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第六章
课时2　向心力
圆周运动
核心 目标 1．知道向心力是效果力，会分析向心力的来源，掌握向心力的表达式，会计算简单情境中的向心力．
2．知道变速圆周运动和一般曲线运动的分析方法．
目标导学 各个击破
匀速圆周运动向心力的理解
考向
1
1．向心力的方向
无论是否为匀速圆周运动，其向心力总是沿着半径指向圆心，方向时刻改变，故向心力是________．
2．向心力的作用效果
向心力改变线速度的方向．由于向心力始终指向圆心，其方向与物体运动方向始终垂直，故向心力不改变线速度的大小，只改变线速度的________．
变力
方向
　　　一辆摩托车沿圆弧弯道以不变的速率行驶，则它 (　　)
A．受到重力、支持力和向心力的作用
B．所受的地面作用力恰好与重力平衡
C．所受的合力可能不变
D．所受的合力始终变化
1
D
解析：摩托车沿圆弧弯道以不变的速率行驶时，受到重力、支持力和摩擦力的作用，向心力是效果力，不是实际受力，A错误；地面的作用力是摩擦力和支持力的合力，与重力不平衡，B错误；摩托车做匀速圆周运动，合力方向始终指向圆心，所以所受合力始终变化，C错误，D正确．
向心力的来源分析与计算
考向
2
实例分析 图例 向心力来源
用细绳拴住小球在光滑的水平面内做匀速圆周运动 __________________提供向心力
物体随转盘做匀速圆周运动，且物体相对于转盘静止 ____________提供向心力
绳的拉力(弹力)
静摩擦力
实例分析 图例 向心力来源
物体A随水平转台做匀速圆周运动，且物体A相对于转台静止 ________________的合力提供向心力
在匀速转动的圆筒内壁上，有一物体随圆筒一起转动且未发生滑动 ________提供向心力
拉力和摩擦力
弹力
实例分析 图例 向心力来源
用细绳拴住小球在竖直平面内做圆周运动，当小球经过最低点时 ______________的合力提供向心力
飞机水平转弯做匀速圆周运动 ______________________的合力提供向心力
拉力和重力
空气的作用力和重力
　　　如图所示，圆柱形转筒绕其竖直中心轴转动，小物体贴在圆筒内壁上随圆筒一起转动而不滑落．下列说法中正确的是 (　　)
A．小物体受到重力、弹力、摩擦力和向心力共4个力的作用
B．小物体随筒壁做圆周运动的向心力是由摩擦力提供的
C．筒壁对小物体的摩擦力随转速增大而增大
D．筒壁对小物体的弹力随转速增大而增大
2
解析：小物体随圆筒一起做圆周运动，受重力、弹力和静摩擦力作用，A错误；水平方向上，弹力指向圆心提供向心力，据牛顿第二定律有N＝mω2r，可知角速度越大，则小物体所受的弹力越大，在竖直方向上，小物体所受的重力和静摩擦力平衡，B、C错误，D正确．
D
　　　如图所示，水平转盘上有一质量为m的小物块，用长为L的细绳将小物块与通过转盘中心的竖直转轴相连，细绳与转轴间的夹角为θ．系统静止时，细绳绷直但绳中张力为零．物块与转盘间的动摩擦因数为μ(μ＜tan θ)，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，转盘可以不同的角速度匀速转动．
(1) 若细绳上张力为零，求转盘的角速度大小ω的取值范围．
答案：(1) ω≤　
3
解析：(1) 若细绳上张力为零，则静摩擦力提供小物块的向心力，由牛顿第二定律得μmg≥mω2Lsin θ
解得ω≤
(2) 求转盘的角速度ω＝时细绳上张力的大小F．
答案：(2)
解析：(2) ω＝，细绳上有张力
由牛顿第二定律得
Fsin θ＋μFN＝mω2Lsin θ
Fcos θ＋FN－mg＝0
联立解得F＝
变速圆周运动和一般曲线运动的处理方法
考向
3
1．变速圆周运动
(1) 受力特点
变速圆周运动中合力不指向圆心，合力F产生改变线速度大小和方向两个作用效果．
(2) 某一点的向心力可用公式Fn＝m＝mω2r求解，v、ω是指那一点的瞬时速度、瞬时角速度．
2．一般的曲线运动的处理方法
如图所示，可以把曲线分割成许多很短的小段，每一小段可看成一小段________，每一小段圆弧对应的圆不同，研究质点在这一小段的运动时，可以采用圆周运动的方法处理．
圆弧
3．匀速圆周运动和变速圆周运动的对比
匀速圆周运动 变速圆周运动
线速度特点 线速度的方向不断改变、大小不变 线速度的大小、方向都不断改变
受力特点 合力方向指向圆心，提供向心力 合力可分解为与圆周相切的分力和指向圆心的分力，指向圆心的分力提供向心力
周期性 有 不一定有
性质 均是____________曲线运动
公式 Fn＝m＝mω2r
非匀变速
　　　一般的曲线运动可以分成很多小段，每小段都可以看成圆周运动的一部分，把整条曲线用一系列不同半径的小圆弧来代替．如图甲所示，通过A点和曲线上紧邻A点两侧的两点作一圆，在极限情况下，这个圆叫作A点的曲率圆，其半径ρ叫作A点的曲率半径．将一物体沿与水平面成α角的方向以速度v0抛出，如图乙所示．则在其轨迹最高点P处的曲率半径是 (　　)
A． B．
C． D．
4
C
甲
乙
解析：物体在最高点时速度沿水平方向，曲率圆的P点可看成该点对应的竖直平面内圆周运动的最高点，由牛顿第二定律及圆周运动规律知mg＝，解得ρ＝，C正确．
随堂内化 即时巩固
1．如图所示，水平旋转餐桌与桌面上的花瓶(可视为质点)一起匀速转动，两者间没有相对滑动，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，下列说法中正确的是 (　　)
A．花瓶受到重力、支持力、静摩擦力和向心力
B．花瓶所受静摩擦力方向与速度方向相反
C．花瓶受到了背向圆心的力
D．保持餐桌的角速度不变，将花瓶放在更靠近圆心的位置，两者仍可保持相对静止
D
解析：花瓶受到重力、支持力、静摩擦力作用，静摩擦力提供做圆周运动的向心力，静摩擦力方向与速度方向垂直，故A、B错误；花瓶做匀速圆周运动，则受到的合力指向圆心，故C错误；保持餐桌的角速度不变，将花瓶放在更靠近圆心的位置，根据f＝mω2r可知，花瓶受的静摩擦力变小，则花瓶与桌面仍可保持相对静止，故D正确．
2．在以 36 km/h的速度沿水平方向匀速运动的车厢内，一个水平支架上用一长为0.5 m的细绳悬挂着一个质量为0.1 kg的小球(视为质点)，取g＝10 m/s2．若车突然停止，则车突然停止瞬间，细绳的拉力大小为 (　　)
A．30 N B．21 N
C．20 N D．19 N
解析：车突然停止瞬间，小球的速度不变，对小球由牛顿第二定律有F－mg＝m，代入数据解得细绳的拉力大小为F＝21 N，B正确．
B
3．(多选)如图所示，某物体沿光滑圆弧轨道由最高点滑到最低点的过程中，物体的速率逐渐增大，则 (　　)
A．物体受的向心力方向始终指向圆心O
B．物体的合力方向始终指向圆心O
C．物体的合外力就是向心力
D．物体的向心力逐渐增大
AD
解析：由题意可知，物体做速度增大的圆周运动，则物体的合外力的一个分力提供向心力，方向始终指向圆心，另一个分力沿切向，和速度同向，因此合力方向不指向圆心，A正确，B、C错误；物体做圆周运动，则向心力F＝m，由于速率增大，所以向心力大小增大，D正确．课时2　向心力
1．下列说法中正确的是(　　)
A．向心力不改变圆周运动物体速度的大小
B．物体受到变力作用时，不可能做直线运动
C．物体受到恒力作用，有可能做匀速圆周运动
D．向心力不改变运动物体速度的方向
2．如图所示，小物块A与水平圆盘保持相对静止，随圆盘一起在水平面内做匀速圆周运动．关于小物块A的受力情况，下列说法中正确的是(　　)
A．受重力、支持力
B．受重力、支持力和摩擦力
C．受重力、支持力、摩擦力和向心力
D．受到的合外力为零
3．花样滑冰是一个极具观赏性的比赛项目，在2022年北京冬奥会上，中国双人滑选手完美发挥摘得冠军，其中有一个精彩的场面，如图所示，A拉着B的手，使B以A为转动轴做匀速圆周运动，则在这个过程中(　　)
A．B所受到的合外力为零
B．B的加速度大小会改变
C．B的线速度不变
D．B的角速度大小不变
4．如图所示，水平光滑桌面上有一个小球在细绳的作用下，绕桌面上的固定点O做匀速圆周运动．下列说法中正确的是(　　)
A．若增大角速度，保持绳长不变，则拉力变大
B．若增大角速度，保持绳长不变，则拉力变小
C．若增大绳长，保持角速度不变，则拉力不变
D．若增大绳长，保持角速度不变，则拉力变小
5．甲、乙两物体做匀速圆周运动，其质量之比为1∶2，转动半径之比为1∶2，在相等时间里甲转过60°，乙转过45°，则它们所受合外力之比为(　　)
A．1∶4 B．2∶3
C．4∶9 D．9∶16
6．体验式学习是一种非常有效的学习方法．如图所示，某同学按照课本“做一做”的建议对向心力进行了亲身感受：他用一段细绳一端系一小沙袋，另一端握在手中，将手举过头顶，使沙袋在水平面内做匀速圆周运动．关于该实践活动，下列说法中正确的是(　　)
A．沙袋做匀速圆周运动的半径一定等于沙袋与“握点”间的绳长
B．沙袋做匀速圆周运动的向心力即手通过绳对沙袋的拉力
C．当沙袋及沙袋与“握点”间的绳长保持不变时，能感觉到拉力随沙袋做圆周运动的速度的增大而增大，这说明向心力与线速度成正比
D．若沙袋及沙袋与“握点”间的绳长保持不变，当沙袋的速度增大时，沙袋所受向心力及绳受到的拉力均增大
7．如图所示，轻质绳一端固定在天花板上，另一端拴接一个小球，小球在水平力F的作用下静止，此时轻绳与竖直方向的夹角为θ，绳中的拉力大小为FT1．撤掉F，小球摆动至右侧最高点处时，绳中拉力的大小为FT2，不计一切阻力．则＝(　　)
A．1 B．1∶sin θ
C．1∶cos2θ D．tan θ
8．如图所示，细线AB＝OB，A、B为两个质量相等的小球，当它们绕O点在光滑的水平面上以相同的角速度转动时，两细线拉力FAB∶FOB为(　　)
A．3∶2 B．2∶3
C．5∶3 D．2∶1
9．(多选)如图所示是用以说明向心力和质量、半径之间关系的仪器，球P和Q可以在光滑杆上无摩擦地滑动，两球之间用一条轻绳连接，mP＝2mQ，当整个装置以角速度ω匀速旋转时，两球离转轴的距离保持不变，则此时(　　)
A．两球受到的向心力大小相等
B．P球受到的向心力大于Q球受到的向心力
C．rP＝
D．当ω增大时，P球将向外运动
10．如图所示，用手掌平托一苹果，保持这样的姿势在竖直平面内按顺时针方向做匀速圆周运动，c为轨迹最高点，a、b、c、d为圆轨迹的四等分点．关于苹果的运动，下列说法中正确的是(　　)
A．苹果在最高点c时所受到的支持力大于对手的压力
B．苹果在b位置和d位置时受到的弹力相同
C．苹果在b位置和d位置时受到的摩擦力相同
D．苹果在运动过程中所受合外力不变
11．如图所示，一杂技运动员骑摩托车沿一竖直圆轨道做特技表演．若摩托车运动的速率恒为v＝20 m/s，人和车的总质量为m＝200 kg，摩托车受到的阻力是摩托车对轨道压力的k倍，且k＝0.5．摩托车通过与圆心O在同一水平面上的B点向下运动时牵引力恰好为零，摩托车车身的长度不计，取g＝10 m/s2，π＝3.14．求：
(1) 运动员完成一次圆周运动所需的时间．
(2) 摩托车通过最低点A时牵引力的大小．
课时2　向心力
1．A
2．B　解析：小物块在竖直方向上受重力和支持力，由于小物块在水平面内做匀速圆周运动，则还一定受到摩擦力从而提供其向心力，所以小物块受到的合力不为零．向心力是效果力，受力分析时不能将其与其他性质力并列分析，B正确．
3．D
4．A　解析：小球做匀速圆周运动时，绳子的拉力提供向心力，所以有FT＝F向＝mω2r，可得保持绳长不变，即r不变时，若增大角速度，拉力变大，A正确，B错误；同理，保持角速度不变，若增大绳长，即r变大，拉力变大，C、D错误．
5．C　解析：在相同的时间内甲转过60°，乙转过45°，则有＝，根据F＝mω2r，可得＝，C正确．
6．D　解析：依题意，沙袋在水平面内做匀速圆周运动，受自身重力和细绳拉力作用，沙袋所受合力即拉力沿半径方向的分力提供向心力．拉力的竖直分力与重力平衡，绳子不是水平的，匀速圆周运动的圆心在“握点”下方，沙袋做匀速圆周运动的半径一定不等于沙袋与“握点”间的绳长，故A、B错误；当沙袋及沙袋与“握点”间的绳长保持不变时，拉力的水平分力提供向心力，根据F向＝mgtan θ＝m，解得v2＝gLtan θsin θ，故当沙袋的速度增大时，绳子与竖直方向的夹角变大，沙袋所受向心力必定增大，则拉力的水平分力增大，又因为竖直方向小球重力与拉力的竖直分力等大，由F＝，可知细绳拉力增大，故C错误，D正确．
7．C　解析：小球在水平力F的作用下静止，根据平衡条件可得＝cos θ，撤掉F，小球摆动至右侧最高点处时，沿半径方向速度为零，向心力为零，由平衡条件可得FT2－mgcos θ＝0，解得＝，故选C．
8．B　解析：设OA＝2r，则OB＝r，角速度为ω，每个小球的质量为m，则根据牛顿第二定律，对A球，FAB＝mω2·2r，对B球，FOB－FAB＝mω2r，联立以上两式得FAB∶FOB＝2∶3，B正确．
9．AC　解析：两球的重力均与支持力平衡，由绳的拉力提供向心力，绳子的拉力相等，所以两球的向心力相等，A正确，B错误；根据向心力公式mPrPω2＝mQrQω2，因为mP＝2mQ，所以rP＝，C正确；根据向心力大小相等得到mPrPω2＝mQrQω2，又 rP＋rQ＝L不变，所以当ω增大时，两球半径不变，P球不会向外运动，D错误．
10．B　解析：苹果在最高点c时所受到的支持力和苹果对手的压力是作用力和反作用力，大小相等，A错误；苹果在b位置和d位置时受到的弹力大小相等，方向均竖直向上；受到的摩擦力大小相等，方向相反，B正确，C错误；苹果做匀速圆周运动，合力大小不变，方向一直在变化，D错误．
11．(1) 6.28 s　(2) 3.0×103 N
解析：(1) 根据题意可知，摩托车通过B点时牵引力恰好为零，此时摩托车所受摩擦阻力f与重力平衡，所以有mg＝f＝kN
根据牛顿第二定律有N＝m
解得R＝＝20 m
运动员完成一次圆周运动所需的时间T＝＝6.28 s
(3) 摩托车经过A点时，根据牛顿第二定律得
NA－mg＝m
而fA＝kNA
摩托车经过A点时，水平方向有FA＝fA
解得FA＝fA＝k＝3.0×103 N课时2　向心力
核心 目标 1．知道向心力是效果力，会分析向心力的来源，掌握向心力的表达式，会计算简单情境中的向心力．
2．知道变速圆周运动和一般曲线运动的分析方法．
考向1　匀速圆周运动向心力的理解
1．向心力的方向
无论是否为匀速圆周运动，其向心力总是沿着半径指向圆心，方向时刻改变，故向心力是　变力　．
2．向心力的作用效果
向心力改变线速度的方向．由于向心力始终指向圆心，其方向与物体运动方向始终垂直，故向心力不改变线速度的大小，只改变线速度的　方向　．
　一辆摩托车沿圆弧弯道以不变的速率行驶，则它(　D　)
A．受到重力、支持力和向心力的作用
B．所受的地面作用力恰好与重力平衡
C．所受的合力可能不变
D．所受的合力始终变化
解析：摩托车沿圆弧弯道以不变的速率行驶时，受到重力、支持力和摩擦力的作用，向心力是效果力，不是实际受力，A错误；地面的作用力是摩擦力和支持力的合力，与重力不平衡，B错误；摩托车做匀速圆周运动，合力方向始终指向圆心，所以所受合力始终变化，C错误，D正确．
考向2　向心力的来源分析与计算
实例分析 图例 向心力来源
用细绳拴住小球在光滑的水平面内做匀速圆周运动 　绳的拉力(弹力)　提供向心力
物体随转盘做匀速圆周运动，且物体相对于转盘静止 　静摩擦力　提供向心力
物体A随水平转台做匀速圆周运动，且物体A相对于转台静止 　拉力和摩擦力　的合力提供向心力
在匀速转动的圆筒内壁上，有一物体随圆筒一起转动且未发生滑动 　弹力　提供向心力
用细绳拴住小球在竖直平面内做圆周运动，当小球经过最低点时 　拉力和重力　的合力提供向心力
飞机水平转弯做匀速圆周运动 　空气的作用力和重力　的合力提供向心力
　如图所示，圆柱形转筒绕其竖直中心轴转动，小物体贴在圆筒内壁上随圆筒一起转动而不滑落．下列说法中正确的是(　D　)
A．小物体受到重力、弹力、摩擦力和向心力共4个力的作用
B．小物体随筒壁做圆周运动的向心力是由摩擦力提供的
C．筒壁对小物体的摩擦力随转速增大而增大
D．筒壁对小物体的弹力随转速增大而增大
解析：小物体随圆筒一起做圆周运动，受重力、弹力和静摩擦力作用，A错误；水平方向上，弹力指向圆心提供向心力，据牛顿第二定律有N＝mω2r，可知角速度越大，则小物体所受的弹力越大，在竖直方向上，小物体所受的重力和静摩擦力平衡，B、C错误，D正确．
　如图所示，水平转盘上有一质量为m的小物块，用长为L的细绳将小物块与通过转盘中心的竖直转轴相连，细绳与转轴间的夹角为θ．系统静止时，细绳绷直但绳中张力为零．物块与转盘间的动摩擦因数为μ(μ＜tan θ)，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，转盘可以不同的角速度匀速转动．
(1) 若细绳上张力为零，求转盘的角速度大小ω的取值范围．
(2) 求转盘的角速度ω＝时细绳上张力的大小F．
答案：(1) ω≤　(2)
解析：(1) 若细绳上张力为零，则静摩擦力提供小物块的向心力，由牛顿第二定律得μmg≥mω2Lsin θ
解得ω≤
(2) ω＝，细绳上有张力
由牛顿第二定律得
Fsin θ＋μFN＝mω2Lsin θ
Fcos θ＋FN－mg＝0
联立解得F＝
考向3　变速圆周运动和一般曲线运动的处理方法
1．变速圆周运动
(1) 受力特点
变速圆周运动中合力不指向圆心，合力F产生改变线速度大小和方向两个作用效果．
(2) 某一点的向心力可用公式Fn＝m＝mω2r求解，v、ω是指那一点的瞬时速度、瞬时角速度．
2．一般的曲线运动的处理方法
如图所示，可以把曲线分割成许多很短的小段，每一小段可看成一小段　圆弧　，每一小段圆弧对应的圆不同，研究质点在这一小段的运动时，可以采用圆周运动的方法处理．
3．匀速圆周运动和变速圆周运动的对比
匀速圆周运动 变速圆周运动
线速度特点 线速度的方向不断改变、大小不变 线速度的大小、方向都不断改变
受力特点 合力方向指向圆心，提供向心力 合力可分解为与圆周相切的分力和指向圆心的分力，指向圆心的分力提供向心力
周期性 有 不一定有
性质 均是　非匀变速　曲线运动
公式 Fn＝m＝mω2r
　一般的曲线运动可以分成很多小段，每小段都可以看成圆周运动的一部分，把整条曲线用一系列不同半径的小圆弧来代替．如图甲所示，通过A点和曲线上紧邻A点两侧的两点作一圆，在极限情况下，这个圆叫作A点的曲率圆，其半径ρ叫作A点的曲率半径．将一物体沿与水平面成α角的方向以速度v0抛出，如图乙所示．则在其轨迹最高点P处的曲率半径是(　C　)
甲
乙
A． B．
C． D．
解析：物体在最高点时速度沿水平方向，曲率圆的P点可看成该点对应的竖直平面内圆周运动的最高点，由牛顿第二定律及圆周运动规律知mg＝，解得ρ＝，C正确．
1．如图所示，水平旋转餐桌与桌面上的花瓶(可视为质点)一起匀速转动，两者间没有相对滑动，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，下列说法中正确的是(　D　)
A．花瓶受到重力、支持力、静摩擦力和向心力
B．花瓶所受静摩擦力方向与速度方向相反
C．花瓶受到了背向圆心的力
D．保持餐桌的角速度不变，将花瓶放在更靠近圆心的位置，两者仍可保持相对静止
解析：花瓶受到重力、支持力、静摩擦力作用，静摩擦力提供做圆周运动的向心力，静摩擦力方向与速度方向垂直，故A、B错误；花瓶做匀速圆周运动，则受到的合力指向圆心，故C错误；保持餐桌的角速度不变，将花瓶放在更靠近圆心的位置，根据f＝mω2r可知，花瓶受的静摩擦力变小，则花瓶与桌面仍可保持相对静止，故D正确．
2．在以 36 km/h的速度沿水平方向匀速运动的车厢内，一个水平支架上用一长为0.5 m的细绳悬挂着一个质量为0.1 kg的小球(视为质点)，取g＝10 m/s2．若车突然停止，则车突然停止瞬间，细绳的拉力大小为(　B　)
A．30 N B．21 N
C．20 N D．19 N
解析：车突然停止瞬间，小球的速度不变，对小球由牛顿第二定律有F－mg＝m，代入数据解得细绳的拉力大小为F＝21 N，B正确．
3．(多选)如图所示，某物体沿光滑圆弧轨道由最高点滑到最低点的过程中，物体的速率逐渐增大，则(　AD　)
A．物体受的向心力方向始终指向圆心O
B．物体的合力方向始终指向圆心O
C．物体的合外力就是向心力
D．物体的向心力逐渐增大
解析：由题意可知，物体做速度增大的圆周运动，则物体的合外力的一个分力提供向心力，方向始终指向圆心，另一个分力沿切向，和速度同向，因此合力方向不指向圆心，A正确，B、C错误；物体做圆周运动，则向心力F＝m，由于速率增大，所以向心力大小增大，D正确．
实验：探究向心力大小与半径、角速度、质量的关系
核心 目标 1．会分析向心力大小与哪些因素有关，提出可探究的物理问题，做出有依据的假设，并探究它们之间的关系．
2．有控制变量的意识，会测量数据，获得实验结论，分析误差原因．
考向1　教材原型实验
　某实验小组利用如图所示的装置进行“探究向心力大小与半径、角速度、质量的关系”实验．转动手柄可使塔轮、长槽和短槽随之匀速转动．塔轮至上而下有三层，每层左、右半径比分别是1∶1、2∶1和3∶1．左、右塔轮通过皮带连接，并可通过改变皮带所处层来改变左、右塔轮的角速度之比．实验时，将两个小球分别放在短槽C处和长槽的A(或B)处，A、C到左、右塔轮中心的距离相等，两个小球随塔轮做匀速圆周运动，向心力大小关系可由标尺露出的等分格的格数判断．
(1) 探究向心力F与半径r的关系时，应将质量相同的小球分别放在挡板C和挡板　B　(填“A”或“B”)处，将传动皮带套在两塔轮半径　相同　(填“相同”或“不同”)的轮盘上．
(2) 如图所示，两钢球质量和运动半径都相同．若将皮带连接在左、右塔轮半径之比为3∶1的塔轮上，左、右两边塔轮的角速度之比为　1∶3　，当左边标尺露出1个等分格时，右边标尺露出　9　个等分格，则实验说明做匀速圆周运动的物体，在质量和转动半径一定时，　向心力与转动角速度的平方成正比　．
解析：(1) 探究向心力F与半径r的关系时，则根据F＝mω2r可知，则要求两个钢球质量和角速度相等，即将两球分别放在长槽和短槽上，即C处和B处；且皮带轮套在半径相同的塔轮上．
(2) 若将皮带连接在左、右塔轮半径之比为3∶1的塔轮上，由于左、右塔轮边缘处的线速度大小相等，根据v＝ωR可知，左、右两边塔轮的角速度之比为1∶3；根据F＝mω2r，由于两钢球质量和运动半径都相同，则当左边标尺露出1个等分格时，右边标尺露出9个等分格，则实验说明做匀速圆周运动的物体，在质量和转动半径一定时，向心力与转动角速度的平方成正比．
考向2　创新拓展实验
1．利用力传感器测量重物做圆周运动的向心力，利用天平、刻度尺、光电传感器分别测量重物的质量m、做圆周运动的半径r及角速度ω．实验过程中，力传感器与数据分析系统相连，可直接显示力的大小．光电传感器与数据分析系统相连，可直接显示挡光杆挡光的时间，由挡光杆的宽度和挡光杆做圆周运动的半径，可得到重物做圆周运动的角速度．
2．实验时采用控制变量法，分别研究向心力与质量、半径、角速度的关系．
　为探究向心力大小与半径、角速度、质量的关系，小明按如图所示装置进行实验，物块放在平台卡槽内，平台绕轴转动，物块做匀速圆周运动，平台转速可以控制，光电计时器可以记录转动快慢．
(1) 为了探究向心力与角速度的关系，应控制　质量和半径　保持不变，小明由计时器测得转动的周期T，则ω2＝　　．
甲 乙
(2) 小明将测算得到的结果用作图法来处理数据，如图乙所示，纵轴F为力电传感器读数，横轴为ω2，图线不过坐标原点的原因是　存在摩擦力　，用电子天平测得物块质量为1.50 kg，直尺测得半径为50.00 cm，图线斜率大小为　0.75　(结果保留两位有效数字)．
解析：(1) 由向心力公式Fn＝mω2r可知，保持质量和半径不变，
根据ω＝，可得ω2＝．
(2) 表达式为F＋f＝mω2r，图线不过坐标原点的原因是存在摩擦力；斜率为k＝mr＝0.75．
　用如图甲所示的向心力实验器，定量探究匀速圆周运动所需向心力的大小与物体的质量、角速度大小、运动半径之间的关系．如图甲所示，光电门传感器和力传感器固定在向心力实验器上，并与数据采集器连接；旋臂上的砝码通过轻质杆与力传感器相连，以测量砝码所受向心力F的大小；宽为d的挡光杆固定在距旋臂转轴水平距离为L的另一端，挡光杆通过光电门传感器时，计算机可算出旋臂的角速度ω．
甲 乙
(1) 在该实验中，主要采用　A　的方法来探究向心力与质量、半径、角速度的关系．
A．控制变量　　 B．理想实验
C．微元　　 D．等效替代
(2) 挡光杆某次经过光电门的挡光时间为Δt，砝码做圆周运动的角速度大小为　　(用d、L、Δt表示)．
(3) 以F为纵坐标，以为横坐标，可在坐标纸中描出数据点作一条如图乙所示直线，若图像的斜率为k，则可知滑块的质量为　　(用k、L、d表示)．
解析：(1) 探究一个物理量与多个物理量之间的关系时，需要用控制变量法，故选A．
(2) 根据题意可知，每次经过光电门时的速度为v＝，由公式v＝ωr可知，砝码做圆周运动的角速度大小为ω＝．
(3) 根据题意，由公式可得F＝mω2r＝·，结合图像有k＝，解得m＝．
1．如图所示为“探究向心力大小F与小球质量m、角速度ω和半径r之间关系”的实验装置：转动手柄，可使变速塔轮、长槽和短槽一起转动；皮带分别套在塔轮的不同圆盘上，可改变两个槽内小球的角速度关系．小球做圆周运动的向心力由横臂的挡板提供，小球对挡板的弹力使弹簧测力筒下降，标尺上露出的红白相间的等分格数之比即为两个小球所受向心力的比值．已知在挡板A、B、C处做圆周运动的轨迹半径之比为 1∶2∶1．
(1) 探究向心力的大小与圆周运动半径的关系时，应选择两个质量　相同　(填“相同”或“不同”)的小球，分别放在挡板C与　挡板B　(填“挡板A”或“挡板B”)处，同时传动皮带绕在半径　相同　(填“相同”或“不同”)的两个塔轮上．
(2) 把两个质量相等的小球分别放在挡板A和挡板C做实验．匀速转动手柄，发现左、右标尺上露出的红白相间的等分格数之比为1∶4，则可推测出皮带连接的左、右两边塔轮半径之比为　2∶1　．
解析：(1) 根据F＝mω2r，探究向心力的大小与圆周运动半径的关系时，应选择两个质量相同的小球，为了使角速度相等，要选择半径相同的两个塔轮，为了使圆周运动的半径不相等，两个小球分别放在挡板C与挡板B处．
(2) 设轨迹半径为r，塔轮半径为R，根据向心力公式F＝mω2r，根据v＝ωR，解得R＝v，左、右两边塔轮的半径之比为 ．
2．图甲为向心力演示仪．某同学探究小球做圆周运动所需向心力的大小F与质量m、角速度ω和半径r之间的关系．长槽的A、B处和短槽的C处分别到各自转轴中心距离之比为1∶2∶1，该同学设计了如图乙所示的三种组合方式，变速塔轮自上而下每层左、右半径之比分别为1∶1、2∶1和3∶1．
甲 乙
(1) 本实验的目的是探究向心力的大小F与小球质量m、角速度ω和半径r之间的关系，实验中采用的主要实验方法与下列实验相同的是　C　．
A．探究两个互成角度的力的合成规律
B．探究平抛运动的特点
C．探究加速度与物体受力、物体质量的关系
(2) 在某次实验中，探究向心力的大小与半径的关系，则需要将传动皮带调至第　一　(填“一”、“二”或“三”)层塔轮．
(3) 按(2)中正确选择后，两次以不同的转速匀速转动手柄，左、右测力筒露出等分标记如图丙所示．则可得出的实验结论是　当质量m、角速度ω一定时，F与小球运动半径r成正比　．
角速度ω1时两测力筒 角速度ω2时两测力筒
丙
解析：(1) 本实验的目的是探究向心力的大小F与小球质量m、角速度ω和半径r之间的关系，采用的实验方法是控制变量法．探究两个互成角度的力的合成规律，采用的实验方法是等效替代法，故A错误；在“探究平抛运动的特点”的实验中，采用的是等效思想，故B错误；在“探究加速度与物体受力、物体质量的关系”的实验中，采用的实验方法是控制变量法，故C正确．
(2) 在某次实验中，探究向心力的大小与半径的关系时，应保持两小球质量m、角速度ω相同，则需要将传动皮带调至第一层塔轮，以保证两球的角速度相同．
(3) 当两次实验的角速度为ω1、ω2时，左、右测力筒露出的格子数之比均为2∶1，左右两标尺露出的格子数之比表示向心力的比值，且B处、C处分别到各自转轴中心距离之比为2∶1，可知当质量m、角速度ω一定时，F与小球运动半径r成正比．

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