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(共36张PPT)
第2课时　利用完全平方公式因式分解
第九章　因式分解
9.3　公式法
　利用完全平方公式因式分解
1.(2025河北唐山玉田期末)下列各式中,可以用完全平方公式
分解因式的是 ( )
A.a2-1　　　B.a2+2a-1
C.a2-2a-1　　　D.a2+2a+1
　D
解析　A.a2-1符合平方差公式的特点,不符合完全平方公式的
特点,故不符合题意.B.a2+2a-1不符合完全平方公式的特点,故
不符合题意.C.a2-2a-1不符合完全平方公式的特点,故不符合
题意.D.a2+2a+1符合完全平方公式的特点,符合题意.故选D.
2.(2025河北沧州青县三中月考)下列多项式能用完全平方公
式分解的有 ( )
(1)a2+ab+b2;(2)a2-a+ ;
(3)9a2-24ab+4b2;(4)-a2+8a-16.
A.1个　　　B.2个　　　C.3个　　　D.4个
　B
解析 (1)a2+ab+b2中,中间项不是±2ab,不能用完全平方公式
分解;(2)a2-a+ = ,符合题意;
(3)9a2-24ab+4b2,中间项不是±12ab,不能用完全平方公式分解;
(4)-a2+8a-16=-(a2-8a+16)=-(a-4)2,符合题意.综上,(2)(4)能用完
全平方公式分解,共2个.故选B.
3.(2025河北邯郸临漳期末)如图,两条线段把大正方形ABCD
分割成边长分别为a、b的两个小正方形和两个小长方形,则
利用该图形可以验证的因式分解是( )

　B
A.b2-a2=(b-a)(b+a)
B.a2+2ab+b2=(a+b)2
C.a2-2ab+b2=(a-b)2
D.a2+b2=ab(a+b)
解析　大正方形的面积可以表示为a2+2ab+b2或(a+b)2,∴a2+
2ab+b2=(a+b)2.故选B.
4.【新考向·条件开放题】(2025四川成都中考改编)多项式 x2+1
加上一个单项式后,能成为一个多项式的平方,那么加上的
单项式可以是_________________(填一个即可).
x(答案不唯一)
解析　∵ x2+1+x= ,∴加上的单项式可以为x(答案不
唯一).
5.(2025黑龙江绥化中考)分解因式:2mx2-4mxy+2my2=_______
_.
2
2m(x-y)
解析 2mx2-4mxy+2my2=2m(x2-2xy+y2)=2m(x-y)2.
6.(2025山东日照东港期末)分解因式:-m4+8m2-16=__________
___.
2)2
-(m+2)2(m-
解析　-m4+8m2-16=-(m4-8m2+16)=-(m2-4)2
=-(m+2)2(m-2)2.
7.若x是y的2倍,则多项式-2x2+8xy-8y2的值是_______.
解析　∵x是y的2倍,
∴x=2y,∴x-2y=0,
∵-2x2+8xy-8y2=-2(x2-4xy+4y2)=-2(x-2y)2,
∴原式=-2(2y-2y)2=0,
∴多项式-2x2+8xy-8y2的值是0.
8.把下列各式分解因式:
(1) a2- ab+ b2. (2)-3x2+6xy-3y2.
(3)2a3-12a2+18a.　 (4)x4-8x2y2+16y4.
(5)4+12(x-y)+9(x-y)2.
(6) -6(y2-1)+9.
解析 (1) a2- ab+ b2= .
(2)-3x2+6xy-3y2=-3(x2-2xy+y2)=-3(x-y)2.
(3)2a3-12a2+18a=2a(a2-6a+9)=2a(a-3)2.
(4)x4-8x2y2+16y4= =[(x+2y)(x-2y)]2
=(x+2y)2(x-2y)2.
(5)4+12(x-y)+9(x-y)2=22+12(x-y)+[3(x-y)]2
=[2+3(x-y)]2=(3x-3y+2)2.
(6) -6(y2-1)+9= =
=(y+2)2(y-2)2.
9.【学科特色·教材变式P121T4】请用简便方法计算:
(1)1242-48×124+242.
(2)10.32+20.6×9.7+9.72.
解析 (1)1242-48×124+242
=1242-2×124×24+242=(124-24)2
=1002=10 000.
(2)10.32+20.6×9.7+9.72=10.32+2×10.3×9.7+9.72
=(10.3+9.7)2=202=400.

10.(2024广西中考,★★☆)如果a+b=3,ab=1,那么a3b+2a2b2+ab3
的值为 ( )
A.0　　　B.1　　　C.4　　　D.9
　D
解析　原式=ab(a2+2ab+b2)=ab(a+b)2=1×32=9.故选D.
11.【学科特色·多解法】(★★☆)代数式a2(a2-1)-a2+1的值
( )
A.不是负数　　　B.恒为正数
C.恒为负数　　　D.不等于0
　A
解析　【解法一】提公因式法:
∵a2(a2-1)-a2+1
=a2(a2-1)-(a2-1)
=(a2-1)(a2-1)
=(a2-1)2≥0,
∴代数式a2(a2-1)-a2+1的值不是负数.故选A.
【解法二】公式法:
∵a2(a2-1)-a2+1
=a4-a2-a2+1
=a4-2a2+1
=(a2-1)2≥0,
∴a2(a2-1)-a2+1的值不是负数.故选A.
12.(2025福建宁德期末,★★☆)如图,将三个边长分别为a,b的
小长方形组成一个大长方形,已知大长方形的周长为12,面积
为7,则a3b+6a2b2+9ab3的值是____.

84
解析　∵大长方形的周长为12,面积为7,
∴2(a+3b)=12,3ab=7,∴a+3b=6,ab= ,
∴a3b+6a2b2+9ab3=ab(a2+6ab+9b2)=ab(a+3b)2= ×62=84.
13.(2025河北邯郸广平实验中学开学考,★★★)发现:两个差
为2的正整数的积与1的和总是一个正整数的平方.
(1)2×4+1是正整数_______的平方.
(2)设较小的正整数为n,写出这两个正整数的积与1的和,并说
明它是一个正整数的平方.
(3)两个差为12的正偶数,设较小的数为2k(k为正整数),若它们
的积与常数a的和是一个正整数的平方,求a的值.
解析 (1)3.详解:2×4+1=8+1=9=32.故答案为3.
(2)较小的正整数为n,则另一个正整数为n+2,
这两个数的积与1的和为n(n+2)+1,
∴n(n+2)+1=n2+2n+1=(n+1)2,
∴原式为正整数n+1的平方.
(3)较小的正偶数为2k,则另一个正偶数为2k+12,
它们的积与常数a的和为2k(2k+12)+a,
∴2k(2k+12)+a=4k2+24k+a=4 ,
由题意可知,k2+6k+ 可以利用完全平方公式进行因式分解,
所以 = =9,∴a=36,
此时4(k2+6k+9)=[2(k+3)]2,符合题意.
所以a=36.

14.【新课标·运算能力】(2025河北秦皇岛十中月考)通过课
堂的学习,我们把多项式a2+2ab+b2及a2-2ab+b2叫作完全平方
式,如果一个多项式不是完全平方式,我们常做如下变形:例如
x2+2x-3=(x2+2x+1)-4=(x+1)2-4,2x2+4x-6=2(x2+2x-3)=2(x+1)2-8,
像这样先添加一个适当的项,使多项式中出现完全平方式,再
减去这个项,使整个式子的值不变的方法称为配方法.配方法
是一种重要的解决问题的数学方法,不仅可以将一个看似不
能分解的多项式分解因式,还能解决一些与非负数有关的问
题或求代数式最大值、最小值的问题等,如:因为2x2+4x-6=
2(x+1)2-8,可知当x=-1时,2x2+4x-6有最小值,为-8.
请阅读以上材料,并用配方法解决下列问题:
(1)因式分解:x2-6x+8=_______.
(2)若a,b满足a2+b2+2a-6b+10=0,求ba的值.
(3)已知a是任意有理数,若M=(a+3)(a-1),N=-2(a+4),通过计算
判断M,N的大小关系.
(4)如图,用一段长为20米的篱笆围成一个长方形菜园,菜园的
一面靠墙,设与墙壁垂直的一边长为x米.
①试用含x的代数式表示菜园的面积.
②当x取何值时菜园面积最大 最大面积是多少平方米
解析 (1)(x-2)(x-4).详解:x2-6x+8=x2-6x+8+1-1=(x-3)2-1=(x-3+
1)(x-3-1)=(x-2)(x-4).
(2)∵a2+b2+2a-6b+10=0,
∴a2+2a+1+b2-6b+9=0,
∴(a+1)2+(b-3)2=0,
∴a+1=0,b-3=0,
∴a=-1,b=3,∴ba=3-1= .
(3)M-N=(a+3)(a-1)-[-2(a+4)]
=a2+2a-3+2a+8=a2+4a+5=a2+4a+4+1
=(a+2)2+1,
∵(a+2)2≥0,∴(a+2)2+1≥1,∴M>N.
(4)①由题意可得菜园的面积为x(20-2x)=-2x2+20x.
②∵-2x2+20x=-2(x2-10x)=-2(x2-10x+25)+50
=-2(x-5)2+50,
∴当x=5时,菜园面积最大,最大面积为50平方米.(共15张PPT)
第九章　因式分解
9.1　因式分解
　因式分解
1.(2025河北保定清苑期末)下列各式从左到右的变形中,属于
因式分解的是 ( )
A.x2-4x+3=x(x-4)+3
B.(x-3)(x+3)=x2-9
C.(x-3)2=x2-6x+9
D.a2+4ab+4b2=(a+2b)2
　D
解析　D选项中的式子,等号右边化成了几个整式乘积的形
式,符合题意.故选D.
2.(2025河北石家庄桥西期中)对于下列两个从左到右的变形:
甲:6x2y=2x·3xy;
乙:a+1=a .
说法正确的是 ( )
A.甲、乙均为因式分解
B.甲、乙均不是因式分解
C.甲是因式分解,乙是整式乘法
D.甲是整式乘法,乙是因式分解
　B
解析 6x2y=2x·3xy中等号右边是单项式,故甲不是因式分解;a
+1=a 中 不是整式,故乙不是因式分解.故选B.
3.(2025河北邯郸临漳期末)因式分解“16m2- ”的结果是(4m
+5n)(4m-5n),则“ ”是 ( )
A.5n2　　　B.25n2　　　C.75n2　　　D.125n2
　B
解析 (4m+5n)(4m-5n)=16m2-25n2,故“ ”是25n2.故选B.
4.【学科特色·教材变式P111练习T1】下列由左边到右边的
式子变形,哪些是因式分解 哪些不是 为什么
(1)6ax-3ax2=3ax(2-x).
(2)a2-b2+1=(a+b)(a-b)+1.
(3)x(x-y)-y(x-y)=(x-y)2.
(4)a2b-3ab2+ab=ab(a-3b+1).
解析 (1)是因式分解,因为变形后的式子是整式3ax与整式(2-
x)的积,符合因式分解的定义.
(2)不是因式分解,因为变形后的式子(a+b)(a-b)+1不是几个整
式乘积的形式,不符合因式分解的定义.
(3)是因式分解,因为变形后的式子是整式(x-y)与整式(x-y)的
积,符合因式分解的定义.
(4)是因式分解,因为变形后的式子是整式ab与整式(a-3b+1)的
积,符合因式分解的定义.

5.【学科特色·数形结合思想】(2025浙江杭州公益中学月考,
★★☆)根据下面的拼图过程,写出一个多项式的因式分解:__
________________.

+6x+8=(x+2)(x+4)
x2
解析　四个独立图形的面积和为x2+2x+4x+4×2=x2+6x+8,组
合图形的面积为(x+2)(x+4),
∴x2+6x+8=(x+2)(x+4).
6.(2025河南郑州期末,★★☆)仔细阅读下面的例题及其解题
过程:
例题:已知二次三项式x2-4x+m分解因式的结果中有一个因式
是x+3,求另一个因式及m的值.
解:设另一个因式为x+n,
则有x2-4x+m=(x+3)(x+n),
∴x2-4x+m=x2+(n+3)x+3n,
∴ 解得
∴另一个因式为x-7,m的值为-21.
仿照以上方法解答下面的问题.
(1)若多项式x2-px-6分解因式的结果中有一个因式为x-3,则p=
_______.
(2)已知二次三项式2x2+3x-k分解因式的结果中有一个因式是
2x+5,求另一个因式及k的值.
解析 (1)1.详解:设另一个因式为x+a,
则有x2-px-6=(x-3)(x+a),
∴x2-px-6=x2+(a-3)x-3a,
∴ 解得 故答案为1.
(2)设另一个因式为x+t,
则有2x2+3x-k=(2x+5)(x+t),
∴2x2+3x-k=2x2+(2t+5)x+5t,
∴ 解得
∴另一个因式为x-1,k的值为5.(共38张PPT)
第1课时　利用平方差公式因式分解
第九章　因式分解
9.3　公式法
　利用平方差公式因式分解
1.(2025河北廊坊霸州期末)下列多项式中,不能用平方差公式
分解因式的是 ( )
A.x2-y2　　　B.y2-x2　　　C.-x2-y2　　　D.x4-y4
　C
解析　A.x2-y2=(x+y)(x-y),可以用平方差公式分解因式,故不
符合题意;B.y2-x2=(y+x)(y-x),可以用平方差公式分解因式,故
不符合题意;C.-x2-y2,不是两数(或式)的平方差,故不能用平方
差公式分解因式,符合题意;D.x4-y4=(x2+y2)(x2-y2)=(x2+y2)(x+y)·
(x-y),可以用平方差公式分解因式,故不符合题意.故选C.
2.(2024河北石家庄裕华月考)若a+b=3,a-b= ,则a2-b2的值为
( )
A.1　　　B. 　　　C. 　　　D.9
　A
解析　∵a+b=3,a-b= ,∴a2-b2=(a+b)(a-b)=3× =1.故选A.
3.如果多项式 +a能用平方差公式分解因式,那么a不可
能是 ( )
A.-25　　　B.-1　　　C.-9y2　　　D.-3y
　D
解析　∵ +a= x2+a能用平方差公式分解因式,∴a的符
号为负号,且绝对值一定能写成平方的形式,-25=-52,-1=-12,-9y2
=-(3y)2,而-3y不能写成平方的形式.故选D.
4.(2024云南中考)分解因式:a3-9a= ( )
A.a(a-3)(a+3)　　　B.a(a2+9)
C.(a-3)(a+3)　　　D.a2(a-9)
　A
解析　a3-9a=a(a2-9)=a(a-3)(a+3).故选A.
5.(2025河南平顶山鲁山期末)分解因式9a2- =_ _.

解析 9a2- =(3a)2- = .
6.把下列各式分解因式:
(1)0.09a2-0.16.　　 (2) a2-81b2.
(3)9(x+y)2-y2.　　 (4)16a4-1.
(5)(a-b)x2+(b-a)y2.
(6)4(x+2y)2-25(x-y)2.
解析 (1)0.09a2-0.16=(0.3a)2-(0.4)2
=(0.3a+0.4)(0.3a-0.4).
(2) a2-81b2= .
(3)9(x+y)2-y2=[3(x+y)]2-y2
=[3(x+y)+y][3(x+y)-y]
=(3x+4y)(3x+2y).
(4)16a4-1=(4a2+1)(4a2-1)
=(4a2+1)(2a+1)(2a-1).
(5)(a-b)x2+(b-a)y2=(a-b)x2-(a-b)y2
=(a-b)(x2-y2)=(a-b)(x+y)(x-y).
(6)4(x+2y)2-25(x-y)2=[2(x+2y)]2-[5(x-y)]2
=[2(x+2y)+5(x-y)][2(x+2y)-5(x-y)]
=(2x+4y+5x-5y)(2x+4y-5x+5y)
=(7x-y)(9y-3x)=3(7x-y)(3y-x).
7.请用简便方法计算:
(1)3.14×5.52-3.14×4.52.
(2)6212-1482-769×373.
解析 (1)3.14×5.52-3.14×4.52=3.14×(5.52-4.52)
=3.14×(5.5+4.5)×(5.5-4.5)=3.14×10×1=31.4.
(2)6212-1482-769×373
=(621+148)×(621-148)-769×373
=769×473-769×373=769×(473-373)
=769×100=76 900.
8.【学科特色·教材变式P119T5】如图,一个圆环的外圆半径
为R,内圆半径为r,面积为S.
(1)写出圆环面积的计算公式.
(2)当R=15.25 cm,r=5.25 cm时,请你利用因式分解的方法求圆
环的面积.(结果保留π)

解析 (1)S=S大圆-S小圆=πR2-πr2=π(R2-r2).
(2)S=π(R2-r2)=π(R+r)(R-r)=π×(15.25+5.25)×(15.25-5.25)=205π
(cm2).

9.(2025河北唐山三十九中月考,★★☆)下面是课堂投影屏上
显示的抢答题,需要回答横线上序号处缺少的内容.下列回答
错误的是 ( )
　B
分解因式:2a(x2-1)-2b(x2-1).
解:原式=2(x2-1)　　①　
=　　②　 .
A.①填(a-b)
B.②填(x+1)(x-1)
C.该过程用到了提公因式法
D.该过程用到了公式法
解析 2a(x2-1)-2b(x2-1)=2(x2-1)(a-b)
=2(x+1)(x-1)(a-b),
故①填(a-b),故A正确,不符合题意;
②填2(x+1)(x-1)(a-b),故B错误,符合题意;
同时用到了提公因式法和公式法,故C,D正确,不符合题意.故
选B.
10.(2025河北保定期中,★★☆)一位密码编译爱好者在他的
密码手册中有这样一条信息:a-b,x-1,3,x2-1,a,x+1分别对应下
列六个字:我,数,爱,国,祖,学.现将代数式3a(x2-1)-3b(x2-1)因式
分解,结果呈现的密码信息可能是 ( )
A.我爱数学　　　B.我爱祖国
C.爱数学　　　D.爱祖国
　A
解析　∵3a(x2-1)-3b(x2-1)
=(3a-3b)(x2-1)
=3(a-b)(x-1)(x+1),分别对应4个汉字:爱,我,数,学,所以呈现的
密码信息可能是“我爱数学”.故选A.
11.(2025河北张家口桥东期末,★★☆)若 的结
果为整数,则整数n的值不可能是 ( )
A.44　　　B.55　　　C.66　　　D.77
　D
解析 652×11-352×11=11×(652-352)=11×(65+35)×(65-35)=11×
100×30,44=22×11,所有因数均在分子中存在,符合条件,故A不
符合题意;55=5×11,所有因数均在分子中存在,符合条件,故B
不符合题意;66=2×3×11,所有因数均在分子中存在,符合条件,
故C不符合题意;77=7×11,分子中无因数7,因此无法整除,故D
符合题意.故选D.
12.(2025四川内江中考,★★☆)已知a,b满足a+b=2,则a2-b2+4b
=___.
4
解析　∵a+b=2,∴a2-b2+4b=(a+b)(a-b)+4b
=2(a-b)+4b=2(a+b)=4.
13.【学科特色·分类讨论思想】(★★☆)若多项式xa-y2(其中1
≤a≤6,且a为整数)能够利用平方差公式进行因式分解,则a的
可能取值有___个.
3
解析　当a=2时,x2-y2=(x+y)(x-y);
当a=4时,x4-y2=(x2+y)(x2-y);
当a=6时,x6-y2=(x3+y)(x3-y).
综上,a的可能取值有3个.
14.【学科特色·方程思想】(★★☆)已知两个正方形的边长
的和是10 cm,若它们面积的差是40 cm2,则它们面积的和是___
___.
cm2
58
解析　设这两个正方形的边长分别为x cm,y cm,
则 由②得(x+y)(x-y)=40,
∴x-y=4③,联立①③,得 解得
∴x2=49,y2=9,
所以这两个正方形的面积和为49+9=58( cm2).故答案为58 cm
2.
15.(2024河北张家口期中,★★☆)如图,卡片A,B,C各代表一个
代数式,从三张卡片中取两张求和,并进行因式分解.
(k+3)2A -k2B +4C
(1)若选择B,C卡片,请按要求进行因式分解.
(2)嘉嘉发现:若选择A,B卡片,不论k为何整数,其结果都可以
被m(m≠1)整除.请确定满足条件的最小正整数m的值.
解析 (1)-k2+4=4-k2=(2+k)(2-k).
(2)(k+3)2-k2=(k+3+k)(k+3-k)=3(2k+3),
∵(k+3)2-k2的值总可以被m(m≠1)整除,
所以3(2k+3)是m的整数倍,
∴满足条件的最小正整数m的值是3.

16.【新课标·推理能力】(2025河北保定十七中期中)【发
现】两个连续奇数的平方差是8的整数倍.
【验证】(1)172-152的结果是8的多少倍
【证明】(2)试说明两个连续奇数2n+1与2n-1(n为整数)的平
方差是8的整数倍.
【延伸】(3)两个连续偶数2m+2与2m(m为整数)的平方差还
是8的整数倍吗 如果是,请说明理由;如果不是,将上述平方差
的结果加上正整数k,使得最后的结果是8的整数倍,并直接写
出k的最小值.
解析 (1)∵172-152=(17+15)×(17-15)=32×2=64=8×8,
∴172-152是8的8倍.
(2)(2n+1)2-(2n-1)2=(2n+1+2n-1)(2n+1-2n+1)=8n,
∴两个连续奇数2n+1,2n-1的平方差是8的倍数.
(3)两个连续偶数2m+2与2m(m为整数)的平方差不是8的整倍
数.k的最小值为4.
详解:∵(2m+2)2-(2m)2=(2m+2+2m)(2m+2-2m)
=4(2m+1),
∴两个连续偶数的平方差是4的整数倍,不是8的整数倍,
∵4(2m+1)+4=8m+4+4=8(m+1),∴若使得最后的结果是8的整
数倍,加上的正整数k的最小值为4.(共38张PPT)
第九章自主检测
时间：40分钟 满分：100分
一、选择题(共8小题,每小题5分,共40分)
1.(2025河北邢台威县七中期末)下列等式从左到右的变形,属
于因式分解的是 ( )
A.a(x-y)=ax-ay
B.x2+2x+1=x(x+2)+1
C.2x+1=x
D.x3-x=x(x+1)(x-1)
　D
解析　A.属于整式乘法,故不符合题意;B.等号右边不是整
式乘积的形式,不属于因式分解,故不符合题意;C. 不是整式,
不属于因式分解,故不符合题意;D.属于因式分解,符合题意.故
选D.
2.把-9x3+6x2-3x因式分解时,提出公因式后,另一个因式是
( )
A.3x2-2x　　　B.3x2-2x-1
C.-9x2+6x　　　D.3x2-2x+1
　D
解析　-9x3+6x2-3x=-3x(3x2-2x+1).故选D.
3.(2025江苏南京月考)(-2)2 024+(-2)2 025= ( )
A.-22 024　　　B.-22 025
C.22 024　　　D.-2
　A
解析 (-2)2 024+(-2)2 025=(-2)2 024+(-2)2 024×(-2)
=(-2)2 024×(1-2)=-1×22 024=-22 024.故选A.
4.(2025河北邢台信都月考)小明利用完全平方公式进行因式
分解“x2 +4y2=(x+2y)2”时,墨迹将其中的一项染黑了,
则墨迹覆盖的这一项是 ( )
A.4xy　　　B.2xy　　　C.-4xy　　　D.-2xy
　A
解析　∵(x+2y)2=x2+4xy+4y2,∴墨迹覆盖的这一项是4xy.故
选A.
5.(2025河北保定期末)若a+b=4,则3a2+6ab+3b2-47的值为
( )
A.16　　　B.4　　　C.2　　　D.1
D

解析 3a2+6ab+3b2-47=3(a2+2ab+b2)-47=3(a+b)2-47,∵a+b=4,
∴原式=3×42-47=1.故选D.
6.已知多项式a2+b2+M可以在有理数范围内运用平方差公式
分解因式,则单项式M可以是 ( )
A.2ab　　　B.-2ab　　　C.-3b2　　　D.-10b2
　D
解析　a2+b2+2ab=(a+b)2,是运用完全平方公式分解因式,故A
错误;a2+b2-2ab=(a-b)2,是运用完全平方公式分解因式,故B错
误;a2+b2-3b2=a2-2b2,在有理数范围内无法分解因式,故C错误;a2
+b2-10b2=a2-9b2=(a+3b)(a-3b),是运用平方差公式分解因式,故
D正确.故选D.
7.(2025河北保定竞秀期末)如图,将长方形ABCD分成四个面
积分别为ac,cd,ab,bd的小长方形,则AD的长为 ( )

A.a+b　　　B.c+b　　　C.c+d　　　D.a+d
　B
解析　根据题意可得长方形ABCD的面积=ac+cd+ab+bd=
c(a+d)+b(a+d)=(a+d)(c+b),当AB=c+b,AD=a+d时,不符合题意;
当AB=a+d,AD=c+b时,符合题意.故选B.
8.数学活动课上,同学们一起玩卡片游戏,游戏规则:从给出的
三张卡片中任选两张进行加减运算,运算的结果能进行因式
分解的同学进入下一轮游戏,否则将被淘汰.给出的三张卡片
如图所示,则在第一轮游戏中被淘汰的是 ( )
x2+5x+12M 5x+13N x2-13P
A.甲:M+N　　　B.乙:M-N
C.丙:N+P　　　D.丁:N-P
　D
解析 A.M+N=x2+5x+12+5x+13=x2+10x+25=(x+5)2,能进行
因式分解,甲进入下一轮,故不符合题意;B.M-N=x2+5x+12-(5x
+13)=x2-1=(x+1)(x-1),能进行因式分解,乙进入下一轮,故不符
合题意;C.N+P=5x+13+x2-13=x2+5x=x(x+5),能进行因式分解,
丙进入下一轮,故不符合题意;D.N-P=5x+13-(x2-13)=-x2+5x+
26,不能进行因式分解,丁被淘汰,符合题意.故选D.
二、填空题(共4小题,每小题5分,共20分)
9.(2025山东东营中考)分解因式:2m3-12m2+18m=__________.
2m(m-3)2
解析 2m3-12m2+18m=2m(m2-6m+9)=2m(m-3)2.
10.(2025河北唐山五中三模)有一个数学游戏,如图.A,B,C均为
含x的整式,且x的系数均为正整数.若“ ”上的整式是两个
对应整式相乘的结果,则“ ”处应填______.

x2+2x
解析 ∵A·B=x2-4=(x+2)(x-2),B·C=x2-2x=x(x-2),A,B,C均为含
x的整式,且x的系数均为正整数,
∴B=x-2,A=x+2,C=x,∴“ ”处应填x(x+2)=x2+2x.
11.甲、乙两人在完成因式分解x2+ax+b过程中,甲看错了a的
值,分解的结果是(x+6)(x-2),乙看错了b的值,分解结果为(x-8)
(x+4),那么x2+ax+b分解因式正确的结果为________.
(x-6)(x+2)
解析　∵甲看错了a的值,分解的结果是(x+6)(x-2),∴b=6×(-2)
=-12,∵乙看错了b的值,分解的结果为(x-8)(x+4),∴a=-8+4=-4,
∴原多项式为x2-4x-12,所以正确结果为x2-4x-12=(x-6)(x+2).
12.(2025安徽宣城三模改编)数学兴趣小组发现x2+1在有理数
范围内不能因式分解,接着他们研究x3+1的因式分解问题,过
程如下.
当x为正整数时:
13+1=2×1=2×(1×0+1);
23+1=3×3=3×(2×1+1);
33+1=4×7=4×(3×2+1);
43+1=5×13=5×(4×3+1);
……
根据以上规律,请你猜想:当x为任意有理数时,x3+1因式分解
所得的结果为____________.
(x+1)(x2-x+1)
解析　由题意得x3+1=(x+1)[x(x-1)+1]=(x+1)·(x2-x+1).故答案
为(x+1)(x2-x+1).
三、解答题(共4小题,共40分)
13.(8分)因式分解.
(1)3x2-18x+27.　　 (2)3ab2-18ab+27a.
(3)9(m+n)2-3(m-n)(m+n).
(4)25(a+b)2-9(a-b)2.
解析 (1)3x2-18x+27=3(x2-6x+9)=3(x-3)2.
(2)3ab2-18ab+27a=3a(b2-6b+9)=3a(b-3)2.
(3)9(m+n)2-3(m-n)(m+n)
=3(m+n)[3(m+n)-(m-n)]
=3(m+n)(3m+3n-m+n)
=3(m+n)(2m+4n)
=6(m+n)(m+2n).
(4)25(a+b)2-9(a-b)2
=[5(a+b)]2-[3(a-b)]2
=(5a+5b)2-(3a-3b)2
=[(5a+5b)+(3a-3b)][(5a+5b)-(3a-3b)]
=(8a+2b)(2a+8b)
=4(4a+b)(a+4b).
14.【跨物理·电学】(8分)因式分解可以简化一些复杂的计算,
如下图,把R1,R2,R3三个电阻串联起来,线路AB上的电流为I,电
压为U,则U=IR1+IR2+IR3.当R1=19.76,R2=32.41,R3=35.83,I=2.5
时,请利用因式分解计算出U的值.

解析　U=IR1+IR2+IR3=I(R1+R2+R3)
=2.5×(19.76+32.41+35.83)=2.5×88=220.
15.(2024河北邯郸肥乡期末)(12分)【发现】一个两位数的十
位上的数字为a,个位上的数字为b,a>b且a+b=10,若将其十位
上的数字与个位上的数字调换位置,得到一个新的两位数,则
这两个数的平方差是20的倍数.
【解决问题】
(1)用含a的代数式表示原来的两位数为_______,新的两位数
为________.
(2)使用因式分解的方法判断【发现】中的结论是否正确.
解析 (1)9a+10;100-9a.
(2)根据题意得(9a+10)2-(100-9a)2
=(9a+10+100-9a)(9a+10-100+9a)
=110(18a-90)
=1 980(a-5)
=99×20(a-5).
∵a是整数,
∴(9a+10)2-(100-9a)2能被20整除,
∴【发现】中的结论正确.
16.(2025浙江杭州期中)(12分)图1是一个长为4a,宽为b的长方
形,沿图中虚线用剪刀将其平均分成四块小长方形,然后用四
块小长方形拼成如图2所示的正方形.
图1 图2

图3
(1)由图2可以直接写出(a+b)2,(a-b)2,ab之间的一个等量关系是
_____________.
(2)根据(1)中的结论,解决下列问题:
两个正方形ABCD,AEFG按如图3所示的方式摆放,边长分别
为x,y.若x2+y2=58,BE=4,求x+y的值和图中阴影部分的面积和.
解析 (1)(a+b)2=(a-b)2+4ab.
(2)由题意得x2+y2=58,x-y=4,
因为(x-y)2=x2-2xy+y2,即16=58-2xy,
所以xy=21,
所以(x+y)2=(x-y)2+4xy=16+84=100,
所以x+y=10或x+y=-10(舍去),故x+y的值为10.
S阴影部分=S三角形CDF+S三角形BEF= x(x-y)+ y(x-y)
= (x+y)(x-y)= ×10×4=20.
故阴影部分的面积和为20.(共38张PPT)
第九章　因式分解
9.2　提公因式法
　公因式
1.(2025河北石家庄桥西期末)用提公因式法因式分解多项式:
8a2b-12a3b2c,其中的公因式是 ( )
A.8a2b　　　B.12a3b2c　　　C.4ab　　　D.4a2b
　D
解析 8和-12的最大公因数是4,a的最低次数是2,b的最低次
数是1,c的最低次数是0,所以公因式是4a2b.故选D.
2.(2025河北邢台月考)下列各式中,没有公因式的是 ( )
A.ax+y和x+y　　　B.2x和4y
C.a-b和b-a　　　D.-x2+xy和y-x
　A
解析　A.ax+y和x+y没有公因式,符合题意;B.2和4的最大公因
数是2,故不符合题意;C.a-b与b-a的公因式为a-b,故不符合题
意;D.-x2+xy与y-x的公因式为y-x,故不符合题意.故选A.
3.15a3b3(a-b),5a2b(b-a),-120a3b3(a-b)的公因式是 ( )
A.5ab(a-b)　　　B.5a2b2(a-b)
C.5a2b(a-b)　　　D.120a3b3(a-b)
　C
解析 因为5a2b(b-a)=-5a2b(a-b),所以15a3b3(a-b),5a2b(b-a),-120
a3b3(a-b)的公因式是5a2b(a-b).故选C.
4.指出下列多项式的公因式:
(1)3a2y-3ay+6y.　　　　 (2) xy3- x3y2.
(3)-27a2b3+36a3b2+9a2b. (4)3xy2-xz+ x3.
解析 (1)3a2y-3ay+6y中的公因式是3y.
(2) xy3- x3y2中的公因式是 xy2.
(3)-27a2b3+36a3b2+9a2b中的公因式是-9a2b.
(4)3xy2-xz+ x3中的公因式是x.
　提公因式法
5.(2025黑龙江哈尔滨一六三中期中)将多项式(1+x)·(1-x)-(1
-x)提取公因式(1-x)后,余下的部分是 ( )
A.(x+1)　　　B.-(x+2)　　　C.x　　　D.(x+2)
　C
解析 (1+x)(1-x)-(1-x)=(1-x)(1+x-1)=x(1-x),所以余下的部分
是x.故选C.
6.(2025河北承德兴隆期末)下面是甲、乙两位同学因式分解x
-x2的结果:
甲同学:原式=x(x+1)(x-1).
乙同学:原式=x(1+x)(1-x).
下列判断正确的是 ( )
　D
A.甲的结果正确,乙的结果不正确
B.乙的结果正确,甲的结果不正确
C.甲、乙的结果都正确
D.甲、乙的结果都不正确
解析　x-x2=x(1-x),所以甲、乙的结果都不正确.故选D.
7.(2025河北张家口宣化期末)已知x,y满足x2y-xy2=20,xy=5,则
x-y的值为___.
4
解析　由条件可知x2y-xy2=xy(x-y)=5(x-y)=20,∴x-y=4.
8.若多项式x(x-3)+a(3-x)用提公因式法分解因式的结果为(x-
3)2,则a=__.
3
解析　∵x(x-3)+a(3-x)=x(x-3)-a(x-3)
=(x-3)(x-a)=(x-3)2,∴a=3.
9.用提公因式法分解因式:
(1)5xy-10x.　 (2)m(a2+b2)-n(a2+b2).
(3)-24x3+12x2-28x.(4)6(m-n)3-12(m-n)2.
解析 (1)原式=5x(y-2).
(2)原式=(a2+b2)(m-n).
(3)原式=-4x(6x2-3x+7).
(4)原式=6(m-n)2(m-n-2).
10.用简便方法计算:
(1) ×25.3+0.25×78.6-3.9× .
(2)2022-404.
(3) ×25.6×13+24.4×0.2×13-13×40× .
解析 (1)原式= ×(25.3+78.6-3.9)= ×100=25.
(2)原式=2022-2×202=202×(202-2)=202×200=40 400.
(3)原式=0.2×13×(25.6+24.4-40)=0.2×13×10=26.

11.(2025河北唐山玉田月考,★★☆)已知整式A=x-1,B=x2-x,
有以下结论:
结论一:A·x=B.
结论二:A,B的公因式为x.
下列判断正确的是 ( )
　A
A.结论一正确,结论二不正确
B.结论一不正确,结论二正确
C.结论一、结论二都正确
D.结论一、结论二都不正确
解析　因为B=x2-x=x(x-1),所以A·x=B,A,B的公因式是x-1,所
以结论一正确,结论二不正确.故选A.
12.(2024河北邯郸十中模拟,★★☆)利用因式分解计算2 023×
2 024-2 0232= ( )
A.1　　　B.2 023　　　C.2 024　　　D.2 0232
　B
解析 2 023×2 024-2 0232=2 023×(2 024-2 023)=2 023×1=2 02
3.故选B.
13.(★★☆)如图,有一张边长为b的正方形纸板,在它的四角各
剪去一个边长为a的正方形,然后将四周凸出的部分折起,制成
一个无盖的长方体纸盒.用M表示其底面积与侧面积的差,则
M可因式分解为 ( )

　A
A.(b-2a)(b-6a)　　　B.(b-3a)(b-2a)
C.(b-5a)(b-a)　　　D.(b-2a)2
解析　长方体纸盒的底面积为(b-2a)2,
侧面积为4a(b-2a),
∴M=(b-2a)2-4a(b-2a),
提取公因式(b-2a),得M=(b-2a)(b-2a-4a)=(b-2a)(b-6a).故选A.
14.(2024安徽宿州期中,★★☆)父亲今年x岁,儿子今年y岁,父
亲比儿子大26岁,并且x2-xy=1 040,请你求出父亲和儿子今年
各多少岁.
解析　由题意得x-y=26,
∵x2-xy=x(x-y)=1 040,
∴26x=1 040,解得x=40,
y=x-26=40-26=14.
答:父亲和儿子今年分别是40岁、14岁.
15.(★★☆)已知x,y满足方程组 求(2x-y)3-(2x-y)2(x-
3y)的值.
解析 (2x-y)3-(2x-y)2(x-3y)
=(2x-y)2(2x-y-x+3y)
=(2x-y)2(x+2y),
因为x,y满足方程组
所以原式=122×11=1 584.

16.【新课标·运算能力】阅读下列因式分解的过程,回答问题.
1+x+x(x+1)+x(x+1)2=(1+x)[1+x+x(x+1)]=(1+x)2(1+x)=(1+x)3.
(1)上述分解因式的方法是_____________.
(2)分解因式1+x+x(x+1)+x(x+1)2+…+x(x+1)2 023的结果是_____
_______.
(3)利用(2)中的结论计算:5+52+53+…+52 023.
解析 (1)提公因式法.
(2)(1+x)2 024.
详解:原式=(1+x)[1+x+x(x+1)+…+x(x+1)2 022]
=(1+x)2[1+x+x(x+1)+…+x(x+1)2 021]
……
=(1+x)2 024.
(3)原式= ×4×(5+52+53+…+52 023)
= ×(4×5+4×52+4×53+…+4×52 023)
= ×(1+4+4×5+4×52+4×53+…+4×52 023)-
= -
= .

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