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第五章
微专题1　小船渡河与关联速度的分解
抛体运动
核心 目标 1．理解“小船渡河”模型，会求小船渡河的时间、位移、运动轨迹等．
2．理解“关联速度”模型，能分析其合运动、分运动，会分解速度，能用运动的合成与分解解决简单的问题．
深度拓展 分类悟法
小船渡河问题
类型
1
小船渡河时，同时参与了两个分运动．一个是船相对水的运动(即船在________中的运动)，一个是船随水漂流的运动．
1．船的实际运动
水流的运动和船相对静水的运动的合运动．
2．三种速度
船在静水中的速度v船(即假设水不流动时船运动的速度)、水的流速v水、船的实际速度v．
静水
3．问题解决
(1) 研究小船渡河时间时，一般用垂直河岸的分运动求解，若过河时间最短，则________始终垂直指向对岸．
(2) 分析小船速度时，可画出小船的速度分解图进行分析．
(3) 研究小船渡河位移时，应对小船的合运动进行分析，画出位移合成图．若过河位移(距离)最小，则船头要偏向上游．
船头
　　　通常情况下，越靠近河岸，河水的流速越小．若一小船从南岸到北岸横渡一条河，小船的静水速度大小、方向均不变(船头方向垂直于河岸)，则在下列四幅图中，能表示小船渡河的轨迹的是 (　　)
1
C
解析：根据题意可知，从南岸到北岸，河水的流速先增大，后减小，因为小船在垂直河岸方向上做匀速直线运动，所以小船渡河过程中的运动轨迹应先向下游弯曲，后向上游弯曲，故选C．
A
B
C
D
　　　小明家住山区，与小明家隔河相对的是学校，河宽30 m，平时流速为0.9 m/s，在渡口下游45 m是险滩，非常危险．小明每天需划船上学，划船时相对水的速度大小为1.5 m/s，取sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8．
(1) 若要使小明沿直线渡河直接到达学校，则船头应如何朝向？渡河时间为多少？
答案：(1) 斜向上游，与河岸夹角为53°　25 s
2
解析：(1) 根据题意可知，划船时船相对水的速度为船
在静水中的速度，则有v船＝1.5 m/s＞v水＝0.9 m/s可知，船
头指向斜向上游，船的合速度方向可正对河岸，设此时船头
与河岸夹角为α，如图所示
由几何关系可得cos α＝
解得α＝53°
船的合速度为v合＝＝1.2 m/s
则渡河时间为t＝＝25 s
当船头指向斜向上游，与河岸夹角为53°时，小明沿直线渡河直接到达学校，渡河时间为25 s
(2) 某日因下雨，河水流速变为2.5 m/s，小明坚持从渡口划船去上学，他选择了位移最小的路线，最小位移是多少？沿此路线船是否驶入险滩？
答案：(2) 50 m　否
解析：(2) v'水＞v船，若v船⊥v合，位移最小，此时船头指向与河岸的夹角为β，则cosβ＝
解得β＝53°
由几何关系，位移s＝＝50 m
船平行于河岸的分位移为L＝dtanβ＝40 m＜45 m，所以没有驶入险滩
两类问题、三种情景
渡河时间最短
垂直
渡河位移最短 如果v船＞v水，当船头方向与上游河岸夹角θ满足v船cos θ＝v水时，合速度_______河岸，渡河位移最短，等于河宽d

垂直
合速度
关联速度问题
类型
2
1．关联速度问题是指物体斜着拉绳(杆)或绳(杆)斜着拉物体时，两端所连接物体的速度关系问题．
2．物体的实际速度是合速度，分解时两个分速度方向应取沿绳或杆方向和________于绳或杆方向．
3．由于绳或杆不可伸长，一根绳或杆两端物体沿绳或杆方向的速度分量________．
垂直
相等
　　　2024年央视春晚舞蹈节目《锦鲤》华丽登场，展现出别样的东方美，寓意鱼跃龙门好运连连，如图甲所示．图乙为简化示意图，工作人员A沿水平地面向左运动拉绳时，表演者B在空中升起，当绳与水平方向之间的夹角为30°时，A与B的速度大小之比为 (　　)
A．1∶2
B．2∶1
C．2∶
D．∶2
3
解析：设此时A与B的速度分别为vA、vB，将A的速度分解为沿绳子分速度和垂直绳子分速度，则有vAcos 30°＝vB，可得vA∶vB＝1∶cos 30°＝2∶，故选C．
C
甲
乙
　　　如图所示，不可伸长的轻绳通过光滑定滑轮连接物块B，绳的另一端和套在固定竖直杆上的圆环A连接．A在外力作用下沿杆向上运动，带动B向下运动，左侧绳与竖直向上方向夹角为θ(θ＜90°)，则 (　　)
A．vA＝vBcos θ
B．若A减速上升，B可能匀速下降
C．若A匀速上升，B一定减速下降
D．若A加速上升，绳的拉力一定大于B的重力
4
C
解析：根据题意，分解A的速度，如图所示，vB＝va＝
vAcos θ，故A错误；根据vB＝vAcos θ，若A减速上升，θ增大，
cos θ减小，故vB减小，故B减速下降，故B错误；根据vB＝
vAcos θ，若A匀速上升，θ增大，cos θ减小，故vB减小，故B
减速下降，故C正确；根据vB＝vAcos θ，若A加速上升，θ增
大，cos θ减小，故vB可能不变，可能增大，也可能减小，可
知B的运动不明确，根据牛顿第二定律分析，知绳的拉力与B的重力关系不明确，故D错误．
常见的速度分解模型
注意：图乙和丙中，将A、B两点的速度分解为沿绳(杆)方向的速度和垂直于绳(杆)方向的速度，且沿绳(杆)方向上的两个分速度大小相等．
甲
乙
丙
丁
随堂内化 即时巩固
1．某市进行防溺水安全演练，消防员计划以一定的速度驾驶皮艇用最短时间救援被困于礁石上的人员，如图所示，假设河中各处水流速度相等，下列关于救援时皮艇头部指向的说法中，正确的是 (　　)
A．应在河岸A处沿v1方向进行救援
B．应在河岸A处沿v2方向进行救援
C．应在河岸B处沿v3方向进行救援
D．应在河岸B处沿v4方向进行救援
解析：若救援所用时间最短，则消防员的速度应与河岸垂直，且出发点应位于礁石上游，故选A．
A
2．如图所示，当小车A向左运动，B物体向上做匀速直线运动．图示时刻，小车A的速度大小为v．下列说法中正确的是 (　　)
A．小车A向左以速度v做匀速直线运动
B．图示时刻，B物体的速度为vcos θ
C．绳子对B的拉力大于B的重力
D．绳子对A的拉力大小将变大
B
解析：将小车的速度v沿着绳和垂直于绳正交分解，如图所示，根据几何关系可得，图示时刻B物体的速度为vB＝vcos θ，当小车向左运动时，θ减小，cos θ增大，由于vB大小不变，可知小车A向左的速度v将变小，因此小车A做减速运动，不是做匀速直线运动，A错误，B正确；B物体做匀速直线运动，由平衡条
件可知，绳子对A和对B的拉力大小等于B的重力，大小不变，C、D
错误．
3．小船在100 m宽的河中横渡，当小船船头正对河岸渡河时，经过20 s时间，小船到达正对岸下游60 m的位置．取sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8．
(1) 河水流动的速度大小是多少？
答案：(1) 3 m/s　
解析：(1) 水速为v1＝＝3 m/s
(2) 小船在静水中的速度大小是多少？
答案：(2) 5 m/s　
解析：(2) 小船在静水中的速度大小是v2＝＝5 m/s
(3) 若小船到达正对岸，船头与上游河岸成多大角度？渡河时间是多少？
答案：(3) 53°　25 s
解析：(3) 设船头指的方向偏向上游与河岸成θ角，根据平行四边形定则有v＝＝4 m/s
根据几何关系，则有v2cos θ＝v1，cos θ＝
解得θ＝53°
渡河时间是t＝＝25 s微专题1　小船渡河与关联速度的分解
1．如图所示，水流方向自左向右，在河岸A点的小船要到达正对岸的B点，则小船船头应沿哪个方向行驶才有可能(　　)
A．a B．b
C．c D．d
2．已知河水自西向东流动，流速为v1，小船在静水中的速度为v2，且v2>v1，用小箭头表示船头的指向及小船在不同时刻的位置，虚线表示小船过河的路径，则下图中可能的是(　　)
① ②
③ ④
A．①③ B．②③
C．③④ D．①④
3．如图所示，用跨过定滑轮的绳把湖中小船向右拉到靠近岸的过程中，如果要保证绳子的速度v不变，则小船的速度(　　)
A．不变　 B．逐渐增大
C．逐渐减小　 D．先增大，后减小
4．如图所示，小车m以速度v沿斜面匀速向下运动，并通过绳子带动重物M沿竖直杆上滑．则当滑轮右侧的绳子与竖直方向成θ角时，重物M上滑的速度为(　　)
A．vsin θ B．vcos θ
C．vtan θ D．
5．如图所示，小船从河岸处A点出发渡河．若河宽为100 m，河水流速v1＝4 m/s，方向平行于河岸指向河的下游，船在静水中速度v2＝4 m/s，船头方向与河岸垂直，船视为质点，则下列说法中正确的是(　　)
A．小船从A点出发经过20 s到达对岸
B．小船到达对岸的位置在河正对岸下游125 m处
C．若河水流速变慢，小船从A点到对岸的时间可能低于20 s
D．若小船行驶到河中央时水流变快，小船的实际速度方向会改变
6．春节期间，某同学随家人去海边游玩，在该同学乘坐的小船渡过某段紧挨平直海岸、宽度为200 m的水域过程中，小船在静水中的速度大小为1 m/s，海水沿海岸方向的流速与船到海岸的距离关系如图所示．关于小船渡过这段水域的运动，下列说法中正确的是(　　)
A．渡过这段水域的最短时间为100 s
B．小船的最小位移为200 m
C．小船不可能垂直海岸渡过该段水域
D．小船的运动轨迹一定为直线
7．A、B两物体通过一根跨过光滑轻质定滑轮的不可伸长的轻绳相连放在水平面上．现物体A以v1的速度向右匀速运动，当绳被拉成与水平面夹角分别是α、β时，如图所示，物体B的运动速度为(绳始终有拉力)(　　)
A． B．
C． D．
8．如图所示为宁夏回族自治区某国家森林公园内的一颗大树，大树下的水平桌面上摆放着6个桃子，树上有一根藤条，藤条的上端恰好在最左边桃子的正上方，一只猴子在此端收放藤条，另一只猴子在藤条的下端从空中略高于桌面的某一位置摆下．若下方的猴子(可视为质点)想做匀速直线运动抓到所有桃子，则从它抓到第1个桃子到抓到第6个桃子的过程中，下列说法中正确的是(　　)
A．下方猴子的加速度时刻指向上方猴子
B．下方猴子的实际运动是匀速圆周运动
C．上方猴子沿藤条方向减速收绳子，缩短绳长
D．下方猴子在垂直于藤条方向的速率变小
9．多选)钓鱼是一项越来越受到欢迎的运动，钓到大鱼时一般会先将鱼遛至没有力气再收线．如图所示，在收尾阶段，鱼已经浮在水面不再挣扎，钓鱼者以恒定速率v收鱼线(钓鱼者和鱼竿视为不动)，鱼线与水平面的夹角为θ，下列说法中正确的是(　　)
A．鱼在靠近钓鱼者过程中速率增大
B．当θ＝60°时，鱼的速率为2v
C．当θ＝37°时，鱼的速率为0.8v
D．鱼受到的合外力恒定
10．如图所示，某河流水流速度大小恒为v1，A处的下游C处有个漩涡，漩涡与河岸相切于B点，漩涡的半径为r，AB＝r．为使小船从A点出发以恒定的速度安全到达对岸，小船航行时在静水中速度的最小值为(　　)
A．v1　 B．v1
C．v1　 D．v1
11．小船横渡一条d＝200 m宽的河，水流速度为v水＝3 m/s，船在静水中的航速是v船＝5 m/s，取sin 37°＝0.6．
(1) 若小船渡河时间最短，渡河时间是多少？位移大小是多少？
(2) 若小船渡河位移最短，船头指向何处？多长时间能到达对岸？
(3) 如果水流速度变为10 m/s，若小船航程最短，则最短航程为多少？
微专题1　小船渡河与关联速度的分解
1．B　解析：小船要到达正对岸的B点，根据运动的合成可知船在静水中的速度和水流速度的合速度应该垂直指向对岸的B点，B正确．
2．C　解析：若船在静水中的速度方向垂直河岸，水流速自西向东，根据平行四边形定则，则合速度的方向应偏向下游，渡河的轨迹为倾斜的直线．即①不可能；若船在静水中的速度方向斜向下游，根据平行四边形定则知，合速度的方向不可能与船在静水中的速度方向重合，即②不可能；由于v2>v1，根据平行四边形定则知，合速度的方向应夹在船在静水中的速度方向和水流速度方向之间，故③④可能，故选C．
3．B　解析：小船向右运动，因此将小船速度分解为沿绳子方向的分速度和垂直绳子方向的分速度，如图所示．绳子的速度v等于船沿绳子方向的分速度，由几何关系，得到v＝v船cosθ，在小船靠岸的过程中，由于绳的速度v保持不变，θ不断变大，则v船不断变大，B正确．
4．D　解析：将重物M的速度按图示两个方向分解，如图所示，则有v＝vMcos θ，解得vM＝，D正确．
5．D　解析：小船过河时间由垂直河岸的速度和河宽决定，与水流速度无关，所以小船过河时间为t＝＝25 s，小船到达对岸的位置在河正对岸下游x＝v1t＝100 m，A、B、C错误；小船的合速度是相互垂直的船速和水速的合成，若小船行驶到河中央时水流变快，即水速变大，则小船合速度的大小和方向都会变，D正确．
6．C　解析：小船垂直海岸渡过水域时，时间最短，有tmin＝＝200 s，A错误；由于水流速度不断变化，当水流速度大于船在静水中的速度时，船将不能垂直海岸渡过水域，所以最小位移大于水域宽度，即最小位移大于200 m，B错误，C正确；若船垂直海岸渡过水域，运动轨迹为曲线运动，D错误．
7．D　解析：设物体B的运动速度为vB，速度分解如图甲所示，则有vB＝．物体A的运动速度为v1，速度分解如图乙所示，则有v绳A＝v1cos α．由于对应同一根绳，其长度不变，故v绳B＝v绳A，联立解得vB＝，D正确．
　　　　
甲　　　　　　　　　　　乙
8．C　解析：根据题中“猴子想匀速抓到所有桃子”可知，下方猴子的实际运动一定为水平向左的匀速直线运动，B错误；匀速直线运动的猴子加速度为零，故A错误；将下方猴子实际运动的速度v分解为沿藤条和垂直于藤条方向的两个分速度v1和v2，如图所示，设实际运动方向与藤条的夹角为θ(0≤θ≤90°)，由几何关系有v1＝vcos θ，v2＝vsin θ，猴子在运动过程中，因θ增大，则v1减小，v2增大，C正确，D错误．
9．AB　解析：如图所示，将鱼的速度分解为沿绳子方向的速度和垂直绳子方向的速度，则v＝v鱼cos θ，因钓鱼者以恒定速率v收鱼线过程中θ增大，则v鱼增大，鱼做变加速运动，合外力不是恒定值，A正确，D错误；根据v＝v鱼cos θ，可知当θ＝60°时，v鱼＝2v，当θ＝37°时，v鱼＝1.25v，B正确，C错误．
10．C　解析：如图所示，当小船从A点沿与漩涡相切的虚线渡河，且在静水中的速度v2与其在河流中的实际速度v垂直时，小船在静水中的速度最小，设为v2，故有v2＝v1sin θ，而tan ＝＝，解得v2＝v1，C正确．
11．(1) 40 s　40 m　(2) 偏向上游，与上游所成角度为53°　50 s　(3) 400 m
解析：(1) 若渡河时间最短，则船头垂直于河岸，渡河时间t＝，解得t＝40 s
位移s＝t，可得s＝40 m　
(2) 小船位移垂直于河岸时渡河位移最短为d，则v水、v船的合运动v合垂直于河岸，如图甲所示
则v合＝＝4 m/s
经历时间t＝，得t＝50 s
又cos θ＝＝＝0.6
可知船头指向为偏向上游，与上游所成角度为θ＝53°
甲
乙
(3) 如果水流速度变为10 m/s，如图乙所示
v合的方向垂直于v船，故船头偏向上游，与河岸成θ'角，有cos θ'＝＝
解得θ'＝60°
可得最短航程s'＝＝400 m微专题1　小船渡河与关联速度的分解
核心 目标 1．理解“小船渡河”模型，会求小船渡河的时间、位移、运动轨迹等．
2．理解“关联速度”模型，能分析其合运动、分运动，会分解速度，能用运动的合成与分解解决简单的问题．
类型1　小船渡河问题
小船渡河时，同时参与了两个分运动．一个是船相对水的运动(即船在　静水　中的运动)，一个是船随水漂流的运动．
1．船的实际运动
水流的运动和船相对静水的运动的合运动．
2．三种速度
船在静水中的速度v船(即假设水不流动时船运动的速度)、水的流速v水、船的实际速度v．
3．问题解决
(1) 研究小船渡河时间时，一般用垂直河岸的分运动求解，若过河时间最短，则　船头　始终垂直指向对岸．
(2) 分析小船速度时，可画出小船的速度分解图进行分析．
(3) 研究小船渡河位移时，应对小船的合运动进行分析，画出位移合成图．若过河位移(距离)最小，则船头要偏向上游．
　通常情况下，越靠近河岸，河水的流速越小．若一小船从南岸到北岸横渡一条河，小船的静水速度大小、方向均不变(船头方向垂直于河岸)，则在下列四幅图中，能表示小船渡河的轨迹的是(　C　)
A B
C D
解析：根据题意可知，从南岸到北岸，河水的流速先增大，后减小，因为小船在垂直河岸方向上做匀速直线运动，所以小船渡河过程中的运动轨迹应先向下游弯曲，后向上游弯曲，故选C．
　小明家住山区，与小明家隔河相对的是学校，河宽30 m，平时流速为0.9 m/s，在渡口下游45 m是险滩，非常危险．小明每天需划船上学，划船时相对水的速度大小为1.5 m/s，取sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8．
(1) 若要使小明沿直线渡河直接到达学校，则船头应如何朝向？渡河时间为多少？
(2) 某日因下雨，河水流速变为2.5 m/s，小明坚持从渡口划船去上学，他选择了位移最小的路线，最小位移是多少？沿此路线船是否驶入险滩？
答案：(1) 斜向上游，与河岸夹角为53°　25 s
(2) 50 m　否
解析：(1) 根据题意可知，划船时船相对水的速度为船在静水中的速度，则有v船＝1.5 m/s＞v水＝0.9 m/s可知，船头指向斜向上游，船的合速度方向可正对河岸，设此时船头与河岸夹角为α，如图所示
由几何关系可得cos α＝
解得α＝53°
船的合速度为v合＝＝1.2 m/s
则渡河时间为t＝＝25 s
当船头指向斜向上游，与河岸夹角为53°时，小明沿直线渡河直接到达学校，渡河时间为25 s
(2) v'水＞v船，若v船⊥v合，位移最小，此时船头指向与河岸的夹角为β，则cosβ＝
解得β＝53°
由几何关系，位移s＝＝50 m
船平行于河岸的分位移为L＝dtanβ＝40 m＜45 m，所以没有驶入险滩
两类问题、三种情景
渡河时间最短 当船头方向　垂直　河岸时，渡河时间最短，最短时间tmin＝
渡河位移最短 如果v船＞v水，当船头方向与上游河岸夹角θ满足v船cos θ＝v水时，合速度　垂直　河岸，渡河位移最短，等于河宽d
如果v船＜v水，当船头方向(即v船方向)与　合速度　方向垂直时，渡河位移最短，等于
类型2　关联速度问题
1．关联速度问题是指物体斜着拉绳(杆)或绳(杆)斜着拉物体时，两端所连接物体的速度关系问题．
2．物体的实际速度是合速度，分解时两个分速度方向应取沿绳或杆方向和　垂直　于绳或杆方向．
3．由于绳或杆不可伸长，一根绳或杆两端物体沿绳或杆方向的速度分量　相等　．
　2024年央视春晚舞蹈节目《锦鲤》华丽登场，展现出别样的东方美，寓意鱼跃龙门好运连连，如图甲所示．图乙为简化示意图，工作人员A沿水平地面向左运动拉绳时，表演者B在空中升起，当绳与水平方向之间的夹角为30°时，A与B的速度大小之比为(　C　)
甲 乙
A．1∶2 B．2∶1
C．2∶ D．∶2
解析：设此时A与B的速度分别为vA、vB，将A的速度分解为沿绳子分速度和垂直绳子分速度，则有vAcos 30°＝vB，可得vA∶vB＝1∶cos 30°＝2∶，故选C．
　如图所示，不可伸长的轻绳通过光滑定滑轮连接物块B，绳的另一端和套在固定竖直杆上的圆环A连接．A在外力作用下沿杆向上运动，带动B向下运动，左侧绳与竖直向上方向夹角为θ(θ＜90°)，则(　C　)
A．vA＝vBcos θ
B．若A减速上升，B可能匀速下降
C．若A匀速上升，B一定减速下降
D．若A加速上升，绳的拉力一定大于B的重力
解析：根据题意，分解A的速度，如图所示，vB＝va＝vAcos θ，故A错误；根据vB＝vAcos θ，若A减速上升，θ增大，cos θ减小，故vB减小，故B减速下降，故B错误；根据vB＝vAcos θ，若A匀速上升，θ增大，cos θ减小，故vB减小，故B减速下降，故C正确；根据vB＝vAcos θ，若A加速上升，θ增大，cos θ减小，故vB可能不变，可能增大，也可能减小，可知B的运动不明确，根据牛顿第二定律分析，知绳的拉力与B的重力关系不明确，故D错误．
常见的速度分解模型
甲 乙
丙 丁
注意：图乙和丙中，将A、B两点的速度分解为沿绳(杆)方向的速度和垂直于绳(杆)方向的速度，且沿绳(杆)方向上的两个分速度大小相等．
1．某市进行防溺水安全演练，消防员计划以一定的速度驾驶皮艇用最短时间救援被困于礁石上的人员，如图所示，假设河中各处水流速度相等，下列关于救援时皮艇头部指向的说法中，正确的是(　A　)
A．应在河岸A处沿v1方向进行救援
B．应在河岸A处沿v2方向进行救援
C．应在河岸B处沿v3方向进行救援
D．应在河岸B处沿v4方向进行救援
解析：若救援所用时间最短，则消防员的速度应与河岸垂直，且出发点应位于礁石上游，故选A．
2．如图所示，当小车A向左运动，B物体向上做匀速直线运动．图示时刻，小车A的速度大小为v．下列说法中正确的是(　B　)
A．小车A向左以速度v做匀速直线运动
B．图示时刻，B物体的速度为vcos θ
C．绳子对B的拉力大于B的重力
D．绳子对A的拉力大小将变大
解析：将小车的速度v沿着绳和垂直于绳正交分解，如图所示，根据几何关系可得，图示时刻B物体的速度为vB＝vcos θ，当小车向左运动时，θ减小，cos θ增大，由于vB大小不变，可知小车A向左的速度v将变小，因此小车A做减速运动，不是做匀速直线运动，A错误，B正确；B物体做匀速直线运动，由平衡条件可知，绳子对A和对B的拉力大小等于B的重力，大小不变，C、D错误．
3．小船在100 m宽的河中横渡，当小船船头正对河岸渡河时，经过20 s时间，小船到达正对岸下游60 m的位置．取sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8．
(1) 河水流动的速度大小是多少？
(2) 小船在静水中的速度大小是多少？
(3) 若小船到达正对岸，船头与上游河岸成多大角度？渡河时间是多少？
答案：(1) 3 m/s　(2) 5 m/s　(3) 53°　25 s
解析：(1) 水速为v1＝＝3 m/s
(2) 小船在静水中的速度大小是v2＝＝5 m/s
(3) 设船头指的方向偏向上游与河岸成θ角，根据平行四边形定则有v＝＝4 m/s
根据几何关系，则有v2cos θ＝v1，cos θ＝
解得θ＝53°
渡河时间是t＝＝25 s

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