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章末复习　知识整合与能力提升
考点1　曲线运动的推论
1．物体在大小和方向均不变的力作用下做曲线运动，速度的方向越来越接近力的方向，但不可能与力的方向相同．
2．当合力方向与速度方向的夹角为锐角时，速度大小增加；当合力方向与速度方向的夹角为直角时，速度大小　不变　；当合力方向与速度方向的夹角为钝角时，速度大小减小．
　质点做匀变速曲线运动轨迹如图所示，质点运动到D点(D点是曲线的拐点)时速度方向与加速度方向恰好互相垂直．关于质点从A点运动到E点的过程，下列说法中正确的是(　A　)
A．质点经过C点的速率比D点的大
B．质点经过C点时的加速度方向与速度方向的夹角小于90°
C．质点经过D点时的加速度比B点的大
D．质点从B到E的过程中加速度方向与速度方向的夹角先增大，后减小
解析：因为质点做匀变速曲线运动，所以加速度不变，C错误；在D点时加速度方向与速度方向垂直，故知加速度方向向上，合力方向也向上，所以质点从C到D的过程中，合力方向(加速度方向)与速度方向夹角大于90°，质点做减速运动，质点经过C点的速率比D点的大，A正确，B错误；从B到E的过程中，加速度方向与速度方向夹角一直减小，D错误．
考点2　多体平抛运动问题
1．多体平抛运动问题是指多个物体在同一竖直平面内平抛所涉及的问题．
(1) 若两物体同时从同一高度(或同一点)抛出，则两物体始终在同一　高度　，水平位移大的初速度大．
(2) 若两物体同时从不同高度抛出，则两物体高度差始终与抛出点高度差相同．
(3) 若两物体从同一点先后抛出，两物体竖直高度差随时间　均匀　增大．
2．对于多体平抛运动问题，解题应画出图像，找到共同的运动特点，灵活运用规律．
　(多选)如图所示，小球A、B分别从2l和l的高度水平抛出后落地，上述过程中A、B的水平位移分别为l和2l．忽略空气阻力，则(　AD　)
A．A和B的位移大小相等
B．A的运动时间是B的两倍
C．A的初速度是B的
D．A的末速度比B的大
解析：位移为初位置到末位置的有向线段，sA＝l，sB＝l，A和B的位移大小相等，A正确；平抛运动的时间由高度决定，即tA＝·，tB＝，则A的运动时间是B的倍，B错误；平抛运动在水平方向上做匀速直线运动，则vxA＝，vxB＝，则A的初速度是B的，C错误；小球A、B在竖直方向上的速度分别为vyA＝2、vyB＝，所以可得vA＝，vB＝2，即vA＞vB，D正确．
考点3　平抛运动的临界问题
1．与平抛运动相关的临界情况
(1) 若题目中有“刚好”、“恰好”、“正好”等字眼，表明题述的过程中存在临界点．
(2) 若题目中有“取值范围”、“多长时间”、“多大距离”等词语，表明题述过程中存在着“起止点”，而这些“起止点”往往就是临界点．
(3) 若题目中有“最大”、“最小”、“至多”、“至少”等字眼，表明题述过程中存在着极值，这些极值往往也是临界点．
2．分析平抛运动中的临界情况关键是确定临界轨迹．当受水平位移限制时，其临界轨迹为自抛出点到水平位移端点的一条抛物线；当受下落高度限制时，其临界轨迹为自抛出点到下落高度端点的一条抛物线，确定轨迹后再结合平抛运动的规律即可求解．
　(多选)如图所示，水平地面上放置一个直径d＝1.2 m、高h＝0.25 m的无盖薄油桶，沿油桶底面直径距左桶壁s＝1.8 m处的正上方有一P点，P点的高度H＝0.45 m，从P点沿直径方向水平抛出一小球，不考虑小球的反弹，下列说法中正确的是(取g＝10 m/s2，不计空气阻力，小球可视为质点)(　ACD　)
A．小球的速度范围为10 m/s＜v＜15 m/s时，小球击中油桶的内壁
B．小球的速度范围为6 m/s＜v＜10 m/s时，小球击中油桶的下底
C．小球的速度范围为6 m/s＜v＜9 m/s时，小球击中油桶外壁
D．小球的高度低于 m时，无论怎么样也击不中下底
解析：当小球落在A点时，有H＝gt2，s＝v1t，联立解得v1＝s＝6 m/s，同理可知，当小球落在D点时，有v2＝s＝9 m/s，当小球落在B点时，有v3＝(s＋d)＝10 m/s，当小球落在C点时，有v4＝(s＋d)＝15 m/s，则小球的速度范围为10 m/s＜v＜15 m/s时，小球击中油桶的内壁；小球的速度范围为9 m/s＜v＜10 m/s时，小球击中油桶的下底；小球的速度范围为6 m/s＜v＜9 m/s时，小球击中油桶外壁，A、C正确，B错误；若P点的高度变为H0，轨迹同时过D点和B点，则此时初速度为v'＝s＝(s＋d)，解得H0＝ m，可知小球的高度低于 m时，无论怎么样也击不中下底，D正确．
　在真空环境内探测微粒在重力场中能量的简化装置如图所示．P是个微粒源，能持续水平向右发射质量相同、初速度不同的微粒，高度为h的探测屏AB竖直放置，离P点的水平距离为L，上端A与P点的高度差也为h，已知重力加速度为g．
(1) 若微粒打在探测屏AB的中点，求微粒在空中飞行的时间．
(2) 求能被屏探测到的微粒的初速度范围．
答案：(1) 　 (2) L≤v≤L
解析：(1) 对打在中点的微粒有h＝gt2
解得t＝
(2) 打在B点的微粒初速度v1＝
2h＝gt2
解得v1＝L
同理，打在A点的微粒初速度v2＝L
微粒的初速度范围为L≤v≤L
考点4　类平抛运动问题
1．类平抛运动的受力特点
物体所受的合外力大小不变，且与初速度的方向垂直．
2．类平抛运动的运动特点
在初速度v0方向上做匀速直线运动，在垂直v0方向上做初速度为零的匀加速直线运动，加速度a＝．
3．类平抛运动的求解方法
(1) 常规分解法
将类平抛运动分解为沿初速度方向的匀速直线运动和垂直于初速度方向(沿合外力的方向)的匀加速直线运动．两分运动彼此独立，互不影响，且与合运动具有等时性．
(2) 特殊分解法
可以过抛出点建立平面直角坐标系，将加速度a分解为ax、ay，初速度v0分解为vx、vy，然后分别在x、y方向列方程求解．
4．类平抛运动问题的分析方法
(1) 分析物体的初速度与受力情况，确定物体做类平抛运动的加速度，确定两个分运动的方向．
(2) 利用两个分运动的规律求解分运动的速度与位移．
(3) 根据题目的已知条件与未知条件分析，充分利用运动的等时性、独立性、等效性．
　如图所示，固定在水平面上的光滑斜面长l＝5 m，宽s＝4 m，倾角θ＝30°．一可视为质点的小球从顶端B处水平向左射入，恰好从底端点A处射出，取g＝10 m/s2．下列说法中正确的是(　C　)
A．小球运动的加速度为10 m/s2
B．小球从B运动到A所用时间为2 s
C．小球从B点水平射入时的速度为 2 m/s
D．若小球从B点以4 m/s的速度水平向左射入，则恰能从底端A点离开斜面
解析：初速度与合力方向垂直，且合力大小不变，则小球做匀变速曲线运动，再根据牛顿第二定律得，小球的加速度为a＝＝gsin θ＝5 m/s2，A错误；根据l＝at2，解得t＝ s＝ s，B错误；根据s＝v0t有v0＝ m/s＝2 m/s，C正确；若小球从B点以4 m/s 的速度水平向左射入，因水平位移不变，则下落的时间减小，则不从底端A点离开斜面，D错误．
1．小车在水平地面上沿轨道从左向右运动，速度一直增加．如果用带箭头的线段表示小车在轨道上相应位置处所受合力，下列四幅图可能正确的是(　D　)
A． 　B．
C． 　D．
解析：小车做曲线运动，所受合外力指向曲线的凹侧，A、B错误；小车沿轨道从左向右运动，速度一直增加，故合外力与运动方向夹角为锐角，C错误，D正确．
2．如图所示，某同学将两颗鸟食从O点水平抛出，两只小鸟分别在空中的M点和N点同时接到鸟食．鸟食的运动视为平抛运动，两运动轨迹在同一竖直平面内，则(　D　)
A．两颗鸟食同时抛出
B．在N点接到的鸟食后抛出
C．两颗鸟食平抛的初速度相同
D．在M点接到的鸟食平抛的初速度较大
解析：鸟食的运动视为平抛运动，则在竖直方向有h＝gt2，由于hM＜hN，则tM＜tN，要同时接到鸟食，则在N点接到的鸟食先抛出，故A、B错误；在水平方向有x＝v0t，如图所示，过M点作一水平面，可看出在相同高度处M点的水平位移大，则M点接到的鸟食平抛的初速度较大，故C错误，D正确．
3．喷泉a、b形成如图所示的形状，不计空气阻力，则喷泉a、b的(　A　)
A．加速度相同
B．初速度相同
C．最高点的速度相同
D．在空中的时间相同
解析：不计空气阻力，在喷泉喷出的水在空中只受重力，加速度均为重力加速度，故A正确；设喷泉喷出的水竖直方向的分速度为vy，水平方向速度为vx，竖直方向，根据对称性可知在空中运动的时间t＝2，可知tb＞ta，D错误；最高点的速度等于水平方向的分速度vx＝，由于水平方向的位移大小关系未知，无法判断最高点的速度大小关系，根据速度的合成可知无法判断初速度的大小，B、C错误．
4．如图甲所示，我国某些农村地区人们用手抛撒谷粒进行水稻播种．某次抛出的谷粒中有两颗的运动轨迹如图乙所示，其轨迹在同一竖直平面内，抛出点均为O，且轨迹交于P点，抛出时谷粒1和谷粒2的初速度分别为v1和v2，其中v1方向水平，v2方向斜向上．忽略空气阻力，关于两谷粒在空中的运动，下列说法中正确的是(　B　)
A．谷粒1的加速度小于谷粒2的加速度
B．谷粒2在最高点的速度小于v1
C．两谷粒从O到P的运动时间相等
D．两谷粒从O到P的平均速度相等
解析：抛出的两谷粒在空中均仅受重力作用，加速度均为重力加速度，故谷粒1的加速度等于谷粒2的加速度，A错误；在竖直方向上谷粒2做竖直上抛运动，谷粒1做自由落体运动，竖直方向上位移相同，故谷粒2运动时间较长，C错误；谷粒2做斜抛运动，水平方向上为匀速直线运动，故运动到最高点的速度即为水平方向上的分速度，与谷粒1比较，水平位移相同，但运动时间较长，故谷粒2水平方向上的速度较小，即最高点的速度小于v1，B正确；两谷粒从O点运动到P点的位移相同，运动时间不同，故平均速度不相等，谷粒1的平均速度大于谷粒2的平均速度，D错误．(共28张PPT)
第五章
章末复习　知识整合与能力提升
抛体运动
核心知识 整合建构
素养生成 综合应用
曲线运动的推论
考点
1
1．物体在大小和方向均不变的力作用下做曲线运动，速度的方向越来越接近力的方向，但不可能与力的方向相同．
2．当合力方向与速度方向的夹角为锐角时，速度大小增加；当合力方向与速度方向的夹角为直角时，速度大小________；当合力方向与速度方向的夹角为钝角时，速度大小减小．
不变
　　　质点做匀变速曲线运动轨迹如图所示，质点运动到D点(D点是曲线的拐点)时速度方向与加速度方向恰好互相垂直．关于质点从A点运动到E点的过程，下列说法中正确的是 (　　)
A．质点经过C点的速率比D点的大
B．质点经过C点时的加速度方向与速度方向的夹角小于90°
C．质点经过D点时的加速度比B点的大
D．质点从B到E的过程中加速度方向与速度方向的夹角先增大，后减小
1
A
解析：因为质点做匀变速曲线运动，所以加速度不变，C错误；在D点时加速度方向与速度方向垂直，故知加速度方向向上，合力方向也向上，所以质点从C到D的过程中，合力方向(加速度方向)与速度方向夹角大于90°，质点做减速运动，质点经过C点的速率比D点的大，A正确，B错误；从B到E的过程中，加速度方向与速度方向夹角一直减小，D错误．
多体平抛运动问题
考点
2
1．多体平抛运动问题是指多个物体在同一竖直平面内平抛所涉及的问题．
(1) 若两物体同时从同一高度(或同一点)抛出，则两物体始终在同一________，水平位移大的初速度大．
(2) 若两物体同时从不同高度抛出，则两物体高度差始终与抛出点高度差相同．
(3) 若两物体从同一点先后抛出，两物体竖直高度差随时间________增大．
2．对于多体平抛运动问题，解题应画出图像，找到共同的运动特点，灵活运用规律．
高度
均匀
　　　(多选)如图所示，小球A、B分别从2l和l的高度水平抛出后落地，上述过程中A、B的水平位移分别为l和2l．忽略空气阻力，则 (　　)
A．A和B的位移大小相等
B．A的运动时间是B的两倍
C．A的初速度是B的
D．A的末速度比B的大
2
AD
解析：位移为初位置到末位置的有向线段，sA＝l，sB＝l，A和B的位移大小相等，A正确；平抛运动的时间由高度决定，即tA＝·，tB＝，则A的运动时间是B的倍，B错误；平抛运动在水平方向上做匀速直线运动，则vxA＝，vxB＝，则A的初速度是B的，C错误；小球A、B在竖直方向上的速度分别为vyA＝2、vyB＝，所以可得vA＝，vB＝2，即vA＞vB，D正确．
平抛运动的临界问题
考点
3
1．与平抛运动相关的临界情况
(1) 若题目中有“刚好”、“恰好”、“正好”等字眼，表明题述的过程中存在临界点．
(2) 若题目中有“取值范围”、“多长时间”、“多大距离”等词语，表明题述过程中存在着“起止点”，而这些“起止点”往往就是临界点．
(3) 若题目中有“最大”、“最小”、“至多”、“至少”等字眼，表明题述过程中存在着极值，这些极值往往也是临界点．
2．分析平抛运动中的临界情况关键是确定临界轨迹．当受水平位移限制时，其临界轨迹为自抛出点到水平位移端点的一条抛物线；当受下落高度限制时，其临界轨迹为自抛出点到下落高度端点的一条抛物线，确定轨迹后再结合平抛运动的规律即可求解．
　　　(多选)如图所示，水平地面上放置一个直径d＝1.2 m、高h＝0.25 m的无盖薄油桶，沿油桶底面直径距左桶壁s＝1.8 m处的正上方有一P点，P点的高度H＝0.45 m，从P点沿直径方向水平抛出一小球，不考虑小球的反弹，下列说法中正确的是(取g＝10 m/s2，不计空气阻力，小球可视为质点) (　　　)
A．小球的速度范围为10 m/s＜v＜15 m/s时，小球击中油桶的内壁
B．小球的速度范围为6 m/s＜v＜10 m/s时，小球击中油桶
的下底
C．小球的速度范围为6 m/s＜v＜9 m/s时，小球击中油桶
外壁
D．小球的高度低于 m时，无论怎么样也击不中下底
3
ACD
解析：当小球落在A点时，有H＝gt2，s＝v1t，联立解得v1＝s＝6 m/s，同
理可知，当小球落在D点时，有v2＝s＝9 m/s，当小球落在B点时，有v3＝(s
＋d)＝10 m/s，当小球落在C点时，有v4＝(s＋d)＝15 m/s，则小球的速
度范围为10 m/s＜v＜15 m/s时，小球击中油桶的内壁；小球的速度范围为9 m/s＜v＜10 m/s时，小球击中油桶的下底；小球的速度范围为6 m/s＜v＜9 m/s时，小球击中油桶外壁，A、C正确，B错误；若P点的高度变为H0，轨迹同时过D点和B点，则此时初速度为v'＝s＝(s＋d)，解得H0＝ m，可知小球的高度低于 m时，无论怎么样也击不中下底，D正确．
　　　在真空环境内探测微粒在重力场中能量的简化装置如图所示．P是个微粒源，能持续水平向右发射质量相同、初速度不同的微粒，高度为h的探测屏AB竖直放置，离P点的水平距离为L，上端A与P点的高度差也为h，已知重力加速度为g．
(1) 若微粒打在探测屏AB的中点，求微粒在空中飞行的时间．
答案：(1) 　
4
解析：(1) 对打在中点的微粒有h＝gt2
解得t＝
(2) 求能被屏探测到的微粒的初速度范围．
答案：(2) L≤v≤L
解析：(2) 打在B点的微粒初速度v1＝
2h＝gt2
解得v1＝L
同理，打在A点的微粒初速度v2＝L
微粒的初速度范围为L≤v≤L
1．类平抛运动的受力特点
物体所受的合外力大小不变，且与初速度的方向垂直．
2．类平抛运动的运动特点
在初速度v0方向上做匀速直线运动，在垂直v0方向上做初速度为零的匀加速直线运动，加速度a＝．
类平抛运动问题
考点
4
3．类平抛运动的求解方法
(1) 常规分解法
将类平抛运动分解为沿初速度方向的匀速直线运动和垂直于初速度方向(沿合外力的方向)的匀加速直线运动．两分运动彼此独立，互不影响，且与合运动具有等时性．
(2) 特殊分解法
可以过抛出点建立平面直角坐标系，将加速度a分解为ax、ay，初速度v0分解为vx、vy，然后分别在x、y方向列方程求解．
4．类平抛运动问题的分析方法
(1) 分析物体的初速度与受力情况，确定物体做类平抛运动的加速度，确定两个分运动的方向．
(2) 利用两个分运动的规律求解分运动的速度与位移．
(3) 根据题目的已知条件与未知条件分析，充分利用运动的等时性、独立性、等效性．
如图所示，固定在水平面上的光滑斜面长l＝5 m，宽s＝4 m，倾角θ＝30°．一可视为质点的小球从顶端B处水平向左射入，恰好从底端点A处射出，取g＝10 m/s2．下列说法中正确的是 (　　)
A．小球运动的加速度为10 m/s2
B．小球从B运动到A所用时间为2 s
C．小球从B点水平射入时的速度为 2 m/s
D．若小球从B点以4 m/s的速度水平向左射入，则
恰能从底端A点离开斜面
5
C
解析：初速度与合力方向垂直，且合力大小不变，则小球做匀变速曲线运动，再根据牛顿第二定律得，小球的加速度为a＝＝gsin θ＝5 m/s2，A错误；根据l＝at2，解得t＝ s＝ s，B错误；根据s＝v0t有v0＝ m/s＝2 m/s，C正确；若小球从B点以4 m/s 的速度水平向左射入，因水平位移不变，则下落的时间减小，则不从底端A点离开斜面，D错误．
链接高考 真题体验
1．小车在水平地面上沿轨道从左向右运动，速度一直增加．如果用带箭头的线段表示小车在轨道上相应位置处所受合力，下列四幅图可能正确的是 (　　)
A． 　B．
C． 　D．
解析：小车做曲线运动，所受合外力指向曲线的凹侧，A、B错误；小车沿轨道从左向右运动，速度一直增加，故合外力与运动方向夹角为锐角，C错误，D正确．
D
2．如图所示，某同学将两颗鸟食从O点水平抛出，两只小鸟分别在空中的M点和N点同时接到鸟食．鸟食的运动视为平抛运动，两运动轨迹在同一竖直平面内，则 (　　)
A．两颗鸟食同时抛出
B．在N点接到的鸟食后抛出
C．两颗鸟食平抛的初速度相同
D．在M点接到的鸟食平抛的初速度较大
D
解析：鸟食的运动视为平抛运动，则在竖直方向有h＝gt2，由于hM＜hN，则tM＜tN，要同时接到鸟食，则在N点接到的鸟食先抛出，故A、B错误；在水平方向有x＝v0t，如图所示，过M点作一水平面，可看出在相同高度处M点的水平位移大，则M点接到的鸟食平抛的初速度较大，故C错误，D正确．
3．喷泉a、b形成如图所示的形状，不计空气阻力，则喷泉a、b的 (　　)
A．加速度相同 B．初速度相同
C．最高点的速度相同 D．在空中的时间相同
解析：不计空气阻力，在喷泉喷出的水在空中只受重力，加速度均为重力加速度，故A正确；设喷泉喷出的水竖直方向的分速度为vy，水平方向速度为vx，竖直方向，根据对称性可知在空中运动的时间t＝2，可知tb＞ta，D错误；最高点的速度等于水平方向的分速度vx＝，由于水平方向的位移大小关系未知，无法判断最高点的速度大小关系，根据速度的合成可知无法判断初速度的大小，B、C错误.
A
4．如图甲所示，我国某些农村地区人们用手抛撒谷粒进行水稻播种．某次抛出的谷粒中有两颗的运动轨迹如图乙所示，其轨迹在同一竖直平面内，抛出点均为O，且轨迹交于P点，抛出时谷粒1和谷粒2的初速度分别为v1和v2，其中v1方向水平，v2方向斜向上．忽略空气阻力，关于两谷粒在空中的运动，下列说法中正确的是 (　　)
A．谷粒1的加速度小于谷粒2的加速度
B．谷粒2在最高点的速度小于v1
C．两谷粒从O到P的运动时间相等
D．两谷粒从O到P的平均速度相等
B
解析：抛出的两谷粒在空中均仅受重力作用，加速度均为重力加速度，故谷粒1的加速度等于谷粒2的加速度，A错误；在竖直方向上谷粒2做竖直上抛运动，谷粒1做自由落体运动，竖直方向上位移相同，故谷粒2运动时间较长，C错误；谷粒2做斜抛运动，水平方向上为匀速直线运动，故运动到最高点的速度即为水平方向上的分速度，与谷粒1比较，水平位移相同，但运动时间较长，故谷粒2水平方向上的速度较小，即最高点的速度小于v1，B正确；两谷粒从O点运动到P点的位移相同，运动时间不同，故平均速度不相等，谷粒1的平均速度大于谷粒2的平均速度，D错误．

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