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(共32张PPT)
第六章　二元一次方程组
第2课时　加减消元法
6.2　二元一次方程组的解法
　用加减消元法解二元一次方程组
1.(2025河北联邦外国语学校月考)若方程组 可直
接用加减消元法消去y,则a,b的关系为 ( )
A.互为相反数　　 B.互为倒数
C.绝对值相等　　 D.相等
C
解析　若方程组 可直接用加减消元法消去y,则a,b
相等或互为相反数,即绝对值相等,故选C.
2.(2025河北唐山迁安期中)用加减消元法解方程组
时,如果想消掉x,操作正确的是 ( )
A.②×3-①　　 B.②×3+①
C.①×2-②　　 D.①×2+②
A
解析　②×3-①,得7y=35.故选A.
3.(2025河北廊坊霸州期中)小丽在用“加减消元法”解二元
一次方程组 时,利用①×a+②×b消去x,则a,b的值
可能分别是( )
A.2,5　　 B.3,2
C.-3,2　　 D.2,-5
D
解析　小丽在用“加减消元法”解二元一次方程组
时,利用①×2+②×(-5)消去x,得10x-4y-10x-15y=8-
45,即-19y=-37,则a,b的值可能分别是2,-5,故选D.
4.(2025河北石家庄十六中月考)用加减法解方程组
下列解法正确的是 ( )
A.①×2+②×3消去y
B.①×3-②×2消去y
C.①×3+②×2消去x
D.①×2+②×3消去x
A
解析　要消去y,可以将①×2+②×3,要消去x,可以将①×3-②×
2.故选A.
5.【学科特色·多解法】若5x5y2m+3n与-7x3m+2ny6是同类项,则n-m=
( )
A.1　　 B.-1　　 C.2　　 D.3
A
解析　【解法一】∵5x5y2m+3n与-7x3m+2ny6是同类项,
∴ ②-①,得n-m=1.故选A.
【解法二】∵5x5y2m+3n与-7x3m+2ny6是同类项,
∴ ①×3-②×2,得5m=3,解得m= ,
把m= 代入①,得 ×3+2n=5,解得n= ,
∴n-m= - =1.故选A.
6.(2025河北邯郸武安期末)若x,y满足方程组 则x+y
= ___.
7
解析 ①-②,得x+y=7.
7.用加减消元法解方程组:
(1)(2025河北廊坊期末)
(2)(2025河北秦皇岛抚宁期末)
解析 (1) ②×3,得6x+3y=39③,
①+③,得10x=50,解得x=5,
把x=5代入②,得10+y=13,解得y=3,
∴原方程组的解为
(2) ①+②,得5x=15,解得x=3,
把x=3代入①,得3×3+ =0,解得y=-18,
∴原方程组的解为
8.【学科特色·教材变式P12T3】已知 和 是方程
ax+by=3的两组解.
(1)求a,b的值.
(2)在二元一次方程ax+by=3中,求当x=0时y的值以及y=0时x的
值.
解析 (1)由题意,得 解得
(2)由(1)可知二元一次方程为2x-3y=3.
当x=0时,-3y=3,解得y=-1;
当y=0时,2x=3,解得x= .

9.(2025河北邯郸期中改编,★★★)已知关于x,y的方程组
给出下列结论:①当a=3时,该方程组的解是
②无论a取何值,x,y的值都不可能互为相反数;③当a=-
3时,方程组的解也是方程2x+y=15+a的解.其中正确的个数为
( )
A.0　　 B.1　　 C.2　　 D.3
B
解析　①当a=3时,方程组化为 把
代入方程组得 方程组中的两个方程
都成立,故方程组的解是 故①正确.②若x,y的值互为相
反数,则x+y=0,故y=-x. ①+②得2x+2y=6-6a,即
x+y=3-3a,∴3-3a=0,解得a=1,故当a=1时,x,y的值互为相反数,
故②错误.③当a=-3时,方程组化为 解得 把
代入方程2x+y=15+a得12+6=15+a,解得a=3,矛盾,故③
错误.
综上所述,正确的个数为1.故选B.
10.(2025江苏淮安期末,★★☆)已知关于x,y的方程组
若x-y=2k-1,则k的值为_____________.
5
解析 ①+②,得x-y=9,
∵x-y=2k-1,∴2k-1=9,解得k=5.
11.(2025河北沧州期末,★★☆)嘉淇准备完成题目:解二元一
次方程组 发现系数“”印刷不清楚.
(1)他把“”猜成5,请你解二元一次方程组
(2)妈妈说:“你猜错了,我看到在该题的标准答案中x与y互为
相反数.”请你通过计算说明原题中“”是几.
解析 (1)
①+②×2,得11x=14,解得x= ,
将x= 代入②,得5× +y=4,解得y=- ,
∴原方程组的解为
(2)设印刷不清的数字为a,由题意,得x=-y,
将x=-y代入x-2y=6,得y=-2,所以x=2.
将 代入ax+y=4,得a=3,即原题中“ ”是3.
12.【新考向·新定义题】(2025河北石家庄八十九中月考,★
★★)现定义某种运算“★”,对给定的两个有理数a,b有a★b
=2a-b.
(1)求(-2)★(-4)的值.
(2)若 ★2=4,求x的值.
(3)若x★3y=-4,2x★y=2,则x★y=_____________.
解析 (1)根据题意,得(-2)★(-4)=2×(-2)-(-4)=0.
(2)设 =m,则m★2=4,根据题意得2m-2=4,解得m=3,则
=3,即 =3或-3,解得x=-5或7.
(3)若x★3y=-4,2x★y=2,
则2x-3y=-4,4x-y=2.
联立得方程组 解得
∴x★y=1★2=2×1-2=0.

13.【新课标·运算能力】(2025吉林长春期末)小明同学在解
方程组 时发现:如果用常规的代入消元法、加
减消元法来解,计算量大,且易出现运算错误,若采用下面的解
法则比较简单:
①+②,得11x+11y=11,即x+y=1.
②-①,得x-y=9,
最后重新组成方程组 进而求得方程组的解.这种解
二元一次方程组的方法我们称为二元一次方程组的轮换对称
解法.
(1)方程组 的解为________.
(2)利用轮换对称解法解方程组
解析 (1)根据题意得
③+④,得2x=10,解得x=5,
将x=5代入③,得y=-4,
∴方程组 的解为
故答案为
(2)
①+②,得4 049x+4 049y=8 098,
即x+y=2③,②-①,得x-y=4④,
③+④,得2x=6,解得x=3,
把x=3代入③,得y=-1,∴原方程组的解为 (共27张PPT)
第六章　二元一次方程组
第1课时　二元一次方程组的应用(一)
6.3　二元一次方程组的应用
　列二元一次方程组解决和差倍分问题
1.(2025河北沧州孟村期末)在社会实践中,某班组织学生去植
树,如图所示的是红红和亮亮的对话.设植树的男生有x人,女
生有y人,则可列方程组为( )
D
A. 　　 B.
C. 　　 D.
2.【新考向·数学文化】(2025青海中考)我国明代数学著作
《算法统宗》中有这样一个问题:“隔墙听得客分银,不知人
数不知银,七两分之多四两,九两分之少半斤.试问各位善算者,
多少人分多少银 ”译文:“隔着墙壁听见客人在分银两,不知
道有多少人,多少银两.若每人分7两,则还多4两,若每人分9两,
则还差8两.请问有多少客人 共分多少银两 ”设客人为x人,
银两为y两.根据题意可列方程组为 ( )
A. 　 B. 　　 C. 　 D.
D
解析　根据“若每人分7两,则还多4两”,可得y=7x+4,根据
“若每人分9两,则还差8两”,可得y=9x-8,故可列方程组为

3.(2025河北石家庄四十中期中)学校计划采购一批白色和黄
色乒乓球,若购买白色乒乓球3盒、黄色乒乓球2盒,共需34元;
若购买白色乒乓球2盒、黄色乒乓球3盒,共需36元.通过设适
当的未知量可列出方程组为 若用①-②可得x-y
=-2,下列关于“x-y=-2”的意义解释正确的是 ( )
A.每盒白色乒乓球比黄色乒乓球贵2元
B.白色乒乓球比黄色乒乓球多买了2盒
C.每盒白色乒乓球比黄色乒乓球便宜2元
C
D.白色乒乓球比黄色乒乓球少买了2盒
解析　由题意可知每盒白色乒乓球x元,每盒黄色乒乓球y元,
∴“x-y=-2”说明每盒白色乒乓球比黄色乒乓球便宜2元.
4.【学科特色·多解法】在如图所示的长方形中放置了8个大
小和形状完全相同的小长方形(空白部分),根据图中提供的数
据,可知每个小长方形的面积为_____.

22
解析　【解法一】设小长方形的宽为x,长为y,
根据题意得 解得
故每个小长方形的面积为11×2=22.
【解法二】设小长方形的宽为x,则小长方形的长为17-3x,
∴3x+9=2x+17-3x,解得x=2,则17-3x=11.
故每个小长方形的面积为11×2=22.
　列二元一次方程组解决配套问题
5.【学科特色·教材变式P17例1】(2025河北石家庄藁城期末)
在某款游戏的周边制作中,某工厂安排工人制作手办和徽章.
已知一共有60名工人参与制作,每人每天能制作手办5个或者
徽章8个,且每1个手办要搭配3个徽章进行套装售卖,设安排x
名工人制作手办,y名工人制作徽章,能恰好全部配成套装,下
面所列方程组正确的是 ( )
A. 　 B. 　 C. 　 D.
C
解析　根据“一共有60名工人参与制作”可得x+y=60,根据
“每人每天能制作手办5个或者徽章8个,且每1个手办要搭配
3个徽章进行套装售卖”可得3×5x=8y,故可列方程组为

6.(2025山西太原期末)某文具店用3 800元购进一批钢笔式毛
笔和匹配的墨囊,已知一支钢笔式毛笔的进价为30元,一支墨
囊的进价为2元,为吸引顾客,文具店将1支钢笔式毛笔和4支墨
囊搭配成套装进行销售,所购进的钢笔式毛笔和墨囊恰好配
套,则该文具店购进钢笔式毛笔和匹配的墨囊的数量分别为_
______支,_______支.
400
100
解析　设购进钢笔式毛笔x支,匹配的墨囊y支.
根据题意得 解得

7.【新考向·数学文化】(2025河北石家庄正定三模,★★☆)
《九章算术》是中国古代重要的数学著作,其中“方程术”
记载:今有甲、乙二人持钱不知其数.甲得乙半而钱五十,乙得
甲太半而亦钱五十,问甲、乙持钱各几何 其大意:甲、乙两人
各有若干钱,如果甲得到乙所有钱的一半,那么甲共有50钱;如
果乙得到甲所有钱的三分之二,那么乙也共有50钱.问甲、乙
两人各有多少钱 下列说法错误的是 ( )
C
B.甲有 钱,乙有25钱
C.设甲有x钱,则乙有 钱
D.设甲有x钱,乙有y钱,可得方程组
A.设乙有x钱,可得方程 +x=50
解析　设乙有x钱,可得甲有 钱,根据题意得
+x=50,故A正确,不符合题意;
解方程 +x=50,得x=25,∴50- x= ,即甲有 钱,乙
有25钱,故B正确,不符合题意;设甲有x钱,则乙有 钱,
故C错误,符合题意;设甲有x钱,乙有y钱,根据题意可得,甲的钱
+乙的钱的一半=50钱,乙的钱+甲的钱的 =50钱,据此可列方
程组为 故D正确,不符合题意.故选C.
8.【新课标·中华优秀传统文化】(★★☆)在我国传统文化中,
“喜寿”“米寿”“白寿”分别是77岁、88岁、99岁的雅
称.小花在她的年龄是她妈妈年龄的 时,曾为奶奶贺喜寿,她
在年龄为妈妈年龄的 时,又为奶奶贺米寿,则小花在___岁时,
将为奶奶贺白寿.
33
解析　设小花为奶奶贺喜寿时年龄为x岁,此时妈妈的年龄为
y岁,奶奶的年龄为77岁,
根据题意得 解得
∴当奶奶99岁时,小花的年龄为11+11+11=33(岁),
∴小花在33岁时,将为奶奶贺白寿.
9.(2025福建泉州期中,★★☆)某车间有49名工人,每人每天能
生产螺栓12个或螺母18个,且一个螺栓配两个螺母,为使每天
生产的螺栓与螺母刚好配套,则该车间应分配多少名工人生
产螺栓,多少名工人生产螺母
解析　设应分配x名工人生产螺栓,y名工人生产螺母,
根据题意,得 解得
故应分配21名工人生产螺栓,28名工人生产螺母.

10.【新课标·模型观念】(2025河北承德期末节选)【项目主
题】绿色校园,资源再生.
【项目背景】某校七年级为响应“低碳生活”号召,开展
“废品重生计划”实践活动,号召学生将可回收物分类收集,
兑换学习用品和环保工具,培养节约习惯.某班45人全部参与,
活动持续三周.
【活动步骤】
第一步:每周收集易拉罐和旧报纸;
第二步:每周五根据兑换规则将回收物兑换为笔记本或大环
保袋;
第三步:生活委员记录每周收集和兑换数据.
数量 第一周 第二周 第三周
易拉罐/个 80
旧报纸/张 120
总数 200 188
兑换规则: 5个易拉罐或4张旧报纸换1本笔记本; 25个易拉罐或20张旧报纸换1个大环保袋
【统计数据】
【解决问题】
(1)若该班第一周将收集到的所有易拉罐和旧报纸全部兑换
笔记本,则可兑换多少本
(2)若该班第二周将收集到的所有易拉罐和旧报纸全部兑换
笔记本(易拉罐和报纸总数可整除且无剩余),共兑换了41本.
求第二周收集的易拉罐和旧报纸的数量.
解析 (1) + =46(本).
答:该班第一周将收集到的所有易拉罐和旧报纸全部兑换笔
记本,可兑换46本.
(2)设第二周收集的易拉罐有x个,旧报纸有y张,
由题意得 解得
答:第二周收集的易拉罐有120个,旧报纸有68张.(共27张PPT)
第六章　二元一次方程组
第2课时　二元一次方程组的应用(二)
6.3　二元一次方程组的应用
　列二元一次方程组解决增长(降低)率及销售问题
1.(2025甘肃陇南期末)为响应低碳排放的号召,甲、乙两厂对
设备进行升级.升级前两厂年碳排放的总量为200吨,升级后甲
厂的碳排放量减少20%,乙厂的碳排放量减少30%,两厂年碳
排放的总量减少24%,求升级前甲、乙两厂的碳排放量各是
多少吨.
解析　设升级前甲厂的碳排放量为x吨,乙厂的碳排放量为y
吨,由题意得

解得
答:升级前甲厂的碳排放量为120吨,乙厂的碳排放量为80吨.
2.(2025河北邯郸期末)“预防为主,生命至上”.商场计划购进
一批消防器材进行销售,已知购进15个干粉灭火器和20个消
防自救呼吸器共需1 500元,购进20个干粉灭火器和25个消防
自救呼吸器共需1 950元.
(1)求一个干粉灭火器和一个消防自救呼吸器的进价分别是
多少元.
(2)该商场计划用4 800元购进干粉灭火器和消防自救呼吸器
共100个,销售时,干粉灭火器在进价的基础上加价30%进行销
售,消防自救呼吸器每件加价10元进行销售,求全部售出后共
可获利多少元.
解析 (1)设一个干粉灭火器的进价为x元,一个消防自救呼吸
器的进价为y元,
由题意得 解得
答:一个干粉灭火器的进价为60元,一个消防自救呼吸器的进
价为30元.
(2)设购进干粉灭火器m个,购进消防自救呼吸器n个,由题意得
解得
∴购进干粉灭火器60个,购进消防自救呼吸器40个,
∴全部售出后共可获利60×30%×60+10×40=1 480(元).
答:全部售出后共可获利1 480元.
　列二元一次方程组解决行程问题
3.【学科特色·教材变式P20T2】(2025河北唐山期中)请欣赏
我国古典文学名著《西游记》描述孙悟空追妖精的数学诗:
悟空顺风探妖踪,千里只行四分钟,归时四分行六百,风速多少
才称雄 解释:孙悟空顺风去查妖精的行踪,4分钟就飞行1 000
里,逆风返回时4分钟飞行600里.若设孙悟空的速度为x里/分
钟,风速为y里/分钟,则可列方程组为 ( )
D
A. 　　 B.
C. 　　 D.
解析　孙悟空的速度为x里/分钟,风速为y里/分钟,则可列方程
组为 故选D.
4.【学科特色·教材变式P21T2】(2025河北承德期末)甲、乙
两车分别从相距210千米的A,B两地相向而行.
(1)两车均保持匀速行驶且甲车的速度是乙车速度的2倍,若甲
车比乙车提前2小时出发,则甲车出发后3小时两车相遇.求
甲、乙两车的速度分别是多少(单位:千米/小时).
(2)如果甲、乙两车保持(1)中的速度,两车同时出发相向而行,
求经过多少小时两车相距30千米.
解析 (1)设甲车的速度是x千米/小时,乙车的速度是y千米/小时,
根据题意得 解得
答:甲车的速度是60千米/小时,乙车的速度是30千米/小时.
(2)设经过t小时两车相距30千米,根据题意得,
若两车相遇前,则60t+30t=210-30,解得t=2,
若两车相遇后,则60t+30t=210+30,解得t= .
答:经过2小时或 小时两车相距30千米.

5.(2025河北石家庄四十八中月考,★★☆)爸爸骑摩托车带着
小明在公路上匀速行驶,小明每隔一段时间看到的里程碑上
的数如下:
时刻 9:00 10:00 11:30
里程 碑上 的数 是一个两位
数,它数位上
的两个数字
之和是6 是一个两位
数,它的十位
与个位数字
与9:00所看到
的正好互换
了 是一个三位
数,它比9:00
时看到的两
位数中间多
了个0
则10:00时看到里程碑上的数是 ( )
A.15　　 B.24　　 C.42　　 D.51
D
解析　设小明9:00时看到的两位数十位数字为x,个位数字
为y,即两位数为10x+y,
则10:00时看到的两位数为x+10y,9:00~10:00行驶的里程数为
(10y+x)-(10x+y),
11:30时看到的数为100x+y,11:30~10:00行驶的里程数为(100x
+y)-(10y+x),
依题意得
解得 ∴10:00时小明看到的两位数是10y+x=51.
6.(2025河北石家庄润德学校月考,★★☆)甲、乙两家电器商
场出售同样的空气净化器和过滤网,空气净化器和过滤网在
两家商场的售价一样.已知购买1个空气净化器和2个过滤网
要花费2 440元,购买2个空气净化器和3个过滤网要花费4 760
元.
(1)求1个空气净化器与1个过滤网的销售价格分别是多少元.
(2)为了迎接新年,两家商场都在搞促销活动,甲商场规定:这两
种商品都打九五折;乙商场规定:买1个空气净化器赠送2个过
滤网.若某单位想要买10个空气净化器和30个过滤网,如果只
能在一家商场购买,请问选择哪家商场购买更合算 请说明理
由.
解析 (1)设1个空气净化器的销售价格为x元,1个过滤网的销
售价格为y元,
由题意得 解得
答:1个空气净化器的销售价格为2 200元,1个过滤网的销售价
格为120元.
(2)选择乙商场购买更合算,理由如下:
在乙商场购买所需费用为2 200×10+(30-10×2)×120=23 200
(元),
在甲商场购买所需费用为0.95×(2 200×10+120×30)=24 320
(元),
∵24 320>23 200,∴选择乙商场购买更合算.

7.【新课标·模型观念】(2025河北邯郸期中节选)随着AI技术
的发展,越来越多的行业引入机器人来高效、精准地完成工
作,装卸机器人是物流自动化的重要设备,广泛应用于港口和
仓库,市面上原有l1、l2两种型号机器人,后来又新推出升级版S
型机器人.
素材1:一台l1型机器人工作2小时,一台l2型机器人工作4小时
一共可卸3 200件货物;一台l1型机器人工作3小时,一台l2型机
器人工作2小时一共可卸2 800件货物.
素材2:某大型仓库需要一小时内完成6 000件货物的卸货工
作.
素材3:三种机器人每台卸货的工作效率和耗电量如表所示:
型号 工作效率/(件/小时) 耗电量/(度/小时)
l1 x 3
l2 y 2.5
S 800 3
根据上面的材料,回答下列问题.
(1)求x和y的值.
(2)仓库使用若干台l1、l2两种型号机器人恰好一小时完成本
次卸货任务,总共要耗电_______度.
解析 (1)一台l1型机器人的工作效率是x件/小时,一台l2型机
器人的工作效率是y件/小时,
∴ 解得
∴一台l1型机器人的工作效率是600件/小时,一台l2型机器人
的工作效率是500 件/小时.
(2)设仓库使用l1型机器人a台,l2型机器人b台,∴600a+500b=6
000,整理得a=10- b,
∵a,b是正整数,∴a=5,b=6,
∴仓库使用l1型机器人5台,l2型机器人6台,
∴总共耗电3×5+2.5×6=30(度).(共35张PPT)
第六章自主检测
时间：60分钟 满分：100分
一、选择题(共8小题,每题5分,共40分)
1.(2025河北廊坊期末)下列方程中,是二元一次方程的是
( )
A.3a-b=5c　　 B.3xy+9=0
C. +4y=3　　 D.4x=
D
解析 A.3a-b=5c中含有三个未知数,不是二元一次方程,不
符合题意;B.3xy+9=0中含有未知数的项的次数不是1,不是二
元一次方程,不符合题意;C. +4y=3中含 ,不是整式方程,不
是二元一次方程,不符合题意;D.4x= 是二元一次方程,符
合题意.故选D.
2.(2025河北秦皇岛昌黎期中)将2y-3x=1变形,用含x的代数式
表示y,正确的是 ( )
A.y= 　　 B.y=
C.x= 　　 D.x=
A
解析 　由2y-3x=1,得2y=1+3x,∴y= .故选A.
3.(2025河北邯郸临漳期末)解关于x,y的二元一次方程组
将①代入②,消去y后所得到的方程是 ( )
A.3x+4x-3=8　　 B.3x+4x+3=8
C.3x+4x-6=8　　 D.3x+4x+6=8
C
解析 　将①代入②,消去y后所得到的方程是3x+2(2x-3)=8,
去括号,得3x+4x-6=8.故选C.
4.(2025河北秦皇岛期末)已知关于x,y的二元一次方程组
用加减消元法无法消元的是( )
A.①×3+②×2　　 B.①×5-②
C.①×(-5)+②　　 D.①×3+②×(-2)
D
解析　选项A,①×3+②×2,得13x=32,消去y,不符合题意;选项
B,①×5-②,得13y=23,消去x,不符合题意;选项C,①×(-5)+②,得-
13y=-23,消去x,不符合题意;选项D,①×3+②×(-2),得-7x+12y=
4,x和y均未消去,符合题意.故选D.
5.(2025河北沧州期末)关于x,y的方程组 的解是
其中y的值被盖住了,不过仍能求出p,p的值是
( )
A.- 　　 B. 　　 C.- 　　 D.

A
解析 　将 代入x+y=3,得1+▲=3,
解得▲=2,即y=2,将 代入x+py=0,得1+2p=0,解得p=- .故
选A.
6.【跨物理·声速】(2025河北沧州南皮四中期中)声音在某介
质中传播的速度随着温度的变化而变化,若用v表示声音在该
介质中的传播速度,x表示温度,则v,x满足:v=ax+b(a,b为常数).
若x=10时,v=337,x=-10时,v=325.则a,b的值分别为 ( )
A.-0.6,331　　 B.0.6,331
C.6,33　　 D.-6,33
B
解析 　∵v,x满足:v=ax+b(a,b为常数),x=10时,v=337,x=-10时,
v=325,
∴ 解得 故选B.
7.【新课标·爱国教育】(2025黑龙江齐齐哈尔中考)神舟二十
号发射窗口时间恰逢第十个“中国航天日”.为激发青少年
探索浩瀚宇宙的兴趣,学校组织900名师生乘车前往航空科技
馆参观,计划租用45座和60座两种客车(两种客车都要租),若
每名学生都有座位且每辆客车都没有空座位,则租车方案有
( )
A.3种　　 B.4种　　 C.5种　　 D.6种
B
解析　设租用45座客车x辆,60座客车y辆,由题意得45x+60y=
900,∴x= ,
∵x,y均为正整数,∴当y=3时,x=16;当y=6时,x=12;当y=9时,x=8;
当y=12时,x=4.∴共4种满足条件的正整数解,对应4种租车方
案.故选B.
8.(2025河北唐山三十九中月考)如图,从左上角标注2的圆圈
开始,沿顺时针方向按an+b的规律(n表示前一个圆圈中的数
字,a,b是常数)转换后得到下一个圆圈中的数,则标注问号的
圆圈中的数应是 ( )

A.122　　 B.66　　 C.178　　 D.89
A
解析 　根据题意可得 解得 ∴沿顺时针方
向按2n+6的规律(n表示前一个圆圈中的数字)转换后得到下
一个圆圈中的数,当n=58时,2n+6=2×58+6=122,即标注问号的
圆圈中的数应是122.故选A.
二、填空题(共4小题,每题5分,共20分)
9.(2025江苏徐州中考)若二元一次方程组 的解为
则a+b的值为______.
1
解析 ①+②,得5x=5,解得x=1,将x=1代入①,得3+
y=3,解得y=0,∴该方程组的解为 ∴a=1,b=0,∴a+b=1+0=
1.
10.(2025河北石家庄润德学校月考)已知关于x,y的方程组
那么x与y的关系是________.
x+y=1
解析 ②×2,得2x+6y=2k③,
①+③,得5x+5y=5,即x+y=1.
11.(2025河北张家口宣化期中)已知方程组 的解
是 则 的解是________.
解析　由题意得方程组 的解满足
解得
12.(2025湖北十堰期末)甲、乙、丙三人共解100道数学题,每
人都只会做其中的60道题,且三人合在一起,这100道都能解答
出来.将其中只有一人会做的题目叫难题,三人都会做的题叫
容易题,则难题比容易题多_______道.
20
解析　设只有1人解出的题目道数为x,有2人解出的题目道数
为y,有3人解出的题目道数为z,
那么3人共解出的题目道数为x+2y+3z=60×3①,
除掉重复的部分,3人共解出的题目道数为x+y+z=100②,②×2-
①,得x-z=20.
三、填空题(共3小题,共40分)
13.(2025河北廊坊六中月考)(10分)解方程组:
(1) 　　　 (2)
解析 (1) 由②得x=y+1③,
把③代入①得2(y+1)-3y=5,解得y=-3,
把y=-3代入③,得x=-3+1=-2,
∴原方程组的解为
(2) ①+②×2,得7x=10,解得x= ,
把x= 代入①,得3× -2y=8,解得y=- ,
∴原方程组的解为
14.(2025广西中考)(15分)自2025年5月9日起至2025年12月31
日,周末自驾游广西的外省籍小客车,可享受高速公路车辆通
行费(以下简称高速费)优惠.小悦一家5月中旬从湖南自驾到
广西探亲游玩,此次全程所产生的高速费享受的优惠如下:
湖南境 内路段 广西境内 特定路段 广西境内
其他路段
周一至 周四 9.5折
周五至 周日 9.5折 全免 5折
(1)周六小悦一家从湖南Z市到广西A市,所经湖南境内路段、
广西境内特定路段和其他路段的高速费原价分别为a元、b元
和c元.求此行程的高速费实付多少元,比原价优惠了多少元.
(用代数式表示)
(2)周日他们从A市到K市(全程在广西境内),高速费实付27.55
元;周一从K市原路返回到A市,高速费实付95.95元.求此行程
中A市与K市间广西境内特定路段和其他路段的单程高速费
原价分别是多少元.
解析 (1)此次行程高速费原价为(a+b+c)元,
实付0.95a+0+0.5c=(0.95a+0.5c)元,
优惠了(a+b+c)-(0.95a+0.5c)=(0.05a+b+0.5c)元.
(2)设此行程中A市与K市间广西境内特定路段和其他路段的
单程高速费原价分别为x元和y元,
由题意得 解得
答:此行程中A市与K市间广西境内特定路段和其他路段的单
程高速费原价分别是45.9元和55.1元.
15.【新考向·新定义题】(2025河北邯郸期末)(15分)定义:对
于关于x,y的二元一次方程ax+by=c(其中a≠b≠c),将x的系数a
与常数c互换.得到的新方程cx+by=a称为原方程ax+by=c的
“对称方程”.例如方程3x+2y=7的“对称方程”为7x+2y=3.
(1)方程2x-3y=-1的“对称方程”为_______,它们组成的方程
组的解为_______.
(2)若关于x,y的二元一次方程3x+my=8与它的“对称方程”组
成的方程组的解为 求m,n的值.
解析 (1)由题意可知方程2x-3y=-1的“对称方程”为-x-3y=
2,
解得
故答案为-x-3y=2;
(2)由题意可得方程组
①-②,得-5x=5,解得x=-1,
∵方程组的解为 ∴m=-1,
把x=-1,m=-1,代入①,得3×(-1)-y=8,解得y=-11,∴n=-11.(共36张PPT)
第六章　二元一次方程组
6.1　二元一次方程组
　二元一次方程的有关概念
1.(2025河北石家庄长安期末)已知☆+2y=1是一个二元一次方
程,则☆可能是 ( )
A.x　　 B.x2
C.y　　 D.
A
解析 A.当☆是x时,x+2y=1是二元一次方程;B.当☆是x2时,x2
+2y=1中,x的次数是2,故x2+2y=1不是二元一次方程;C.当☆是y
时,y+2y=1中,只含有一个未知数,不是二元一次方程;D.当☆是
时, +2y=1中, 不是整式,故 +2y=1不是二元一次方程.故
选A.
2.(2025河北石家庄藁城期末)下列4组数值中,不是二元一次
方程3x-y=6的解的是 ( )
A. 　　 B.
C. 　　 D.
A
解析　将 代入方程得3x-y=-6≠6,符合题意,故选A.
3.【学科特色·易错题】(2025河北邯郸期末)如果(R-2)x|R|-1-3y=
2是关于x,y的二元一次方程,那么3R-2的值为 ( )
A.4　　 B.-8
C.8　　 D.4或-8
B
解析　根据题意得 解得R=-2,∴3R-2=-6-2=-8,故
选B.
易错警示　容易忽略未知数的系数不能为0的情况.
4.已知2x-3y+6=0,用x表示y:_____________;用y表示x:_______
x=
　 y= 　
解析 2x-3y+6=0,移项,得-3y=-2x-6,两边同时除以-3,得y=
,2x-3y+6=0,移项,得2x=3y-6,两边同时除以2,得x= .
5.(2025河北廊坊期末)已知 是二元一次方程3x+2y=12的
一组解,则a的值为____.
3
解析　把 代入二元一次方程3x+2y=12,得3×2+2a=12,解
得a=3.
　二元一次方程组的有关概念
6.【学科特色·教材变式P4T2】(2025河北邯郸期中改编)下列
方程组 中,不属于二元
一次方程组的有 ( )
A.0个　　 B.1个
C.2个　　 D.3个
D
解析 中, +y=7不是整式方程,故不是二元一次
方程组; 满足二元一次方程组的定义,是二元一次方
程组; 中,xy=4的含未知数的项的次数是2,故不是二
元一次方程组; 中含有三个未知数,故不是二元一次
方程组.故选D.
7.(2025山东临沂期末)若关于x,y的二元一次方程ax+by=p,mx+
ny=q的部分解分别如表1、表2所示:
表1: 　表2:
则关于x,y的方程组 的解为( )
A. 　　 B. 　　 C. 　　 D.
A
解析　由题表数据可得两个方程的公共解是
则方程组 的解为 故选A.
8.若关于x,y的二元一次方程组 的解为 则
“□”可以表示为 ( )
A.x　　 B.x2-3y
C.y-x　　 D.x-y
C
解析 A.∵x=1≠2,∴“□”不可以表示为x;
B.x2-3y=2不是二元一次方程;
C.当 时,y-x=3-1=2,则“□”可以表示为y-x;
D.当 时,x-y=1-3=-2≠2,则“□”不可以表示为x-y.
故选C.
　根据实际问题列二元一次方程(组)
9.【新考向·数学文化】(2025山东临沂中考)明代数学家吴敬
的《九章算法比类大全》中有一个“哪吒夜叉”问题,大意:
有3个头,6只手的哪吒若干,有1个头,8只手的夜叉若干,两方交
战,共有36个头,108只手.问哪吒、夜叉各有多少 设哪吒有x
个,夜叉有y个,则根据条件所列方程组为( )
A. 　　 B.
C. 　　 D.
D
解析　根据题意可得等量关系:哪吒头的数量+夜叉头的数量
=36,哪吒手的数量+夜叉手的数量=108,∵哪吒有x个,夜叉有y
个,∴可列方程组为 故选D.
10.【学科特色·教材变式P5T5】(2025山东泰安新泰一模)一
个两位数,十位数字比个位数字的2倍大1.若这个两位数减去3
6恰好等于个位数字与十位数字对调后所得的两位数,设十位
数字是x,个位数字是y,则可列方程组为____________
________________________.

解析　∵十位数字比个位数字的2倍大1,
∴x-2y=1.
∵这个两位数减去36恰好等于个位数字与十位数字对调后所
得的两位数,∴10x+y-36=10y+x.
∴可列出方程组为

11.(2025浙江杭州期中,★★☆)现有A,B,C,D四张卡片,每张卡
片上分别写有一个二元一次方程.若取两张卡片,联立后得到
的二元一次方程组的解为 则所取的两张卡片是( )
A x-y=9　　　　 B 2x-3y=-9
C x-y=1　　　　 D 3x-2y=-5

C
A.A和B　　 B.B和C
C.C和D　　 D.A和D
解析　卡片A,当 时,方程左边=-7-(-8)=1,方程右边=9,
∵1≠9,∴方程左边≠方程右边,卡片A不符合题意;卡片B,当
时,方程左边=2×(-7)-3×(-8)=10,方程右边=-9,∵10≠-9,
∴方程左边≠方程右边,卡片B不符合题意;卡片C,当
时,方程左边=-7-(-8)=1,方程右边=1,∵1=1,∴方程左边=方程
右边,卡片C符合题意;卡片D,当 时,方程左边=3×(-7)-2
×(-8)=-5,方程右边=-5,
∵-5=-5,∴方程左边=方程右边,卡片D符合题意.∴所取的两
张卡片是C和D.故选C.
12.(2025山东济宁任城期中,★★☆)为弘扬和传承长征精神,
某学校老师准备带该校八年级学生乘车到某红色教育基地学
习,若学校租用45座客车若干辆,则15人没有座位;若租用同样
数量的60座客车,则多出一辆车,且其余客车恰好坐满.设租用
45座客车x辆,师生共y人,则可列方程组为 ( )
A. 　　 B.
C. 　　 D.
B
解析　由“若学校租用45座客车若干辆,则15人没有座位”
可得方程45x+15=y;由“若租用同样数量的60座客车,则多出
一辆车,且其余客车恰好坐满”可得方程60(x-1)=y,所以可列
方程组为 故选B.
13.(2025河北唐山迁安期中,★★★)某社区活动中心计划出
资500元全部用于购进跳棋、象棋、围棋,其进货情况如表,如
果每一种棋类都要购买,购买方案有 ( )
B
种类 单价/元 套数
跳棋 16 5
象棋 40 x
围棋 60 y
A.2种　　 B.3种　　 C.4种　　 D.5种
解析　根据题意得16×5+40x+60y=500,∴y=7- x,
又∵x,y均为正整数,∴ 或 或 ∴购买方案有3
种,故选B.
14.(2025河南许昌期末,★★☆)已知关于x,y的二元一次方程
组 小颖在解这个方程组时误将a前面的“-”抄成
了“+”,解得 求5a-3b的值.
解析　把 代入 得
∴
∴5a-3b=5.

15.【新课标·抽象能力】(2025江苏南通海安期中)关于x,y的
二元一次方程均可以变形为ax+by=c的形式(其中a,b,c均为常
数且a≠0,b≠0),规定:(a,b,c)为方程ax+by=c的“关联系数”.
(1)二元一次方程 + =1的“关联系数”为_______
_____.
(2)已知关于x,y的二元一次方程的“关联系数”为(1,2,-1),若
为该方程的一组解,且m,n均为正整数,求m,n的值.
　
解析 (1)将方程左右两边同时乘20,并整理得12x+10y=23,
∴二元一次方程的“关联系数”为(12,10,23).
(2)∵关于x,y的二元一次方程的“关联系数”为(1,2,-1),∴该
二元一次方程为x+2y=-1,
∵ 为该方程的一组解,
∴m-15+2(m+n)=-1,∴3m+2n=14,∴n=7- m,
∵m,n都为正整数,
∴ 或 (共16张PPT)
第六章　二元一次方程组
第3课时　用适当方法解二元一次方程组
6.2　二元一次方程组的解法
　选择适当方法解二元一次方程组
1.(2025山东青岛大学附中模拟)解方程组 你认为
下列四种方法中,最简便的是 ( )
A.由②得x=y+2,代入法消去x
B.由①得y=7-2x,代入法消去y
C.由①-②×2,加减消元法消去x
D.由①+②,加减消元法消去y
D
解析　观察 的两个方程中的y的系数互为相反数,
∴解方程组的最佳方法是由①+②,加减消元法消去y.故选D.
2.解以下两个方程组① ② 较为简便的
方法是 ( )
A.①②均用代入法
B.①②均用加减法
C.①用代入法,②用加减法
D.①用加减法,②用代入法
D
解析　①方程组中两个方程含y的项互为相反数,用加减法比
较合适;②方程组中s=3t-1是用t表示s的形式,用代入法比较合
适.故选D.
3.【学科特色·教材变式P14练习】选择合适的方法解下列方
程组:
(1) (2)
(3) (4)
解析 (1) 将①代入②,得7x+5(x+3)=9,解得x=- ,
将x=- 代入①,得y=- +3= ,
∴原方程组的解为
(2)整理方程组,得
①×3+②×2,得17m=306,解得m=18.
将m=18代入①,得54+2n=78,解得n=12,
∴原方程组的解为
(3)整理方程组,得
①×6-②,得4x=-4,解得x=-1,
将x=-1代入①,得-2+y=1.5,解得y=3.5,
∴原方程组的解为
(4)整理方程组,得
①-②,得4y=-28,解得y=-7,
将y=-7代入①,得15x-8×(-7)=-34,解得x=-6,
∴原方程组的解为

4.【学科特色·多解法】(★★☆)解方程组:

解析　【解法一】消元法:
整理,得 ①×2+②,得15y=11,解得y= .将y= 代
入①,得-x+7× =4,解得x= ,
∴原方程组的解为
【解法二】换元法:
①-②,得-5b=-2,解得b= .
将b= 代入②,得3a+ =6,解得a= .
∴ 解得
设x+y=a,x-y=b,则原方程组可以化为 整理,得
5.(2025河北石家庄润德学校月考,★★☆)解方程组
时,两位同学的解法如下:
解法一:由①-②,得3x=-3.
解法二:由②得3x+(x-2y)=5③,
把①代入③得3x+2=5.
(1)反思:上述两种解题过程中你发现解法_______的解题过
程有错误(填“一”或“二”).解二元一次方程组的基本思想
是_______.
(2)请选择你喜欢的方法解方程组:
解析 (1)由①-②,得-3x=-3,
故解法一错误;解二元一次方程组的基本思想是把二元变为
一元,即消元,故答案为一;消元.
(2)【解法一】代入消元法:
将①化为x=4+3y③,把③代入②中,得2(4+3y-2)=3(y+1),解得y=
- ,把y=- 代入③中,得x=3,∴方程组的解为
【解法二】加减消元法:整理,得
①-②得-x=-3,解得x=3,
把x=3代入①,得3-3y=4,解得y=- ,
∴方程组的解为 (共25张PPT)
第六章　二元一次方程组
6.4　三元一次方程组*
　三元一次方程(组)的有关概念
1.若(a+1)x+5yb+1+2z2-|a|=10是一个三元一次方程,则 ( )
A.a=1,b=0　　 B.a=-1,b=0
C.a=±1,b=0　　 D.a=0,b=0
A
解析　∵(a+1)x+5yb+1+2z2-|a|=10是一个三元一次方程,∴a+1≠
0,b+1=1,2-|a|=1,∴a≠-1,b=0,|a|=1,∴a=1.故选A.
2.下列是三元一次方程组的是 ( )
A. 　　 B.
C. 　　 D.
D
解析 A.x2的次数是2,B. 不是整式,C.xyz的次数是3,故选
项A、B、C都不是三元一次方程组,D选项符合三元一次方程
组的定义,故选D.
　三元一次方程组的解法
3.解三元一次方程组 时,要使解法较为简便,
应 ( )
A.先消去x　　 B.先消去y
C.先消去z　　 D.先消去常数
C
解析　根据方程①缺少未知数z,方程②③中未知数z的系数互
为相反数,故应先将②+③,消去z,再把得到的方程与①联立求
解x和y,这样解方程组比较简单.故选C.
4.(2025云南昆明期中)在等式y=ax2+bx+c中,当x=0时,y=-5,当x
=-1时,y=0,当x=2时,y=3,则a,b,c的值分别为 ( )
A.-2,3,-5　　 B.3,-2,-5
C.-5,-2,3　　 D.-5,3,-2
B
解析　∵在等式y=ax2+bx+c中,当x=0时,y=-5,当x=-1时,y=0,当
x=2时,y=3,
∴ 解得 故选B.
5.【学科特色·教材变式P25T1】解方程组:
(1)(2025上海宝山期末)
(2)(2025上海青浦期末)
(3)(2025山东泰安宁阳十二中月考)
(4)(2025山东泰安宁阳十二中月考)
解析 (1)
①-②,得y-z=49④,④+③,得2y=62,解得y=31,
把y=31分别代入①③得 解得
∴方程组的解为
(2) ①+②,得5x+2y=16④,
②+③,得3x+4y=18⑤,④×2-⑤,得7x=14,解得x=2,将x=2代入⑤
得6+4y=18,解得y=3,
将x=2,y=3代入③得2+3+z=6,解得z=1,
故原方程组的解为
(3) ①+②,得6x+2y=10④,
①+③,得6x+6y=6⑤,⑤-④得4y=-4,解得y=-1,
把y=-1代入④,得6x-2=10,解得x=2,
把x=2代入②,得4-z=4,解得z=0,
故原方程组的解为
(4)设x=10k,则y=15k,z=8k,
∵x+y+z=33,∴10k+15k+8k=33,解得k=1,
∴x=10,y=15,z=8,故原方程组的解为

6.(2025河北廊坊部分学校期末,★★☆)利用两块完全相同的
长方体木块测量一张桌子的高度,首先按如图1所示的方式放
置,再交换两木块的位置,按如图2所示的方式放置,测量的数
据如图,则桌子的高度是 ( )

图1 图2
C
A.73 cm　　 B.74 cm
C.75 cm　　 D.76 cm
解析　设桌子的高度为a cm,由题意得 两式相加
得2a=150,解得a=75,即桌子的高度为75 cm.故选C.
7.【新考向·数学文化】(2025福建福州期中,★★☆)北魏数学
家张丘建被称“算圣”,他所著的《张丘建算经》中记载了
各种计算,其中有一题:今有鸡翁一值钱五,鸡母一值钱三,鸡雏
三值钱一,百钱买百鸡,问鸡翁、鸡母、鸡雏各几何 译:一只
公鸡值5钱,一只母鸡值3钱,三只小鸡值1钱.现用100钱买100
只鸡(三种鸡都要买),请问能买公鸡、母鸡、小鸡各多少只
设公鸡有x只,母鸡有y只,小鸡有z只,则下列不符合题意的选项
是 ( )
D
A. 　　 B.
C. 　　 D.
解析　公鸡有x只,母鸡有y只,小鸡有z只,
由题意得
解得y=25- x,z=75+ x,
∵x,y,z均为小于100的正整数,
∴ 或 或
故选D.
8.【新考向·新定义题】(2025福建泉州期中,★★☆)用高等代
数的符号可以将方程组 的系数排成一个表 ,
这种由数列排成的表叫作矩阵.矩阵 表示关于x,y,z
的三元一次方程组,若5x+2y-z为定值,则t与m的关系为______
_.
-1
3t+m=
解析　由题意得
①×3+②,得5x+2y+(3t+m)z=11,
∵5x+2y-z为定值,∴3t+m=-1.

9.【新课标·运算能力】(2025上海闵行期末)【学习材料】
在求代数式的值时,有些题目可以用整体求值的方法,化难为
易.
例如:已知 求2x+y+z的值.
解:②-①,得4x+2y+2z=6③,
③× ,得2x+y+z=3,
所以2x+y+z的值为3.
【类似迁移】
(1)已知 求3x+4y+5z的值.
【实际应用】
(2)学校运动会即将到来,七(2)班学生准备购买若干啦啦队道
具积极准备入场表演,根据商店的价格,若购买3条彩带、2个
头饰、1面小红旗需要28元;若购买7条彩带、5个头饰、3面
小红旗需要66元,七(2)班共45位同学,则购买45条彩带、45个
头饰、45面小红旗共需要多少元
解析 (1)②+①,得6x+8y+10z=36③,
③× ,得3x+4y+5z=18,所以3x+4y+5z的值为18.
(2)设买一条彩带需要x元,一个头饰需要y元,一面小红旗需要z
元,由题意可得
②-①×2,得x+y+z=10,所以45x+45y+45z=450.
答:购买45条彩带、45个头饰、45面小红旗共需要450元.(共19张PPT)
第六章　二元一次方程组
第1课时　代入消元法
6.2　二元一次方程组的解法
　用代入消元法解二元一次方程组
1.(2025河北邯郸武安期末)用代入法解方程组
时,将①变形为用x表示y的形式,再代入到②中,所得到的一元
一次方程是 ( )
A
A.5x+2(x+3)=6
B.5x+2(-x+3)=6
C.5x+2(x-3)=6
D.5x+2(-x-3)=6
解析　由①可得y=x+3③,把③代入②,得5x+2(x+3)=6.故选A.
2.【学科特色·教材变式P8T1】(2025河北衡水阜城期末)用代
入法解方程组 的过程中,使得代入后化简比较容
易的变形是 ( )
A.由①,得x= - y　　 B.由①,得y= - x
C.由②,得x= + 　　 D.由②,得y=2x-5
D
解析　观察方程组可知,用代入消元法求解时,由②,得y=2x-5,
再代入①中最简单.故选D.
3.(2025河北张家口万全期末)对于二元一次方程组
将①式代入②式,消去y可以得x-3x+6=7,则方程
①是 ( )
A.y=x-2　　 B.y=x+2
C.x=2y-1　　 D.x=2y+1
A
解析　∵x-3x+6=7,∴x-3(x-2)=7,
又∵x-3y=7,∴y=x-2.故选A.
4.(2025河北石家庄十七中月考)用代入消元法解下列方程组:
(1) (2)
解析 (1) 由①得x=1-y③,
把③代入②,得1-y-2y=4,解得y=-1,
把y=-1代入①,得x-1=1,解得x=2,
∴原方程组的解为
(2)整理,得
把①代入②,得5y+4y=36,解得y=4,
把y=4代入①,得3x=5×4,解得x= ,
∴原方程组的解为

5.(★★☆)芳芳求得方程组 的解为 由于不小
心两滴墨水遮住了两个数 和☉,则 与☉表示的数分别是
( )
A.6,1　　 B.-6,-1
C.-6,1　　 D.6,-1
A
解析　把 代入方程组 中,得 解得
故选A.
6.(2025河北石家庄藁城期末,★★☆)如图,在数轴上标出若干
个点,每相邻两点相距一个单位长度,点A,B,C,D表示的数分别
是a,b,c,d,且2a-3b=-2,那么数轴的原点是点___.

D
解析　由题意得方程组 解得 即点B所表示
的数是-4,又∵d-b=4,∴d=0,∴原点是点D.
7.【学科特色·整体思想】(★★★)阅读下列解题方法:
解方程组 时,可由①得x-y=1③,
然后将③代入②,得4×1-y=5,解得y=-1,
从而进一步求得原方程组的解为 这种方法被称为
“整体代入法”.
请用同样的方法回答下列问题:
(1)直接写出方程组 的解:_______.
(2)解方程组:
解析 (1) ①变形得x+y=7③,
把③代入②,得4×7-y=25,解得y=3,
把y=3代入③,得x=4,∴方程组的解为
故答案为
(2)
由②得y-2x=3,即2y-4x=6③,
把③代入①,得2+2x=4,解得x=1,
把x=1代入②,得y-2×1+3=6,解得y=5.
∴原方程组的解是

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