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2025-2026学年九年级（下）3月自主作业数学试题
一．选择题（本大题共10个小题，每小题3分，满分30分．每小题都给出标号为A，B，C，D四个备选答案，其中有且只有一个是正确的）
1．数轴上，表示﹣2和5两点之间的距离是（　　）
A．3 B．7 C．﹣3 D．﹣7
2．下列说法中错误的是（　　）
A．掷一枚普通的正六面体骰子，出现向上一面点数是2的概率是
B．从装有10个红球的袋子中，摸出1个白球是不可能事件
C．任意抛掷一枚图钉，钉尖触地和钉尖朝上的概率不相等
D．某种彩票的中奖率为1%，买100张彩票一定有1张中奖
3．下列计算正确的是（　　）
A．a2+2a2＝3a4 B．（2a﹣b）2＝4a2﹣b2
C．（﹣2ab3）2＝4a2b6 D．a8÷a4＝a2
4．如图1是由4个相同的小正方体组成的一个几何体，在图1的基础上再添加一个相同大小的正方体变成图2，则三视图发生改变的是（　　）
A．主视图 B．左视图
C．俯视图 D．主视图和左视图
5．某速度滑冰队从甲、乙、丙、丁四位选手中选派一名参加省冰雪运动会，对他们进行了十次测试，结果他们的平均成绩均相同，方差如下表：若决定发挥最稳定的丁参加省运会，则a的值可以是（　　）
选手 甲 乙 丙 丁
方差（秒2） 0.095 0.085 0.079 a
A．0.10 B．0.09 C．0.08 D．0.07
6．如图，△ABC中，∠ACB＝50°，根据图中尺规作图痕迹，∠ADB的度数为（　　）
A．100° B．115° C．125° D．135°
7．如图，衣架可以近似看成一个等腰三角形ABC，其中AB＝AC，∠BAC＝126°，BC＝44cm，则高AD约为（　　）（参考数据：sin27°≈0.45，cos27°≈0.89，tan27°≈0.51）
A．9.90cm B．11.22cm C．19.58cm D．22.44cm
8．如图，把圆分成n（n≥3）等份，经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形叫做这个圆的外切正n边形．如图，⊙O的半径为R，则它的外切正n边形的边长是（　　）
A． B．
C． D．
9．如图，在△ABC中，DE，FG分别是线段AB，BC的垂直平分线，若∠ABC＝100°，则∠DBF的度数是（　　）
A．20° B．30° C．40° D．50°
10．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，图象经过点（0，2），其对称轴为直线x＝﹣1．下列结论：①abc＜0；②3a+c＞0；③若点（﹣4，y1），（3，y2）均在二次函数图象上，则y1＞y2；④关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝﹣1有两个相等的实数根：⑤若x1，x2（x1＜x2）是方程ax2+bx+c＝0的两根，则方程a（x﹣x1）（x﹣x2）﹣1＝0的两根m，n（m＜n）满足a（m﹣x1）（n﹣x2）＞0，其中正确结论的个数为（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
二．填空题（本大题共6个小题，每小题3分，满分18分）
11．函数的定义域是　 　 ．
12．由我国自主研制的大型灭火、水上救援水陆两栖飞机“鲲龙﹣600”（AG600），可在20秒内汲水12000千克．数据12000用科学记数法表示为 　 　 ．
13．如图，在平面直角坐标系中，已知⊙D经过原点O，与x轴，y轴分别交于A，B两点，点B坐标为，OC与⊙D交于点C，∠OCA＝30°，则图中阴影部分的面积为　 　 ．
14．如果飞镖随意的投向如图所示的木板上且不脱靶，那么飞镖落在木板上阴影部分的概率是　 　 ．
15．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x+4与坐标轴交于A，B两点，OC⊥AB于点C，P是线段OC上的一个动点，连接BP，将线段BP绕点B逆时针旋转45°，得到线段BP′，连接CP′，则线段CP′的最小值为 　 　 ．
16．如图，一次函数y＝x与反比例函数的图象交于点A，过点A作AB⊥OA，交x轴于点B；作BA1∥OA，交反比例函数图象于点A1；过点A1作A1B1⊥A1B交x轴于点B1；再作B1A2∥BA1，交反比例函数图象于点A2，依次进行下去，…，则点An的坐标为 　 　 ．
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（9分）化简求值：，其中x＝4．
18．（9分）我们都知道，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，小明在探究这个结论时，他的思
路是：如图，在Rt△ABC中，点D是AB的中点，过点D作AC的垂线，然后证明该垂线是AC的垂直平分线，请根据小明的思路完成下面的作图与填空：
证明：用直尺和圆规，过点D作AC的垂线，垂足为E（只保留作图痕迹）．
∵DE⊥AC，
∴∠AED＝　 　
∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，
∴∠AED＝　 　
∴　 　 ，
又∵AD＝DB，
∴　 　
∴DC＝ADAB．
19．（9分）据观察，很多同学的草稿本没有用完便被扔掉，造成了较大的纸张浪费．学期末某“数学兴趣”小组为了解本学期七年级学生草稿本的使用情况，随机抽查了一个班进行调查，经过数据整理，学生的草稿本使用情况大致可分为下面四类：A．全部用完；B．剩约；C．剩约一半；D．基本未用．兴趣小组成员根据统计结果绘制了如下两个不完整的统计图．请根据统计图提供的信息，解答下列问题：
（1）这个班共有　 　 人，在图2中D所在扇形的圆心角是　 　 度，“数学兴趣”小组采用的调查方式是　 　 ；
（2）请补全图1中条形统计图；
（3）七年级共有560人，若每本草稿本以50页纸张计算，试估算七年级学生中使用草稿本“剩约一半”的同学本学期剩余的纸张共有　 　 张．
（4）学校随机抽取7位同学草稿本的使用情况（单位：本），数据为：7，5，6，8，9，9，10．这组数据的中位数和众数分别是　 　 ；
（5）若从对节约资源达到了“了解”程度的3个女生和2个男生中随机抽取2人参加“节约资源，从我做起”知识竞赛，则恰好抽到1个男生和1个女生的概率是　 　 ．
20．（9分）英才学校的学生为了测量贾鲁河的某段宽度，三个数学研究小组设计了不同的方案，他们在贾鲁河的南岸的点A处测得河北岸的树H恰好在A的正北方向．测量方案与数据如下表：
课题 测量河流宽度
测量工具 测量角度的仪器，皮尺等
测量小组 第一小组 第二小组 第三小组
测量方案示意图
说明 点B，C在点A的正东方向 点B，D在点A的正东方向 点B在点A 的正东方向，点C在点A的正西方向
测量数据 BC＝54.8m，∠ABH＝74°，∠ACH＝37°． BD＝20m，∠ABH＝74°，∠BCD＝37°． BC＝84.8m，∠ABH＝74°，∠ACH＝37°．
（1）哪个小组的数据无法计算出河宽？
（2）请选择其中一个方案及其数据求出河宽．（精确到0.1m．参考数据：sin74°≈0.96，cos74°≈0.28，tan74°≈3.49，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）
21．（9分）鹏鹏童装店销售某款童装，每件售价为60元，每星期可卖100件，为了促销，该店决定降价销售，经市场调查反应：每降价1元，每星期可多卖10件．已知该款童装每件成本30元．设该款童装每件售价x元，每星期的销售量为y件．
（1）求y与x之间的函数关系式（不求自变量的取值范围）．
（2）当每件售价定为多少元时，每星期的销售利润最大，最大利润是多少？
（3）当每件童装售价定为多少元时，该店一星期可获得3910元的利润？
22．（9分）如图所示，AB、CD是⊙O上的弦（点C异于点A），连接AD，，∠BAD＝90°，E为CD上一点，连接EB，且BE∥AD，F是DC延长线上的一点，使得EF＝BE，连接BF、AF，AF交BE于点G．
（1）求证：BF是⊙O的切线．
（2）若AB＝4，DF＝10，求tan∠AFB．
23．（9分）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AC＝2，将△ABC绕点B顺时针旋转一定的角度α得到△DEB，点A、C的对应点分别是D、E，连接AD．
（1）如图1，当点E恰好在AB上时，求∠ADE的大小；
（2）如图2，若α＝60°，点F是AB的中点，判断四边形CEDF的形状，并证明你的结论．
（3）如图3，若点F为AD中点，求证：C、E、F三点共线．
24．（9分）已知抛物线y＝﹣x2+（m2+3）x﹣（6m+9）（其中m≠0）与x轴交于点A，B，点B在点A的右侧，与y轴交于点C，其中点B的坐标为（3，0），如图所示．
（1）求抛物线的函数表达式和抛物线的对称轴；
（2）在抛物线的对称轴上找一点P，使PA+PC的值最小，请求出点P的坐标；
（3）Q为抛物线上一点，若∠ACQ＝45°，求点Q的坐标．
参考答案
一．选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B D C C D B B A A A
二．填空题
11．x＞4．
12．1.2×104．
13．．
14．．
15．22．
16．（，）．
三．解答题
17．解：
＝x+3，
当x＝4时，原式＝4+3＝7．
18．解：如图：
证明：过点D作AC的垂线，垂足为E，
∵DE⊥AC，
∴∠AED＝90°，
在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，
∴∠AED＝∠ACB，
∴DE∥BC，
又∵AD＝DB，
∴AE＝EC，
∴DC＝ADAB，
故答案为：90°，∠ACB，DE∥BC，AE＝EC．
19．解：（1）这个班的总人数为：（人），
在图2中D所在扇形的圆心角为度数为：4÷48×360°＝30°，
“数学兴趣”小组采用的调查方式是抽样调查，
故答案为：48，30，抽样调查；
（2）C所代表的人数为：48﹣8﹣24﹣4＝12（人），
条形统计图如下：
（3）（张），
故答案为：3500；
（4）7，5，6，8，9，9，10中9出现次数最多，因此众数为9；
从小到大进行排序为5，6，7，8，9，9，10，中间位置的数为8，因此中位数是8．
（5）画树状图得：
∵“一男一女”学生的情况有12种，可能的情况一共有20种，
∴概率是：；
故答案为：．
20．解：（1）第二个小组的数据无法计算河宽；
（2）第一个小组的解法：
∵∠ABH＝∠ACH+∠BHC，∠ABH＝74°，∠ACH＝37°，
∴∠BHC＝∠BCH＝37°，
∴BC＝BH＝54.8m，
∴AH＝BH sin74°≈54.8×0.96≈52.6（m）．
第三个小组的解法：设AH＝xm，
则CA，AB，
∵CA+AB＝CB，
∴，
解得x≈52.6．
答：河宽约为52.6m．
21．解：（1）由题意得，y＝100+10（60﹣x）＝﹣10x+700；
（2）设每星期利润为w元，
根据题意，得W＝（x﹣30）（﹣10x+700）
＝﹣10x2+300x+700x﹣21000
＝﹣10（x﹣50）2+4000，
∵﹣10＜0，
∴当x＝50时，w有最大值为4000元，
∴当每件售价定为50元时，每星期的销售利润最大，最大利润是4000元．
（3）由题意得，（x﹣30）（﹣10x+700）＝3910，
整理得：x2﹣100x+2491＝0，
解得x＝47或x＝53，
∴当每件童装售价定为47元或53元时，该店一星期可获得3910元的利润．
22．（1）证明：连接BD，如图1所示：
∵∠BAD＝90°，
∴BD为⊙O的直径，即BD经过点O，
∵，
∴∠ABD＝∠EDB，
∵BE∥AD，
∴∠EBD＝∠ABD，
∴∠EDB＝∠EBD，
∵EF＝BE，
∴∠EBF＝∠EFB，
∴∠DBF＝∠EBD+∠EBF＝∠EDB+∠EFB，
∵∠EDB+∠EFB+∠DBF＝180°，
∴2∠DBF＝180°，
∴∠DBF＝90°，
即BF⊥BD，
∵BD为⊙O的直径，
∴BF是⊙O的切线；
（2）连接BD交AF于K，连接AC交BD于H，连接BC，如图2所示：
∵∠EDB＝∠EBD，
∴EB＝ED，
∵EF＝BE，
∴EB＝ED＝EF，
∵DF＝10，
∴EB＝ED＝EF＝1/2DF＝5，
∵，AB＝4，
∴BC＝AB＝4，AC⊥BD，AH＝CH，
∵BD为⊙O的直径，
∴∠BCD＝90°，
在Rt△BCE中，由勾股定理得：CE3，
∴CD＝ED+CE＝8，FC＝EF﹣CE＝2，
在Rt△BCD中，由勾股定理得：BD，
在Rt△BFC中，由勾股定理得：BF，
∵BF⊥BD，AC⊥BD，
∴BF∥AC，
∴△DCH∽△DFB，
∴CH：BF＝DH：BD＝CD：DF，
即CH：DH：8：10，
∴CH，DH，
∴BH＝BD﹣DH，AH＝CH，
∵BF∥AC，
∴△FBK∽△AHK，
∴BK：KH＝BF：AH，
即BK：KH：，
∴4BK＝5KH，
∵KH＝BH﹣BKBK，
∴，
∴BK，
在Rt△FBK中，tan∠AFB．
23．（1）解：∵将△ABC绕点B顺时针旋转一定的角度α得到△DEB，
∴AB＝BD，∠ABD＝∠ABC＝30°，∠ACB＝∠BED＝90°，
∴∠BAD＝75°＝∠BDA，
∴∠ADE＝∠BED﹣∠BAD＝15°；
（2）解：四边形CEDF是平行四边形；
证明：∵点F是边AB的中点，
∴，
∵∠ABC＝30°，
∴，
∴CF＝AF＝AC＝BF，
∴△ACF是等边三角形，
∴∠A＝60°，
∵△ABC绕点B顺时针旋转60°得到△DBE，
∴∠CBE＝∠ABD＝60°，BC＝BE，DE＝AC，AB＝DB，
∴DE＝CF，△CBE为等边三角形，
∴CE＝BC＝BE，
在△ABC和△BDF中，
，
∴△ABC≌△BDF（SAS），
∴DF＝BC，
∴DF＝CE，
∵CF＝DE，
∴四边形CEDF是平行四边形；
（3）证明：如图3，将△ABC绕点B顺时针旋转一定的角度α得到△DEB，连接CF，EF，BF，
∴∠CAB＝∠BDE，AB＝BD，
∵F为AD中点，
∴BF⊥AD，
∴∠AFB＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴点A、点C、点B、点F四点共圆，
∴∠BAC＝∠BFC＝∠BDE，
∵∠BFD＝∠BED＝90°，
∴点B，点D，点F，点E四点共圆，
∴∠BDE+∠BFE＝180°，
∴∠BFC+∠BFE＝180°，
∴C，E，F三点共线．
24．解：（1）把B（3，0）代入y＝﹣x2+（m2+3）x﹣（6m+9）得：
﹣9+3（m2+3）﹣（6m+9）＝0，
解得m＝3（舍去）或m＝﹣1，
∴m的值是﹣1，
∴y＝﹣x2+4x﹣3，
∵y＝﹣x2+4x﹣3＝﹣（x﹣2）2+1，
∴抛物线的对称轴为x＝2；
（2）∵y＝﹣x2+4x﹣3中，令x＝0得y＝﹣3，
∴C（0，﹣3），
设直线BC函数表达式为y＝kx﹣3，把B（3，0）代入得：
3k﹣3＝0，
解得k＝1，
∴直线BC函数表达式为y＝x﹣3，
由（1）知抛物线的对称轴为直线x＝2，
则BC交直线x＝2于点P，如图，
∴PA＝PB，
∵PA+PC＝PB+PC＝BC，
此时PA+PC的值最小．
当x＝2时，y＝2﹣3＝﹣1，此时P点坐标为（2，﹣1），
∴PA+PC的值最小时，满足条件的点P的坐标为（2，﹣1）；
（3）过A作AK⊥AC，交CP延长线于K，过K作KT⊥x轴于T，如图：
∵∠ACP＝45°，
∴△ACK是等腰直角三角形，
∴AC＝AK，∠KAT＝90°﹣∠CAO＝∠ACO，
∵∠AOC＝∠ATK，
∴△AOC≌△KTA（AAS），
∴OC＝AT＝3，OA＝TK＝1，
∴K（4，﹣1），
由C（0，﹣3），K（4，﹣1）得直线CK解析式为yx﹣3，
联立，
解得或，
∴Q（，）．

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