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(共39张PPT)
第八章　整式的乘法
第1课时　平方差公式
8.5　乘法公式
　平方差公式
1.(2025浙江温州期中)若等式(　　 )(3a+5b)=9a2-25b2成立,
则括号内所填的代数式是 ( )
A.3a+5b　　 B.-3a+5b
C.3a-5b　　 D.-3a-5b
C
解析　∵(3a-5b)(3a+5b)=9a2-25b2,∴括号内所填的代数式是
3a-5b.故选C.
2.【学科特色·易错题】计算(0.1x+0.3y)·(0.1x-0.3y)的结果为
( )
A.0.01x2-0.09y2　　 B.0.01x2-0.9y2
C.0.1x2-0.9y2　　 D.0.1x2-0.3y2
A
解析　原式=(0.1x)2-(0.3y)2=0.01x2-0.09y2,故选A.
易错警示　本题易出现系数不平方而错选D.
3.(2025河北保定期中)下列算式不能用平方差公式计算的是
( )
A.(2a+b)(2a-b)　　 B.(x-y)(y+x)
C. 　　 D.(-3x+y)(y-3x)
D
解析 A.(2a+b)(2a-b)能用平方差公式计算,不符合题意;B.(x-
y)(y+x)=(x-y)(x+y)能用平方差公式计算,不符合题意;C.
= 能用平方差公式计算,不符
合题意;D.(-3x+y)(y-3x)=(y-3x)(y-3x)不能用平方差公式计算,
符合题意.故选D.
4.(2025河北保定新秀学校月考)为了美化校园环境,学校将正
方形花坛的一组对边各增加3 m,另一组对边各减少3 m,则所
得长方形花坛的面积与原来相比 ( )
A.减少了9 m2　　 B.增加了9 m2
C.保持不变　　 D.无法确定
A
解析　设原正方形花坛的边长为a m,则正方形花坛的面积为
a2 m2,长方形花坛的长和宽分别为(a+3)m,(a-3)m,则长方形花
坛的面积为(a+3)(a-3)=(a2-9)m2,a2>a2-9,且a2-(a2-9)=9 m2,则所
得长方形花坛的面积与原来相比减少了9 m2.故选A.
5.计算:(a+b)(b-a)=_____.
b2-a2
解析 (a+b)(b-a)=(b+a)(b-a)=b2-a2.
6.(2025河北石家庄期中)若a=2 025×2 027,b=2 0262,则a___ b.(填
“>”“<”或“=”)
<
解析　∵a=2 025×2 027,∴a=(2 026-1)×(2 026+1)=2 0262-12,
∴b-a=2 0262-(2 0262-1)=1>0,∴a7.计算:(1)(-a-3b)(a-3b).
(2)(xn+2y)(xn-2y).
(3)(xy+1)(x2y2+1)(xy-1).
(4)(3x+4)(3x-4)-(2x+3)(3x-2).
解析 (1)(-a-3b)(a-3b)
=-(a+3b)(a-3b)
=-a2+(3b)2
=9b2-a2.
(2)(xn+2y)(xn-2y)
= -(2y)2
=x2n-4y2.
(3)(xy+1)(x2y2+1)(xy-1)
=(xy+1)(xy-1)(x2y2+1)
=(x2y2-1)(x2y2+1)
=x4y4-1.
(4)(3x+4)(3x-4)-(2x+3)(3x-2)
=9x2-16-(6x2-4x+9x-6)
=9x2-16-6x2+4x-9x+6
=3x2-5x-10.
8.(2024河北沧州任丘期末)乘法公式的探究及应用:
(1)如图1,可以求出阴影部分的面积是________(写成两数
平方差的形式).
如图2,若将阴影部分裁剪下来,重新拼成一个长方形,其面积
是________(写成多项式乘法的形式).
比较图1和图2的阴影部分的面积,可以得到乘法公式:______
_________(用式子表达).
(2)运用你所得到的公式,计算1 003×997的值.

图1

图2
解析 (1)a2-b2;(a+b)(a-b);(a+b)(a-b)=a2-b2.
(2)根据题意得1 003×997=(1 000+3)×(1 000-3)=1 0002-32=1 00
0 000-9=999 991.

9.(2025江苏扬州期中,★★☆)运用平方差公式计算(x+3y-z)(x
-3y+z),下列变形正确的是 ( )
A.[x-(3y+z)]2
B.[(x-3y)+z][(x-3y)-z]
C.[x+(3y-z)][x-(3y-z)]
D.[(x+3y)-z][(x+3y)+z]
C
解析　运用平方差公式计算(x+3y-z)(x-3y+z),应变形为[x+(3y-
z)][x-(3y-z)].
10.【学科特色·整体思想】(2025陕西咸阳期中,★★☆)若(3m
+n)·(3m-n)=18,则18m2-2n2的值为 ( )
A.36　　 B.24　　 C.18　　 D.9
A
解析　∵(3m+n)(3m-n)=18,∴9m2-n2=18,
∴18m2-2n2=2(9m2-n2)=36.故选A.
11.(2025贵州黔东南州期中,★★☆)已知(x-a) 的结果中
不含字母x的一次项,则(1-a)(-a-1)的值为( )
A. 　　 B.- 　　 C. 　　 D.-
B
解析 (x-a) =x2+ x- ,
∵结果中不含字母x的一次项,
∴ -a=0,∴a= ,
∴(1-a)(-a-1)=a2-1= -1=- .故选B.
12.【新考向·规律探究题】(2025山东菏泽期末,★★☆)计算
(2+1)·(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)的结果的个位数字是 ( )
A.1　　 B.3　　 C.5　　 D.7
C
解析 (2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)=(2-1)·(2+1)(22+1)(24+1)
(28+1)(216+1)=232-1.∵21=2,22=4,23=8,24=16,25=32,26=64,……,
∴2的整数次幂个位上的数的循环规律为2,4,8,6,周期为4.32÷4=
8,故232的个位数字为6,即232-1的个位数字为6-1=5.故选C.
13.【学科特色·教材变式P96T4(2)】(2024四川凉山州中考,★
★☆)已知a2-b2=12,且a-b=-2,则a+b=____.
-6
解析　∵a2-b2=12,∴(a+b)(a-b)=12,
∵a-b=-2,∴a+b=-6.
14.(★★☆)求证:当n为不等于3的自然数时,(n-1)·(n+1)-(n-5)
(n-7)能被12整除.
证明 (n-1)(n+1)-(n-5)(n-7)
=(n2-1)-(n2-12n+35)
=n2-1-n2+12n-35
=12n-36
=12(n-3),
∵n为不等于3的自然数,∴12(n-3)能被12整除.

15.【新课标·几何直观】(2025河北保定期中)某数学兴趣小
组在学习了“平方差公式”后,构造了如下的四种图形,想用
“等面积法”来验证“平方差公式”.
图1

图2
图3

图4
(1)【探究】以上四种方法中能够验证“平方差公式”的有
_________.(填序号,图1,图2,图3,图4分别对应方法①②③
④)
(2)【应用】利用“平方差公式”计算:2 0262-2 022×2 030.
(3)【拓展】计算: × × × × ×
.
解析 (1)①③.详解:题图1中,左图阴影部分可以看成两个正
方形的面积差,即(a2-b2),拼成的右图是底为(a+b),高为(a-b)的
平行四边形,面积为(a+b)(a-b),∴(a+b)(a-b)=a2-b2,故题图1可
以验证平方差公式;题图2中,左图阴影部分的面积为4·
=(a-b)2,右图阴影部分的面积可以表示为(a-b)2,故题图2不能验
证平方差公式;题图3中,左图阴影部分可以看作两个正方形的
面积差,即(a2-b2),拼成的右图是底为(a+b),高为(a-b)的平行四
边形,面积为(a+b)(a-b),∴(a+b)(a-b)=a2-b2,故题图3可以验证
平方差公式;题图4中,左图阴影部分可以看作两个正方形的面
积差,即(a+b)2-(a-b)2,拼成的右图是长为2a,宽为2b的长方形,面
积为4ab,∴(a+b)2-(a-b)2=4ab,故题图4不能验证平方差公式.
(2)原式=2 0262-(2 026-4)(2 026+4)=2 0262-(2 0262-42)=2 0262-
20262+42=16.
(3)∵ × × × × × ×
= × × × × ×
= × × × × = ×
× × = × × = ×
=1- ,
∴原式= ÷ = ×2=2- .(共23张PPT)
第八章　整式的乘法
第2课时　单项式与多项式相乘
8.4　整式的乘法

　单项式与多项式相乘
1.(2025贵州铜仁六中期中)计算-3xy·(x- y)的结果是
( )
A.3x2y+xy2　　 B.-3x2y- xy2
C.-3x2y+ xy2　　 D.-3x2y+ xy2

C
解析　-3xy· =-3x2y+ xy2.故选C.
2.(2025陕西宝鸡一中月考)下列各式:①2a3(3a2-2ab2);②-
(b2-3a);③3a(2a4-a2b4);④-a4·(4b2-6a).其中相等的两个是
( )
A.①和②　　 B.②和③　　 C.①和④　　 D.③和④

C
解析　①2a3(3a2-2ab2)=6a5-4a4b2;②- (b2-3a)=-4a6(b2-3a)=-
4a6b2+12a7;
③3a(2a4-a2b4)=6a5-3a3b4;④-a4·(4b2-6a)=-4a4b2+6a5.∴相等的两
个是①和④.
3.【学科特色·数形结合思想】(2025河北邢台期末)利用下图
可以解释的等式是 ( )

A
A.mn(a+b-c)=mna+mnb-mnc
B.ma(n+b-c)=man+mab-mac
C.ab(m+n-c)=abm+abn-abc
D.ac(m+n-b)=acm+acn-acb
解析　由题图可知,阴影部分的体积为mn(a+b-c),或用大长方
体的体积减去白色长方体的体积,即mna+mnb-mnc,可知mn(a+
b-c)=mna+mnb-mnc,故选A.
4.(2025河北廊坊二模)2x(m-x2)=4x3y2-2x3,则m=_____.
2x2y2
解析　∵2x(m-x2)=4x3y2-2x3,∴2xm-2x3=4x3y2-2x3,∴2xm=4x3y2,
∵2x·2x2y2=4x3y2,∴m=2x2y2.
5.【学科特色·教材变式P89练习T1】计算:(1)2x· .
(2) ·(3a2b-2ab-1).
(3) ·4mn2(mn+1).
解析 (1)原式=2x·x2-2x· x+2x·3=2x3-x2+6x.
(2)原式=4a2b4·(3a2b-2ab-1)=12a4b5-8a3b5-4a2b4.
(3)原式=4m2n6·4mn2(mn+1)
=16m3n8×mn+16m3n8=16m4n9+16m3n8.

6.(2025河南郑州期末,★★☆)已知3a2+7a-1=0,则代数式a(3a+
7)-3的值为 ( )
A.1　　 B.0　　 C.-1　　 D.-2
D
解析　∵3a2+7a-1=0,∴3a2+7a=1,∴a(3a+7)-3=3a2+7a-3=1-3=
-2.故选D.
7.(2025河南南阳方树泉教育集团月考,★★☆)某同学在计算
一个多项式乘4x2时,因抄错运算符号,算成了加上4x2,得到的
结果是3x2+2x-1,那么正确的计算结果是 ( )
A.-4x4+8x3-4x2　　 B.4x4+8x3-4x2
C.-4x4+x3-4x2　　 D.4x4-8x3-4x2
A
解析　设这个多项式为M,由题意得M+4x2=3x2+2x-1,∴M=3x2
+2x-1-4x2=-x2+2x-1,∴正确的结果为(-x2+2x-1)·4x2=-4x4+8x3-4x
2.故选A.
8.(2025浙江杭州期中,★★☆)若x·(x2-mx+3)+x2·(4mx2+3x+5)的
结果中不含x2项,则m的值为 ( )
A.1　　 B.0　　 C.-1　　 D.5
D
解析 x·(x2-mx+3)+x2·(4mx2+3x+5)=x3-mx2+3x+4mx4+3x3+5x2=4
mx4+4x3+(-m+5)x2+3x,
∵计算结果中不含x2项,∴-m+5=0,解得m=5.故选D.
9.【学科特色·分类讨论思想】(2025江西九江都昌一中月考,
★★☆)若xy· 的展开式是一个三次二项式,则mn
的值是 ( )
A.0　　 B.1　　 C.0或1　　 D.0或2
A
解析 xy· =xm+1y- x2yn+1+xy,∵展开式是一个三次
二项式,∴可分情况讨论:①当xm+1y与xy是同类项时,m+1=1,n+1
=1,∴m=0,n=0,∴mn=0;②当xm+1y与- x2yn+1是同类项时,m+1=2,
n+1=1,∴m=1,n=0,∴mn=0;③当xy与- x2yn+1是同类项时,不存
在这种可能.故选A.
10.(2025河北石家庄期末,★★☆)如图,某小区为改善业主的
居住环境,准备在一个长为(3a+2b)米,宽为(2a+b)米的长方形
草坪上修建两条宽为b米的小路.
(1)求这两条小路的总面积.(要求化成最简形式)
(2)若a=4,b=2,求此时这两条小路的总面积.
解析 (1)两条小路的总面积为b(2a+b)+b(3a+2b)-b2=2ab+b2+
3ab+2b2-b2=(2b2+5ab)平方米.
(2)当a=4,b=2时,2b2+5ab=2×22+5×4×2=2×4+40=48(平方米).
答:此时这两条小路的总面积为48平方米.(共26张PPT)
第八章　整式的乘法
第3课时　多项式与多项式相乘
8.4　整式的乘法
　多项式与多项式相乘
1.(2025山东泰安期末)下列运算错误的是 ( )
A.(x+2)(x-3)=x2-x-6
B.(x-4)(x+4)=x2-16
C.(2x+3)(2x-6)=2x2-3x-18
D.(2x-1)(2x+2)=4x2+2x-2
C
解析 A.(x+2)(x-3)=x2+2x-3x-6=x2-x-6,与选项结果一致,正确;
B.(x-4)(x+4)=x2+4x-4x-16=x2-16,与选项结果一致,正确;C.(2x+
3)(2x-6)=4x2+6x-12x-18=4x2-6x-18,选项结果为2x2-3x-18,系数
错误,故选项C错误;D.(2x-1)(2x+2)=4x2+4x-2x-2=4x2+2x-2,与选
项结果一致,正确.故选C.
2.(2025河北张家口一中月考)如果x2+mx+8=(x-4)·(x-2),那么m
的值为 ( )
A.6　　 B.8　　 C.-8　　 D.-6
D
解析　∵x2+mx+8=(x-4)(x-2)=x2-6x+8,∴m=-6.
3.(2025河北衡水阜城期末)设M=(x-3)(x-4),N=(x-2)(x-5),则M与
N的大小关系为( )
A.M>N　　 B.M< N
C.M=N　　 D.无法确定
A
解析　∵M=(x-3)(x-4)=x2-7x+12,N=(x-2)(x-5)=x2-7x+10,∴M-N
=x2-7x+12-(x2-7x+10)=2>0,∴M>N.故选A.
4.(2025河北石家庄期末)如图,甲、乙、丙、丁四位同学给出
了四种表示该长方形面积的多项式,你认为其中正确的有_
________.(填序号)

①(2a+b)(m+n);②2a(m+n)+b(m+n);
③m(2a+b)+n(2a+b);④2am+2an+bm+bn.
②③④
①
解析　①大长方形的长为2a+b,宽为m+n,所以长方形的面积
为(2a+b)(m+n);②大长方形的面积等于左边,中间及右边的长
方形面积之和,可表示为a(m+n)+b(m+n)+a(m+n)=2a(m+n)+b
(m+n);③大长方形的面积等于上下两个长方形面积之和,可表
示为m(2a+b)+n(2a+b);④大长方形的面积等于6个小长方形的
面积之和,可表示为2am+2an+bm+bn.综上可知,①②③④都正
确.
5.计算:
(1)(2x+1)(3x-1). (2)(3x+5a)(a-3x).
(3)(2x-5y)(3x-y). (4)(x+y)(x2-2x-3).
解析 (1)原式=6x2-2x+3x-1=6x2+x-1.
(2)原式=3ax-9x2+5a2-15ax=-9x2-12ax+5a2.
(3)原式=6x2-2xy-15xy+5y2=6x2-17xy+5y2.
(4)原式=x3-2x2-3x+x2y-2xy-3y.
6.【学科特色·教材变式P91练习T2】(2025河北石家庄栾城期
末)先化简,再求值:(x+2y)(2x+y)-(3x-y)(x+2y),其中x=9,y= .
解析 (x+2y)(2x+y)-(3x-y)(x+2y)
=2x2+4xy+xy+2y2-(3x2-xy+6xy-2y2)
=2x2+4xy+xy+2y2-3x2+xy-6xy+2y2
=-x2+4y2,
当x=9,y= 时,原式=-92+4× =-81+4× =-81+1=-80.
7.(2025河北邢台期中)某同学在计算一个多项式A乘(6-5x)时,
因抄错运算符号,算成了加上(6-5x),得到的结果是2x2-4x+6.
(1)求这个多项式A.
(2)该同学若按原题正确计算,则结果为___________.
解析 (1)∵多项式A加上(6-5x),得到的结果是2x2-4x+6,∴多
项式A为2x2-4x+6-(6-5x)=2x2+x.
(2)-10x3+7x2+6x.
详解:由(1)得多项式A为2x2+x,
∴(2x2+x)·(6-5x)=12x2-10x3+6x-5x2=-10x3+7x2+6x.

8.(2025河北石家庄期末,★★☆)某班级组织联欢活动布置教
室,需要制作出一些边长如图所示的A,B,C三种彩色卡片,其中
a>b,最后需要用这些卡片拼出一个长和宽分别为(3a+5b)和(2
a+3b)的大长方形,那么所准备的C种卡片的张数为____张.

19
解析　∵需要用这些卡片拼出一个长和宽分别为(3a+5b)和
(2a+3b)的大长方形,∴大长方形的面积为(3a+5b)(2a+3b)=6a2
+9ab+10ab+15b2=6a2+19ab+15b2,
∵每张C种卡片的面积为ab,∴所准备的C种卡片的张数为19
张.
9.【学科特色·方程思想】(2025陕西咸阳二中月考,★★☆)小
红准备完成题目“计算(■x-1)(-3x+1)”时,她发现第一个因
式的一次项系数被一滴墨水遮挡住了.
(1)她把被遮住的一次项系数猜成2,请你帮她完成计算:(2x-1)
(-3x+1).
(2)老师说:“你猜错了,这个题目的正确答案是不含一次项
的.”请通过计算说明原题中被遮住的一次项系数是多少.
解析 (1)由题意知(2x-1)(-3x+1)=-6x2+3x+2x-1=-6x2+5x-1.
(2)设被遮住的一次项系数为a,即(ax-1)(-3x+1)=-3ax2+ax+3x-1,
因为这个题目的正确答案是不含一次项的,所以ax+3x=0,所以
a=-3,所以被遮住的一次项系数为-3.
10.(2025河北廊坊一模,★★☆)如图,数轴上从左到右依次
有A,B,C,D四个点,相邻两点间的距离为n,点B表示的数为-2.

(1)若点D表示的数为2,求n的值.
(2)求点A,D所表示的数的积.(用含n的代数式表示,结果需化
简)
解析 (1)∵点B表示的数为-2,点D表示的数为2,∴BD=2-(-2)
=4,∴n=4÷2=2.
(2)∵点B表示的数为-2,∴点A所表示的数为-2-n,点D所表示
的数为-2+2n,
∴(-2-n)(-2+2n)=4-4n+2n-2n2=4-2n-2n2,
∴点A,D所表示的数的积为4-2n-2n2.
11.【新课标·中华优秀传统文化】(2025河北唐山期中,★★
☆)如图,小红用长为120 cm,宽为30 cm的宣纸书写了一幅毛
笔字参加书法大赛,根据大赛要求需对书法作品进行装裱,装
裱后的书法作品的长上下各增加了a cm,宽左右各增加了 a cm.
(1)装裱后的书法作品的长是_______cm,宽为_______cm
(用含a的代数式表示).
(2)求装裱后的书法作品的面积是多少 cm2(结果用含a的代数
式表示).
(3)若a=2,计算装裱后的书法作品增加的面积.

解析 (1)装裱后的书法作品的长是(120+2a)cm,宽为(30+a)
cm.故答案为(120+2a);(30+a).
(2)装裱后的书法作品的面积为(120+2a)×(30+a)=(3 600+180a
+2a2)cm2.
(3)原来的书法作品的面积为120×30=3 600(cm2),装裱后增加
的面积为3 600+180a+2a2-3 600=(180a+2a2)cm2,当a=2时,180a
+2a2=180×2+2×22=368(cm2).

12.【新课标·推理能力】观察下列各式:
(x-1)(x+1)=x2-1;
(x-1)(x2+x+1)=x3-1;
(x-1)(x3+x2+x+1)=x4-1;
……
(1)根据以上规律,得(x-1)(x6+x5+x4+x3+x2+x+1)=_______.
(2)归纳出一般性规律:(x-1)(xn+xn-1+…+x+1)=_______.
(3)根据(2)求出1+2+22+…+234+235的结果.
解析 (1)x7-1.
(2)xn+1-1.
(3)原式=(2-1)×(1+2+22+…+234+235)
=(2-1)×(235+234+…+22+2+1)
=236-1.(共34张PPT)
第八章自主检测
时间：40分钟 满分：100分
一、选择题(共8小题,每题5分,共40分)
1.(2025河南中考)通电瞬间,导线中的电流以接近光速形成,但
其中自由电子定向移动的平均速度大约只有0.000 074 m/s,比
蜗牛爬行的速度还慢.数据“0.000 074”用科学记数法表示
为 ( )
A.0.74×10-4　　　B.7.4×10-4
C.7.4×10-5　　　D.74×10-6
　C
2.(2025四川广元中考)下列运算正确的是 ( )
A.x2÷x-3=x5　　　B.2x2+3x3=5x5
C. =x2y5　　　D.(x-y)2=x2-y2
　A
解析　A.x2÷x-3=x2-(-3)=x2+3=x5,故运算正确.B.2x2与3x3不是同
类项,不能合并,不符合题意;C. =x2· =x2y6≠x2y5,运算
错误,不符合题意;
D.(x-y)2=x2-2xy+y2≠x2-y2,运算错误,不符合题意.
3.(2025湖南永州冷水滩京华学校月考)下列各式不能用乘法
公式进行计算的是 ( )
A.(-x+5y)(-x-5y)
B.(-4x+y)(y+4x)
C.(5a+4x)(-5a-4x)
D.(-4y-5x)(-5y+4x)
　D
解析　A.(-x+5y)(-x-5y)=(-x)2-(5y)2,利用平方差公式,故A不
符合题意;B.(-4x+y)(y+4x)=y2-(4x)2,利用平方差公式,故B不符
合题意;C.(5a+4x)·(-5a-4x)=-(5a+4x)2,利用完全平方公式,故C
不符合题意;D.(-4y-5x)(-5y+4x),不能利用乘法公式,故D符合
题意.故选D.
4.(2025北京平谷期末)若m,n是正整数,且满足 =
,则m与n的关系正确的是 ( )
A.n+25=25m　　　B.25n=25+m
C.2+n=25m　　　D.2n=25m
　C
解析　等号左边25个5n相加,即25×5n.右边25个5m相乘,即
=525m,将左边化简为52×5n=5n+2,因此等式变为5n+2=525m,由
于底数相同,指数相等,故n+2=25m.
5.将2 024×2 026变形正确的是 ( )
A.2 0252-1
B.2 0252+1
C.2 0252+2×2 025+1
D.2 0252-2×2 025+1
　A
解析　原式=(2 025-1)×(2 025+1)=2 0252-1,故选A.
6.(2025辽宁沈阳一二七中月考)若(x2+px+8)(x2-3x+q)的乘积
中不含x与x3项,则p,q的值是 ( )
A.0,0　　　B.3,1
C.-3,-9　　　D.3,8
　D
解析 (x2+px+8)(x2-3x+q)
=x4+(p-3)x3+(8-3p+q)x2+(qp-24)x+8q,
∵乘积中不含x与x3项,∴p-3=0,qp-24=0,∴p=3,q=8.故选D.
7.【跨生物·微生物】(2025浙江温州期中)某种微生物的数量
随时间增加呈指数增长,经过t小时培养后数量为a×bt,其中a为
微生物的初始数量,b为每小时微生物数量的增长倍数(b>1).
例:当a=3,b=2时,经过4小时后微生物的数量为3×24=48.如图,
该微生物培养m小时后的数量是初始数量的3倍,培养n小时后
的数量是初始数量的5倍,那么培养(2m+n)小时后,微生物的数
量是初始数量的 ( )
　C

A.15倍　　　B.30倍
C.45倍　　　D.75倍
解析　根据题意得a×bm=3a,a×bn=5a,∴bm=3,bn=5,∴a×b2m+n=a
× ×bn=9a×5=45a,∴微生物的数量是初始数量的45倍,故
选C.
8.(2025浙江杭州弘益中学月考)如图,用1个边长为a的大正方
形,4个边长为b的小正方形和4个长为a,宽为b的长方形(a>b),
密铺成正方形ABCD,已知ab=2,正方形ABCD的面积为S,则下
列选项正确的是 ( )

　C
A.若a=2b+1,则S=16
B.若S=16,则a=2b+4
C.若a=2b+3,则S=25
D.若S=25,则a=2b+5
解析　由题意得S=(a+2b)2=a2+4ab+4b2.A.若a=2b+1,即a-2b=
1,而ab=2,则S=(a+2b)2=(a-2b)2+8ab=1+16=17,不符合题意;B.若
S=16,即(a+2b)2=16,而ab=2,则(a-2b)2=(a+2b)2-8ab=16-16=0,即a
=2b,不符合题意;C.若a=2b+3,即a-2b=3,而ab=2,则S=(a+2b)2=
(a-2b)2+8ab=9+16=25,符合题意;D.若S=25,即(a+2b)2=25,而ab=
2,则(a-2b)2=(a+2b)2-8ab=25-16=9,所以a-2b=3(负值已舍去),即
a=2b+3,不符合题意.故选C.
二、填空题(共4小题,每题5分,共20分)
9.(2025黑龙江绥化中考)计算:(-1)2 025+ =______.
0
解析 (-1)2 025+ =-1+1=0.
10.【新考向·数学文化】(2025浙江中考)【文化欣赏】
我国南宋时期数学家杨辉于1261年写下《详解九章算法》,
书中记载的二项式的乘方(a+b)n(n是自然数)展开式的系数规
律如图所示,其中“三乘”对应的展开式:(a+b)4=a4+4a3b+6a2b2
+4ab3+b4.

【应用体验】
已知(x+2)4=x4+mx3+24x2+32x+16,则m的值为______.
8
解析　∵(a+b)4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4,
∴(x+2)4=x4+4x3·2+6x2·22+4x·23+24
=x4+8x3+24x2+32x+16,∴m=8.
11.(2025河北衡水安平二中期中)若(x-1)3x-1=1,则满足条件的x
的值为______.
或2
解析　∵(x-1)3x-1=1,有3种可能的情况:
①当 时,则x= ;
②当x-1=1时,则x=2;③当x-1=-1时,则x=0,此时(x-1)3x-1=-1(舍
去).综上,x的值为 或2.
12.【新考向·新定义题】(2025山东菏泽经开区月考改编)如
果xn=y,那么我们规定(x,y]=n,例如:因为24=16,所以(2,16]=4.已
知(3,2]=a,(3,6]=b,(3,y]=c,若3a+2b-1=c,则y的值为______.
96
解析　∵(3,2]=a,(3,6]=b,(3,y]=c,
∴3a=2,3b=6,3c=y,∴ =23, =62,
∴33a=8,32b=36,∴33a·32b=33a+2b=8×36,
∵3a+2b-1=c,∴3a+2b=c+1,∴3c+1=33a+2b,
∴3·3c=33a+2b,∴3y=8×36,∴y=96.
三、解答题(共3小题,共40分)
13.(1)(10分)计算:-12 023+(π-3)0+ .
(2)(2025湖南中考)(10分)先化简,再求值:(x+2)(x-2)+x(1-x),其
中x=6.
解析 (1)-12 023+(π-3)0+
=-1+1+3=3.
(2)(x+2)(x-2)+x(1-x)
=x2-4+x-x2=x-4,
当x=6时,原式=6-4=2.
14.(10分)阅读下列文字,并解决问题.
已知x2y=3,求2xy(x5y2-3x3y-4x)的值.
分析:考虑到满足x2y=3的x,y的可能值较多,不可以逐一代入
求解,故考虑用整体思想,将x2y=3整体代入.
解:2xy(x5y2-3x3y-4x)=2x6y3-6x4y2-8x2y=2(x2y)3-6(x2y)2-8x2y=2×33
-6×32-8×3=-24.
请你用上述方法解决问题:
已知ab=3,求(2a3b2-3a2b+4a)(-2b)的值.
解析 (2a3b2-3a2b+4a)(-2b)
=-4a3b3+6a2b2-8ab
=-4(ab)3+6(ab)2-8ab
=-4×33+6×32-8×3
=-108+54-24
=-78.
15.(2025河北唐山三十九中月考)(20分)2025年2月10日,南水
北调东线北延工程正式启动本年度调水工作,计划向黄河以
北调水1.51亿立方米.如图,某段河道的横截面是梯形ABCD,
已知上底AD的长度为(9x+7y)m,下底BC的长度为(x+5y)m,河
道的最大高度为(x+y)m.
(1)求河道横截面ABCD的面积.
(2)经测量得出x=2,y=4,那么长500 m的南水北调河道最多可
以蓄水多少立方米 (棱柱的体积=棱柱的底面积×高)
解析 (1)河道横截面ABCD的面积为 (9x+7y+x+5y)(x+y)=
(10x+12y)(x+y)=(5x+6y)(x+y)=5x2+5xy+6xy+6y2=(5x2+11xy+6
y2) m2.
(2)当x=2,y=4时,5x2+11xy+6y2=5×22+11×2×4+6×42=20+88+96
=204,
204×500=102 000(m3),
答:长500 m的南水北调河道最多可以蓄水102 000 m3.(共31张PPT)
第八章　整式的乘法
8.6　科学记数法

　科学记数法
1.(2025河北石家庄模拟预测)长城是中国古代的军事防御工
事,1987年12月被列为世界文化遗产.根据有关部门的全国性
长城资源调查结果,明长城总长度约为8 850 000米,将8 850 000用科学记数法表示为( )
A.8.85×105 B.8.85×106
C.0.885×107 D.88.5×105
　B
2.(2025河北秦皇岛海港期中)在国际单位制中,长度的基本单
位是米(m),1米最早是由地球球面上经过巴黎的经线上南、
北两极点距离的两千万分之一 定出的.
“ ”用科学记数法表示为 ( )
A.2×10-7 B.0.5×10-7
C.5×10-8 D.5×10-7
　C
解析 =0.000 000 05=5×10-8.故选C.
3.【跨语文·古诗】(2025河北石家庄期末)清代诗人袁枚创作
了一首诗《苔》:“白日不到处,青春恰自来.苔花如米小,也学
牡丹开.”这首诗启示我们,身处逆境也要努力绽放自己,要和
苔一样尽自己所能实现人生价值.苔花的花粉粒直径约为0.00
0 006 8 m,用科学记数法表示为( )
A.6.8×10-6 m　　　B.6.8×10-5 m
C.0.68×10-5 m　　　D.0.68×10-5 m
　A
解析　将0.000 006 8的小数点向右移动6位可得6.8,因此0.000
006 8=6.8×10-6.故选A.
4.(2025河北邯郸三模)若1.7×10n= ,则n= ( )
A.-1　　　B.-2
C.-3　　　D.-4
　C
解析　∵1.7×10n= =0.001 7=1.7×10-3,∴n=-3.
5.【跨生物·节肢动物】(2025河北唐山三模)节肢动物是种类
最多的动物类群,目前已命名的种类大约有120万种,占所有已
知动物种类的80%左右,则所有已知动物的种类数用科学记
数法表示为 ( )
A.1.2×106种　　　B.1.2×107种
C.1.5×106种　　　D.1.5×107种
　C
解析　∵120÷80%=150(万种),∴所有已知动物的种类数为15
0万种,150万=1 500 000=1.5×106.
6.(2025河北沧州盐山韩集中学模拟)如图所示的是琳琳作业
中的一道题目,“ ”处都是0但发生破损,琳琳查阅后
发现本题答案为2,则破损处“0”的个数为 ( )

A.2　　　B.3　　　C.4　　　D.5
　B
解析　根据题意得a-n=2,又∵a=6,∴n=4,
∵60 000=6×104,∴破损处“0”的个数为3.故选B.
7.用科学记数法表示下列各数:
(1)735万=________.
(2)-5 670 000=________.
(3)0.000 000 123=________.
(4)-0.000 34=________.
(5)-0.000 013×0.000 000 5=___________.
7.35×106
-5.67×106
1.23×10-7
-3.4×10-4
-6.5×10-12

8.【新课标·爱国教育】(2025北京中考,★★☆)2025年5月29
日,行星探测工程天问二号探测器在西昌卫星发射中心成功
发射,开启对近地小行星2016HO3的探测与采样返回之旅.已
知该小行星与地球的最近距离约为月球远地点距离的45倍,
月球远地点距离约为4×105 km,则该小行星与地球的最近距
离约为 ( )
A.1.8×105 km B.1.8×106 km
C.1.8×107 km D.1.8×1010 km
　C
解析 45×4×105 km=18 000 000 km=1.8×107 km.
故选C.
9.(2025河北邢台一模,★★☆)两个粒子的质量分别为0.03×10-8 g和0.02×10-9 g,若用科学记数法表示这两个粒子的质量和,
则下列结果正确的是 ( )
A.2.3×10-11 g
B.3.2×10-11 g
C.2.3×10-10 g
D.3.2×10-10 g
　D
解析 0.03×10-8+0.02×10-9
=3×10-10+0.2×10-10=3.2×10-10.
10.(2025河北沧州二模,★★☆)如图,点B是线段AC上靠近点
A的三等分点,若AB=6.5×106,则BC的长用科学记数法表示为
( )

A.1.95×107　　　B.3.25×106
C.13×106　　　D.1.3×107
　D
解析　∵B是线段AC上靠近点A的三等分点,∴BC=2AB=2×
6.5×106=13×106=1.3×107.故选D.
11.【新考向·数学文化】(2025河北保定二模,★★☆)《孙子
算经》中记载:“量之所起,起于粟.六粟为一圭,十圭为一撮,
十撮为一抄,十抄为一勺,十勺为一合……”由此可知6粟=1
圭,10圭=1撮,10撮=1抄,10抄=1勺,10勺=1合,则5合为( )
A.3×104粟　　　B.3×105粟
C.5×104粟　　　D.5×105粟
　B
解析　由题意可得5合为5×10×10×10×10×6=3×105粟.
12.(2025河北张家口期中,★★☆)如图,有4个小圆,自左向右
分别标记为①②③④,在每个小圆中分别填写一个有理数,且
后一个小圆中填写的数是前一个小圆中填写的数的 ,若小
圆①中填写的数是 ,则小圆④中所填写的数用科学记数法
表示为 ( )

A.5×10-4　　　B.5×10-5 C.2×10-4　　　D.2×10-5
　D
解析　由题意可得小圆④中所填写的数为 × × × =0.0
00 02=2×10-5.故选D.
13.【学科特色·多解法】(★★☆)若a=3.2×10-5,b=7.5×10-5,c=6.
3×10-6,则a,b,c三数的大小关系为( )
A.aC.c　C
解析　【解法一】∵a=3.2×10-5=0.000 032,b=7.5×10-5=0.000 0
75,c=6.3×10-6=0.000 006 3,
0.000 006 3<0.000 032<0.000 075,∴c【解法二】∵a=3.2×10-5,b=7.5×10-5,∴a∵c=6.3×10-6=6.3×10-1×10-5=0.63×10-5,0.63<3.2,∴c故选C.
14.(2025河北唐山滦南月考,★★☆)已知(a+b)2-(a-b)2=4,且a=2
0 000,则b的值用科学记数法表示为______.
5×10-5
解析　由(a+b)2-(a-b)2=4,得a2+2ab+b2-(a2-2ab+b2)=4,a2+2ab+b2-
a2+2ab-b2=4,∴ab=1,∵a=20 000,∴b=0.000 05=5×10-5.

15.【新课标·运算能力】(2025河北中考)一般固体都具有热
胀冷缩的性质,固体受热后其长度的增加称为线膨胀.在0~100
℃(本题涉及的温度均在此范围内),原长为l m的铜棒、铁棒
受热后,伸长量y(m)与温度的增加量x(℃)之间的关系均为y=α
lx,其中α为常数,称为该金属的线膨胀系数.已知铜的线膨胀系
数αCu=1.7×10-5(单位:/℃),原长为2.5 m的铁棒从20 ℃加热到80
℃伸长了1.8×10-3 m.
(1)原长为0.6 m的铜棒受热后升高50 ℃,求该铜棒的伸长量
(用科学记数法表示).
(2)求铁的线膨胀系数αFe;若原长为1 m的铁棒受热后伸长4.8×
10-4 m,求该铁棒温度的增加量.
(3)将原长相等的铜棒和铁棒从0 ℃开始分别加热,当它们的
伸长量相同时,若铁棒的温度比铜棒的高20 ℃,求该铁棒温度
的增加量.
解析 (1)0.6×50×1.7×10-5=5.1×10-4(m),
答:该铜棒的伸长量为5.1×10-4 m.
(2)2.5×αFe(80-20)=1.8×10-3,解得αFe=1.2×10-5/℃,
设该铁棒温度的增加量为x1 ℃,根据题意得1×1.2×10-5×x1=4.8
×10-4,解得x1=40.
答:铁的线膨胀系数αFe=1.2×10-5/℃,该铁棒温度的增加量为40
℃.
(3)设该铁棒温度的增加量为x2 ℃,根据题意得1.7×10-5(x2-20)=
1.2×10-5x2,解得x2=68.
答:该铁棒温度的增加量为68 ℃.(共44张PPT)
第八章　整式的乘法
8.3　同底数幂的除法

　同底数幂的除法
1.(2025河北保定期末)计算a12÷a6的结果为 ( )
A.a8　　 B.a6　　 C.a4　　 D.a2
B
解析 a12÷a6=a12-6=a6.故选B.
2.(2025河北邯郸二模)如图,若x≠0,在给出的四个运算中,结
果为x8的是 ( )
①x4·x2;②(x3)5;③x4+x4;④x10÷x2.
A.①　　 B.②　　 C.③　　 D.④
D
解析　①x4·x2=x4+2=x6≠x8;② =x3×5=x15≠x8;
③x4+x4=2x4≠x8;④x10÷x2=x10-2=x8,所以结果为x8的是④.
3.(2025河北邢台期末)若m≠0,则m4÷(-m)2=__.
m2
解析 m4÷(-m)2=m4÷m2=m4-2=m2.
4.(2025河北石家庄期中)已知2m=10,2n=5,计算2m-n=___.
2
解析 2m-n=2m÷2n=10÷5=2.
5.(2025河北唐山期中改编)已知22m÷22n=28,则m-n=___.
4
解析　∵22m÷22n=28,∴22m-2n=28,∴2m-2n=2(m-n)=8,∴m-n=4.
6.计算:
(1)(-a)6÷(-a)3.
(2)(-2bc)7÷(-2bc)5.
(3)(-x)7÷(-x3)÷(-x)2.
(4)(y-x)6÷(x-y)4.
解析 (1)原式=(-a)6-3=(-a)3=-a3.
(2)原式=(-2bc)7-5=(-2bc)2=4b2c2.
(3)原式=(-x)7÷(-x)3÷(-x)2=(-x)7-3-2=(-x)2=x2.
(4)原式=(x-y)6÷(x-y)4=(x-y)2.
　零指数幂和负整数指数幂
7.(2025河北邯郸肥乡实验中学期末)如果(m+2)0=1,那么m的
取值范围是 ( )
A.m>-2　　 B.m<-2
C.m=-2　　 D.m≠-2
D
解析　由任何不等于0的数的0次幂都为1,得m+2≠0,即m≠-2.
故选D.
8.(2025河北邯郸期中)计算(-1+2 026)0的结果是 ( )
A.-1　　 B.1　　 C.2 025　　 D.2 026
B
解析　∵-1+2 026=2 025≠0,∴(-1+2 026)0=1.
9.(2025河北唐山期中)若a6÷am= ,则m的值是 ( )
A.4　　 B.-3　　 C.8　　 D.12
C
解析　∵a6÷am=a6-m, =a-2,a6÷am= ,∴6-m=-2,解得m=8.故
选C.
10.(2025河北沧州南皮四中期中)计算 · ,并把结果
化为只含有正整数指数幂的形式为 ( )
A. 　　 B. 　　 C. 　　 D.
D
解析 · =a-6·a-2·b-4=a-8·b-4= .
11.(2025河北邯郸三模)若 × × =1,则p=__.
-4
解析　∵原式可变形为 × × =1,∴ =
,∴-2-2-p=0,解得p=-4.
12.(2025河北唐山三模)若|x+1|+(y-2 025)2=0,则xy+(-π)0的值为
______.
解析　∵|x+1|+(y-2 025)2=0,∴x+1=0,y-2 025=0,解得x=-1,y=
2 025,∴xy+(-π)0=(-1)2 025+1=-1+1=0.
13.【学科特色·教材变式P84习题T3】计算:
(1)(-2)3÷4+ -|-2|+(3-π)0.
(2)-1-2 020+(2 020-π)0- +(-2)3.
解析 (1)原式=-8÷4+4-2+1=-2+4-2+1=1.
(2)原式=-1+1- -8=- .

14.(2025河北沧州南皮四中月考,★★☆)如果a=(-2 025)0,b=
,c= ,那么它们的大小关系为 ( )
A.a>b>c　　 B.a>c>b
C.c>b>a　　 D.c>a>b
D
解析　∵a=(-2 025)0=1,b= =-10,c= = ,-10<1< ,
∴ba>b.故选D.
15.【学科特色·多解法】(2025河北石家庄第二外国语学校期
中,★★☆)关于x,y的方程组 的解满足x+y=1,则
4m÷2n的值是 ( )
A.1　　 B.2　　 C.4　　 D.8
D
解析　【解法一】 ①+②得4x=2m+n-1,解得x
= ,
将x= 代入②,解得y= ,
∵x+y=1,∴ + =1,
∴2m-n=3,∴4m÷2n=22m÷2n=22m-n=23=8.
【解法二】 ①-②得2x+2y=2m-n-1,即2m-n=2
(x+y)+1,
∵x+y=1,∴2m-n=2×1+1=3,∴4m÷2n=22m÷2n=22m-n=23=8.故选D.
16.(2025河北秦皇岛期中,★★☆)若2x+y=128,x3=27,则(x-y)-2=__.
1
解析　∵2x+y=128,x3=27,∴2x+y=27,x3=33,∴x=3,y=4,∴(x-y)-2=(3-
4)-2=(-1)-2=1.
17.(2025河北张家口宣化期中,★★☆)已知ab=a+b+1,则2a·2b÷
=_____.
解析　∵ab=a+b+1,∴a+b-ab=-1,
∴2a·2b÷ =2a+b÷2ab=2a+b-ab=2-1= .
18.【学科特色·分类讨论思想】(2025河北石家庄一模,★★
☆)在学习完这一章前3节内容后,李老师留了这样一道课后
题目:已知x为整数,且(x-3)x+2=1,求x的值.
数学兴趣小组进行了讨论:
小鹿:零指数幂的结果为1.
小唯:底数是1的幂的结果为1.
……
根据上述思路,计算出x的值可能是______.
-2,4,2
解析　①∵1的任何次幂都为1,∴x-3=1,可得x=4,∴(x-3)x+2=(4-
3)4+2=16=1,符合题意,∴x=4;
②∵-1的任何偶数次幂也都是1,∴x-3=-1,可得x=2,∴(x-3)x+2=
(2-3)2+2=(-1)4=1,符合题意,
∴x=2;③∵任何不是0的数的0次幂也是1,∴x-3≠0,x+2=0,可
得x=-2,∴(x-3)x+2=(-2-3)-2+2=(-5)0=1,符合题意,∴x=-2.
综上,x的值可能是-2,4,2.
19.(★★☆)
(1)已知3m=2,3n=5,3t=-1,求 的值.
(2)已知2x-3y-2=0,求92x÷(27y·33y)的值.
解析 (1)∵3m=2,3n=5,3t=-1,
∴33m+2n-t=33m·32n÷3t=(3m)3·(3n)2÷3t
=23×52÷(-1)=8×25÷(-1)=-200.
(2)∵2x-3y-2=0,∴2x-3y=2.
∴92x÷(27y·33y)=92x÷(33y·33y)
=92x÷36y=92x÷93y=92x-3y=92=81.

20.【新课标·运算能力】(2025江苏无锡期中)在数学的奇妙
世界里,我们常常会遇到一些独特的运算规则.现在定义一种
新的运算“☉”,对于任意的有理数a和b,有a☉b=am·bn,其
中m,n是正整数,同时,我们还知道整式乘法和幂运算的相关知
识,比如同底数幂相乘,底数不变,指数相加,即ap·aq=ap+q;幂的乘
方,底数不变,指数相乘,即 =apq,并且我们会利用二元一次
方程组来解决一些未知量的问题.
(1)已知2☉3=108.
①求m,n的值.
②若a☉b=32,b☉a=243,求a·b的值.
(2)对于任意非零有理数a,b,c,若新运算“☉”满足a☉(b+c)=
(a☉b)+(a☉c),且存在某个常数k,使得a☉(k-2)=a2,求m,n和常
数k的值.
解析 (1)①∵2☉3=108,∴2m·3n=108=22·33,∴m=2,n=3.
②∵a☉b=32,b☉a=243,
∴ 两式相乘可得(ab)5=(2×3)5,∴ab=6.
(2)∵a☉(b+c)=(a☉b)+(a☉c),
∴am·(b+c)n=(am·bn)+(am·cn),
∴am·(b+c)n=am(bn+cn),
∵am≠0,∴(b+c)n=bn+cn,∴n=1,
∵a☉(k-2)=a2,∴am·(k-2)n=a2,
∵am≠0,n=1,∴k-2=a2-m,
∵m为正整数,k为常数,a为任意非零有理数,
∴m=2,k=3.综上,m=2,n=1,k=3.(共45张PPT)
第八章　整式的乘法
第2课时　完全平方公式
8.5　乘法公式

　完全平方公式
1.(2025河北保定安国期中)下列各式中,能运用完全平方公式
进行计算的是 ( )
A.(a+2b)(a-2b)
B.(2a+5b)(2a-5b)
C.(2a+b)(a+2b)
D.(2a+1)(-2a-1)
D
解析 A.(a+2b)(a-2b)可以利用平方差公式计算,故不符合题
意;B.(2a+5b)(2a-5b)可以利用平方差公式计算,故不符合题意;
C.(2a+b)(a+2b)可以利用多项式乘多项式法则计算,故不符合
题意;D.(2a+1)(-2a-1)=-(2a+1)2,可以利用完全平方公式计算,
故符合题意.故选D.
2.(2025江苏南京秦淮期末)下列计算正确的是 ( )
A.(a-b)2=a2-b2
B.(a-b)2=a2-2ab-b2
C.(-a-b)2=a2+2ab+b2
D.(-a-b)2=a2-2ab-b2
C
解析 (a-b)2=a2-2ab+b2,(-a-b)2=(a+b)2=a2+2ab+b2,故选项C正
确.
3.【学科特色·数形结合思想】(2025河北石家庄藁城期末)下
列图形阴影部分的面积能够直观地解释(x-1)2=x2-2x+1的是
( )
A B C D　
A
解析　选项A中的阴影部分的面积可以用(x-1)2=x2-2x+1来解
释,故选A.
4.(2025江苏盐城经开区期中)用简便方法计算9.52,下列变形
正确的是 ( )
A.9.52=102-2×10×0.5+0.52
B.9.52=(10+0.5)×(10-0.5)
C.9.52=92+0.52
D.9.52=92+9×0.5+0.5
A
解析 9.52=(10-0.5)2=102-2×10×0.5+0.52.故选A.
5.(2025河北保定期中)如果x2+2(k-1)x+16是一个完全平方式,
那么k的值是 ( )
A.5或-3　　 B.3或-1
C.-3　　 D.3或5
A
解析　∵(x±4)2=x2±8x+16,∴2(k-1)=±8,解得k=5或k=-3.故选A.
6.(2025河北保定高碑店月考)关于题目“用简便方法计算:
1992+199.”嘉嘉和淇淇两位同学计算的方式如下:
嘉嘉: 1992+199 =199×(199+1) =199×200 =39 800 淇淇:
1992+199
=1992+199+1-1
=(199+1)2-1
=399 999
其中过程和结果都正确的是 ( )
A.嘉嘉　　 B.淇淇
C.两人都对　　 D.两人都不对
A
解析　嘉嘉的解法:1992+199=199×(199+1)=199×200=39 800.
过程正确,结果正确;
淇淇的解法:1992+199≠(199+1)2-1.故过程错误,结果也错误.
7.(2025河北保定一模)若(x-2)2=x2+ax+b,a,b均为常数,则a+b=
________.
解析　∵(x-2)2=x2-4x+4=x2+ax+b,
∴a=-4,b=4,即a+b=-4+4=0.
8.(2025上海期中)计算:(x-y-z)2=____________________.
x2+y2+z2-2xy-2xz+2yz
解析 (x-y-z)2
=[(x-y)-z]2
=(x-y)2-2(x-y)z+z2
=x2-2xy+y2-2xz+2yz+z2
=x2+y2+z2-2xy-2xz+2yz.
方法归纳　三项完全平方和公式:
(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc.
9.【学科特色·多解法】已知长方形的长和宽分别为a和b,且a
+b=10,a-b=2.4,则长方形的面积为_____.
23.56
解析　【解法一】完全平方公式法:
∵a+b=10,a-b=2.4,∴(a+b)2=100,即a2+2ab+b2=100①,(a-b)2=5.7
6,即a2-2ab+b2=5.76②,
①-②,得4ab=94.24,解得ab=23.56,
∴长方形的面积为23.56.
【解法二】二元一次方程组法:
根据题意,可得 ①+②,得2a=12.4,解得a=6.2,把a=
6.2代入①,得b=3.8,
∴长方形的面积=ab=6.2×3.8=23.56.
10.【学科特色·教材变式P98习题T2】运用完全平方公式计
算:
(1)(2a+5b)2.
(2)(-4x-7y)2.
(3)(-0.1a+0.3b)2.
(4) .
解析 (1)原式=(2a)2+2·2a·5b+(5b)2=4a2+20ab+25b2.
(2)原式=(4x+7y)2=(4x)2+2·4x·7y+(7y)2
=16x2+56xy+49y2.
(3)原式=(0.3b-0.1a)2=(0.3b)2-2·0.3b·0.1a+(0.1a)2=0.09b2-0.06ab
+0.01a2.
(4)原式= -2· m· n+ = m2- mn+ n2.

11.【学科特色·分类讨论思想】(2025河北邯郸期末,★★☆)
下列哪一组m,n的值可以使等式x2-mx+9=(x+n)2成立 ( )
A.m=6,n=3　　 B.m=-6,n=3
C.m=-6,n=-3　　 D.m=0,n=3
B
解析　将右边展开:(x+n)2=x2+2nx+n2,等式左边为x2-mx+9,比较
对应项系数:-m=2n,即m=-2n,n2=9,解得n=3或n=-3,当n=3时,m=
-2×3=-6,此时左边为x2+6x+9,右边为(x+3)2=x2+6x+9,等式成立;
当n=-3时,m=-2×(-3)=6.故选B.
12.(2025河北唐山三十九中月考,★★☆)设M=2 0252-2 024×2
026,N=2 0252-4 050×2 026+2 0262,则M与N的大小关系为
( )
A.M>N　　 B.M=N
C.MB
解析 M-N=2 0252-2 024×2 026-(2 0252-4 050×2 026+2 0262)=
2 0252-(2 025-1)×(2 025+1)-(2 0252-2×2 025×2 026+2 0262)=2 0
252-2 0252+1-(2 025-2 026)2=1-(-1)2=0,∴M=N.故选B.
13.【跨语文·汉字】(2025河南郑州期末,★★☆)“中”字具
有丰富的文化内涵.小明在布置河南本土文化的黑板报时,设
计了如图所示的一个“中”字,他分别以长方形ABCD的四条
边为边分别向外作正方形,若“中”字外圈的周长为24,四个
正方形的面积之和为18,则长方形ABCD的面积为( )
A

A. 　　 B.7　　 C.14　　 D.63
解析　设长方形ABCD的边AB的长为a,AD的长为b,
根据题意可知6a+6b=24,2a2+2b2=18,即a+b=4,a2+b2=9,∴(a+b)2
=16,∴a2+2ab+b2=16,
∴2ab=16-9,∴ab= ,∴长方形ABCD的面积为 .
14.(2025河北邯郸期末,★★☆)小江将(2 021x+2 022)2展开后
得到a1x2+b1x+c1,小华将(2 022x-2 021)2展开后得到a2x2+b2x+c2,
若两人计算过程无误,则c1-c2的值为_____.
4 043
解析　∵(2 021x+2 022)2展开后得到a1x2+b1x+c1,∴c1=2 0222,
∵(2 022x-2 021)2展开后得到a2x2+b2x+c2,∴c2=2 0212,∴c1-c2=2
0222-2 0212=(2 022+2 021)×(2 022-2 021)=4 043×1=4 043.
15.(2024四川南充中考,★★☆)先化简,再求值:(x+2)2-(x3+3x)÷
x,其中x=-2.
解析 (x+2)2-(x3+3x)÷x
=(x2+4x+4)-(x2+3)
=x2+4x+4-x2-3
=4x+1,
当x=-2时,原式=4×(-2)+1=-7.

16.【新课标·运算能力】(2025河北石家庄期中)对于任意四
个有理数a,b,c,d,可以组成两个有理数对(a,b)与(c,d),我们规
定:(a,b)*(c,d)=a2+c2-bd.例如:(1,2)*(3,4)=12+32-2×4=2.
(1)求(-3,2)*(2,-1)的值.
(2)若2x+y=10,且(3x+y,2x2+3y2)*(x-3y,3)=80,求xy的值.
解析 (1)(-3,2)*(2,-1)=(-3)2+22-2×(-1)=9+4+2=15.
(2)∵(3x+y,2x2+3y2)*(x-3y,3)=80,
∴(3x+y)2+(x-3y)2-(2x2+3y2)×3=80,
整理得4x2+y2=80,∵2x+y=10,∴(2x+y)2=102,
∴4x2+4xy+y2=100,∴4xy=100-(4x2+y2)=100-80=20,∴xy=5.
微专题　完全平方公式变形问题
(2025湖南岳阳长岭中学月考)若(x+y)2=(x-y)2+A,则A等
于 ( )
A.2xy　 B.-2xy　 C.-4xy　 D.4xy
D
例
解析　∵(x+y)2=(x-y)2+A,∴x2+2xy+y2=x2-xy+y2+A,∴A=4xy.
故选D.
变式1 (2025安徽合肥月考)若(a+b)2=16,ab=2,则 的值
为___.
4
解析　∵(a+b)2=a2+2ab+b2=16,ab=2,∴a2+b2=16-2×2=12,∴
= =4.
变式2 (2025福建三明尤溪七中月考)已知a+a-1=3,则a2+a-2的
值是___.
7
解析　对已知等式a+a-1=3两边平方得 =32,
应用完全平方公式展开左边得a2+2·a·a-1+a-2=9,即a2+2+a-2=9,整
理得a2+a-2=9-2=7,因此a2+a-2的值为7.
变式3 (2025广西贵港期末)已知(x+y)2=9,(x-y)2=5,则x2-xy+y2
的值为___.
6
解析　∵(x+y)2=x2+2xy+y2=9①,(x-y)2=x2-2xy+y2=5②,∴由①
+②可得2(x2+y2)=14,∴x2+y2=7,∴7+2xy=9,∴xy=1,∴x2-xy+y2
=7-1=6.
方法归纳　完全平方公式的变形:①a2+b2=(a+b)2-2ab;②a2+b2=
(a-b)2+2ab;③(a+b)2=(a-b)2+4ab;④(a-b)2=(a+b)2-4ab;⑤(a+b)2-(a-
b)2=4ab;⑥(a+b)2+(a-b)2=2(a2+b2).(共27张PPT)
第八章　整式的乘法
第1课时　幂的乘方
8.2　幂的乘方与积的乘方
　幂的乘方
1.(2025河北衡水模拟)若 =a6,则“ ”是 ( )
A.2　　 B.3　　 C.4　　 D.5
B
解析　根据题意,得 =a6.故选B.
2.(2025河北衡水三中期末) = ( )
A.nam　　 B.am-n　　 C.amn　　 D.mna
C
解析　根据幂的乘法法则,同底数幂相乘时,底数不变,指数相
加.每个因式均为an,共有m个这样的因式相乘,因此总指数为n
累加m次,即n×m=mn.因此,原式可化简为amn.故选C.
3.(2025河北石家庄期中)某细菌每经过1小时就会由1个分裂
成102个,那么经过5小时,1个细菌分裂成的细菌个数为
( )
A.5×102　　 B.105　　 C.1010　　 D.1015

C
解析　由题意得 =1010(个).故选C.
4.(2025河北沧州二模)下列选项中,其中一个的计算结果和其
他三个不同,则这个不同的式子是 ( )
A.(x·x)x　　 B.xx+x　　 C. 　　 D.x·xx
D
解析 (x·x)x=x2x,xx+x=x2x, =x2x,x·xx=xx+1,故计算结果与其他三
个不同的式子是x·xx,故选D.
5.(2025河北石家庄期中)如果am=4,an=2,那么a2m+3n的值是
( )
A.128　　 B.32
C.96　　 D.无法确定
A

解析 a2m+3n=a2m×a3n= × =42×23=128.
6.(2025河北邯郸精英中学三模)a2 025不等于下列各式中的
( )
A. 　　 B.a674·a675·a676
C.a·a3·a5·…·a89　　 D. ·
D
解析 A. =a2 025,故此选项不符合题意;B.a674·a675·a676=a2 025,
故此选项不符合题意;C.a·a3·a5·…·a89=a1+3+5+…+89=a2 025,故此选项
不符合题意;D. · =a225·a9=a234,故此选项符合题意.故选
D.
7.【学科特色·教材变式P79习题T6】(2025河北唐山迁安期
中)若x+3y-3=0,则3x·27y=____.
27
解析　∵x+3y-3=0,∴x+3y=3,
∴3x·27y=3x·33y=3x+3y=33=27.
8.计算:(1) .
(2) · .
(3) · -2 .
解析 (1) =(-a)3×5=(-a)15=-a15.
(2) · =a4n-4·a3n+3=a7n-1.
(3) · -2
=(x+y)6·(x+y)12-2(x+y)18
=(x+y)18-2(x+y)18
=-(x+y)18.

9.【学科特色·方程思想】(2025河北邯郸期末,★★☆)若x,y均
为正整数,且2x+1·4y=128,则x+y的值为 ( )
A.3　　 B.5
C.4或5　　 D.3或4或5
C
解析　∵2x+1·4y=2x+1·22y=2x+1+2y=128=27,∴x+1+2y=7,即x+2y=6,
∵x,y均为正整数,∴ 或 ∴x+y=4或5.故选C.
10.【新考向·新定义题】(2025河北保定一模,★★☆)对于非
零的两个有理数a,b定义一种新运算,规定a◎b=ab.若(2◎m)×
(4◎n)=32,则m+2n的值为 ( )
A.5　　 B.6　　 C.8　　 D.16
A
解析　∵a◎b=ab,∴(2◎m)×(4◎n)=2m×4n=32,∵2m×4n=2m×
=2m×22n=2m+2n,
∴2m+2n=32=25,∴m+2n=5.故选A.
11.(2025河北邢台任泽期末,★★☆)已知a=255,b=344,c=433,d=52
2,将这四个数按从大到小的顺序排列起来,正确的是
( )
A.a>b>c>d　　 B.c>d>a>b
C.b>c>a>d　　 D.d>c>b>a

C
解析　∵a=255= =3211,b=344= =8111,c=433= =6411,d=
522= =2511,
又∵81>64>32>25,∴8111>6411>3211>2511,∴b>c>a>d.故选C.
12.(2025河北邯郸二模,★★☆)已知m,n均为正整数,若
+ + =(3+3+3)n×27,则用含m的代
数式表示n=_.
解析 + + =3m+3m+3m=3m+1,(3+3+
3)n×27=32n×33=32n+3,∴3m+1=32n+3,∴m+1=2n+3,∴n= .
13.(2025安徽阜阳期中,★★☆)已知ma=4,mb=16,mc=8.
(1)求m2c的值.
(2)求ma+b的值.
(3)直接写出a,b,c之间的数量关系.
解析 (1)∵mc=8,∴m2c= =82=64.
(2)∵ma=4,mb=16,∴ma+b=ma·mb=4×16=64.
(3)由(1)(2)知ma+b=m2c=64,∴a+b=2c.(共26张PPT)
第八章　整式的乘法
第2课时　积的乘方
8.2　幂的乘方与积的乘方
　积的乘方
1.(2025吉林中考)计算 的结果为 ( )
A.2a5　　 B.2a6　　 C.8a5　　 D.8a6
D
解析 =23·(a2)3=8a6.故选D.
2.(2025河北秦皇岛海港一模)下面是芳芳同学计算(a·a2)3的过
程:
解:(a·a2)3=a3·(a2)3……①
=a3·a6……②
=a9.……③
则步骤①②③依据的运算性质分别是 ( )
A.积的乘方,幂的乘方,同底数幂的乘法
B.幂的乘方,积的乘方,同底数幂的乘法
A
C.同底数幂的乘法,幂的乘方,积的乘方
D.幂的乘方,同底数幂的乘法,积的乘方
解析　步骤①②③依据的运算性质分别是积的乘方,幂的乘
方,同底数幂的乘法.故选A.
3.【学科特色·数形结合思想】(2025河北石家庄外国语学校
期中)下列各图中,能直观解释“(3a)2=9a2”的是 ( )

A

B
D

C

D
解析　选项A能解释3a·a=3a2;选项B能解释3·3a=9a;选项C能
解释3×3×3a=27a;选项D能解释(3a)2=9a2.故A,B,C不符合题意,
故选D.
4.(2025河北石家庄九中期中)a·(-a)3+(-2a2)2=___.
3a4
解析　原式=-a4+4a4=3a4.
5.(2025陕西咸阳渭城二中月考)如果3a+2·6a+2=182a-4,那么a的值
为___.
6
解析　因为3a+2·6a+2=(3×6)a+2=182a-4,
所以18a+2=182a-4,所以a+2=2a-4,解得a=6.
6.计算下列各式:
(1)(3x)3.　　　　 (2)(2x2)5.
(3)(-a2b3)5.　　 (4) .
解析 (1)(3x)3=33·x3=27x3.
(2)(2x2)5=25·x10=32x10.
(3)(-a2b3)5=(-1)5·(a2)5·(b3)5=-a10b15.
(4) = ·(a2)6·b6= a12b6.
7.用简便方法计算:
(1)(-15)3× × .
(2) × × ×42 026.
解析 (1)原式= =23=8.
(2)原式= × ×4
= × ×4=1100×12 025×4=4.

8.(2025河北石家庄辛集期末,★★☆)已知:M=212×58,则M是几
位正整数 ( )
A.10　　 B.9　　 C.8　　 D.5
A
解析 M=212×58=24×28×58=1.6×109.故M是10位正整数.故选A.
9.(★★☆)比较大小:312×510___ 310×512.
<
解析　∵312×510=32×310×510=(3×5)10×32,
310×512=310×510×52=(3×5)10×52,32<52,
∴312×510<310×512.
10.【学科特色·教材变式P81习题T3】(★★☆)计算:
(1)2x5·(-x)3+ ·4x2.
(2) ·a2+ - .
解析 (1)2x5·(-x)3+ ·4x2
=2x5·(-x3)+4x6·4x2=-2x8+16x8=14x8.
(2) ·a2+ -
=a4·a2+9a6-8a6=a6+9a6-8a6=2a6.
11.(★★☆)已知n为正整数.
(1)若x2n=2,求(2x3n)2-(3xn)2的值.
(2)已知x=-5,y= ,求x2·x2n·(yn+1)2的值.
解析 (1)(2x3n)2-(3xn)2
=4(x2n)3-9x2n,
当x2n=2时,
原式=4×23-9×2
=32-18
=14.
(2)x2·x2n·(yn+1)2
=x2·x2n·y2n·y2
=(xy)2·(xy)2n
=(xy)2+2n,
当x=-5,y= 时,
原式= =(-1)2+2n,
∵n为正整数,∴2+2n为偶数,
∴原式=1.(共21张PPT)
第八章　整式的乘法
第1课时　单项式与单项式相乘
8.4　整式的乘法
　单项式与单项式相乘
1.(2025陕西中考)计算2a2·ab的结果为 ( )
A.4a2b　　 B.4a3b　　 C.2a2b　　 D.2a3b
D
解析 2a2·ab=2a3b.故选D.
2.(2025陕西咸阳月考)若2ab2·ab=□,则“□”内应填的单项
式是 ( )
A.2　　 B.2a2b3　　 C.2b　　 D.4b
B
解析 2ab2·ab=2a2b3.故选B.
3.(2025山东日照北京路中学月考)计算3a·(-2ab)2· 的结
果是 ( )
A.-6a4b5　　 B.6a9b5
C.-12a9b5　　 D.12a8b5
C
解析　原式=3a·4a2b2·(-a6b3)=-12a9b5.故选C.
4.一个圆柱体的底面半径是2ab2,高是底面半径的1.5倍,则这
个圆柱体的体积为_________________.
　 12πa3b6　
解析　根据圆柱体的体积=底面积×高,可得这个圆柱体的体
积=π(2ab2)2·1.5·2ab2=π·4a2b4·1.5·2ab2=12πa3b6.
5.【学科特色·教材变式P87习题T2】计算:
(1)(2025江苏扬州期中) · .
(2)(2025福建厦门期中)-4xy2· · .
解析 (1)原式= ·(16x8y4)=-2x17y7.
(2)原式=-4xy2·x2y4·(-8x6)=32x9y6.

6.(2025上海宝山期中,★★☆)在计算整式xy2的值的过程中,x
的取值比原来扩大 ,y的取值比原来缩小 ,则该整式的值
( )
A.比原来扩大 　　 B.比原来缩小
C.比原来扩大 　　 D.比原来缩小
D
解析 x× = x× y2= xy2,
∵ xy2-xy2=- xy2,∴该整式的值比原来缩小 .故选D.
7.(2025四川成都龙泉驿区师一中学期中,★★☆)已知-2x3m+1y
与7xn-6y-3-m的积和x4y是同类项,则m2+n的值为____.
27
解析　∵-2x3m+1y与7xn-6y-3-m的积和x4y是同类项,∴x3m+1+n-6y1-3-m=x4y,
∴ 解得 ∴m2+n=9+18=27.
8.(2025河北秦皇岛期中,★★☆)形如 的式子叫作二阶行
列式,它的运算法则为 =ad-bc.例如 =5×2-1×3=7.按照
这种运算规定,计算 =_____.
-3x2y
解析　根据题意可得 =-2xy·x-xy·x=-2x2y-x2y=-3x2y.
9.【学科特色·教材变式P87习题T4】(★★☆)先化简,再求值:
3x3y3· + ·9xy2,其中x=-1,y=2.
解析　原式= x7y5- x7y5=x7y5,
当x=-1,y=2时,原式=(-1)7×25=-32.

10.【新课标·运算能力】(2025安徽蚌埠期中)规定两个正数a,
b之间的一种运算:若ac=b,则{a,b}=c.例如,因为42=16,所以{4,1
6}=2.小明同学通过研究发现了这种运算的拓展公式{a,b}+
{a,c}={a,bc},例如,{5,5}+{5,25}={5,125}.
(1)计算:{3,27}=_______.
(2)2×{mn,4mn}+ + 的值为_______.
3
7
解析 (1)∵33=27,∴{3,27}=3.
(2)2×{mn,4mn}+ +
={mn,4mn}+{mn,4mn}+ +
= ={mn,m7n7},
根据定义可知{mn,m7n7}=c,即(mn)c=m7n7,解得c=7.(共47张PPT)
第八章　整式的乘法
8.1　同底数幂的乘法
　同底数幂的乘法
1.(2025湖南中考)计算a3·a4的结果是 ( )
A.2a7　　 B.a7
C.2a4　　 D.a12
B
解析　根据同底数幂相乘,底数不变,指数相加,可得a3·a4=a3+4=
a7.故选B.
2.(2025河北沧州模拟)若a2□a2=a4(a≠0),则“□”中的运算
符号为 ( )
A.+　　 B.-　　 C.×　　 D.÷
C
解析　∵a2×a2=a4(a≠0),∴“□”中的运算符号为×.
3.(2025河北唐山路南期中)式子a2·a3的运算结果与下列运算
结果一致的是 ( )
A.3个a2相乘　　 B.6个a相乘
C.5个a相乘　　 D.2个a3相乘
C
解析 a2·a3=a5表示5个a相乘.故选C.
4.(2025河北模拟)当x=2时,x·xx的值是 ( )
A.6　　 B.8　　 C.10　　 D.16
B
解析　当x=2时,x·xx=xx+1=23=8.故选B.
5.(2025浙江杭州期中)已知mx=2,my=5,则mx+y的值为 ( )
A.7　　 B.10　　 C.25　　 D.m7
B
解析 mx+y=mx·my=2×5=10.
6.(2025河北石家庄四十二中期中)下列四个算式:①a6·a6=2a6;
②m3+m2=m5;③x2·x·x8=x10;④y2+y2=y4.其中计算正确的有
( )
A.0个　　 B.1个　　 C.2个　　 D.3个

A
解析　①a6·a6=a12,故①错误,②m3与m2不是同类项,不能合并,
故②错误,③x2·x·x8=x11,故③错误,④y2+y2=2y2,故④错误.故选A.
7.(2025河北石家庄四十中期中)计算: = ( )
A. 　　 B. 　　 C. 　　 D.
C
解析　∵ =7a, =b9,
∴ = .故选C.
8.(2025河北邢台期末)若45+45+45+45=4n,则n的值是 ( )
A.4　　 B.6　　 C.8　　 D.16
B
解析　∵45+45+45+45=4n,∴45×4=4n,即46=4n,∴n=6.故选B.
9.已知3x=y,则3x+1=____.(用含y的代数式表示)
3y
解析　∵3x=y,∴3x+1=3x×3=3y.
10.已知m+n的值是-5的相反数,且am·an=32,则a=__.
2
解析　∵m+n的值是-5的相反数,∴m+n=5,
∴am·an=am+n=a5=32=25,∴a=2.
11.计算下列各式,并用幂的形式表示结果.
(1)x3·x5+x·x7.
(2)(-5)2×25×(-5)4.
解析 (1)原式=x8+x8
=2x8.
(2)原式=52×52×54
=52+2+4
=58.
12.计算:
(1)(-m)·(-m)2·(-m)3.
(2)(m-n)·(n-m)3·(n-m)4.
解析 (1)(-m)·(-m)2·(-m)3
=(-m)1+2+3
=(-m)6
=m6.
(2)(m-n)·(n-m)3·(n-m)4
=(m-n)·[-(m-n)]3·(m-n)4
=-(m-n)8.
13.【学科特色·教材变式P75例2】宇宙空间的距离通常以光
年为单位,1光年是指光在一年内通过的距离.如果光的速度约
为每秒3×105千米,一年约为3.2×107秒,那么1光年约为多少千
米
解析 3×105×3.2×107=9.6×1012(千米).
答:1光年约为9.6×1012千米.

14.(2025河北石家庄二十八中一模,★★☆)下列选项中,计算
结果为23a的式子是 ( )
A.2a+2a+2a　　 B.2a×2a×2a
C.2a×2a+2a　　 D.2a×(2a+2a)
B
解析 A.2a+2a+2a=3×2a,该选项不合题意;B.2a×2a×2a=2a+a+a=23a,
该选项符合题意;C.2a×2a+2a=22a+2a,该选项不合题意;D.2a×(2a+
2a)=2a×2a+1=22a+1,该选项不合题意.
15.(2025河北秦皇岛青龙期中,★★☆)已知x+y-3=0,则3x·3y的
值是 ( )
A.9　　 B.27　　 C. 　　 D.
B
解析　∵x+y-3=0,∴x+y=3,∴3x·3y=3x+y=33=27.故选B.
16.(2025河北唐山期中,★★☆)已知 =81,则n=
( )
A.6　　 B.7　　 C.8　　 D.9
B

解析 由题意得 =81,∴3n=27×81=33×34=37,∴n=7.故选B.
17.【学科特色·易错题】(2025河北邯郸大名十中一模,★★
☆)若a,b是正整数,且满足3a+3a+3a=3b×3b×3b,则下列选项中a与
b的关系正确的是 ( )
A.a=b　　 B.a+1=3b
C.a+1=b3　　 D.3a=b3
B
解析　∵3a+3a+3a=3b×3b×3b,∴3×3a=33b,∴3a+1=33b,∴a+1=3b.故
选B.
易错警示　本题易混淆同底数幂的乘法和几个相同的幂相加
的运算法则而出错.
18.【跨信息科技·存储容量　】(2025河北沧州南皮四中期
中,★★☆)电子文件的大小常用B,KB,MB,GB等作为单位,其
中1 GB=210 MB,1 MB=210 KB,1 KB=210 B.某视频文件的大小
约为1 GB,1 GB等于 ( )
A.830 B　　 B.230 B
C.8×1010 B　　 D.2×1010 B
B
解析 依题意得1 GB=210 MB=210×210 KB=210×210×210 B=230 B.
故选B.
19.(2025河北保定月考,★★☆)如图,在甲、乙、丙三只袋子
中分别装有球32个、56个、56个,先从甲袋中取出2y个球放到
乙袋中,再从乙袋中取出2x个球放入丙袋,最后从丙袋中取出(2
x+2y)个球放入甲袋,此时三只袋中球的个数都相同,则2x+y的值
为______.

128
解析　由题意可知,调整后三只袋中的球的个数分别为甲袋:3
2+2x+2y-2y=(32+2x)个,乙袋:(56+2y-2x)个,丙袋:56-2x-2y+2x=(56-
2y)个,
∵此时三只袋中球的个数都相同,∴32+2x=56+2y-2x=56-2y,
解得2x=16,2y=8,∴2x+y=2x×2y=16×8=128.
20.【新考向·新定义题】(2025江苏扬州宝应期中,★★☆)定
义新运算:x y=2x·2y.
(1)求3 1的值.
(2)若2 (4m+5)=8,求m的值.
解析 (1)∵x y=2x·2y,
∴3 1=23×21=8×2=16.
(2)∵x y=2x·2y,2 (4m+5)=8,∴2 (4m+5)=22×24m+5=24m+7=23,
∴4m+7=3,解得m=-1.
21.(2025河北秦皇岛期末,★★☆)
(1)试说明216+215-214能被5整除.
(2)若5a+b能被8整除,试说明5a+2+b一定也能被8整除.
解析 (1)216+215-214=214×(22+2-1)=214×5,
∵214为整数,∴216+215-214能被5整除.
(2)5a+2+b=5a·52+b=25·5a+b=24·5a+5a+b,
∵5a+b能被8整除,24·5a能被8整除,
∴5a+2+b能被8整除.

22.【新课标·抽象能力】(2025河北保定月考改编)喜欢探索
数学奥秘的小梦同学学习了“同底数幂的乘法”后,结合am·
an=am+n,规定了一种新的运算公式:f(m)·f(n)=f(m+n)(其中m,n为
正整数).例如,若f(5)=3,则f(10)=f(5)·f(5)=3×3=9.
(1)若f(3)= .
①计算:f(9)=______.
②若f(4n)=16,则f(n)=______.
(2)若f(b)=3,则f(b)·f(2b)·f(3b)·…·f(10b)的值为______.
解析 (1)∵f(3)= ,
∴f(9)=f(3+3+3)=f(3)·f(3)·f(3)= × × = .故答案为 .
②∵f(4n)=f(n+n+n+n)=f(n)·f(n)·f(n)·f(n),
又∵f(4n)=16,∴f(n)·f(n)·f(n)·f(n)=16,∴f(n)=±2.故答案为±2.
(2)∵f(b)=3,∴f(2b)=f(b+b)=f(b)·f(b)=32,
f(3b)=f(b+b+b)=f(b)·f(b)·f(b)=33,
同理得f(4b)=34,f(5b)=35,f(6b)=36,f(7b)=37,f(8b)=38,f(9b)=39,f(10
b)=310,
∴f(b)·f(2b)·f(3b)·…·f(10b)=3×32×33×…×310=31+2+3+…+10=355.故答
案为355.

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