资源简介

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7.3　定义、命题、定理
INCLUDEPICTURE "学习目标上.TIF" INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator\\AppData\\Local\\Microsoft\\Windows\\INetCache\\Content.Word\\学习目标上.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator\\AppData\\Local\\Microsoft\\Windows\\INetCache\\Content.Word\\学习目标上.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator\\AppData\\Local\\Microsoft\\Windows\\INetCache\\Content.Word\\学习目标上.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator\\AppData\\Local\\Microsoft\\Windows\\INetCache\\Content.Word\\学习目标上.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator\\AppData\\Local\\Microsoft\\Windows\\INetCache\\Content.Word\\学习目标上.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator\\AppData\\Local\\Microsoft\\Windows\\INetCache\\Content.Word\\学习目标上.TIF" \* MERGEFORMATINET
1.通过具体实例，了解定义、命题、定理的意义．2．结合具体实例，会区分命题的条件和结论．3．知道证明的意义和证明的必要性，知道数学思维要合乎逻辑．4．了解反例的作用，知道利用反例可以判断一个命题是错误的．
eq \o(\s\up7( INCLUDEPICTURE "知识梳理.TIF" INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator\\AppData\\Local\\Microsoft\\Windows\\INetCache\\Content.Word\\知识梳理.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator\\AppData\\Local\\Microsoft\\Windows\\INetCache\\Content.Word\\知识梳理.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator\\AppData\\Local\\Microsoft\\Windows\\INetCache\\Content.Word\\知识梳理.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator\\AppData\\Local\\Microsoft\\Windows\\INetCache\\Content.Word\\知识梳理.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator\\AppData\\Local\\Microsoft\\Windows\\INetCache\\Content.Word\\知识梳理.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator\\AppData\\Local\\Microsoft\\Windows\\INetCache\\Content.Word\\知识梳理.TIF" \* MERGEFORMATINET ),\s\do5(　　　　　　　))
知识点一　命题的定义和结构
1．可以判断为正确(或真)或错误(或假)的陈述语句，叫作命题．
2．命题的组成：命题由题设和结论两部分组成．
练习1　判断下列语句是不是命题，如果是，改写成“如果……那么……”的形式，并指出它们的题设和结论．
(1)你喜欢画画吗？
(2)画线段AB＝2 cm.
(3)两个锐角互余．
(4)同角的补角相等．
(5)分数一定是有理数．
【解】(1)不是命题，因为没有对事情作出判断．
(2)不是命题，因为没有对事情作出判断．
(3)是命题．改写：如果两个角是锐角，那么这两个角互余．
题设：两个角是锐角；结论：这两个角互余．
(4)是命题．改写：如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角相等．
题设：两个角是同一个角的补角．结论：这两个角相等．
(5)是命题．改写：如果一个数是分数，那么它一定是有理数．
题设：一个数是分数．结论：它一定是有理数．
知识点二　真命题和假命题
3．被判断为正确(或真)的命题叫作真命题，被判断为错误(或假)的命题叫作假命题．
练习2　判断下列命题是真命题还是假命题，如果是假命题，请举出一个反例．
(1)若|a|＝|b|，则a＝b；
(2)若a＋b＝0，则|a|＝|b|；
(3)钝角大于它的补角；
(4)互补的两个角一个是钝角，一个是锐角；
(5)在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直．
【解】(1)是假命题．反例：当a＝－1，b＝1时，|a|＝|b|，但a≠b.
(2)是真命题．
(3)是真命题．
(4)是假命题．反例：两个角都是直角，这两个角互补，但不是钝角和锐角．
(5)是真命题．
知识点三　定理与证明
4．经过推理证实的真命题叫作定理，这个推理过程叫作证明．
练习3　如图，从①∠1＝∠2，②∠C＝∠D，③∠A＝∠F三个条件中选出两个作为已知条件，另一个作为结论可以组成3个命题．
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(1)这三个命题中，真命题的个数为________；
(2)选择一个真命题，并且证明．(要求写出每一步的依据)
如图，已知__________________，
求证：____________．
【解】(1)3
(2)已知∠1＝∠2，∠C＝∠D，
求证：∠A＝∠F.(答案不唯一)
证明：如图，
INCLUDEPICTURE "L26CGD7SX28.TIF" INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator\\AppData\\Local\\Microsoft\\Windows\\INetCache\\Content.Word\\L26CGD7SX28.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator\\AppData\\Local\\Microsoft\\Windows\\INetCache\\Content.Word\\L26CGD7SX28.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator\\AppData\\Local\\Microsoft\\Windows\\INetCache\\Content.Word\\L26CGD7SX28.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator\\AppData\\Local\\Microsoft\\Windows\\INetCache\\Content.Word\\L26CGD7SX28.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator\\AppData\\Local\\Microsoft\\Windows\\INetCache\\Content.Word\\L26CGD7SX28.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator\\AppData\\Local\\Microsoft\\Windows\\INetCache\\Content.Word\\L26CGD7SX28.TIF" \* MERGEFORMATINET
因为∠1＝∠2(已知)，∠1＝∠3(对顶角相等)，
所以∠3＝∠2(等量代换)，
所以DB∥EC(同位角相等，两直线平行)，
所以∠D＝∠4(两直线平行，同位角相等).
因为∠C＝∠D(已知)，
所以∠4＝∠C(等量代换)，
所以DF∥AC(内错角相等，两直线平行)，
所以∠A＝∠F(两直线平行，内错角相等).
eq \o(\s\up7( INCLUDEPICTURE "课后练习.TIF" INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator\\AppData\\Local\\Microsoft\\Windows\\INetCache\\Content.Word\\课后练习.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator\\AppData\\Local\\Microsoft\\Windows\\INetCache\\Content.Word\\课后练习.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator\\AppData\\Local\\Microsoft\\Windows\\INetCache\\Content.Word\\课后练习.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator\\AppData\\Local\\Microsoft\\Windows\\INetCache\\Content.Word\\课后练习.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator\\AppData\\Local\\Microsoft\\Windows\\INetCache\\Content.Word\\课后练习.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator\\AppData\\Local\\Microsoft\\Windows\\INetCache\\Content.Word\\课后练习.TIF" \* MERGEFORMATINET ),\s\do5(　　　　　　　))
INCLUDEPICTURE "三角.TIF" INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator\\AppData\\Local\\Microsoft\\Windows\\INetCache\\Content.Word\\三角.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator\\AppData\\Local\\Microsoft\\Windows\\INetCache\\Content.Word\\三角.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator\\AppData\\Local\\Microsoft\\Windows\\INetCache\\Content.Word\\三角.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator\\AppData\\Local\\Microsoft\\Windows\\INetCache\\Content.Word\\三角.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator\\AppData\\Local\\Microsoft\\Windows\\INetCache\\Content.Word\\三角.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator\\AppData\\Local\\Microsoft\\Windows\\INetCache\\Content.Word\\三角.TIF" \* MERGEFORMATINET 基础巩固
1．下列语句中，是命题的个数为(　C　).
①若两个角相等，则它们是对顶角；
②等腰三角形两底角相等；
③画线段AB＝1 cm；
④同角的补角相等；
⑤内错角相等．
A．2 B．3
C．4 D．5
2．下列命题：
①同位角相等；
②两个锐角的和是锐角；
③a，b，c是同一平面内的三条直线，若a∥b，b∥c，则a∥c；
④a，b，c是同一平面内的三条直线，若a⊥b，b⊥c，则a⊥c.
其中真命题的个数是(　A　).
A．1 B．2
C．3 D．4
3．对于命题“如果∠1＋∠2＝90°，那么∠1≠∠2.”能说明它是假命题的反例是(　C　).
A．∠1＝40°，∠2＝50°
B．∠1＝50°，∠2＝50°
C．∠1＝∠2＝45°
D．∠1＝40°，∠2＝40°
4．命题“同角的余角相等”是________命题．写成“如果……那么……”的形式：____________________________________________．
【答案】真　如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等
5．如图，现有下列4个条件：
①∠1＝∠2，②∠3＝∠B，③FG⊥AB于点G，④CD⊥AB于点D.
以上述4个条件中的①、②、③作为一个命题的已知条件，④作为该命题的结论，可以组成一个真命题．请你证明这个真命题．
INCLUDEPICTURE "L26CGD7SX29.TIF" INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator\\AppData\\Local\\Microsoft\\Windows\\INetCache\\Content.Word\\L26CGD7SX29.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator\\AppData\\Local\\Microsoft\\Windows\\INetCache\\Content.Word\\L26CGD7SX29.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator\\AppData\\Local\\Microsoft\\Windows\\INetCache\\Content.Word\\L26CGD7SX29.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator\\AppData\\Local\\Microsoft\\Windows\\INetCache\\Content.Word\\L26CGD7SX29.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator\\AppData\\Local\\Microsoft\\Windows\\INetCache\\Content.Word\\L26CGD7SX29.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator\\AppData\\Local\\Microsoft\\Windows\\INetCache\\Content.Word\\L26CGD7SX29.TIF" \* MERGEFORMATINET
【证明】因为∠3＝∠B，所以DE∥BC，
所以∠1＝∠BCD.
因为∠1＝∠2，所以∠2＝∠BCD，所以GF∥CD，所以∠CDB＝∠BGF.
因为FG⊥AB，所以∠BGF＝90°，所以∠CDB＝90°，所以CD⊥AB.
INCLUDEPICTURE "三角.TIF" INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator\\AppData\\Local\\Microsoft\\Windows\\INetCache\\Content.Word\\三角.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator\\AppData\\Local\\Microsoft\\Windows\\INetCache\\Content.Word\\三角.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator\\AppData\\Local\\Microsoft\\Windows\\INetCache\\Content.Word\\三角.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator\\AppData\\Local\\Microsoft\\Windows\\INetCache\\Content.Word\\三角.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator\\AppData\\Local\\Microsoft\\Windows\\INetCache\\Content.Word\\三角.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator\\AppData\\Local\\Microsoft\\Windows\\INetCache\\Content.Word\\三角.TIF" \* MERGEFORMATINET 能力达标
6．下列命题：①相等的两个角是对顶角；②若∠1＋∠2＝180°，则∠1与∠2互为邻补角；③同旁内角互补；④直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短；⑤同角或等角的余角相等；⑥经过一点，有且只有一条直线与这条直线平行．其中假命题有(　D　).
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
7．如图，已知直线AB平行于CD且被直线EF所截，射线EM，FN分别平分∠BEF和∠CFE.
INCLUDEPICTURE "25SX-124.TIF" INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator\\AppData\\Local\\Microsoft\\Windows\\INetCache\\Content.Word\\25SX-124.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator\\AppData\\Local\\Microsoft\\Windows\\INetCache\\Content.Word\\25SX-124.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator\\AppData\\Local\\Microsoft\\Windows\\INetCache\\Content.Word\\25SX-124.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator\\AppData\\Local\\Microsoft\\Windows\\INetCache\\Content.Word\\25SX-124.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator\\AppData\\Local\\Microsoft\\Windows\\INetCache\\Content.Word\\25SX-124.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator\\AppData\\Local\\Microsoft\\Windows\\INetCache\\Content.Word\\25SX-124.TIF" \* MERGEFORMATINET
(1)试判断EM与FN之间的位置关系，并证明；
(2)由(1)的结论可以得到一个命题：如果________________，那么________________．
【解】(1)EM∥FN.
证明：因为AB∥CD，
所以∠BEF＝∠CFE.
因为射线EM，FN分别平分∠BEF和∠CFE，所以∠MEF＝∠BEF，∠NFE＝∠CFE.
因为∠BEF＝∠CFE，
所以∠MEF＝∠NFE，所以EM∥FN.
(2)两条直线平行　内错角的角平分线平行
INCLUDEPICTURE "三角.TIF" INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator\\AppData\\Local\\Microsoft\\Windows\\INetCache\\Content.Word\\三角.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator\\AppData\\Local\\Microsoft\\Windows\\INetCache\\Content.Word\\三角.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator\\AppData\\Local\\Microsoft\\Windows\\INetCache\\Content.Word\\三角.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator\\AppData\\Local\\Microsoft\\Windows\\INetCache\\Content.Word\\三角.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator\\AppData\\Local\\Microsoft\\Windows\\INetCache\\Content.Word\\三角.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator\\AppData\\Local\\Microsoft\\Windows\\INetCache\\Content.Word\\三角.TIF" \* MERGEFORMATINET 挑战创新
8．“回文诗”即正念倒念都有意思，均成文章的诗，如：“秋江楚雁宿沙洲，雁宿沙洲浅水流．流水浅洲沙宿雁，洲沙宿雁楚江秋．”其意境与韵味读起来都是一种美的享受．在数学中也有这样一类数有这样的特征，即正读倒读都一样的自然数，我们称之为“回文数”，例如11，343等．下列几个命题：
①2 222是“回文数”；
②所有两位数中，有9个“回文数”；
③所有三位数中，有81个“回文数”；
④任意四位数的“回文数”是11的倍数．其中，真命题有____________(填序号).
【答案】①②④7.3　定义、命题、定理
1.通过具体实例，了解定义、命题、定理的意义．2．结合具体实例，会区分命题的条件和结论．3．知道证明的意义和证明的必要性，知道数学思维要合乎逻辑．4．了解反例的作用，知道利用反例可以判断一个命题是错误的．
eq \o(\s\up7(),\s\do5(　　　　　　　))
知识点一　命题的定义和结构
1．可以判断为正确(或真)或错误(或假)的陈述语句，叫作 ．
2．命题的组成：命题由 和 两部分组成．
练习1　判断下列语句是不是命题，如果是，改写成“如果……那么……”的形式，并指出它们的题设和结论．
(1)你喜欢画画吗？
(2)画线段AB＝2 cm.
(3)两个锐角互余．
(4)同角的补角相等．
(5)分数一定是有理数．
3．被判断为正确(或真)的命题叫作 ，被判断为错误(或假)的命题叫作 ．
练习2　判断下列命题是真命题还是假命题，如果是假命题，请举出一个反例．
(1)若|a|＝|b|，则a＝b；
(2)若a＋b＝0，则|a|＝|b|；
(3)钝角大于它的补角；
(4)互补的两个角一个是钝角，一个是锐角；
(5)在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直．
4．经过推理证实的真命题叫作 ，这个推理过程叫作 ．
练习3　如图，从①∠1＝∠2，②∠C＝∠D，③∠A＝∠F三个条件中选出两个作为已知条件，另一个作为结论可以组成3个命题．
(1)这三个命题中，真命题的个数为________；
(2)选择一个真命题，并且证明．(要求写出每一步的依据)
如图，已知__________________，
求证：____________．
1．下列语句中，是命题的个数为( ).
①若两个角相等，则它们是对顶角；
②等腰三角形两底角相等；
③画线段AB＝1 cm；
④同角的补角相等；
⑤内错角相等．
A．2 B．3
C．4 D．5
2．下列命题：
①同位角相等；
②两个锐角的和是锐角；
③a，b，c是同一平面内的三条直线，若a∥b，b∥c，则a∥c；
④a，b，c是同一平面内的三条直线，若a⊥b，b⊥c，则a⊥c.
其中真命题的个数是( ).
A．1 B．2
C．3 D．4
3．对于命题“如果∠1＋∠2＝90°，那么∠1≠∠2.”能说明它是假命题的反例是( ).
A．∠1＝40°，∠2＝50°
B．∠1＝50°，∠2＝50°
C．∠1＝∠2＝45°
D．∠1＝40°，∠2＝40°
4．命题“同角的余角相等”是________命题．写成“如果……那么……”的形式：____________________________________________．
5．如图，现有下列4个条件：
①∠1＝∠2，②∠3＝∠B，③FG⊥AB于点G，④CD⊥AB于点D.
以上述4个条件中的①、②、③作为一个命题的已知条件，④作为该命题的结论，可以组成一个真命题．请你证明这个真命题．
【证明】因为∠3＝∠B，所以DE∥BC，
所以∠1＝∠BCD.
因为∠1＝∠2，所以∠2＝∠BCD，所以GF∥CD，所以∠CDB＝∠BGF.
因为FG⊥AB，所以∠BGF＝90°，所以∠CDB＝90°，所以CD⊥AB.
能力达标
6．下列命题：①相等的两个角是对顶角；②若∠1＋∠2＝180°，则∠1与∠2互为邻补角；③同旁内角互补；④直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短；⑤同角或等角的余角相等；⑥经过一点，有且只有一条直线与这条直线平行．其中假命题有( ).
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
7．如图，已知直线AB平行于CD且被直线EF所截，射线EM，FN分别平分∠BEF和∠CFE.
(1)试判断EM与FN之间的位置关系，并证明；
(2)由(1)的结论可以得到一个命题：如果________________，那么________________．
8．“回文诗”即正念倒念都有意思，均成文章的诗，如：“秋江楚雁宿沙洲，雁宿沙洲浅水流．流水浅洲沙宿雁，洲沙宿雁楚江秋．”其意境与韵味读起来都是一种美的享受．在数学中也有这样一类数有这样的特征，即正读倒读都一样的自然数，我们称之为“回文数”，例如11，343等．下列几个命题：
①2 222是“回文数”；
②所有两位数中，有9个“回文数”；
③所有三位数中，有81个“回文数”；
④任意四位数的“回文数”是11的倍数．其中，真命题有____________(填序号).

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