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第六章
课时1　圆周运动
圆周运动
核心 目标 1．了解圆周运动、匀速圆周运动的特点，了解描述圆周运动快慢的基本思路，了解转速和周期的意义．
2．理解线速度、角速度的意义，知道线速度的方向，掌握线速度和角速度的关系，会求解线速度和角速度．
目标导学 各个击破
描述圆周运动的物理量之间的关系
考向
1
1．描述圆周运动的各物理量之间的关系
2．圆周运动的各物理量之间关系的理解
(1) 角速度、周期、转速之间关系的理解
由ω＝＝2πn知，角速度、周期、转速三个物理量中的一个物理量已知，则其余两个物理量也可求出．
(2) 线速度与角速度之间关系的理解
①当半径r不变时，线速度v与角速度ω成正比．
②当角速度ω不变时，线速度v与半径r成正比．
③当线速度v不变时，角速度ω与半径r成反比．
(3) 各量间的关系用图像表示
　　　质点做匀速圆周运动时，下列说法中正确的是 (　　)
A．因为v＝ωr，所以线速度大小v与轨道半径r成正比
B．因为ω＝，所以角速度ω与轨道半径r成反比
C．因为ω＝2πn，所以角速度ω与转速n成正比
D．因为v＝r，所以线速度大小v与周期T成反比
1
C
解析：当ω一定时，线速度大小v才与轨道半径r成正比，A错误；当v一定时，角速度ω才与轨道半径r成反比，B错误；在用转速表示角速度时，角速度与转速成正比，C正确；当r一定时，线速度大小v才与周期T成反比，D错误．
　　　拖把杆内有一段长度为25 cm的螺杆通过拖把杆下段与拖把头接在一起，螺杆的螺距(相邻螺纹之间的距离)d＝5 cm，拖把头的半径为10 cm，拖把杆上段相对螺杆向下运动时拖把头就会旋转，把拖把头上的水甩出去．某次脱水时，拖把杆上段1 s内匀速下压了25 cm，该过程中拖把头匀速转动，则 (　　)
A．拖把杆向下运动的速度为0.1π m/s
B．拖把头边缘的线速度为π m/s
C．拖把头转动的角速度为5π rad/s
D．拖把头的转速为1 r/s
2
解析：拖把杆向下运动的速度v2＝＝0.25 m/s，A错误；拖把杆上段1 s内匀速下压了25 cm，则转动5圈，拖把头的转速为n＝5 r/s，则拖把头转动的角速度ω＝2πn＝10π rad/s，拖把头边缘的线速度v1＝ωR＝π m/s，B正确，C、D错误．
B
同轴转动和皮带传动问题
考向
2
常见的传动装置及其特点
同轴转动 皮带传动 齿轮传动 摩擦传动
装置 A、B两点在同轴的两个圆盘边缘上 两个轮子用皮带连接，A、B两点分别是两个轮子边缘的点 两个齿轮轮齿啮合，A、B两点分别是两个齿轮边缘上的点 两轮摩擦传动，A、B点分别是两轮边缘上的点，传动时两轮没有相对滑动
同轴转动 皮带传动 齿轮传动 摩擦传动
特点 角速度、周期相同 线速度大小相同 线速度大小相同 线速度大小相同
转动方向 相同 相同 相反 相反
规律 线速度与半径成正比， 角速度与半径成反比， 周期与半径成正比， 角速度与半径成反比， 周期与半径成正比， 角速度与半径成反比，
周期与半径成正比，
　　　《天工开物》少儿百科中介绍了古法制糖工艺，用糖车挤压甘蔗收集汁水，其简化模型的俯视平面图如图所示．手柄上的A点到转动轴轴心O点的距离为4R，两个半径为R的圆柱体表面有两个点B和C，则A、B、C三点的线速度大小之比为 (　　)
A．1∶4∶1
B．1∶4∶4
C．4∶1∶1
D．4∶1∶4
3
解析：A、C为同轴转动，角速度相同，则根据v＝ωr，可知vA∶vC＝4∶1，B、C两点线速度相同，则vA∶vB∶vC＝4∶1∶1，C正确．
C
　　　某人骑自行车在平直路面上沿直线匀速行驶，自行车的部分简化图如图所示．已知自行车小齿轮的半径为r，大齿轮的半径为3r，车轮的半径为9r．若大齿轮转动的转速为n，则自行车前进的速度大小为 (　　)
A．54πrn
B．27πrn
C．18πrn
D．6πrn
4
解析：小齿轮与大齿轮边缘各点线速度大小相等，有2πn·3r＝ωr，解得ω＝6πn，小齿轮与车轮同轴转动，故小齿轮角速度等于车轮角速度，则自行车前进的速度大小v＝ω×9r＝54πrn，故选A．
A
圆周运动的周期性造成的多解问题
考向
3
多解是由于圆周运动的周期性造成的．在求解做匀速圆周运动物体的周期时，应把各种可能都考虑进去，一般有t＝nT(T为运动周期，n为运动圈数)．
　　　(多选)如图所示，在以角速度ω转动的圆盘上有一个小孔A，某时刻，在小孔A正上方高h＝1 m的B处有一个小球以初速度v0＝4 m/s竖直向上抛出，最终小球刚好落进小孔A．不计空气阻力，取g＝10 m/s2，则圆盘转动的角速度可能为 (　　)
A．π rad/s B．2π rad/s
C．3π rad/s D．4π rad/s
5
解析：以竖直向下为正方向，根据位移时间关系可得h＝－v0t＋gt2，解得t＝1 s，圆盘做圆周运动的周期为T＝，nT＝t，联立解得ω＝2nπ rad/s(n＝1，2，3，…)，B、D正确．
BD
解决圆周运动的多解问题的思路
1．明确两个物体参与运动的性质和求解的问题．两个物体参与的两个运动虽然独立，但有联系点，其联系点一般是时间或位移相等．
2．分析问题时可暂时不考虑周期性，表示出一个周期的情况，再根据运动的周期性，在转过的角度θ上再加上2nπ．
随堂内化 即时巩固
1．如图甲所示，机器人转动八角巾手帕时形成一个匀速转动的圆盘．O为手帕的中心，A、B、C为手帕上的三个点(如图乙所示)，各点到O点的距离关系为OA＝OB＞OC，下列说法中正确的是 (　　)
A．A、B两点的线速度相同
B．C点的周期大于B点的周期
C．C点的角速度小于A点的角速度
D．A点的线速度大于C点的线速度
解析：根据题意可知A、B、C三点同轴转动，角速度相等，周期相等，故B、C错误；根据v＝ωr可知A、B两点的线速度大小相等，但是方向不同，即线速度不同，故A错误；根据v＝ωr可知A点的线速度大于C点的线速度，故D正确．
D
甲
乙
2．(多选)某电风扇的调速器有四挡，控制的转速分别为一档n1＝600 r/min、二档n2＝800 r/min、三档n3＝1 000 r/min、四档n4＝1 200 r/min．下列说法中正确的是 (　　)
A．一挡和四挡风扇叶片转动的周期之比是1∶2
B．一挡和三挡风扇叶片转动的角速度之比是3∶5
C．四挡和二挡风扇叶片边缘转动的线速度之比是3∶2
D．二挡和一挡风扇叶片转动的角速度之比等于周期之比
BC
解析：一挡和四挡风扇叶片转动的周期之比是，A错误；一挡和三挡风扇叶片转动的角速度之比是，B正确；四挡和二挡风扇叶片边缘转动的线速度之比是，C正确；二挡和一挡风扇叶片转动的周期之比，D错误．
3．如图所示，小球自空中自由下落，从绕水平轴匀速转动的圆形纸筒穿过，开始下落时小球离纸筒顶点的高度h＝0.8 m，纸筒的半径R＝0.5 m，取g＝10 m/s2，若小球穿过筒壁时能量损失不计，撞破纸的时间也可不计，且小球穿过后纸筒上只留下一个孔，则纸筒绕水平轴匀速转动的角速度可能为 (　　)
A．10π rad/s
B．20π rad/s
C．30π rad/s
D．35π rad/s
D
解析：撞破纸筒仅留下一个小孔，小球从一个孔穿过，则有h＝，h＋2R＝，Δt＝t2－t1＝T(n＝0，1，2，3，…)，ω＝，整理得ω＝5(2n＋1)π rad/s(n＝0，1，2，3，…)，当n＝0时ω＝5π rad/s，当n＝1时ω＝15π rad/s，当n＝2时ω＝25π rad/s，当n＝3时ω＝35π rad/s，D正确．课时1　圆周运动
1．关于做匀速圆周运动的物体，变化的物理量是(　　)
A．周期 B．速率
C．角速度 D．线速度
2．关于做匀速圆周运动的物体，下列说法中正确的是(　　)
A．因为在相等的时间内经过的圆弧长度相等，所以线速度不变
B．如果物体在0.1 s内转过30°角，则角速度为300 rad/s
C．若半径r不变，则线速度与角速度成反比
D．匀速圆周运动是变加速曲线运动
3．如图所示，当用扳手拧螺母时，扳手上的P、Q两点的角速度分别为ωP和ωQ，线速度大小分别为vP和vQ，则(　　)
A．ωP<ωQ，vPC．ωP＝ωQ，vPvQ
4．某个走时准确的时钟，如图所示，分针与时针由转动轴到针尖的长度之比是a∶b，则分针针尖与时针针尖的线速度之比是(　　)
A．a∶b　 B．12a∶b
C．24a∶b　 D．60a∶b
5．(多选)A、B两个质点分别做匀速圆周运动，在相等时间内它们通过的弧长之比sA∶sB＝2∶3，转过的圆心角之比θA∶θB＝3∶2．下列说法中正确的是(　　)
A．它们的线速度之比vA∶vB＝2∶3
B．它们的角速度之比ωA∶ωB＝2∶3
C．它们的周期之比TA∶TB＝2∶3
D．它们的周期之比TA∶TB＝3∶2
6．自行车传动结构的示意图如图所示，其中Ⅰ是半径为r1的大齿轮，Ⅱ是半径为r2的小齿轮，Ⅲ是半径为r3的后轮，脚踏板的角速度为ω1，则自行车前进的速度大小为(　　)
A．r1 B．r2
C．r3 D．ω1r3
7．如图所示，A、B两点分别位于大、小轮的边缘上，大轮的半径是小轮的2倍，它们之间靠摩擦传动，接触面上没有滑动．C在AO1上，且AC距离是CO1距离的两倍．则B、C两点的角速度、线速度关系正确的是(　　)
A．ωB∶ωC＝1∶2，vB∶vC＝1∶3
B．ωB∶ωC＝1∶2，vB∶vC＝3∶1
C．ωB∶ωC＝2∶1，vB∶vC＝3∶1
D．ωB∶ωC＝2∶1，vB∶vC＝1∶3
8．(多选)如图所示为皮带传动装置，主动轴O1上有两个半径分别为R和r的轮，O2上的轮半径为r'，已知R＝2r，r'＝R，设皮带不打滑，则三轮边缘上A、B、C三点的(　　)
A．角速度之比为2∶2∶3
B．线速度大小之比为1∶1∶2
C．周期之比为3∶3∶2
D．转速之比为3∶2∶2
9．(多选)下雨天，同学们经常会转动并甩落雨伞边缘的雨点．某次，甲同学沿竖直方向打着一把雨伞，伞边缘离伞柄的距离为50 cm，离地面的高度为200 cm，旁边有一位乙同学，身高180 cm，离伞边缘的最小水平距离为50 cm，甲同学把雨点甩到了乙同学身上，则雨伞转动的角速度可能是(取g＝10 m/s2)(　　)
A．2 rad/s B．5 rad/s
C．8 rad/s D．10 rad/s
10．如图甲所示，变速自行车有多个半径不同的链轮和飞轮，链轮与脚踏板共轴，飞轮与后车轮共轴，其变速原理简化为如图乙所示，A是链轮上与链条接触的点，B是飞轮的2挡齿轮上与链条相接触的点，C是后轮边缘上的一点，已知rA＝2rB，当人骑车使脚踏板以恒定角速度转动时，下列说法中正确的是(　　)
甲
乙
A．A的线速度大于B的线速度
B．B的角速度大于C的角速度
C．A转动一圈，则C转动两圈
D．仅将链条从飞轮2挡调到1挡可以提速
11．如图所示为冲关节目参赛者遇到的一个关卡．一个半径为R的圆盘浮在水面上，圆盘表面保持水平且与水平跑道的高度差h＝1.25 m，M为圆盘边缘上一点．某时刻，参赛者从跑道上P点水平向右跳出，初速度的方向与圆盘半径OM在同一竖直平面内．已知圆盘的圆心与P点之间的水平距离为x0＝4 m，圆盘半径R＝2 m，取g＝10 m/s2，不计空气阻力．
(1) 求参赛者从P点跳出至落至圆盘经历的时间t．
(2) 参赛者要能落在圆盘上，求v0的最小值．
(3) 若参赛者从P点跳出的同时，圆盘绕过其圆心O的竖直轴以角速度ω匀速转动，要使参赛者落到M点，求圆盘转动的角速度ω．
课时1　圆周运动
1．D
2．D　解析：匀速圆周运动的线速度大小不变，方向时刻改变，A错误；角速度ω＝＝ rad/s＝ rad/s，B错误；若半径r不变，由v＝ωr得线速度与角速度成正比，C错误；匀速圆周运动的加速度大小不变，方向始终指向圆心，时刻变化，故匀速圆周运动是变加速曲线运动，D正确．
3．C　解析：由于P、Q两点属于同轴转动，所以P、Q两点的角速度是相等的，即ωP＝ωQ，同时由题图可知Q点到螺母的距离比较大，根据v＝ωr可知Q点的线速度大，即vP4．B　解析：在一个小时的时间内，分针转过的角度为360°，而时针转过的角度为30°，根据ω＝，可得角速度之比ω1∶ω2＝360°∶30°＝12∶1，由v＝rω可得，线速度之比v1∶v2＝12a∶b，B正确．
5．AC
6．C　解析：大齿轮边缘的线速度为v1＝ω1r1，小齿轮的角速度为ω2＝＝，自行车前进的速度为后轮边缘的线速度v＝r3ω2＝，C正确．
7．C　解析：本题隐含两个已知条件，A、B两点线速度相等，A、C两点角速度相等，依据v＝ωR，结合半径关系rA＝2rB＝3rC，rB＝rC，可以计算得出ωB∶ωA＝ωB∶ωC＝2∶1，vB∶vC＝3∶1，故选C．
8．AC　解析：由于A、B两点属于同轴转动，故ωA＝ωB，而B、C两点通过皮带传动，故vB＝vC，又r'＝R，根据v＝ωr可知＝＝，即ωA∶ωB∶ωC＝2∶2∶3，A正确；结合上面分析，由R＝2r可知＝，即vA∶vB∶vC＝1∶2∶2，B错误；由T＝可得TA∶TB∶TC＝3∶3∶2，C正确；由转速公式n＝可知nA∶nB∶nC＝2∶2∶3，D错误．
9．BC　解析：伞的半径是r＝50 cm，乙同学离伞边缘的最小水平距离为50 cm，雨点甩到乙同学身上，则雨滴的水平位移为x＝＝r，雨伞转动的角速度为ω，雨滴离开伞时的速度大小为v＝rω，雨滴做平抛运动，有h＝gt2，x＝vt，则雨滴的水平位移x＝ωr．若落在乙同学头上时，雨滴下落h＝0.2 m，解得ω1＝5 rad/s；若落在乙同学脚上时，雨滴下落h＝2 m，解得ω2＝ rad/s，则雨伞转动的角速度可能是5 rad/s和8 rad/s，B、C正确．
10．C　解析：A、B通过链条传动，A的线速度等于B的线速度，A错误；飞轮与后车轮共轴，B的角速度等于C的角速度，B错误；由v＝ωr及rA＝2rB可得2ωA＝ωB＝ωC，则A转动一圈，C转动两圈，C正确；由vA＝ωArA＝vB＝ωBrB，vC＝ωBrC，仅将链条从飞轮2挡调到1挡，半径变大，角速度变小，则vC变小，即后轮速度变小，D错误．
11．(1) 0.5 s　(2) 4 m/s　(3) 2nπ rad/s(n＝1，2，3，…)
解析：(1) 根据h＝gt2，解得t＝0.5 s
(2) 根据x0－R＝v0t，解得v0＝4 m/s
(3) 根据题意得t＝n ＝ (n＝1，2，3，…)
解得ω＝2nπ rad/s(n＝1，2，3，…)课时1　圆周运动
核心 目标 1．了解圆周运动、匀速圆周运动的特点，了解描述圆周运动快慢的基本思路，了解转速和周期的意义．
2．理解线速度、角速度的意义，知道线速度的方向，掌握线速度和角速度的关系，会求解线速度和角速度．
考向1　描述圆周运动的物理量之间的关系
1．描述圆周运动的各物理量之间的关系
2．圆周运动的各物理量之间关系的理解
(1) 角速度、周期、转速之间关系的理解
由ω＝＝2πn知，角速度、周期、转速三个物理量中的一个物理量已知，则其余两个物理量也可求出．
(2) 线速度与角速度之间关系的理解
①当半径r不变时，线速度v与角速度ω成正比．
②当角速度ω不变时，线速度v与半径r成正比．
③当线速度v不变时，角速度ω与半径r成反比．
(3) 各量间的关系用图像表示
　　　　　　
　质点做匀速圆周运动时，下列说法中正确的是(　C　)
A．因为v＝ωr，所以线速度大小v与轨道半径r成正比
B．因为ω＝，所以角速度ω与轨道半径r成反比
C．因为ω＝2πn，所以角速度ω与转速n成正比
D．因为v＝r，所以线速度大小v与周期T成反比
解析：当ω一定时，线速度大小v才与轨道半径r成正比，A错误；当v一定时，角速度ω才与轨道半径r成反比，B错误；在用转速表示角速度时，角速度与转速成正比，C正确；当r一定时，线速度大小v才与周期T成反比，D错误．
　拖把杆内有一段长度为25 cm的螺杆通过拖把杆下段与拖把头接在一起，螺杆的螺距(相邻螺纹之间的距离)d＝5 cm，拖把头的半径为10 cm，拖把杆上段相对螺杆向下运动时拖把头就会旋转，把拖把头上的水甩出去．某次脱水时，拖把杆上段1 s内匀速下压了25 cm，该过程中拖把头匀速转动，则(　B　)
A．拖把杆向下运动的速度为0.1π m/s
B．拖把头边缘的线速度为π m/s
C．拖把头转动的角速度为5π rad/s
D．拖把头的转速为1 r/s
解析：拖把杆向下运动的速度v2＝＝0.25 m/s，A错误；拖把杆上段1 s内匀速下压了25 cm，则转动5圈，拖把头的转速为n＝5 r/s，则拖把头转动的角速度ω＝2πn＝10π rad/s，拖把头边缘的线速度v1＝ωR＝π m/s，B正确，C、D错误．
考向2　同轴转动和皮带传动问题
常见的传动装置及其特点
同轴转动 皮带传动 齿轮传动 摩擦传动
装置 A、B两点在同轴的两个圆盘边缘上 两个轮子用皮带连接，A、B两点分别是两个轮子边缘的点 两个齿轮轮齿啮合，A、B两点分别是两个齿轮边缘上的点 两轮摩擦传动，A、B点分别是两轮边缘上的点，传动时两轮没有相对滑动
特点 角速度、周期相同 线速度大小相同 线速度大小相同 线速度大小相同
转动方向 相同 相同 相反 相反
规律 线速度与半径成正比， 角速度与半径成反比， 周期与半径成正比， 角速度与半径成反比， 周期与半径成正比， 角速度与半径成反比， 周期与半径成正比，
　《天工开物》少儿百科中介绍了古法制糖工艺，用糖车挤压甘蔗收集汁水，其简化模型的俯视平面图如图所示．手柄上的A点到转动轴轴心O点的距离为4R，两个半径为R的圆柱体表面有两个点B和C，则A、B、C三点的线速度大小之比为(　C　)
A．1∶4∶1 B．1∶4∶4
C．4∶1∶1 D．4∶1∶4
解析：A、C为同轴转动，角速度相同，则根据v＝ωr，可知vA∶vC＝4∶1，B、C两点线速度相同，则vA∶vB∶vC＝4∶1∶1，C正确．
　某人骑自行车在平直路面上沿直线匀速行驶，自行车的部分简化图如图所示．已知自行车小齿轮的半径为r，大齿轮的半径为3r，车轮的半径为9r．若大齿轮转动的转速为n，则自行车前进的速度大小为(　A　)
A．54πrn B．27πrn
C．18πrn D．6πrn
解析：小齿轮与大齿轮边缘各点线速度大小相等，有2πn·3r＝ωr，解得ω＝6πn，小齿轮与车轮同轴转动，故小齿轮角速度等于车轮角速度，则自行车前进的速度大小v＝ω×9r＝54πrn，故选A．
考向3　圆周运动的周期性造成的多解问题
多解是由于圆周运动的周期性造成的．在求解做匀速圆周运动物体的周期时，应把各种可能都考虑进去，一般有t＝nT(T为运动周期，n为运动圈数)．
　(多选)如图所示，在以角速度ω转动的圆盘上有一个小孔A，某时刻，在小孔A正上方高h＝1 m的B处有一个小球以初速度v0＝4 m/s竖直向上抛出，最终小球刚好落进小孔A．不计空气阻力，取g＝10 m/s2，则圆盘转动的角速度可能为(　BD　)
A．π rad/s B．2π rad/s
C．3π rad/s D．4π rad/s
解析：以竖直向下为正方向，根据位移时间关系可得h＝－v0t＋gt2，解得t＝1 s，圆盘做圆周运动的周期为T＝，nT＝t，联立解得ω＝2nπ rad/s(n＝1，2，3，…)，B、D正确．
解决圆周运动的多解问题的思路
1．明确两个物体参与运动的性质和求解的问题．两个物体参与的两个运动虽然独立，但有联系点，其联系点一般是时间或位移相等．
2．分析问题时可暂时不考虑周期性，表示出一个周期的情况，再根据运动的周期性，在转过的角度θ上再加上2nπ．
1．如图甲所示，机器人转动八角巾手帕时形成一个匀速转动的圆盘．O为手帕的中心，A、B、C为手帕上的三个点(如图乙所示)，各点到O点的距离关系为OA＝OB＞OC，下列说法中正确的是(　D　)
甲 乙
A．A、B两点的线速度相同
B．C点的周期大于B点的周期
C．C点的角速度小于A点的角速度
D．A点的线速度大于C点的线速度
解析：根据题意可知A、B、C三点同轴转动，角速度相等，周期相等，故B、C错误；根据v＝ωr可知A、B两点的线速度大小相等，但是方向不同，即线速度不同，故A错误；根据v＝ωr可知A点的线速度大于C点的线速度，故D正确．
2．(多选)某电风扇的调速器有四挡，控制的转速分别为一档n1＝600 r/min、二档n2＝800 r/min、三档n3＝1 000 r/min、四档n4＝1 200 r/min．下列说法中正确的是(　BC　)
A．一挡和四挡风扇叶片转动的周期之比是1∶2
B．一挡和三挡风扇叶片转动的角速度之比是3∶5
C．四挡和二挡风扇叶片边缘转动的线速度之比是3∶2
D．二挡和一挡风扇叶片转动的角速度之比等于周期之比
解析：一挡和四挡风扇叶片转动的周期之比是，A错误；一挡和三挡风扇叶片转动的角速度之比是，B正确；四挡和二挡风扇叶片边缘转动的线速度之比是，C正确；二挡和一挡风扇叶片转动的周期之比，D错误．
3．如图所示，小球自空中自由下落，从绕水平轴匀速转动的圆形纸筒穿过，开始下落时小球离纸筒顶点的高度h＝0.8 m，纸筒的半径R＝0.5 m，取g＝10 m/s2，若小球穿过筒壁时能量损失不计，撞破纸的时间也可不计，且小球穿过后纸筒上只留下一个孔，则纸筒绕水平轴匀速转动的角速度可能为(　D　)
A．10π rad/s B．20π rad/s
C．30π rad/s D．35π rad/s
解析：撞破纸筒仅留下一个小孔，小球从一个孔穿过，则有h＝，h＋2R＝，Δt＝t2－t1＝T(n＝0，1，2，3，…)，ω＝，整理得ω＝5(2n＋1)π rad/s(n＝0，1，2，3，…)，当n＝0时ω＝5π rad/s，当n＝1时ω＝15π rad/s，当n＝2时ω＝25π rad/s，当n＝3时ω＝35π rad/s，D正确．

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