验学校二模,★★☆)如图,五边形
ABCDE为正五边形,则∠1+∠2=____________.

216°
解析　如图,

由题意可得∠B=∠C= =108°,∵∠3+∠4=360°-(∠
B+∠C)=360°-(108°+108°)=144°,∴∠1+∠2=360°-(∠3+∠4)=
360°-144°=216°.故答案为216°.
14.【学科特色·多解法】(2025吉林中考,★★☆)如图,正五边
形ABCDE的边AB,DC的延长线交于点F,则∠F的度数为_____度.

36
解析　【解法一】∵五边形ABCDE是正五边形,∴∠ABC=∠
BCD= =108°,∵∠ABC+∠FBC=180°,∠BCD+∠
BCF=180°,∴∠FBC=180°-∠ABC=180°-108°=72°,∠BCF=180
°-∠BCD=180°-108°=72°,∵在△BCF中,∠F+∠FBC+∠BCF=
180°,∴∠F=180°-∠FBC-∠BCF=180°-72°-72°=36°.故答案为
36.
【解法二】由解法一可知∠A=∠E=∠D=108°,∵四边形
AFDE的内角和为(4-2)×180°=360°,∴∠F=360°-3×108°=36°.
故答案为36.

15.【新课标·推理能力】(2024吉林长春博硕学校期中)【探究】
在四边形ABCD中,∠A=150°,∠D=80°.
(1)如图1,若∠B=∠C,则∠C=_______度.
(2)如图2,若∠ABC的平分线BE交DC于点E,且BE∥AD,求∠C
的度数.
(3)如图3,若∠ABC和∠DCB的平分线交于点P,求∠BPC的度
数.
【拓展】
(4)如图4,若P为五边形ABCDE内的一点,DP、CP分别平分∠
EDC、∠BCD,求∠P与∠A+∠B+∠E的数量关系.
解析 (1)∵∠A+∠B+∠C+∠D=360°,∠A=150°,∠D=80°,∠
B=∠C,∴∠C= = =65°.故答案为65.
(2)∵BE∥AD,∴∠ABE+∠A=180°,∴∠ABE=180°-∠A=180°-
150°=30°,
∵BE平分∠ABC,∴∠ABC=60°,∴∠C=360°-(150°+80°+60°)=
70°.
(3)∵在四边形ABCD中,∠A=150°,∠D=80°,∴∠ABC+∠BCD
=360°-(150°+80°)=130°,∵BP平分∠ABC,CP平分∠BCD,∴∠
PBC= ∠ABC,∠PCB= ∠DCB,∴∠PBC+∠PCB= (∠ABC+
∠DCB)=65°,∴∠BPC=180°-65°=115°.
(4)∵五边形ABCDE的内角和为180°×(5-2)=540°,∴∠EDC+
∠BCD=540°-(∠A+∠B+∠E),∵DP平分∠EDC,CP平分∠
BCD,∴∠PDC= ∠EDC,∠PCD= ∠DCB,∴∠PDC+∠PCD
= ,∴∠P=180°- =
-90°.(共15张PPT)
第8章　三角形
8.3.1　用相同的正多边形　
8.3.2　用多种正多边形
8.3　用正多边形铺设地面
　用相同的正多边形铺设地面
1.用一种正多边形能铺满地面的条件是 (　　　)
A.内角度数都是整数　　　
B.边数是3的整数倍
C.内角度数能整除180°　　　
D.内角度数能整除360°
D
解析　使用某种正多边形铺设地面,当围绕一点拼在一起的
几个内角度数之和是360°,即内角度数能整除360°时,就可以
铺满地面.故选D.
2.【学科特色·教材变式P104T1】(2025福建泉州永春期末)小
明在学面镶嵌的知识后,决定为家里新装修的房子选
择一种瓷砖来铺设地板,以下正多边形不能密铺地面的是
(　　　)
A.正八边形　　　 B.正六边形
C.正方形　　　 　D.正三角形
A
解析 A.易得正八边形的每个内角的度数为180°-360°÷8=
135°,不能整除360°,故用正八边形不能密铺,故本选项符合题意;
B.易得正六边形的每个内角的度数为120°,能整除360°,故用
正六边形能密铺,故本选项不符合题意;C.易得正方形的每个
内角的度数为90°,能整除360°,故用正方形能密铺,故本选项不
符合题意;D.易得正三角形每个内角的度数为60°,能整除360°,
故用正三角形能密铺,故本选项不符合题意.故选A.
　用多种正多边形铺设地面
3.(2025重庆万州二中期末)下列图形中,与正三角形组合不能
铺满地面的是 (　　　)
A.正方形　　　 B.正五边形
C.正六边形　　　 D.正十二边形
B
解析 A.∵2×90°+3×60°=360°,∴正方形与正三角形的组合
能铺满地面,故本选项不符合题意;B.∵正五边形的每个内角
的度数为108°,108°的整数倍与60°的整数倍的和不能等于
360°,∴正五边形与正三角形的组合不能铺满地面,故本选项符
合题意;C.∵2×120°+2×60°=360°,∴正六边形与正三角形的组合
能铺满地面,故本选项不符合题意;D.∵2×150°+1×60°=360°,
∴正十二边形与正三角形的组合能铺满地面,故本选项不符
合题意.故选B.
4.(2024吉林长春农安一中期末)一幅美丽的图案由四个正多
边形组成,拼在一起并相交于一点的各边完全吻合,其中的三
个分别为正三角形、正四边形、正六边形,那么另外一个为
_________.
　正四边形
解析　∵正三角形、正四边形、正六边形的每个内角分别为
60°、90°、120°,且360°-60°-90°-120°=90°,∴另外一个为正四
边形.

5.(2025四川宜宾二中月考,★★☆)如图所示的是用边长相等
的正三角形和正n边形两种地砖铺满地面后的部分示意图,则
n的值为 (　　　)

A.14　　　 B.12 C.11　　　 D.10
B
解析　由题意得正n边形的一个内角=(360°-60°)÷2=150°,
∴150°n=(n-2)·180°,解得n=12.故选B.
6.(★★☆)“动感数学”社团教室重新装修,如图所示的是用
正方形和正n边形两种地砖铺满地面后的部分示意图,则n的
值为_________.

8
解析　由题意得正n边形的一个内角度数=(360°-90°)÷2=
135°,则n×135=(n-2)×180,解得n=8.
7.(2025湖南邵阳洞口期末,★★☆)用形状、大小完全相同的
一种或几种平面图形进行拼接,彼此之间不留空隙、不重叠
地铺成一片,这就是平面图形的镶嵌.在平面镶嵌中,要求在同
一个拼接点处,这几个多边形的内角拼接后恰好组成一个周
角(即360°).若用边长相等的正三角形、正方形和正六边形这
三种平面图形进行镶嵌,在同一个拼接点处正三角形、正方
形和正六边形的个数分别为x、y、z,其中x、y、z均为正整数,
则x+2y+3z=_________.
8
解析　∵正三角形每个内角的度数为60°,正方形每个内角的
度数为90°,正六边形每个内角的度数为120°,∴60x+90y+120z
=360,∵x、y、z均为正整数,∴方程的解为 ∴x+2y+3z=1
+4+3=8.故答案为8.

8.【新课标·运算能力】某学校艺术馆的地面由三种正多边形
的小木板铺满,一个顶点处每种正多边形的小木板只用一个,
设这三种正多边形的边数分别为x、y、z,求 + + 的值.
解析　由题意知,这三种正多边形的三个内角之和为360°,已
知三种正多边形的边数分别为x、y、z,
那么这三种正多边形的三个内角之和可表示为 +
+ =360°,
化简得 + + = .

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