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(共30张PPT)
第七章　相交线与平行线
7.4　平行线的判定
　平行线的判定
1.(2025河北邢台平乡一中月考)图1是艺术灯安装师傅安装灯
管时使用的工具,利用这个工具能保证图2中的灯管互相平行,
依据是 ( )

图1
D

图2
A.同位角相等,两直线平行 B.内错角相等,两直线平行
C.同旁内角相等,两直线平行 D.同旁内角互补,两直线平行
2.(2025河北定州期末)如图,点E在BC的延长线上,对于给出的
四个条件:
①∠1=∠3;②∠2+∠5=180°;
③∠4=∠B;④∠D+∠BCD=180°.
其中能判定AD∥BC的是 ( )
B
A.①②　　 B.①④
C.①③　　 D.②④
解析　①∵∠1=∠3,∴AD∥BC;②∵∠2+∠5=180°,∠5=∠
AGC,∴∠2+∠AGC=180°,∴AB∥DC;
③∵∠4=∠B,∴AB∥DC;④∵∠D+∠BCD=180°,∴AD∥BC.
故选B.
3.(2025河北张家口宣化期中)如图所示的是公园的一个健身
器材的正面示意图,若该健身器材的标准为AB∥CD,则以下
三组数据:①∠ABC=100°,∠BCD=80°;②∠ABC=∠BAD=100
°;③∠BAD=100°,∠ADC=80°.其中满足要求的是_____.(请填
写序号)

①③
解析　①∠ABC+∠BCD=100°+80°=180°,∴AB∥CD,满足要
求;②∠ABC=∠BAD=100°,无法判定AB∥CD,不满足要求;③
∠BAD+∠ADC=100°+80°=180°,∴AB∥CD,满足要求.综上所
述,①③满足要求.
4.【学科特色·教材变式P52T2】(2025河北石家庄栾城期末)
如图,BE平分∠ABD,DE平分∠BDC,∠DBE+∠BDE=90°.

求证:AB∥CD.
完成下面的解答过程,并填写理由或数学式:
证明:∵BE平分∠ABD,(已知)
∴∠______=2∠DBE,(理由:________________)
∵DE平分∠BDC,
∴∠BDC=2∠_______,(理由:___________________)
∴∠ABD+∠BDC=2(∠_______+∠_______),(等量代换)
∵∠DBE+∠BDE=90°,(已知)
∴∠ABD+∠BDC=______°,
∴AB∥CD.(理由:___________________________)
同旁内角互补,两直线平行
180
BDE
DBE
角平分线的性质
BDE
角平分线的性质
ABD
5.(2025河北唐山遵化期中)将一副三角板拼成如图1所示的图
形,图2是其示意图,过点C作CF平分∠DCE交DE于点F.
(1)求证:CF∥AB.
(2)求∠DFC的度数.

图1 图2
解析 (1)证明:∵CF平分∠DCE,∴∠1=∠2= ∠DCE,∵∠
DCE=90°,∴∠1=45°,∵∠3=45°,
∴∠1=∠3,∴AB∥CF.
(2)∵∠D=30°,∠1=45°,
∴∠DFC=180°-30°-45°=105°.

6.(2025河北衡水期末,★★☆)如图,点D,E,F分别是△ABC的
边BC,AB,AC上的点,连接DE,DF,在下列给出的条件中,不能判
定AB∥DF的是 ( )

C
A.∠A=∠3　　 B.∠A+∠2=180°
C.∠A=∠1　　 D.∠1=∠4
解析 A.∠A=∠3,则AB∥DF(同位角相等,两直线平行),不符
合题意;B.∠A+∠2=180°,则AB∥DF(同旁内角互补,两直线平
行),不符合题意;C.∠A=∠1,则AC∥DE(同位角相等,两直线平
行),不能判定AB∥DF,符合题意;D.∠1=∠4,则AB∥DF(内错
角相等,两直线平行),不符合题意.故选C.
7.(2025河北石家庄平山月考改编,★★★)如图①,将一副三角
板中的两个直角叠放在一起,其中∠A=30°,∠EDC=45°,BC<
CD方向转动,图②是转动过程中的某一位置,当点E第一次落在
BC的延长线上时停止转动,记∠BCD=k∠ACE(k为常数).对于
下面两个说法,判断正确的是 ( )

A

① ②
甲:当CE⊥AB时,k=2;
乙:当k=3时,DE∥BC.
A.只有甲正确　　 B.只有乙正确
C.甲、乙都正确　　 D.甲、乙都不正确
解析　当CE⊥AB时,∵∠A=30°,∠ACB=90°,
∴∠ABC=60°,∴∠BCE=30°,
∴∠BCD=∠BCE+∠ECD=120°,∠ACE=∠ACB-∠BCE=60°,
∴∠BCD=2∠ACE,∴k=2,故①正确.
∵∠ACB=∠ECD=90°,∴∠BCD+∠ACE=∠ACB+∠ACD+∠
ACE=∠ACB+∠ECD=180°,
如图1,当三角板DCE的旋转角度小于90°时,
若k=3,则∠BCD=3∠ACE,
∴3∠ACE+∠ACE=180°,∴∠ACE=45°,∴∠BCE=90°-∠ACE
=45°,∴∠BCE=∠CED,∴DE∥BC;
如图2,当三角板DCE的旋转角度大于90°时,
同理可得∠ACE=45°,∴∠ACE=∠CED,∴DE∥AC,
∵AC⊥BC,∴DE⊥BC,故②错误.故选A.

图1

图2
8.(2025河北保定期末,★☆☆)如图,若直线l1,l2被第三条直线l3
所截的同旁内角∠α,∠β满足∠β=∠α+30°,则称∠β是∠α的
关联角.已知∠β是∠α的关联角.
(1)当∠α=50°时,∠β=______°.
(2)当2∠α-∠β=45°时,求∠β的度数,并判断直线l1,l2的位置关
系.

解析 (1)∵∠β是∠α的关联角,∠α=50°,
∴∠β=∠α+30°=50°+30°=80°.故答案为80.
(2)∵∠β是∠α的关联角,∴∠β=∠α+30°,
∵2∠α-∠β=45°,∴2∠α-(∠α+30°)=45°,
解得∠α=75°,∴∠β=∠α+30°=105°,
∴∠β+∠α=180°,∴l1∥l2.
9.(2025河北石家庄赵县期中,★★☆)淇淇用6块相同的三角
板(注:在三角板ABC中,∠BAC=30°,∠B=60°,∠ACB=90°)拼接
成一个如图所示的图形.
(1)请你帮她找出图中的各组平行线.
(2)选择(1)中的一组平行线,进行证明.

解析 (1)平行线为BH∥FD,HF∥AD,BD∥AF.
(2)(答案不唯一)选择BH∥FD.
证明:∵∠HAB=6×30°=180°,
∴点H,A,B在同一条直线上.
∵∠FED=2×90°=180°,
∴点F,E,D在同一条直线上.
∵∠B=60°,∠BDF=2×60°=120°,
∴∠B+∠BDF=180°,
∴BH∥FD(同旁内角互补,两直线平行).

10.【新课标·推理能力】(2025江西南昌一中期中)如图,直线
AB和CD被直线MN所截.
(1)如图①,EG平分∠BEF,FH平分∠DFE,则当∠1与∠2什么
数量关系时,AB∥CD 并说明理由.
(2)如图②,EG平分∠MEB,FH平分∠DFE,则当∠1与∠2满足
什么条件时,AB∥CD 并说明理由.
(3)如图③,EG平分∠AEF,FH平分∠DFE,则当∠1与∠2满足
什么条件时,AB∥CD 并说明理由.

图① 图② 图③
解析 (1)当∠1+∠2=90°时,AB∥CD.理由如下:
∵EG平分∠BEF,FH平分∠DFE,∴∠BEF=2∠1,∠DFE=2∠2.
∵∠1+∠2=90°,∴∠BEF+∠DFE=180°,∴AB∥CD.
(2)当∠1=∠2时,AB∥CD.理由如下:
∵EG平分∠BEM,FH平分∠DFE,
∴∠BEM=2∠1,∠DFE=2∠2.
∵∠1=∠2,∴∠BEM=∠DFE,∴AB∥CD.
(3)当∠1=∠2时,AB∥CD.理由如下:
∵EG平分∠AEF,FH平分∠DFE,
∴∠AEF=2∠1,∠DFE=2∠2.
∵∠1=∠2,∴∠AEF=∠DFE,∴AB∥CD.(共38张PPT)
第七章　相交线与平行线
7.3　平行线
　平行线及平行线间的距离
1.(2025河北邢台期中)如图,已知直线m∥n,则下列能表示直
线m,n之间距离的是 ( )
B
A.线段AB的长　　 B.线段AC的长
C.线段AD的长　　 D.线段DE的长
解析　由题意知,表示直线m,n之间距离的是线段AC的长.故
选B.
2.如图,直线AB∥CD,P是直线AB上的动点,当点P的位置发生
变化时,三角形PCD的面积 ( )

A.变小　　
B.变大
C
C.不变　　
D.和点P的移动方向有关
解析 设平行线AB,CD间的距离为h,则S△PCD= CD·h,∵CD的
长度不变,h的大小不变,∴三角形PCD的面积不变.故选C.
3.【学科特色·教材变式P48T1】观察如图所示的长方体.
(1)用符号表示下列两棱的位置关系:AB_______EF,EA_____
_____AB,HE_______HG,AD_______BC.
(2)EF与BC所在的直线是两条不相交的直线,它们_______平
行线(填“是”或“不是”),由此可知,____________内,不相
交的两条直线才能叫作平行线.
∥
⊥
⊥
∥
不是
在同一平面
　平行线的画法
4.(2025贵州黔东南州期末)如图,利用三角板和直尺可以准确
地画出直线AB∥CD,请将弄乱的操作步骤按正确的顺序排列
好,正确的顺序应是 ( )

B
①沿直尺下移三角板;
②用直尺紧靠三角板的另一条边;
③沿三角板的边作出直线CD;
④作直线AB,并用三角板的一条边贴住直线AB.
A.④①②③　　 B.④②①③
C.④②③①　　 D.④③①②
解析　根据“同位角相等,两直线平行”,则正确的操作步骤
是④②①③.故选B.
5.如图,过点C画CE∥AD交BA的延长线于点E(不写画法).

解析　如图,即为所求作.

　平行线的基本事实
6.【学科特色·教材变式P49T1】(2025河北邢台信都月考改
编)已知直线l及直线l外一点O,在经过点O的五条直线a,b,c,d,e
中,与直线l相交的至少有 ( )

A.2条　　 B.3条 C.4条　　 D.5条
C
解析　根据过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平
行,那么与直线l平行的直线只能有1条,所以题图中至少有4条
直线和直线l相交.故选C.
7.(2025宁夏中考)如图,直线l1,l2被直线l3所截,根据“同位角相
等,两直线平行”判定l1∥l2,需要的条件是 ( )

A.∠1=∠2　　 B.∠1=∠3
C.∠1=∠4　　 D.∠2=∠3
C
解析　根据“同位角相等,两直线平行”,当∠1=∠4时,能判
定l1∥l2,故C选项符合题意.故选C.
8.(2025河北唐山期中)下列图形,不能得到AB∥CD的是
( )

A B C D
A
解析 A.如图1,∠ABM=60°,∠CDB=45°,∴∠ABM≠∠CDB,
∴不能证明AB∥CD,故选项A符合题意;B.如图2,∠1=∠2,∴
AB∥CD,故选项B不符合题意;C.如图3,∠1=∠2,∴AB∥CD,
故选项C不符合题意;D.如图4,∠1=∠2=90°,∴AB∥CD,故选
项D不符合题意.故选A.

图1

图2 图3 图4

9.(2025河北唐山期中)如图,AB⊥CD于点B,AE与BF相交于点
G,且∠FGE=60°,∠ABG=30°.判断AE与CD是否平行,并说明
理由.

解析 AE∥CD.理由如下:
∵AB⊥CD,∴∠ABD=90°,∵∠ABG=30°,∴∠DBG=90°-30°=
60°,∴∠DBG=∠FGE,∴AE∥CD.

10.(2025河北沧州献县二中期末,★★☆)如图,在平面内过点
O作已知直线a的平行线和垂线,可作的条数分别是m条和n条,
则m+n的值为 ( )

A.0　 B.1　 C.2　 D.无法确定
C
解析　∵在同一平面内,过直线外一点有且只有一条直线与
已知直线平行,以及在同一平面内,过直线外一点有且只有一
条直线与已知直线垂直,可知m=1,n=1,∴m+n=2.故选C.
11.【学科特色·易错题】(2025河北承德兴隆期中,★★☆)已
知直线a,b,c在同一平面内,且a∥b∥c,a与b之间的距离为5
cm,b与c之间的距离为3 cm,则a与c之间的距离是 ( )
A.2 cm　　 B.8 cm
C.2 cm或8 cm　　 D.以上都不对
C
解析　如图1,a与c之间的距离为5+3=8(cm);
如图2,a与c之间的距离为5-3=2(cm).
∴a与c之间的距离为2 cm或8 cm.故选C.

图1 图2
易错警示　对直线a,b,c的位置不清楚时,需要分情况讨论,避
免漏解.
12.【学科特色·转化思想】(2025湖南郴州期中,★★☆)如图,
AB∥CD,DE∥BC,AE∥BD,以下三角形中,和三角形EBD面积
相等的有 ( )

C
①三角形EDA;②三角形EDC;③三角形ABE;④三角形ABD;⑤
三角形ABC.
A.①②③　　 B.②③④
C.②④⑤　　 D.③④⑤
解析　∵ED∥BC,平行线之间距离相等,∴三角形EDC与三
角形EBD同底等高,∴三角形EDC与三角形EBD的面积相等,
∵AE∥BD,平行线之间距离相等,∴三角形ABD与三角形EBD
同底等高,∴三角形ABD与三角形EBD的面积相等,
∵AB∥CD,平行线之间距离相等,∴三角形ABD与三角形ABC
同底等高,∴三角形ABD与三角形ABC的面积相等,∴S三角形ABC=
S三角形EBD,∴与三角形EBD面积相等的三角形为三角形EDC,三
角形ABD,三角形ABC.故选C.
13.(2025四川成都七中月考,★★☆)如图,直线AB,CD被直线
EF所截,点H为CD与EF的交点,GH⊥CD于点H,∠2=30°,∠1=
60°.试说明:AB∥CD.

证明　∵GH⊥CD,∴∠CHG=90°,
又∵∠2=30°,∴∠3=60°,∴∠4=60°,
又∵∠1=60°,∴∠1=∠4,∴AB∥CD.
14.(2025河北张家口期中,★★☆)已知9×9的正方形网格中
(每个小正方形的边长均为1),每两条线的交点称为格点,∠
AOB经过格点A,O,B,格点P为OB上一点.

(1)不用量角器与三角板,仅用直尺,过点P画OB的垂线,交OA
于点D,过点P画OA的垂线,交OA于点C,过点P画OA的平行线
PH.
(2)直接写出线段PD,PC,OD的大小关系.
解析 (1)如图,PD,PC,PH即为所求作.

(2)∵PC⊥OD,∴PD>PC,
∵PD⊥OB,∴OD>PD,∴PC
15.【新课标·推理能力】(2025江苏徐州西苑中学期末)如图,
将长方形纸片ABCD的∠C沿着GF折叠,使点C落在长方形的
内部点E处,若FH平分∠BFE,MH⊥FH,∠CGF=40°,则GF与
HM的位置关系是_____________.
GF∥HM
解析　∵四边形ABCD是长方形,∴∠C=90°,
∵∠CGF=40°,∴∠CFG=50°,
根据折叠的性质可得∠CFG=∠EFG=50°,
∴∠MFE=180°-∠CFG-∠EFG=80°,
∵FH平分∠BFE,∴∠HFE=∠HFM=40°,∵MH⊥FH,∴∠
HMF=50°,∴∠CFG=∠HMF,∴GF∥HM.(共37张PPT)
第七章　相交线与平行线
第1课时　对顶角和垂线
7.2　相交线
　对顶角
1.(2025河北邯郸丛台汉光实验学校月考)下列图形中,∠1和
∠2是对顶角的是 ( )

A B C D
C
解析 A.∠1和∠2的两边不互为反向延长线,没有公共顶点,
不是对顶角,不符合题意;B.∠1和∠2的两边不互为反向延长
线,不是对顶角,不符合题意;C.∠1和∠2符合对顶角的定义,是
对顶角,符合题意;D.∠1和∠2的两边不互为反向延长线,不是
对顶角,不符合题意.故选C.
2.(2025河北石家庄四十二中期中)如图所示的是一把剪刀,在
使用过程中,若∠COD增加20°,则∠AOB( )

A.减少20° B.增加20°
C.不变 D.增加40°
B
解析　∵∠COD=∠AOB(对顶角相等),∴当∠COD增加20°
时,∠AOB也会增加20°.故选B.
3.【学科特色·分类讨论思想】(2025河北廊坊广阳月考)两条
直线相交所成的四个角中,有两个角分别是(2x-10)°和(110-x)
°,则x=_________.
40或80
解析　两条直线相交所成的四个角中,对顶角相等,邻补角互
补,根据题意可得(2x-10)°=(110-x)°或(2x-10)°+(110-x)°=180°,
解得x=40或x=80.
4.(2025河北联邦外国语学校月考)如图,直线AB,CD相交于点
O,OE平分∠BOD,∠AOC=74°,∠DOF=90°,∠BOE=___°,∠E-
OF=____°.

53
37
解析　∵∠AOC=74°,∴∠BOD=∠AOC=74°,∵OE平分∠
BOD,∴∠BOE=∠DOE= ∠BOD= ×74°=37°,∵∠DOF=90°,
∴∠EOF=90°-37°=53°.
　垂线的定义及垂线的画法
5.在平面内作已知直线的垂线,可作垂线 ( )
A.0条　　 B.1条　　 C.2条　　 D.无数条
D
解析　在同一平面内,与已知直线垂直的直线有无数条,所以
在平面内作已知直线的垂线,可作无数条.故选D.
6.(2025河北廊坊霸州期中)下列各图中,利用直角三角板过直
线l外一点P画l的垂线CD,画法正确的是 ( )

A B C D
D
解析　根据分析可得D的画法正确.故选D.
方法归纳 过直线上(外)一点画已知直线的垂线
一落:把三角板的一条直角边放在已知直线上;二移:沿直线移
动三角板,使三角板的另一条直角边经过已知点;三画:过已知
点沿三角板的另一条直角边画一条直线;四标:在垂足处标出
垂直符号.
7.(2025河北唐山路南期中)如图,直线AB和CD相交于点O,OE
⊥OC.若∠AOC=40°,则∠EOB的大小为 ( )

A.30°　　 B.40°　　 C.50°　　 D.60°
C
解析　∵OE⊥OC,∴∠COE=90°,∵∠AOC+∠COE+∠BOE=
180°,∠AOC=40°,∴∠EOB=180°-90°-40°=50°.故选C.
　垂线段的定义及性质
8.如图,点A是直线l外一点,点B,C,D在直线l上,连接AB,AC,AD,
若AC⊥l,则点A到直线l的距离是 ( )
A.线段AB的长
B.线段AC的长
C.线段AD的长
D.线段BD的长
B
解析　根据垂线段的定义可知点A到直线l的距离为线段AC
的长.
9.【学科特色·教材变式P40T2】(2025河北石家庄桥西期末)
如图,某地进行城市规划,在一条新修公路旁有一超市,现要建
一个汽车站,为了使超市距离车站最近,决定在公路上点C处
来建汽车站,依据是 ( )

B
A.两点之间,线段最短
B.垂线段最短
C.过一点可以作无数条直线
D.两点确定一条直线
解析　根据题意得在连接超市O和公路AD上的四点A,B,C,D
的连线中,只有OC⊥AD,∴为了使超市距离车站最近,车站应
该修建在点C处.依据是垂线段最短.
10.(2025河北廊坊霸州期中)如图,点M,N处各安装了一个路
灯,点P处竖有一广告牌,测得PM=7 m,PN=5 m,则点P到直线
MN的距离可能为( )

A.7 m　　 B.6 m C.5.5 m　　 D.4 m
D
解析　∵PM=7 m,PN=5 m,∴点P到直线MN的距离小于5 m.
故选D.

11.【跨体育与健康·立定跳远】(2025河北唐山路南期中,★
★☆)立定跳远是中考体育项目之一,女生成绩达到或超过1.8
5 m获得满分,达到或超过1.95 m获得加分.如图,一女生在起跳
线l上的点A处起跳,BC⊥l,垂足为C.若该女生获得满分但未获
得加分,则下列说法中正确的是 ( )
D

A.BC可能为1.95 m
B.BC可能为1.8 m
C.AB可能为1.85 m
D.AB可能为1.95 m
解析　∵该女生获得满分但未获得加分,∴点B到直线l的距
离在1.85 m~1.95 m的范围内(包括1.85 m,不包括1.95 m),∵
AB>BC,∴AB可能为1.95 m,故选项D符合题意.故选D.
12.【学科特色·方程思想】(2025河北石家庄赵县期中,★★
☆)如图,直线AB,CD相交于点O,OA平分∠EOC,且∠EOC∶
∠EOB=2∶9,则∠BOD的度数是( )

A.15°　　 B.16°　　 C.18°　　 D.20°　
C
解析 由题意可设∠EOC=2x,∠EOB=9x,∵OA平分∠EOC,∴
∠AOC=∠AOE= ∠EOC=x,∠AOE+∠EOB=180°,即x+9x=18
0°,解得x=18°,∴∠EOA=∠AOC=18°,∴∠BOD=∠AOC=18°.
故选C.
13.【跨物理·光的折射】(2025江西南昌月考,★★☆)光线从
空气射入水中会发生折射现象,如图1所示.小华为了观察光线
的折射现象,设计了如图2所示的实验.通过细管可以看见水底
的物块,但从细管穿过的直铁丝,却碰不上物块.图3是实验的
示意图,点A,C,B在同一直线上,若∠PDM=50°,∠BDC=20°,则
∠CDN=______.
30°
图1
图2 图3
解析　由题意得,∠PDM=∠BDN=50°,
∴∠CDN=∠BDN-∠BDC=50°-20°=30°.

14.【新课标·推理能力】(2025河北沧州献县二中期末)【问
题背景】
直线EF,CD相交于点O,∠AOB=90°,∠AOF的平分线在直线
CD上.
【数学理解】
(1)如图1,OC平分∠AOF.
①若∠AOE=50°,求∠BOD的度数.
②若∠AOE=α,请直接写出∠BOD的度数(用含α的代数式表示).
【构建联系】
(2)如图2,OD平分∠AOF,若∠AOE=β,求∠BOD的度数(用含β
的代数式表示).
【总结应用】
(3)在(2)的条件下,若∠BOD=20°,请直接写出∠DOE的度数.

图1

图2
解析 (1)①∵∠AOE=50°,∴∠AOF=180°-50°=130°,∵OC平
分∠AOF,∴∠AOC=∠COF= ∠AOF=65°,∴∠DOE=∠COF
=65°,
∵∠AOB=90°,
∴∠BOE=90°-∠AOE=40°,∴∠BOD=∠DOE-∠BOE=25°.
②∵∠AOE=α,∴∠AOF=180°-α,∵OC平分∠AOF,∴∠COF=
∠AOF=90°- α,∴∠DOE=∠COF=90°- α,
∵∠AOB=90°,∴∠BOE=90°-∠AOE=90°-α,
∴∠BOD=∠DOE-∠BOE= α.
(2)∵∠AOE=β,∠AOB=90°,∴∠BOF=180°-90°-β=90°-β,
∠AOF=180°-β,∵OD平分∠AOF,
∴∠DOF= ∠AOF=90°- β,
∴∠BOD=∠DOF-∠BOF= β.
(3)由(2)可知∠BOD= ∠AOE,
∵∠BOD=20°,∠AOB=90°,
∴∠AOE=40°,∠AOD=70°,
∴∠DOE=∠AOE+∠AOD=110°.(共36张PPT)
第七章　相交线与平行线
第2课时　平行线的性质与判定的综合
7.5　平行线的性质
　平行线的性质和判定的综合
1.(2025河北张家口期末)如图,∠1=∠2,∠4=130°,则∠3等于
( )

A.30°　　 B.35°　　 C.50°　　 D.40°
C
解析　如图,

∵∠4+∠6=180°,∠4=130°,∴∠6=50°,
∵∠1=∠2,∠5=∠2,∴∠1=∠5,∴AB∥CD,
∴∠3=∠6=50°.故选C.
2.(2025河北保定一模)如图,要测量直线a,b所夹锐角的度数,
嘉嘉给出了一种正确的方法:

(1)分别在直线a,b上取点A,B,连接AB;
(2)过点A作∠BAC=∠1,则___(内错角相等,两直线平行);
(3)测量∠2的度数,即等于所求的度数(两直线平行,___).
②
①
则①②分别为 ( )
A.a∥b,同位角相等　　 B.a∥b,内错角相等
C.AC∥b,内错角相等　　 D.AC∥b,同位角相等
D
解析　∵∠1与∠BAC是内错角,且∠BAC=∠1,∴AC∥b.∵所
求角与∠2是同位角,∴测量∠2的度数即可.故选D.
3.【学科特色·教材变式P59T1】(2025河北唐山三十九中月考
改编)将下面的说理过程补充完整.
如图,AB∥CD,连接AD交BC于点F,延长AD至点H,∠1=∠2.请
说明∠B与∠CDE互补的理由.

理由:∵∠1=______(对顶角相等),
BFD
∠1=∠2(已知),
∴∠BFD=∠2(__________),
∴BC∥____(_______________________),
∴∠C+________=180°(_________________________),
又∵AB∥CD(已知),
∴∠B=∠C(________________________),
∴∠B+∠CDE=_____°(等量代换),
即∠B与∠CDE互补.
180
两直线平行,内错角相等
两直线平行,同旁内角互补
∠CDE
同位角相等,两直线平行
DE
等量代换
　平行线的传递性
4.(2025河南商丘虞城月考)图1为一长方体水果箱,图2为其模
型,则模型中与AG平行的棱共有( )

图1 图2

C
A.1条　　 B.2条　　 C.3条　　 D.4条
解析　由题意可知AG∥CE,AG∥BH,CE∥DF,∴AG∥BH∥
CE∥DF.故选C.
5.(2025河北石家庄四十中期末)在一个由工程车搭建的创意
展览场景中,小明站在工程车旁边观察,发现从某个角度看,工
作篮底部AB与支撑平台CD平行.若∠1=30°,∠3=150°,则∠2
的度数为 ( )

A
A.60°　　　B.50°　　 C.40°　　 D.30°
解析　如图,过∠2的顶点作直线l∥CD,l将∠2分成∠4和∠5,
∵AB∥CD,∴l∥AB∥CD,∴∠4=∠1=30°,∠5=180°-∠3=180
°-150°=30°,∴∠2=∠4+∠5=60°.故选A.

6.(2025河北邯郸十三中月考)如图,AB∥CD,点E是AB,CD外一
点,则∠1+∠3-∠2等于____.

180°
解析　如图,过E作EF∥AB,
∵AB∥CD,∴EF∥CD,∴∠2+∠FEA=∠3,
∴∠FEA=∠3-∠2,
∵∠1+∠FEA=180°,∴∠1+∠3-∠2=180°.

7.【学科特色·多解法】如图,已知AB∥CD,∠B=30°,∠D=120
°,若∠BEF=60°,求∠DFE的度数.

解析　【解法一】如图,分别过点E,F作EM∥AB,FN∥AB,∵
AB∥CD,

∴EM∥AB∥NF∥CD,
∴∠BEM=∠B=30°,
∠NFD=180°-∠D=60°,
∠EFN=∠MEF,
∴∠MEF=∠BEF-∠BEM=30°,
∴∠EFN=∠MEF=30°,
∴∠DFE=∠NFD+∠EFN=90°.
【解法二】如图,延长EF交CD的延长线于H,延长FE交BA于
点G,

∵AB∥CD,∴∠BGE=∠H,
∵∠BEF=60°,∴∠BEG=180°-∠BEF=120°.
∵∠B=30°,∴∠BGE=180°-120°-30°=30°,
∴∠H=30°.∵∠CDF=120°,
∴∠FDH=180°-∠CDF=60°,
∴∠DFH=180°-∠H-∠FDH=180°-30°-60°=90°,
∴∠DFE=180°-∠DFH=90°.

8.(2025河北保定期末,★★☆)平面上五条直线l1,l2,l3,l4,l5相交
的情形如图所示,根据图中所标的角度,判断下列说法正确的
是 ( )

D
A.l1与l2平行,l3与l4平行
B.l3与l4不平行,l4与l5不平行
C.l1与l2平行,l4与l5不平行
D.l1与l2平行,l4与l5平行
解析　如图,∵∠FBD=∠ABC=68°,
∴∠FBD+∠GDB=68°+112°=180°,∴l1∥l2,
∴∠NHM=∠HMG=69.5°,∴∠HMG=∠MGP=69.5°,∴l4∥l5,
∵∠FGD=∠MGP=69.5°,∠ADG=112°,∴∠FGD+∠ADG=69.
5°+112°=181.5°≠180°,
∴l3与l4不平行.故选D.

9.(2025河北石家庄润德学校月考,★★☆)如图,将一条对边互
相平行的纸带进行两次折叠,折痕分别为AB、CD,若CD∥BE,
且∠1=25°,则∠2的度数是 ( )

A.60°　　 B.75°　　 C.80°　　 D.85°
C
解析　如图,延长FA至点M,由折叠的性质得∠BAM=∠1=25°,
∴∠FAC=180°-25°-25°=130°,
∵CD∥BE,BE∥AF,∴CD∥AF,∴∠ACD=∠FAC=130°,
又∵AC∥BD,∴∠CDB=180°-∠ACD=180°-130°=50°,根据折叠的
性质得∠2=180°-2∠CDB=80°.故选C.

10.【新课标·中华优秀传统文化】(2025山西吕梁交口期末,
★★☆)在古代中国,弓箭是战争中的武器之一,“弓箭”文化
也是中国最古老的文化之一.如图所示的是弓箭箭头的示意
图,已知AB∥GF,∠B=∠F=45°,∠C=∠E=20°,则∠D的度数为
___.

50°
解析　如图,作CM∥AB,DN∥AB,EQ∥DN,
∵AB∥GF,
∴CM∥AB∥DN∥EQ∥GF,∴∠ABC=∠BCM,∠MCD=
∠CDN,∠NDE=∠DEQ,∠GFE=∠FEQ,
∵∠ABC=∠GFE=45°,∠BCD=∠FED=20°,
∴∠MCD=∠BCM-∠BCD=25°,∠DEQ=∠FEQ-∠FED=25°,
∴∠CDE=∠CDN+∠NDE=25°+25°=50°.
11.(2025河北邯郸期末,★★☆)如图,已知点E,F在直线AB上,
点G在线段CD上,ED与FG交于点H,∠C=∠EFG,∠CED+
∠FHD=180°.
(1)求证:CE∥GF.
(2)试判断∠AED与∠D之间的数量关系,并说明理由.

解析 (1)证明:∵∠CED+∠FHD=180°,∠GHD+∠FHD=180
°,∴∠CED=∠GHD,∴CE∥GF.
(2)∠AED+∠D=180°.理由如下:
∵CE∥GF,∴∠C=∠FGD,
∵∠C=∠EFG,∴∠FGD=∠EFG,∴AB∥CD,
∴∠AED+∠D=180°.

12.已知AB∥CD.
(1)如图1,直线EF分别和AB,CD相交于点E,F,求证:∠1=∠2.
(2)如图2,试猜想∠1,∠2和∠EFD之间有怎样的数量关系,并
证明你的结论.
(3)如图3,FH⊥AB于点E,若∠1=40°,求∠EFD的度数.
图1 图2
图3
解析 (1)证明:∵AB∥CD,
∴∠2=∠EFD,
∵∠1=∠EFD,
∴∠1=∠2.
(2)结论:∠1+∠2=∠EFD.
证明:如图,过F点作FG∥AB,

∵FG∥AB,AB∥CD,
∴AB∥FG∥CD,
∴∠1=∠DFG,∠2=∠EFG,
∴∠1+∠2=∠DFG+∠EFG=∠EFD,
即∠1+∠2=∠EFD.
(3)如图,过F点作FG∥AB,

∵FG∥AB,AB∥CD,
∴AB∥FG∥CD,
∴∠EFG=∠AEF,∠DFG=∠1=40°,
∵FH⊥AB,∴∠AEF=90°,∴∠EFG=90°,
∴∠EFD=∠EFG+∠DFG=90°+40°=130°.(共43张PPT)
第七章　相交线与平行线
7.6　平面图形的平移
　平移的相关概念
1.(2025河北廊坊安次期末)下列现象是平移的是( )
A.电梯从底楼升到顶楼
B.地球绕太阳转动
C.纸张沿着它的中线对折
D.用投影仪把文字变换到屏幕上
A
解析　电梯从底楼升到顶楼,是平移,故选项A符合题意.
2.【学科特色·教材变式P63T1】(2025河北唐山路南月考)窗
棂是中国传统木构建筑的框架结构.下列各样式的窗棂图案
中,可以看作由一个“基本图案”经过平移得到的是 ( )

A B C D

C
解析　由平移只改变图形的位置,不改变图形的大小,形状和
方向可知,四个选项中只有C选项中的图案可以由一个“基本
图案”平移得到.故选C.
　平移的性质
3.(2025河北邢台期中)如图,△ABC平移到△DEF的位置,则下
列说法错误的是 ( )

D
A.∠ACB=∠DFE
B.AD∥BE
C.AB=DE
D.平移距离为线段BD的长
解析　由平移的性质可知,∠ACB=∠DFE,故选项A不符合题
意;由平移的性质可知,AD∥BE,故选项B不符合题意;由平移
的性质可知,AB=DE,故选项C不符合题意;由平移的性质可知,
平移距离为线段BE或线段AD或线段CF的长,故选项D符合题
意.故选D.
4.(2025河北石家庄藁城期末)如图所示的是一张△ABC纸片,
其中点C落在数轴上表示-1的位置上.将该三角形纸片的BC边
紧靠数轴向右平移得到△A'B'C',当点C的对应点C'在数轴上
表示4的位置上时,AA'的长为( )

D
A.2　　 B.3　　 C.4　　 D.5
解析　∵点C在数轴上表示-1的位置上,平移后点C的对应点
C'在数轴上表示4的位置上,∴CC'=4-(-1)=5,根据平移的性质
得AA'=CC'=5.故选D.

5.如图,将a,b,c三户家用电路接入电表,且相邻电路的电线等
距排列,则三户所用电线 ( )
A.a户最长
B.b户最长
C.c户最长
D.一样长
D
解析　∵将a,b,c三户家用电路接入电表,且相邻电路的电线
等距排列,∴三户所用电线一样长.故选D.
6.【学科特色·转化思想】(2025河北石家庄二十七中期中)如
图,直角三角形ABC(∠ACB=90°)沿着射线BC方向平移10 cm
至△A'B'C'的位置,若BC=5 cm,AC=8 cm,则阴影部分的面积为
( )

C
A.80 cm2　　 B.120 cm2
C.60 cm2　　 D.50 cm2
解析　根据平移的性质得AA'=BB'=10 cm,AA'∥BB',B'C=BB'-
BC=10-5=5(cm),
∵∠ACB=90°,
∴AC⊥B'C,
∴阴影部分的面积为 ×(10+5)×8=60(cm2).故选C.
7.(2025四川凉山州中考)如图,将周长为20的△ABC沿BC方向
平移2个单位长度得到△DEF,连接AD,则四边形ABFD的周长
为____.

24
解析　∵△ABC沿BC方向平移2个单位长度得到△DEF,∴
DF=AC,AD=CF=2,
∴四边形ABFD的周长=AB+BF+DF+AD=AB+BC+CF+AC+
AD=△ABC的周长+AD+CF=20+2+2=24.
　平移作图
8.(2025河北邢台期末)如图,已知每个小正方形的边长为1,且
正方形的顶点称为格点,网格中有一艘小帆船,若小帆船先向
右平移m个单位长度,再向上平移n个单位长度,平移后的船身
部分已画出(船身顶点都在格点上).
(1)请在网格中补全平移后的船帆.
(2)m+n=_______.

解析 (1)如图.

(2)由(1)可知m=4,n=2,∴m+n=4+2=6.故答案为6.

9.【学科特色·分类讨论思想】(2025河北石家庄期末,★★☆)
如图,在锐角三角形ABC中,∠BAC=60°,将△ABC沿射线BC方
向平移,得到△A'B'C',连接CA'.在平移过程中,若∠ACA'=2∠
CA'B',则∠ACA'=( )

D
A.20°　　 B.40°
C.20°或40°　　 D.40°或120°
解析　当点B'在线段BC上时,由平移的性质可知AC∥A'C',∠
BAC=∠B'A'C'=60°,∴∠ACA'=∠CA'C',
∵∠ACA'=2∠CA'B',∴∠ACA'=60°× =40°;
当点B'在线段BC的延长线上时,由平移的性质可知AC∥A'C',
∠BAC=∠B'A'C'=60°,
∴∠ACA'=∠CA'C'=∠CA'B'+∠B'A'C'=∠CA'B'+60°,
∵∠ACA'=2∠CA'B',∴2∠CA'B'=∠CA'B'+60°,
∴∠CA'B'=60°,∴∠ACA'=2∠CA'B'=120°.
综上所述,∠ACA'的度数为40°或120°.故选D.
10.(2025河北承德双滦期末,★★☆)如图,将一块三角板ABC
沿一条直角边CB所在的直线向右平移m个单位长度到△A'B'
C'的位置.下列结论:①AA'∥BB',且AA'=BB';②S四边形ACC'D=S四边形A'
DBB';③若AC=5,m=2,则AB边扫过的图形的面积为5;④若四边形
AA'B'C的周长为a,三角形ABC的周长为b,则m= .其中正确
的结论的个数是 ( )
C

A.1　　 B.2　　 C.3　　 D.4
解析　由平移的性质可知,AA'∥BB'且AA'=BB',故①正确;由条
件可知S△ABC-S△BDC'=S△A'B'C'-S△BDC',
∴S四边形ACC'D=S四边形A'DBB',故②正确;当AC=5,m=2时,AB边扫过的图
形的面积为2×5=10,故③不正确;四边形AA'B'C的周长为AA'+
A'B'+B'C+AC=a,三角形ABC的周长为AB+BC+AC=b,由条件可
知AA'+A'B'+B'C+AC-(AB+BC+AC)=AA'+BB'=2BB'=a-b,∴BB'=
,即m= ,故④正确.综上,正确的有①②④,共3个.
11.(2025河北邯郸期中,★★☆)如图,两个直角三角形重叠在
一起,将其中一个三角形沿BC的方向平移到△DEF的位置.若
∠B=90°,AB=8,DH=3,阴影部分的面积为26,则HE的长是_,BE
的长是___.

4
5
解析　∵阴影部分的面积为26,S阴影+S△HEC=S四边形ABEH+S△HEC,∴S阴
影=S四边形ABEH=26,∵一个三角形沿BC的方向平移到△DEF的位
置,AB=8,∴AB=DE=8,∵DH=3,∴HE=5,
∴S四边形ABEH= (AB+HE)·BE= ×13×BE=26,解得BE=4.
12.【新考向·规律探究题】(2025河北邯郸期中,★★★)如图,
长方形ABCD中,AB=5,第1次将长方形ABCD沿AB的方向向右
平移4个单位长度,得到长方形A1B1C1D1,第2次将长方形A1B1C1
D1沿A1B1的方向向右平移4个单位长度,得到长方形A2B2C2D2,
……,第n次将长方形An-1Bn-1 Cn-1Dn-1沿An-1Bn-1的方向向右平移4
个单位长度,得到长方形AnBnCnDn(n>2).若ABn的长度为2 025,
则n的值为 ( )
B

A.504　　 B.505　　 C.2 021　　 D.2 025
解析　∵AB=5,第1次平移将长方形ABCD沿AB的方向向右平
移4个单位长度,得到长方形A1B1C1D1,此时BB1=4,AB1=AB+BB1
=5+4,第2次平移将长方形A1B1C1D1沿A1B1的方向向右平移4个
单位长度,得到长方形A2B2C2D2,此时B1B2=4,AB2=AB+BB1+B1B2
=5+4+4=5+2×4,……
依次类推,第n次平移后,ABn=AB+n×4=5+4n.
∵ABn的长度为2 025,∴5+4n=2 025,解得n=505.

13.【新课标·推理能力】(2025河北石家庄正定期中)如图1,
AB,BC被直线AC所截,点D是线段AC上的点,过点D作DE∥
AB,连接AE,∠B=∠E=60°.
(1)请证明AE∥BC.
(2)将线段AE沿着直线AC平移得到线段PQ,连接DQ.
①如图2,当DE⊥DQ时,求∠Q的度数.
②在整个运动中,当∠Q=3∠EDQ时,求∠Q的度数.
③在整个运动中,∠E,∠Q,∠EDQ之间的等量关系为______
_____(直接写出答案).

图1 图2

备用图 备用图
解析 (1)证明:∵DE∥AB,∴∠BAE+∠E=180°,
∵∠B=∠E=60°,∴∠BAE+∠B=180°,∴AE∥BC.
(2)①如图1,过D作DF∥AE,

图1
∵线段AE沿着直线AC平移得到线段PQ,
∴PQ∥AE,∴DF∥PQ∥AE,∴∠EDF=∠E,∠FDQ=∠Q,
∵∠E=60°,∴∠EDF=60°,∵DE⊥DQ,
∴∠EDQ=90°,∴∠FDQ=90°-60°=30°,
∴∠Q=∠FDQ=30°.
②如图2,过D作FG∥AE交AB于F,

图2
∵PQ∥AE,∴DF∥PQ,∴∠QDF=180°-∠Q,
∠Q=∠QDG,∵∠Q=3∠EDQ,∴∠EDQ= ∠Q,
∵FG∥AE,∠E=60°,∴∠EDF=120°,
∵∠QDG+∠EDQ+∠EDF=180°,
即∠Q+∠EDQ+∠EDF=180°,
∴∠Q+ ∠Q+120°=180°,解得∠Q=45°.
如图3,过D作DF∥AE交AB于F,
图3
∵PQ∥AE,∴DF∥PQ,∴∠QDF=180°-∠Q,
∵∠Q=3∠EDQ,∴∠EDQ= ∠Q,
∵FD∥AE,∠E=60°,∴∠EDF=120°,
∵∠EDF=∠FDQ+∠QDE,
∴120°=180°-∠Q+ ∠Q,解得∠Q=90°
综上所述,∠Q=45°或90°.
③∠EDQ=∠E-∠Q或∠EDQ=∠Q-∠E
或∠EDQ=∠Q+∠E.
详解:如图2,∵DF∥AE,DF∥PQ,∴∠EDG=∠E,∠GDQ=∠Q,
∴∠EDQ=∠EDG-∠GDQ=∠E-∠Q,即∠EDQ=∠E-∠Q;
如图3,∵DF∥AE,DF∥PQ,
∴∠FDE=180°-∠E,∠FDQ=180°-∠Q,
∴∠EDQ=∠FDE-∠FDQ=∠Q-∠E,
即∠EDQ=∠Q-∠E;
同理,当PQ在BC下方时,∠EDQ=∠Q+∠E.
综上所述,∠EDQ=∠E-∠Q或∠EDQ=∠Q-∠E或∠EDQ=
∠Q+∠E.(共15张PPT)
第七章　相交线与平行线
第1课时　命题
7.1　命题
　命题
1.(2025河北秦皇岛青龙期末)下列语句是命题的是 ( )
A.对顶角一定相等吗
B.人们经常用实验、归纳的方法去发现命题
C.画一个角等于已知角
D.若a=b,则a2=b2
D
解析 A.对顶角一定相等吗 不是命题,不符合题意;B.人们经
常用实验、归纳的方法去发现命题,不是命题,不符合题意;C.
画一个角等于已知角,不是命题,不符合题意;D.若a=b,则a2=b2,
是命题,符合题意.故选D.
2.(2025河北沧州任丘期末)把命题“互为相反数的两个数的
和为零”写成“如果……那么……”的形式:_________
___________________________________________.
如果两个数互为相反数,那么这两个数的和为零
3.下列语句哪些是命题 是命题的,请你先把命题改写成“如
果……那么……”的形式,再指出命题的条件和结论.
(1)角是平面图形吗
(2)互为相反数的两个数中,一定有一个数是正数.
(3)作直线AB的垂线CD.
(4)一个角的余角是锐角.
解析 (2)(4)是命题.
(2)如果两个数互为相反数,那么这两个数中一定有一个数是
正数.其中条件是两个数互为相反数,结论是这两个数中一定
有一个数是正数.
(4)如果一个角是另一个角的余角,那么这个角是锐角.其中条
件是一个角是另一个角的余角,结论是这个角是锐角.
　真命题、假命题和反例
4.(2025河北唐山迁安期中)下列命题是真命题的是 ( )
A.如果a>0,那么a2>a
B.如果一个数的绝对值等于它本身,那么这个数一定是正数
C.两个奇数的和一定能被2整除
D.若a+b=0,则a,b互为倒数
C
解析 A.如果a>0,那么a2有可能小于a,例如:当a=0.1时,a2不符合题意;B.如果一个数的绝对值等于它本身,那么这个数
一定是0或正数,不符合题意;C.是真命题,符合题意;D.若a+b=
0,则a,b互为相反数,不符合题意.故选C.
5.(2025北京中考)能说明命题“若a2>4b2,则a>2b”是假命题
的一组数a,b的值为a=__,b=_________________.
1(答案不唯一)
-3
解析　当a=-3,b=1时,a2>4b2,但是a<2b.

6.(2025河北邢台期中,★★☆)对于命题“如果∠1+∠2=90°,
那么∠1≠∠2.”能说明它是假命题的反例是 ( )
A.∠1=∠2=45°　　 B.∠1=40°,∠2=50°
C.∠1=50°,∠2=50°　　 D.∠1=40°,∠2=40°
A
解析 A.∠1=∠2=45°满足∠1+∠2=90°,但∠1≠∠2,故无法
说明原命题是假命题,符合题意;B.∠1=40°,∠2=50°满足命题
“如果∠1+∠2=90°,那么∠1≠∠2”,不符合题意;C.∠1=50°,
∠2=50°不满足∠1+∠2=90°,不符合题意;D.∠1=40°,∠2=40°
不满足∠1+∠2=90°,不符合题意.故选A.
7.【学科特色·教材变式P34T5】(2025河北唐山滦南程庄中学
期中,★★☆)黑板上写有3个命题:
①若a=b,则a2=b2;
②若a,b是有理数,则|a+b|=|a|+|b|;
③若∠A与∠B都是锐角,则这两个角的和是钝角.
(1)上述命题是真命题的是_______(填序号),该命题的条件
是_______,结论是_______.
(2)对于上述命题中的假命题,请各写出一个反例.
解析 (1)①若a=b,则a2=b2,是真命题,命题的条件是a=b,结论
是a2=b2.
②若a,b是有理数,则|a+b|=|a|+|b|不一定成立,是假命题.
③若∠A与∠B都是锐角,则这两个角的和不一定是钝角,是假
命题.
故答案为①;a=b;a2=b2.
(2)反例:
②当a=1,b=-1时,|a+b|=|1+(-1)|=0,|a|+|b|=|1|+|-1|=2,故|a+b|≠|a|
+|b|,原命题是假命题.
③当∠A=30°,∠B=40°时,∠A与∠B都是锐角,∠A+∠B=70°是
锐角,不是钝角,故原命题是假命题.(共42张PPT)
第七章自主检测
时间：40分钟 满分：100分
一、选择题(共8小题,每题5分,共40分)
1.(2025河北唐山路南月考)下列语言叙述是命题的是
( )
A.画两条相等的线
B.等于同一个角的两个角相等吗
C.延长线段AO到C,使OC=OA
D.两直线平行,内错角相等

D
2.(2025河北邯郸三十三中月考)甲骨文是我国的一种古代文
字,是汉字的早期形式,下列甲骨文中,能用其中一部分平移得
到的是 ( )

A B C D
A
解析 B,C,D中的图形不能用其中一部分平移得到,A中的
图形能用其中一部分平移得到.故选A.
3.(2025河北邢台三模)如图,在直线PA,PB,PC,PD中,可能与直
线MN平行的是 ( )

A.直线PA B.直线PB
C.直线PC D.直线PD
D
解析　直线PA,PB,PC都与直线MN相交,直线PD可能与直线
MN平行.故选D.
4.(2025河南中考)如图所示,有一个六边形零件,利用图中的量
角器可以量出该零件内角的度数,则该零件内角的度数为
( )

A.100°　　 B.110°　　 C.120°　　 D.130°
C
解析　如图,作直线l,由量角器可知,∠1=120°,∴∠2=∠1=12
0°,即该零件内角的度数为120°.故选C.

5.(2025河北中考)榫卯结构是两个构件采取凹凸结合的方式
连接.如图所示的是某个构件的截面图,其中AD∥BC,∠ABC=
70°,则∠BAD= ( )

A.70°　　 B.100°
C.110°　　 D.130°
C
解析　∵AD∥BC,∴∠DAB+∠ABC=180°,∵∠ABC=70°,∴
∠BAD=110°.故选C.
6.(2025河北唐山三模)如图,点P是直线MN外一点,点Q在直线
MN上移动,连接PQ,下列说法正确的是( )

A.线段PQ的长度存在最小值 B.线段PQ的长度存在最大值
C.∠PQM的度数存在最大值 D.∠PQN的度数存在最大值
A
解析　如图,作PA⊥MN于点A,

根据垂线段最短可知线段PQ长度的最小值为线段PA的长度,
线段PQ的长度不存在最大值,
故A符合题意,B不符合题意;∵点Q在直线MN上移动,∴∠
PQM的度数不存在最大值,∠PQN的度数不存在最大值,故C,
D不符合题意.故选A.
7.(2025河北廊坊霸州部分学校月考)如图,点O是直线CD上一
点,OF平分∠AOC,∠A=100°,OE⊥OF,若再添加一个条件,仍
不能判定CD∥AB,则添加的条件可能是( )

A.OE平分∠AOD　　 B.∠COF=50°
C.∠DOE=40°　　 D.∠AOE=40°
A
解析 A.当OE平分∠AOD时,不能得出CD∥AB,故A选项符
合题意;B.当∠COF=50°时,∵OF平分∠AOC,∴∠AOC=2∠COF
=100°,∵∠A=100°,∴∠A=∠AOC,∴CD∥AB,故B选项
不符合题意;
C.∵∠DOE=40°,OE⊥OF,∴∠COF=180°-90°-40°=50°,∵OF
平分∠AOC,∴∠AOC=2∠COF=100°,∵∠A=100°,∴∠A=
∠AOC,∴CD∥AB,故C选项不符合题意;
D.∵∠AOE=40°,OE⊥OF,∴∠AOF=90°-40°=50°,∵OF平分
∠AOC,∴∠AOC=2∠AOF=100°,∵∠A=100°,∴∠A=∠AOC,
∴CD∥AB,故D选项不符合题意.故选A.
8.(2025河北廊坊月考)如图,已知AB∥CD,CG交AB于点G,且
∠C=α,GE平分∠BGC,点H是CD上的一个定点,点P是GE所在
直线上的一个动点,则点P在运动过程中,∠GPH与∠PHC的
关系________是 ( )

D
不可能
A.∠GPH-∠PHC= α
B.∠GPH+∠PHC= α
C.∠GPH+∠PHC+ α=180°
D.∠GPH+∠PHC+ α=360°
解析　∵AB∥CD,
∴∠BGC=∠C=α,
∵GE平分∠BGC,
∴∠BGE=∠CGE= ∠BGC= α,
如图1,过点P作PM∥AB,
图1
∴∠BGE=∠GPM= α,
∵AB∥CD,∴MP∥CD,
∴∠MPH=∠PHC=∠GPH-∠GPM=∠GPH- α,
∴∠GPH-∠PHC= α,故A不符合题意;
如图2,过点P作PN∥AB,

图2
∴∠FPN=∠FGA=∠BGE α,
∵AB∥CD,∴PN∥DC,
∴∠NPH=∠PHC,
∵∠FPN+∠NPH+∠GPH=180°,
∴ α+∠PHC+∠GPH=180°,
故C不符合题意,D符合题意;
如图3,过点P作PK∥AB,

图3
∴∠FPK=∠AGF=∠BGE= α,
∵AB∥CD,∴PN∥DC,
∴∠CHP=∠HPK,∴∠GPH+∠HPK=∠GPK= α,∴∠GPH+
∠PHC= α,故B不符合题意.故选D.
二、填空题(共3小题,每题5分,共15分)
9.(2025河北唐山三十五中月考)把命题“平行于同一条直线
的两条直线互相平行”改写成“如果……,那么……”的形
式为_________________________________________________
____________________________.
如果两条直线平行于同一条直线,那么这两条直线互相平行
10.(2025河北石家庄期末)如图,将直角三角形ABC沿边AC的
方向平移到△DEF的位置,若CD=8,AF=18,则点B与点E间的
距离为______.

5
解析　如图,连接BE,
∵直角三角形ABC沿边AC的方向平移到△DEF的位置,∴BE
=AD=CF,
∴BE=AD=AF-CD-CF=AF-CD-BE,
∵CD=8,AF=18,∴BE= (AF-CD)= ×(18-8)=5,即点B与点E间
的距离为5.

11.(2025河北邯郸二十五中期中)为方便市民绿色出行,我市
推出了共享单车服务.图1是某品牌共享单车放在水平地面的
实物图,图2是其示意图,其中AB,CD都与地面l平行,∠BCD=60
°,∠BAC=50°,当∠MAC=_____°时,AM∥CE.
图1
70

图2
解析　∵AB,CD都与地面l平行,∴AB∥CD,
∴∠ABC=∠BCD=60°,
要使AM∥CE,则∠MAB+∠ABC=180°,∴∠MAB=180°-∠ABC
=120°,∵∠BAC=50°,∴∠MAC=∠MAB-∠BAC=70°,故当∠
MAC=70°时,AM∥CE.
三、填空题(共3小题,共45分)
12.(2025河北沧州泊头期中)(10分)如图,在边长为1的小正方
形组成的网格中,将△ABC平移得到△A'B'C',连接AA',BB'.
(1)根据题意,补全图形.
(2)图中∠A'AB和∠ABB'的关系是______.
(3)在BB'上画出一点P,使得∠PA'B'=∠ABC.
解析 (1)如图,△A'B'C',AA',BB'即为所求作.

(2)由平移的性质可知AA'∥BB',
∴∠A'AB+∠ABB'=180°,即∠A'AB和∠ABB'互补.
故答案为互补.
(3)如图,根据网格特点,过点A'作A'P∥B'C',交BB'于点P,则点P
即为所求作.
∵A'P∥B'C',∴∠PA'B'=∠A'B'C',
由平移的性质可知∠ABC=∠A'B'C',
∴∠PA'B'=∠ABC.
13.(2025河北衡水期末)(15分)阅读理解,补全证明过程及推理
依据.
已知:如图,点E在直线DF上,点B在直线AC上,∠1=∠2,∠3=∠
4.

求证:∠A=∠F.
证明:∵∠1=∠2(___________),
∠2=∠DGF(___________),
∴∠1=∠DGF(___________),
∴_______∥_______(___________),
∴∠3+∠_______=180°(___________),
又∵∠3=∠4(已知),
∴∠4+∠C=180°(等量代换),
∴_______∥_______(__________),
∴∠A=∠F(___________).
证明　∵∠1=∠2(已知),∠2=∠DGF(对顶角相等),∴∠1
=∠DGF(等量代换),
∴BD∥CE(同位角相等,两直线平行),
∴∠3+∠C=180°(两直线平行,同旁内角互补),
又∵∠3=∠4(已知),
∴∠4+∠C=180°(等量代换),
∴AC∥DF(同旁内角互补,两直线平行),
∴∠A=∠F(两直线平行,内错角相等).
14.(2025河北廊坊期中)(20分)在数学实践活动中,某数学兴趣
小组的同学共同探究平行线的作用.
(1)如图1,直线AB∥CD,E为AB,CD之间一点,连接BE,DE,判断
∠BED与∠B,∠D的数量关系,并说明理由.
(2)如图2,在∠DAB的内部有一点C,连接DC,BC,求证:∠DCB=
∠A+∠B+∠ADC.
(3)如图3,AE是∠CAD的平分线,BF是∠CBD的平分线,AE与
BF交于点G,若∠ADB=118°,∠AGB=80°,直接写出∠C的大小.

图1 图2 图3
解析 (1)∠BED=∠B+∠D.
理由:如图,过点E作EF∥AB.

∵AB∥CD,∴AB∥CD∥EF,
∴∠B=∠BEF,∠D=∠DEF.
∵∠BED=∠BEF+∠DEF,
∴∠BED=∠B+∠D.
(2)证明:如图,过点C作CE∥AB,过点D作DF∥AB,则CE∥DF
∥AB,

∴∠B=∠ECB,∠A+∠ADF=180°,∠FDC+∠DCE=180°.
∵∠ADF=∠ADC+∠FDC,∴∠A+∠ADC=180°-∠FDC,∴∠A+∠
ADC=∠DCE.∵∠DCB=∠DCE+∠ECB,∴∠DCB=∠A+∠B+
∠ADC.
(3)∠C=42°.
详解:由(2)可得∠ADB=∠C+∠CAD+∠CBD,∠AGB=∠C+∠
CAG+∠CBG.
∵AE是∠CAD的平分线,BF是∠CBD的平分线,
∴∠CAD=2∠CAG,∠CBD=2∠CBG,
∴∠ADB-∠AGB=∠CAG+∠CBG=118°-80°=38°,
∴∠C=∠AGB-(∠CAG+∠CBG)=80°-38°=42°.(共36张PPT)
第七章　相交线与平行线
第2课时　三线八角
7.2　相交线
同位角、内错角、同旁内角
1.(2025河北保定安国期中)如图,与∠3是同旁内角的是 ( )

A.∠1　　 B.∠2　　 C.∠4　　 D.∠5
C

解析 A.∠1与∠3是同位角,不是同旁内角,故本选项不符合
题意;B.∠2与∠3是内错角,不是同旁内角,故本选项不符合题
意;C.∠4与∠3是同旁内角,故本选项符合题意;D.∠5与∠3是
同位角,不是同旁内角,故本选项不符合题意.故选C.
2.【新课标·中华优秀传统文化】(2025山西吕梁离石期中)绞
车为我国古代九大机械发明之一,它是古代人民用来提升重
物的装置.如图所示的为其平面示意图,图中与∠1互为内错角
的是 ( )

A.∠2　　 B.∠3　　 C.∠4　　 D.∠5
B
解析　根据题意得题图2中与∠1互为内错角的是∠3.故选B.
3.(2025河北石家庄二十三中月考)如图,下列结论不正确的是
( )

A.∠5与∠6是内错角 B.∠1与∠4是同位角
C.∠3与∠4是内错角 D.∠2与∠3是同旁内角
B
解析 A.∠5与∠6是内错角,原结论正确,不符合题意;B.∠1
与∠4不是同位角,原结论错误,符合题意;C.∠3与∠4是内错
角,原结论正确,不符合题意;D.∠2与∠3是同旁内角,原结论正
确,不符合题意.故选B.
4.(2025河南焦作十七中月考)如图,有下列结论:①能与∠DEF
构成内错角的角有2个;②能与∠BFE构成同位角的角有2个;
③能与∠C构成同旁内角的角有4个.其中正确结论的序号是
___.

①
解析　①能与∠DEF构成内错角的角有2个,即∠EFA和∠
EDC,故正确;②能与∠BFE构成同位角的角只有1个,即∠
FAE,故错误;③能与∠C构成同旁内角的角有5个,即∠CDE,∠
B,∠CED,∠CEF,∠A,故错误.所以正确的结论是①.
5.(2025河北邯郸鸡泽二中期中)根据图形填空:

(1)若直线ED,BC被直线________所截,则∠1和________
是同位角.
(2)若直线________,BC被直线AF所截,则∠3和________
是内错角.
(3)∠2和∠AFB是直线AB,________被直线BC所截构成的
________角.
AB;∠2;ED;∠4;AF,同旁内
解析 (1)若直线ED,BC被直线AB所截,则∠1和∠2是同位角.
(2)若直线ED,BC被直线AF所截,则∠3和∠4是内错角.
(3)∠2和∠AFB是直线AB,AF被直线BC所截构成的同旁内角.
方法归纳　判断截线与被截线的步骤:(1)找出两个角的边所
在直线,得到三条直线;(2)公共直线即为截线,另外两条直线即
为被截线.
6.【学科特色·教材变式P43T1】(2025河北沧州青县清州实验
学校月考)如图,找出图中的同位角、内错角、同旁内角(仅限
于用数字表示).

解析　同位角:∠1与∠3,∠3与∠5;
内错角:∠1与∠4,∠4与∠5;
同旁内角:∠1与∠2,∠6与∠5.
7.(2025河北沧州青县二中月考)如图,BF与DE相交于点A,BG
与BF相交于点B,与AC相交于点C.
(1)指出DE,BC被BF所截形成的同位角、内错角.
(2)指出DE,BG被AC所截形成的内错角、同旁内角.
(3)指出FB,BG被AC所截形成的内错角、同旁内角.
解析 (1)DE,BC被BF所截形成的同位角:∠FAE和∠B;内错
角:∠B和∠DAB.
(2)DE,BC被AC所截形成的内错角:∠EAC和∠BCA,∠DAC和
∠ACG;同旁内角:∠EAC和∠ACG,∠DAC和∠BCA.
(3)FB,BG被AC所截形成的内错角:∠BAC和∠ACG,∠FAC和
∠BCA;同旁内角:∠BAC和∠BCA,∠FAC和∠ACG.
方法归纳 1.三线八角:如图,直线AB,CD与直线EF相交(或者
说两条直线AB,CD被第三条直线EF所截),构成八个角,简称为
“三线八角”.

2.同位角、内错角、同旁内角位置特征及形状特征:
同位角:在两条被截直线同方向,在被截线同侧,形如字母
“F”;
内错角:在两条被截直线之间,在截线两侧(交错),形如字母
“Z”;
同旁内角:在两条被截直线之间,在截线同侧,形如字母“U”
(或“C”).

8.(2025河北廊坊三河润德学校月考,★★☆)在同一平面内,已
知∠1的对顶角为∠2,∠2和∠3互为同位角,若∠1=80°,则∠3
的度数为 ( )
A.80°　　 B.100°
C.80°或100°　　 D.不确定
D
解析　∵∠1的对顶角为∠2,∠1=80°,∴∠2=80°,∵∠2和∠3
互为同位角,∴∠3的度数不确定.故选D.
9.【跨英语·字母】(2025江西景德镇期中,★★☆)以下几个英
文大写字母中,不含有同旁内角的是 ( )

A B C D
B
解析 B选项的字母中只有两条直线,不存在同旁内角,符合
题意.故选B.
10.【跨体育与健康·灌篮】(2025广东阳江阳东期中,★★☆)
如图所示的是小明在某次篮球比赛灌篮时的示意图.下列说
法:①∠1和∠2是对顶角;②∠1和∠6是同位角;③∠3和∠4是
同旁内角;④∠4和∠6是内错角.其中错误的个数为( )

A.1　　 B.2
C.3　　 D.4
B
解析　①∠1和∠2是对顶角,故①正确;②∠1和∠6是同位角,
故②正确;③∠3和∠4不是同旁内角,故③错误;④∠4和∠6不
是内错角,故④错误.综上,错误的个数是2.故选B.
11.(2025河北邯郸期中,★★☆)如图所示的是一个特殊的棋
盘,游戏规则如下:一个棋子从某一个起始角开始,经过若干步
跳动以后,到达终点角.跳动时,每一步只能跳到它的同位角或
内错角或同旁内角的位置上.例如,从起始角∠1跳到终点角∠
3,可以走以下两条不同的路径:
路径1:∠1 ∠9 ∠3.
路径2:∠1 ∠12 ∠6 ∠10 ∠3.
试一试:
(1)写出一条从起始角∠1跳到终点角∠8的路径.
(2)从起始角∠1依次按同位角、内错角、同旁内角的顺序跳,
能否跳到终点角∠8 若能,写出其路径;若不能,请说明理由.

解析 (1)路径为∠1 ∠12 ∠8.(答案不唯一)
(2)从起始角∠1依次按同位角、内错角、同旁内角的顺序跳,
能跳到终点角∠8.
其路径为∠1 ∠10 ∠5 ∠8.
12.(2025江苏盐城盐亭期末,★★☆)如图,已知直线EF与AB交
于点M,与CD交于点O,OG平分∠DOF,若∠COM=120°,∠
EMB= ∠COF.
(1)求∠FOG的度数.
(2)写出一个与∠FOG互为同位角的角.
(3)直接写出∠AMO的所有内错角,同旁内角的度数之和.

解析 (1)∵∠COM=120°,∴∠DOF=120°,
∵OG平分∠DOF,∴∠FOG=60°.
(2)与∠FOG互为同位角的角是∠BMF.
(3)∠AMO的内错角是∠MOG,∠MOD,∠AMO的同旁内角是
∠COM,
由条件可知∠DOF=∠COM=120°,∠DOG= ∠DOF=60°,∵
∠DOM=180°-∠COM=60°,
∴∠MOG=∠DOM+∠DOG=120°,
∴∠AMO的所有内错角,同旁内角的度数之和为120°+120°+
60°=300°.
13.【新课标·推理能力】(1)如图1,两条水平的直线被一条直
线所截,同位角有______对,内错角有______对,同旁内角有____
_____对.

图1
(2)如图2,三条水平的直线被一条直线所截,同位角有______
对,内错角有______对,同旁内角有______对.

图2
(3)根据以上探究的结果,n(n为大于1的整数)条水平直线被一
条竖直直线所截,同位角有_______对,内错角有_______对,
同旁内角有_______对.(用含n的式子表示)
解析 (1)如题图
1,两条水平的直线被一条竖直的直线所截,同位角有4对,内错
角有2对,同旁内角有2对.故答案为4;2;2.
(2)如题图2,三条水平的直线被一条竖直的直线所截,同位角
有12对,内错角有6对,同旁内角有6对.故答案为12;6;6.
(3)根据以上探究的结果,n(n为大于1的整数)条水平直线被一
条竖直直线所截,同位角有2n(n-1)对,内错角有n(n-1)对,同旁
内角有n(n-1)对.
故答案为2n(n-1);n(n-1);n(n-1).(共35张PPT)
第七章　相交线与平行线
第1课时　平行线的性质
7.5　平行线的性质
　平行线的性质
1.(2025湖北中考)数学中的“≠”可以看作是两条平行的线
段被第三条线段所截而成,放大后如图所示.若∠1=56°,则∠2
的度数是 ( )

A.34°　　 B.44°　　 C.46°　　 D.56°
D
解析　如图,

∵∠1=56°,两条平行线被第三条直线所截,∴∠3=∠1=56°,
∴∠2=∠3=56°.故选D.
2.【跨物理·光路图】(2025广东深圳中考)如图所示的是小颖
在试鞋镜前的光路图,入射光线OA经平面镜后反射入眼,若
CB∥OA,∠CBO=122°,∠BON=90°,则入射角∠AON的度数为
( )

B
A.22°　　 B.32°　　 C.35°　　 D.122°
解析　∵CB∥OA,∴∠CBO=∠BOA=122°,∵∠BON=90°,
∴∠AON=122°-90°=32°.故选B.
3.(2025河北邯郸二模)如图,AB∥CD∥EG,BF∥DE,则图中与
∠1相等的角(不包括∠1)有( )

A.1个　　 B.2个　　 C.3个　　 D.4个
B
解析　∵CD∥EG,∴∠BCD=∠1,∵BF∥DE,∴∠EDC=∠
BCD,∴∠EDC=∠1,∴题图中与∠1相等的角(不包括∠1)有2
个.故选B.
4.(2025湖南长沙中考)如图,AB∥CD,直线EF与直线AB,CD分
别交于点E,F,直线EG与直线CD交于点G.若∠1=70°,∠2=50°,
则∠GEF的度数为 ( )

A.50°　　 B.60°　　 C.65°　　 D.70°
B
解析　∵AB∥CD,∴∠AEG=∠2=50°,∵∠1=70°,
∴∠GEF=180°-∠1-∠AEG=180°-70°-50°=60°.
5.(2025江苏常州中考)如图,AB∥CD,AC⊥AD,∠ACD=50°,则
∠α=____.
40°
解析　如图,∵AB∥CD,∠ACD=50°,∴∠EAC=∠ACD=50°,
∵AC⊥AD,∴∠CAD=90°,
∴∠α=180°-∠EAC-∠CAD=180°-50°-90°=40°.


6.【学科特色·教材变式P56习题T2】(2025河北邯郸期中,★
★☆)如图所示,直线a,b所成的角跑到画板外面去了,如何量
出这两条直线所成锐角的度数α.现有下列两种方法:①在直线
b上任取一点P,过点P作直线a的平行线PC,量出PC与直线b所
成锐角的度数即为α;②在画板上任取一点P,过点P分别作直
线a、b的平行线,量出它们所成锐角的度数即为α.下列说法正
确的是( )
C

A.①行　　 B.②行
C.①和②均行　　 D.①和②均不行
解析　①如图1,∵PC∥a,∴∠APC=∠B=α,故①行;②如图2,
∵PD∥b,∴∠FDP=∠G=α,∵PE∥a,
∴∠BPE=∠FDP=α,故②行.
∴①和②均行.故选C.

图1 图2
7.【学科特色·分类讨论思想】(2025河南郑州金水实验中学
月考,★★☆)如图,点O为直线AB上一点,一副三角板按如图所
示的方式摆放,其中∠C=∠DOC=45°,∠M=30°,∠N=60°.将直
角三角板MON绕点O旋转一周,当∠AOM的度数是_________
时,直线MN与直线OC互相平行.
75°或105°
解析　当MN在OC右边时,如图1,
∵MN∥OC,∴∠COM=∠M=30°,
∵∠C=∠DOC=45°,
∴∠AOM=∠DOC+∠COM=45°+30°=75°;
当MN在OC左边时,如图2,
∵MN∥OC,∴∠COM+∠M=180°,
∵∠M=30°,∴∠COM=150°,
∵∠C=∠DOC=45°,
∴∠AOM=∠COM-∠DOC=150°-45°=105°.
综上所述,当∠AOM的度数是75°或105°时,直线MN与直线OC
互相平行.

图1

图2
8.(2025河北石家庄二十七中期中,★★☆)已知:如图,EF∥CD,
∠1+∠2=180°.
(1)判断DG与CA的位置关系,并说明理由.
(2)若DG平分∠CDB,且∠A=37°,求∠CDB的度数.

解析 (1)DG∥CA.理由如下:
∵EF∥CD,∴∠1+∠ECD=180°,
∵∠1+∠2=180°,∴∠ECD=∠2,∴DG∥AC.
(2)∵DG∥AC,∴∠A=∠GDB=37°.
∵DG平分∠CDB,∴∠CDB=2∠GDB=74°.

9.【新课标·推理能力】(2025河北邯郸期末节选)筷子,古称
“箸”,是华夏饮食文化的标志之一,也是我们日常生活中的
常用餐具,现代人用筷子的方式方法都不相同,但正确的抓握
方法能更加灵活地操纵筷子,也符合餐桌礼仪的要求.某校数
学兴趣小组开展了以“筷子的抓法”为主题的数学实践活动.
(1)图1为“五指凌乱式”的抓法及示意图,AB交CD于点O,EF
⊥AB,垂足为点O,∠BOC=150°,则∠FOD的度数为_______.
(2)图2为“传统的筷子”抓法及其示意图,AB∥CD∥GH,F为
AB上一点,射线HI与AB交于点I,射线FE交CD于点E.若∠H=
∠DEF,猜想FE与HI所在直线之间的位置关系并证明.
图1 图2
解析 (1)60°.详解:∵EF⊥AB,∴∠BOF=90°,
∵∠BOC=150°,∴∠BOD=180°-∠BOC=30°,
∴∠FOD=∠BOF-∠BOD=60°.
(2)EF∥HI.
证明:∵AB∥GH,∴∠H+∠HIF=180°,
∵∠H=∠DEF,∴∠DEF+∠HIF=180°,
∵AB∥CD,∴∠DEF+∠EFB=180°,
∴∠EFB=∠HIF,∴EF∥HI.
微专题　平行线中的折叠问题
1.【学科特色·多解法】(2025河北石家庄四十八中期末)将一
张长方形纸片折叠成如图所示的图形,重叠部分是一个三角
形,BC为折痕,连接DD‘,若∠1=44°,则∠DCB的度数为 ( )


D
A.38°　　　　　 B.48°
C.58°　　　　　 D.68°
解析　【解法一】∵四边形ADFE是长方形纸片,∴AE∥DF,
由折叠知,A'B∥D'C,∠DCB=∠D'CB,∴∠1=∠BD'C=∠D'CF=
44°,2∠DCB+∠D'CF=180°,
∴∠DCB=68°.
【解法二】由折叠知∠ABC=∠A'BC,∵∠ABC+∠A'BC=∠1+
180°,∠1=44°,∴∠ABC=112°,∵四边形ADFE是长方形,∴AE
∥DF,∴∠DCB=180°-∠ABC=68°.
2.【学科特色·分类讨论思想】(2025河北石家庄九中月考)有
一题目:“如图,在△ABC中,∠A=50°,∠B=∠C=65°,将△MNC
沿MN折叠得到△MNC',若MC'与△ABC的边平行,求∠C'MN
的度数.”甲答:∠C'MN=57.5°,乙答:∠C'MN=25°,丙答:∠C'
MN=35°,则下列说法正确的是 ( )
A.只有甲答的对
B.甲、乙答案合在一起才完整
C.乙、丙答案合在一起才完整
D.三人答案合在一起才完整
B
解析　当C'M∥BC时,如图1,∠AMC'=∠C=65°,
∴∠C'MC=180°-∠AMC'=180°-65°=115°,
由折叠的性质得∠C'MN= ∠C'MC= ×115°=57.5°;
当C'M∥AB时,如图2,∠C'MC=∠A=50°,
由折叠的性质得∠C'MN= ∠C'MC=25°.
综上,∠C'MN的度数为57.5°或25°.故选B.
图1 图2
3.(2025河北保定十七中期中)将如图1所示的长方形ABCD纸
片沿EF折叠得到图2,折叠后DE与BF相交于点P,如果∠BPE=
130°,那么∠PEF的度数为___.

图1
65°

图2
解析　由长方形ABCD纸片沿EF折叠可知,AE∥BF,∠PEF=
(180°-∠AEP),∴∠AEP=180°-∠BPE=180°-130°=50°,
∴∠PEF= ×(180°-50°)=65°.
方法归纳　平行线中折叠问题的解决步骤:
1.还原图形:将折叠前后的图形完整显示在图中,明确对应点
和折痕的位置;
2.寻找等量关系:折叠前后,对应角的度数不变;
3.计算:利用平行线中同位角、内错角、同旁内角的性质,找
到与已知角或所求角相关的等量关系,结合上述等量关系,逐
步计算出所求角度.(共13张PPT)
第七章　相交线与平行线
第2课时　说理
7.1　命题
　说理过程中的推理依据
1.下列命题,不是基本事实的是 ( )
A.过平面上两点,有且只有一条直线
B.两点之间的连线中,线段最短
C.在等式两边同时加上(或减去)同一个整式,所得结果仍为等
式
D.同角的补角相等
D
解析　同角的补角相等,是由等量代换推理得出的,是定理,不
是基本事实.故选D.
2.下面关于基本事实和定理的说法,不正确的是 ( )
A.基本事实和定理都是真命题
B.基本事实就是定理,定理也是基本事实
C.基本事实和定理都可以作为推理论证的依据
D.基本事实的正确性不需证明,定理是经过证明的真命题
B
解析 A,C,D中的说法正确,故A,C,D不符合题意;B.基本事实
是不需要证明的真命题,基本事实不是定理,定理是经过推理
得到的真命题,定理不是基本事实,故B符合题意.故选B.
3.(2025河北保定期末节选)如图,OM是∠AOC的平分线,ON是
∠BOC的平分线.
当∠AOB=90°,∠BOC=60°时,求∠MON的度数,小华同学提供
的过程如下,请补全说理过程.
∵∠AOB=90°,∠BOC=60°,
∴∠AOC=________+_______=150°,
∵OM是∠AOC的平分线,ON是∠BOC的平分线,
∴∠COM=__∠AOC= ___°,∠CON= _______= _______°,
30
∠BOC
75
∠BOC
∠AOB
∴∠MON=________-∠CON=____°.

45
∠COM

4.【学科特色·教材变式P36T3】(★★☆)试说明“若∠A+∠
B=180°,∠C+∠D=180°,∠A=∠C,则∠B=∠D”是真命题.以
下是排乱的推理过程:
①因为∠A=∠C(已知);
②因为∠A+∠B=180°,∠C+∠D=180°(已知);
③所以∠B=180°-∠A,∠D=180°-∠C(等式的性质);
④所以∠B=∠D(等量代换);
⑤所以∠B=180°-∠C(等量代换).
正确的顺序是 ( )
C
A.①→③→②→⑤→④
B.②→③→⑤→①→④
C.②→③→①→⑤→④
D.②→⑤→①→③→④
解析　因为∠A+∠B=180°,∠C+∠D=180°(已知),所以∠B=
180°-∠A,∠D=180°-∠C(等式的性质),因为∠A=∠C(已知),所以
∠B=180°-∠C(等量代换).所以∠B=∠D(等量代换).故正确的
顺序为②→③→①→⑤→④.故选C.
5.【新考向·新定义题】(★★★)若一个四位正整数P满足千
位上的数字比百位上的数字大2,十位上的数字比个位上的数
字大2,千位上的数字与十位上的数字不相等且各个数位上的
数字都不为零,则称P为“双减数”.将“双减数”P的千位和
百位数字组成的两位数与十位和个位数字组成的两位数的差
记为N(P).例如:四位正整数7 564,∵7-5=6-4=2,且7≠6,∴7 564
是“双减数”,此时N(7 564)=75-64=11.
(1)判断8 631是不是“双减数” 若是,请求出N(8 631)的值;若
不是,请说明理由.
(2)命题“对于任意‘双减数’A,N(A)都能被11整除”是真命
题还是假命题 说明你的理由.
解析 (1)∵8-6=2,3-1=2,8≠3,
∴8 631是“双减数”,此时N(8 631)=86-31=55.
(2)是真命题,理由如下:
设千位数字为a,十位数字为b,则百位数字为a-2,个位数字为b-
2,且a≠b,
由题意得N(A)=10a+(a-2)-[10b+(b-2)]=11(a-b),∴N(A)能被11
整除.

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