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2025-2026学年九年级上学期2月质量检测数学试卷
一．选择题（每小题3分，满分30分）
1．下列关于二次函数y＝（x﹣3）2﹣4的说法正确的是（　　）
A．图象是一条开口向下的抛物线
B．顶点坐标是（﹣3，﹣4）
C．函数图象与y轴交于正半轴
D．y有最大值，最大值为﹣4
2．已知⊙O的半径为5，则该圆中最长的弦的长是（　　）
A． B． C．10 D．15
3．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，则cos∠ABC的值为（　　）
A． B． C． D．
4．下列计算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
5．已知△ABC∽△DEF，若∠A＝25°，∠B＝75°（　　）
A．75° B．25° C．80° D．100°
6．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣2，0）和B（4，0）2+bx+c＝0（a≠0）的根是（　　）
A．x1＝﹣4，x2＝2 B．x1＝﹣2，x2＝4
C．x1＝﹣1，x2＝3 D．x1＝﹣3，x2＝1
7．如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为BC延长线上一点．若∠DCE＝55°（　　）
A．75° B．110° C．130° D．140°
8．一块长方形菜地的面积是150m2，如果它的长减少5m，那么它就成为正方形菜地．求这个长方形菜地的长和宽．设原菜地的宽为x，则可列方程为（　　）
A．x（x+5）＝150 B．x（x﹣5）＝150
C．（x+5）＝150 D．（x﹣5）＝150
9．已知点（3，y1），（﹣2，y2），（0，y3）在抛物线y＝x2﹣2x+c上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　）
A．y3＜y1＜y2 B．y1＜y3＜y2 C．y1＜y2＜y3 D．y2＜y3＜y1
10．如图，把两个边长为4的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，则大正方形的边长在（　　）
A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．6和7之间
二．填空题（共5小题，满分12分）
11．函数y＝中，自变量x的取值范围是 　 　 ．
12．已知，当y1＝y2时，x的值为　 　 ．
13．有两组相同的纸牌，它们的牌面数分别是1，2，3．从每组牌中各随机摸出一张，据此估计牌面数字的和是2的概率是 　 　 （精确到0.1）．
14．在半径为2cm的圆中，120°的圆心角所对的弦长为 　 　 cm．
15．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，有下列6个结论：①abc＜0； ③4a+2b+c＜0；④2a+b+c＞02﹣4ac＞0；⑥2a+b＝0；其中正确的结论有 　 　 ．
三．解答题（共8小题，满分75分）
16．（10分）（1）；
（2）（1﹣）2+++．
17．（9分）某校为进一步活跃校园文化活动，促进学生体育社团活动向健康、文明、向上的方向发展，优化育人环境，更加合理地安排体育社团活动，学校请某班数学兴趣小组就本班同学“我最想加入的体育社团”进行了一次调查统计
请你根据图中提供的信息，解答以下问题：
（1）该班共有多少名学生？在扇形统计图中，“其他”部分所对应的圆心角度数是多少度？请补全条形统计图；
（2）全市举行学生乒乓球比赛，该学校要推选5位乒乓球社团同学参加，其中有2名七年级同学（A，B）（C，D，E），现从中选取两名同学组成双打组合，用树状图或列表法表示出所有的结果
18．（9分）如图，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣4，6），B（﹣8，0），C（﹣2，2）．
（1）在y轴上确定一个点P，使PA+PC的值最小（要求保留画图痕迹），最小值是 　 　 ．
（2）画出△ABC关于原点O的位似△A′B′C′，要求新图形与原图形的位似比为1：2，并写出所画图中点C的坐标（只需画出一个满足题意的△A′B′C′即可）．
19．（9分）如图，甲、乙两架无人机在空中执行飞行任务，甲以，当甲在A处，乙在甲南偏西60°方向，且乙从B沿南偏西15°方向匀速直线飞行，当甲飞行2秒到达C处时（结果保留根号）
20．（9分）如图，这是一位篮球运动员投篮的进球路线，球沿抛物线y＝ax2+x+c运动，然后准确落入篮筐内．已知投篮运动员在投篮处A到地面的距离AO＝2.25米．以O为坐标原点，建立直角坐标系（4，3.05），对称轴与抛物线交于点B，与x轴交于点C．
（1）求抛物线的表达式．
（2）求点B到DH所在直线的距离及点B到地面的距离BC．
21．（9分）如图，AB为⊙O的直径，PB⊥AB，直线PO垂直平分BC，交BC于H
（1）求证：PC是⊙O的切线；
（2）作∠ACB的平分线CE交⊙O于点 E．若，，求阴影部分的面积和AD的长．
22．（10分）如图①，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A（﹣1，0）、B（4，0），与y轴交于点C（0，2），D为抛物线的顶点，抛物线的对称轴与BC交于点H．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线上B，D两点之间的部分（不包含B，D两点），是否存在点G，若存在，求出点G的坐标，请说明理由；
（3）如图②，将抛物线在BC上方的图象沿BC折叠后与y轴交于点E，直接写出E的坐标．
23．（10分）如图1，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AC＝12，点D是AB上一点（不与点A，B重合），交AC于点E．如图2，把△ADE绕点A顺时针旋转α度（0＜α＜90），BE，CE．在△ADE旋转过程中
（1）如图2，求证：△ADB∽△AEC；
（2）如图3，若点F，H，G分别是DE，BE的中点，求的值；
（3）如图2，若AD＝3，求△BCE 面积的最小值．
参考答案
一．选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C C D B C B B A A C
二．填空题
11．x≠2．
12．﹣3±3．
13．0.1．
14．．
15．①④⑤⑥．
三．解答题
16．解：（1）
＝﹣2
＝4﹣6+4
＝4+2；
（2）（1﹣）5+++
＝3﹣2+3+2
＝7+5．
17．解：（1）由统计图可得，该班共有学生：15÷30%＝50（名），
想加入足球社团的学生有：50×18%＝9（名），
想加入其他社团的学生有：50﹣15﹣9﹣16＝10（名），
在扇形统计图中，“其他”部分所对应的圆心角度数为：．
答：该班共有50名学生，在扇形统计图中．
补全的条形统计图如图所示：
（2）由题意可得，
根据图可得，总共有20种情况、八年级同学各4名组成双打组合的有12种，
∴恰好选出七、八年级同学各1名的概率是．
18．解：（1）如图，点P为所作；
PA+PC最小值为＝3；
（2）如图，△A'B'C'为所作，﹣1）．
19．解：过点B作BH⊥CD，垂足为H，
由题意得：BN∥AE，AC＝2×3（米），
∵AB＝6米，
∴AB＝AC，
∵∠BAC＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC＝6米，∠ACB＝60°，
∵∠DCE＝75°，
∴∠BCD＝180°﹣∠ACB﹣∠DCE＝45°，
在Rt△BCH中，BH＝BC sin45°＝6×，
∵BN∥AE，
∴∠BNC＝∠NCE＝75°，
∵∠BNC是△BDN的一个外角，∠DBN＝15°，
∴∠BDC＝∠BNC﹣∠DBN＝60°，
在Rt△BDH中，BD＝＝（米），
∴乙无人机的飞行速度＝＝＝6，
∴乙无人机的飞行速度为2米/秒．
20．解：（1）由题意，∵AO＝2.25米，
∴A（0，2.25）．
∴c＝2.25．
再将D（4，5.05）代入y＝ax2+x+2.25，
∴a＝﹣4.2．
∴所求抛物线的表达式为y＝﹣0.3x2+x+2.25．
（2）由（1）所求抛物线的表达式为y＝﹣2.2x2+x+5.25，
∴对称轴为x＝﹣＝2.7．
∴B到DH所在直线的距离为4﹣2.8＝1.5（米）．
又当x＝8.5时，y＝1.625，
∴B到地面的距离BC为6.625米．
21．（1）证明：连接OC，
∵PO垂直平分BC，
∴PB＝PC，OB＝OC（垂直平分线的性质定理），
∵在△PBO与△PCO中，
，
∴△PBO≌△PCO（SSS），
∴∠PCO＝∠PBO，
∵PB⊥AB，
∴∠PCO＝∠PBO＝90°，
即PC⊥OC，
∴PC是⊙O的切线．
（2）解：连接OE，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵CE平分∠ACB，
∴∠ACE＝∠BCE＝45°，
∴∠BOE＝2∠ACE＝90°，
∵，
∴OA＝OE＝OB＝2，
∴，
∴S阴影＝S扇形OBE﹣S△OBE＝π﹣2，
∵∠DCA+∠PCB＝90°，∠DBC+∠PBC＝90°，
∴∠DCA＝∠DBC，
∵∠D＝∠D，
∴△DAC∽△DCB，
∴，
∵，
∴，
∴DC＝2AD，
∵△DAC∽△DCB，
∴DC2＝AD DB，
∵AB＝7OA＝4，
∴DB＝AD+AB＝AD+4，
∴（3AD）2＝AD×（AD+4），
∴．
22．解：（1）抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A（﹣6，0），0）两点，
∴设抛物线的解析式为：y＝a（x+4）（x﹣4），
∵抛物线过点C（0，7），
∴2＝a（0+8）（0﹣4），
解得，
∴抛物线的解析式为：；
（2）设直线BC的解析式为y＝kx+b2，
∴，
∴，
∴直线BC的解析式为：．
∵抛物线解析式为，
∴抛物线对称轴为直线，
在中，当，，
∴，
∴，
过点G作GM⊥DH于点M，过点G作GN⊥x轴交直线BC于点N，
设点G的坐标为，则，，
∴，，
∴，
，
∵，
∴，
解得m＝8或m＝﹣6（舍去），
∴存在，G（2．
（3）设点E关于直线BC的对称点为Q，原点关于直线BC的对称点为P，
设P（s，t），
由轴对称的性质可得PC＝OC＝4，PB＝OB＝4，
∴，
∴t＝2s，
∴s2+（2s﹣3）2＝4，即3s2﹣8s＝8，
解得或s＝7（舍去），
∴，
同理可得直线CP的解析式为，
联立，解得或，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
23．（1）证明：如图1，∵△ADE绕点A旋转前，
∴△ADE∽△ABC，
∴，
即 ，
如图2，△ADE 绕点A顺时针旋转α度过程中，
∵∠DAE＝∠BAC＝90°，
∴∠DAB+∠BAE＝∠CAE+∠BAE＝90°，
∴∠DAB＝∠CAE，
∴△ADB∽△AEC．
（2）解：∵点F，H，G分别是DE，BE的中点，
∴GF是△BED 的中位线，
∴．同理，．
由（1）得△ADB∽△AEC，且AB＝9．
∴，
∴；
（3）解：如图，
．
∵AD＝2，
∴AE＝4．
∵△ADE 绕点A旋转，则AE是⊙A 的半径，
要使S△BCE 达到最小值，即：使以BC为底．
过点A作AM⊥BC于点M．
∵在△ADE绕点A顺时针旋转α度（0＜α＜90）的过程中，△AEM 的三边关系有：AE+ME＞AM，
∴当点A，E，M三点共线时，即ME＝AM﹣AE，
∴，
∴，
∴，
∴．
即△BCE 面积的最小值为24．

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