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第六章
课时3　向心加速度
圆周运动
核心 目标 1．知道匀速圆周运动中向心加速度大小的表达式，理解向心加速度与半径的关系，并会用来进行简单的计算．
2．了解分析匀速圆周运动速度变化量时用到的极限思想，会根据问题情景选择向心加速度的表达式．
目标导学 各个击破
向心加速度的理解与计算
考向
1
1．向心加速度的几种表达式
2．向心加速度的大小与各量关系的理解
(1) 当r不变时，an∝v2，an∝ω2．
(2) 当v不变时，an∝．
(3) 当ω不变时，an∝r．
(4) an与r的关系图像
　　　如图所示为A、B两物体做匀速圆周运动的向心加速度随半径变化的图像，其中A为双曲线的一个分支，由图可知 (　　)
A．A物体运动的线速度大小与半径成正比
B．A物体运动的角速度大小不变
C．B物体运动的角速度大小不变
D．B物体运动的角速度与半径成正比
1
C
解析：因为A为双曲线的一个分支，可知A物体的向心加速度与半径成反比，根据a＝可知A物体运动的线速度大小不变，A、B错误；因为B为过原点的直线，可知B物体运动的向心加速度与半径成正比，根据a＝ω2r可知，B物体运动的角速度大小不变，C正确，D错误．
　　　明代出版的《天工开物》一书中记载：“其湖池不流水，或以牛力转盘，或聚数人踏转．”如图所示为牛力齿轮翻车，翻车通过齿轮传动，将湖水翻入农田．已知a、b齿轮啮合且齿轮之间不打滑，b、c齿轮同轴，若a、b、c三齿轮半径的大小关系为 ra＝2rb＝4rc，则 (　　)
A．齿轮a、b的角速度之比为2∶1
B．齿轮a、c的线速度之比为4∶1
C．齿轮a、b的向心加速度之比为1∶2
D．齿轮a、c的向心加速度之比为1∶4
2
C
解析：a、b齿轮啮合且齿轮之间不打滑，线速度相同，故ωara＝ωbrb，解得ωa∶ωb＝1∶2，齿轮a、b的向心加速度之比为aa∶ab＝vωa∶vωb＝1∶2，A错误，C正确；b、c齿轮同轴，角速度相同，故，故vb∶vc＝rb∶rc＝2∶1，则有va∶vc＝vb∶vc＝2∶1，齿轮a、c的向心加速度之比为aa∶ac＝vaωa∶vcωc＝vaωa∶vcωb＝1∶1，B、D错误．
圆锥摆模型
考向
2
1．圆锥摆结构和运动模型
如图所示，一根不可伸长的绳，一端固定在O点，另一端拴一小球(可视为质点)，给小球一水平初速度，不计空气阻力，小球在水平面内做匀速圆周运动．
2．向心力来源
(1) 可认为绳子对小球的拉力和小球的重力的合力提供向心力．
(2) 也可认为是绳子拉力在水平方向的分力提供向心力．
3．动力学方程及线速度、角速度与绳长的关系
如图所示，设小球的质量为m，绳与竖直方向的夹角为θ，绳长为l，则小球做圆周运动的半径为r＝lsin θ，重力加速度为g．由牛顿第二定律得mgtan θ＝m或mgtan θ＝mω2r．
所以v＝
ω＝
　　　如图所示，固定的锥形漏斗内壁是光滑的，内壁上有两个质量相等的小球A和B，在各自不同的水平面做匀速圆周运动．下列说法中正确的是 (　　)
A．小球的线速度vA＞vB
B．小球的角速度ωA＞ωB
C．小球的加速度aA＞aB
D．小球对内壁的压力NA＞NB
3
A
解析：对小球受力分析，如图所示，垂直内壁方向，有N'cos θ＝mg，则两小球所受内壁的支持力N'A＝N'B，根据牛顿第三定律可知小球对内壁的压力NA＝NB，故D错误；小球在水平面上做匀速圆周运动，根据牛顿第二定律可得N'sin θ＝Fn＝ma＝m＝mω2r，联立解得a＝gtan θ，v＝，ω＝，
由图可知rA＞rB，可得aA＝aB，vA＞vB，ωA＜ωB，故A正确，B、C
错误．
　　　长为L的细线，拴一质量为m的小球，一端固定于O点，让其在水平面内做匀速圆周运动(这种运动通常称为圆锥摆运动，重力加速度为g)，如图所示，当细线与竖直方向的夹角是α时，求：
(1) 线的拉力F大小．
答案：(1) 　
4
解析：(1) 对小球受力分析，如图所示
由几何关系得F＝
(2) 小球运动的线速度的大小．
答案：(2)
解析：(2) 小球所受合力指向圆心，提供向心力，有
mgtan α＝m
解得v＝
(3) 小球运动的角速度及周期．
答案：(3) 　2π
解析：(3) 由合力提供向心力得mgtan α＝mω2Lsin α
解得ω＝
周期T＝＝2π
常见的匀速圆周运动实例
模型 受力分析 满足的方程及向心加速度
mg tan θ＝mω2l sin θ
a＝g tan θ
模型 受力分析 满足的方程及向心加速度
mg tan θ＝mrω2
a＝g tan θ
mg tan θ＝mrω2
a＝g tan θ
随堂内化 即时巩固
1．A、B两小球都在水平面内做匀速圆周运动，A球轨道半径是B球轨道半径的2倍，A的转速为3 r/min，B的转速为 r/min，已知角速度ω与转速n的关系是 ω＝2πn，则两球的向心加速度之比为 (　　)
A．6∶1 B．1∶1
C．4∶1 D．2∶1
解析：根据题意可知两球的角速度之比为ωA∶ωB＝3∶，两球的轨道半径之比为rA∶rB＝2∶1，又因为向心加速度与角速度的关系为a＝ω2r，可得两球的向心加速度之比为aA∶aB＝6∶1，A正确．
A
2．两个质量相同的小球用长度不等的细线拴在同一点并在同一水平面内做匀速圆周运动，则它们的 (　　)
A．运动周期相同
B．线速度相同
C．向心力大小相同
D．向心加速度相同
A
解析：根据题意，对其中一个小球受力分析，受重力和绳子的拉
力，由于小球做匀速圆周运动，故合力提供向心力，设细线与竖直方
向的夹角为θ，如图所示．由几何关系可得，合力为F＝mgtan θ，
由于细线与竖直方向的夹角不同，则向心力大小不同，C错误；根
据题意，设小球到悬点的竖直高度为h，由几何关系可得，小球
做圆周运动的半径为r＝htan θ，设小球做圆周运动的角速度为ω，则有mgtan θ＝
mω2htan θ，解得ω＝，结合T＝，则有T＝2π，由于h相同，则运动的角速度
和周期相同，A正确；根据题意，由v＝ωr可知，由于两球转动的半径不同，则运动的线速度不同，B错误；根据题意，由an＝ω2r可知，由于两球转动的半径不同，则向心加速度不同，D错误．
3．如图所示为小狗洗完澡后甩掉身上水珠的情形，假设每滴水珠的质量均为1 g，小狗的身体简化成圆筒状，半径约为10 cm，小狗以角速度ω0＝10 rad/s甩动身体．
(1) 求每滴水珠的向心加速度大小．
答案：(1) 10 m/s2　
解析：(1) 由题意可知a＝r，解得a＝10 m/s2
(2) 若小狗毛发对水珠的最大附着力为0.25 N，甩动过程中水珠的重力可忽略不计，则小狗至少需以多大的角速度甩动身体才可以将身上的水珠甩掉？
答案：(2) 50 rad/s
解析：(2) 根据F附＝mr，解得ωm＝50 rad/s课时3　向心加速度
1．(多选)关于向心加速度，下列说法中正确的是(　　)
A．向心加速度的方向始终与线速度方向垂直
B．向心加速度只改变线速度的方向，不改变线速度的大小
C．物体做圆周运动时的加速度方向始终指向圆心
D．物体做匀速圆周运动时的加速度方向始终指向圆心
2．(多选)一个小孩坐在游乐场的旋转木马上，绕中心轴在水平面内做匀速圆周运动，圆周的半径为4.0 m，线速度为2.0 m/s，则小孩做圆周运动的(　　)
A．角速度ω＝0.5 rad/s
B．周期T＝8π s
C．转速n＝ r/s
D．向心加速度a＝2 m/s2
3．中学生常用的修正带结构如图所示，其中修正带盘固定在大齿轮上，大、小齿轮相互啮合．图中a、b点分别为大、小齿轮的边缘，c点位于大齿轮的半径中点，大、小齿轮的半径之比为2∶1．当修正带匀速移动时，下列说法中正确的是(　　)
A．大、小齿轮的转动方向相同
B．b、c点的向心加速度大小之比为4∶1
C．a、b点的线速度大小之比为2∶1
D．a、c点的角速度大小之比为3∶1
4．为防止航天员在长期失重状态下肌肉萎缩，我国在空间站中安装了如图甲所示可用于锻炼上、下肢肌肉的“太空自行车”．某次航天员健身时，脚踏板始终保持水平，在脚踏板从图乙中的实线处匀速转至虚线处的过程中，脚踏板上P、Q两点均做匀速圆周运动．下列说法中正确的是(　　)
　　　　甲　　　　　　　　　乙
A．P、Q两点的角速度大小相等
B．P、Q两点运动轨迹的圆心都是O点
C．P点的线速度大小比Q点的大
D．P点的向心加速度大小比Q点的大
5．如图所示为甲、乙两球做匀速圆周运动时向心加速度随半径变化的关系图线，甲图线为双曲线的一支，乙图线为直线．由图像可知(　　)
A．甲球运动时，线速度的大小保持不变，乙球运动时，角速度的大小保持不变
B．甲球运动时，线速度的大小保持不变，乙球运动时，线速度的大小保持不变
C．甲球运动时，角速度的大小保持不变，乙球运动时，角速度的大小保持不变
D．甲球运动时，角速度的大小保持不变，乙球运动时，线速度的大小保持不变
6．在做甩手动作的物理原理课题研究中，采用手机的加速度传感器测定手的向心加速度．某次一同学先用刻度尺测量手臂长(如图所示)，然后伸直手臂，以肩为轴从水平位置加速自然下摆，当手臂摆到竖直方向时，手握住的手机显示手的向心加速度大小约为6 m/s2．下列说法中正确的是(　　)
A．可估算手臂摆到竖直位置时手的线速度大小约为2 m/s
B．手臂摆到竖直位置时手机处于失重状态
C．自然下摆过程中手机所受合力始终沿手臂方向
D．由an＝ 可知手掌比手肘的向心加速度小
7．某型号汽车的后雨刮器摆臂可视为绕O点旋转的折杆OAB，如图所示，OA长度为a、AB长度为3a，∠OAB＝120°，AB部分装有胶条，雨刮器工作时胶条紧贴后窗平面可视为匀速率转动．关于雨刮器工作时，下列说法中正确的是(　　)
A．A、B两点线速度大小之比为1∶4
B．A、B角速度之比1∶3
C．A、B加速度大小之比为1∶
D．B点加速度方向沿着AB指向A
8．如图所示，质量为m的小球用长为L的悬线固定于O点，在O点正下方O'处钉了一个钉子，把悬线拉直与竖直方向成一定角度，由静止释放小球，当悬线碰到钉子时(　　)
A．小球的线速度v突然变大
B．小球的向心加速度a突然变小
C．小球的角速度ω突然变小
D．悬线的张力突然变大
9．智能呼啦圈轻便美观，深受大众喜爱．如图甲所示，将带有滑轮的短杆一端穿入腰带外侧轨道，另一端悬挂一根带有配重的轻绳，将腰带水平系在腰间，通过人体扭动，配重会随短杆做水平匀速圆周运动．其简化模型如图乙所示，悬挂点P到腰带中心点O的距离d＝0.2 m，绳子与竖直方向夹角为θ，绳长l＝0.5 m，可视为质点的配重质量m＝0.5 kg，取g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6．下列说法中正确的是(　　)
　　　甲　　 　　　　　　　　　乙
A．匀速转动时，配重受到的合力恒定不变
B．增大转速，则身体对腰带的摩擦力变大
C．转动过程中受到的拉力T＝mgcos θ
D．当使用者掌握好锻炼节奏后能够使θ稳定在37°，此时配重的角速度ω＝ rad/s
10．用一根橡皮筋吊着小球做圆锥摆运动，已知在弹性限度内，橡皮筋的弹力与形变量成正比，橡皮筋始终在弹性限度内的情况下，小球做圆锥摆运动的角速度ω跟橡皮筋与竖直方向的夹角θ的关系图像正确的是(　　)
A B
C D
11．如图所示，在绕竖直轴匀速转动的水平圆盘盘面上，离轴心r＝20 cm处放置一小物块，其质量为m＝2 kg，物块与圆盘间的动摩擦因数μ＝0.5．当圆盘转动的角速度ω＝3 rad/s 时，物块随圆盘一起转动，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，取g＝10 m/s2．
(1) 求物块的线速度v的大小．
(2) 求物块的向心加速度a的大小．
(3) 欲使物块与盘面间不发生相对滑动，则圆盘转动的角速度ω' 不能超过多大？
课时3　向心加速度
1．ABD
2．AC　解析：圆周的半径r＝4.0 m，线速度v＝2.0 m/s，则圆周运动的角速度ω＝＝0.5 rad/s，A正确；圆周运动的周期为T＝＝4π s，B错误；转速n＝＝ r/s，C正确；向心加速度a＝＝1 m/s2，D错误．
3．B　解析：由图分析可知，大、小齿轮的转动方向相反，A错误；a、b点同缘传动，线速度大小相等，C错误；a、c点同轴转动，角速度相等，D错误；b、c点的向心加速度大小之比ab∶ac＝∶，根据题意可知rb＝rc，vb＝va＝2vc，解得ab∶ac＝4∶1，B正确．
4．A　解析：P、Q两点在脚踏板上一起做圆周运动，角速度相同，A正确；根据几何关系可知P点运动轨迹的圆心在O点左侧，Q点运动轨迹的圆心在O点右侧，B错误；根据几何关系可知P、Q两点做匀速圆周运动的半径相等，根据v＝ωr，可知P点的线速度大小等于Q点，C错误；根据a＝ω2r，可知P点的向心加速度大小等于Q点，D错误．
5．A　解析：根据a＝可知，甲球线速度的大小保持不变；根据a＝ω2r可知，乙球角速度的大小保持不变，A正确．
6．A　解析：由图可知手臂长度l＝65.00 cm＝0.65 m，由a＝ 可得手臂摆到竖直位置时手的线速度大小v＝＝ m/s≈2 m/s，A正确；手臂摆到竖直位置时手机的加速度竖直向上，处于超重状态，B错误；自然下摆过程中手机做变速圆周运动，所受合力不始终沿手臂方向，C错误；手掌与手肘的转动角速度相同，手掌比手肘的转动半径大，由an＝ω2r 可知手掌比手肘的向心加速度大，D错误．
7．C　解析：因为A、B两点是同轴转动，所以A、B两点的角速度是相等的，A、B两点做圆周运动的圆心都是O点，半径分别是OA和OB，由余弦定理可得OB＝a，由v＝rω可知线速度之比等于半径之比，故A、B两点线速度大小之比为1∶， A、B两点的角速度是相等的，周期相等，向心加速度a＝rω2，A、B两点向心加速度大小之比为1∶，B的向心加速度是沿着OB指向圆心O的，C正确．
8．D　解析：当悬线碰到钉子时，线速度v大小不变，A错误；当悬线碰到钉子时，线速度大小不变，半径变小，根据a＝可知，向心加速度a变大，B错误；线速度大小不变，半径变小，根据ω＝可知，角速度ω变大，C错误；根据牛顿第二定律得F－mg＝ma，向心加速度变大，则悬线的张力变大，D正确．
9．D　解析：匀速转动时，配重受到的合力提供向心力，其大小不变，方向变化，A错误；若增大转速，配重做匀速圆周运动的半径变大，绳与竖直方向的夹角θ将增大，竖直方向有mg＝Tcos θ，f＝Mg＋Tcos θ＝Mg＋mg，水平方向有Tsin θ＝m(2πn)2r，则拉力T变大，向心力变大，f不变，即身体对腰带的摩擦力不变，B、C错误；对配重，根据牛顿第二定律可得mgtan θ＝mω2(lsin θ＋d)，解得ω＝ rad/s，D正确．
10．D　解析：设橡皮筋原长为L0，小球的质量为m，当橡皮筋与竖直方向的夹角为θ时，橡皮筋的弹力F＝，橡皮筋的长度为L＝L0＋，设做圆周运动的角速度为ω，则mgtan θ＝mLsin θω2，解得＝cos θ＋，故选D．
11．(1) 0.6 m/s　(2) 1.8 m/s2　(3) 5 rad/s
解析：(1) 物块的线速度大小为
v＝ωr＝3×0.2 m/s＝0.6 m/s
(2) 物块的向心加速度大小为
a＝ω2r＝32×0.2 m/s2＝1.8 m/s2
(3) 设物块与盘面间刚好不发生相对滑动，此时圆盘转动的角速度为ω0，则有μmg＝mr
解得ω0＝＝ rad/s＝5 rad/s
可知欲使物块与盘面间不发生相对滑动，则圆盘转动的角速度ω' 不能超过5 rad/s课时3　向心加速度
核心 目标 1．知道匀速圆周运动中向心加速度大小的表达式，理解向心加速度与半径的关系，并会用来进行简单的计算．
2．了解分析匀速圆周运动速度变化量时用到的极限思想，会根据问题情景选择向心加速度的表达式．
考向1　向心加速度的理解与计算
1．向心加速度的几种表达式
2．向心加速度的大小与各量关系的理解
(1) 当r不变时，an∝v2，an∝ω2．
(2) 当v不变时，an∝．
(3) 当ω不变时，an∝r．
(4) an与r的关系图像
　如图所示为A、B两物体做匀速圆周运动的向心加速度随半径变化的图像，其中A为双曲线的一个分支，由图可知(　C　)
A．A物体运动的线速度大小与半径成正比
B．A物体运动的角速度大小不变
C．B物体运动的角速度大小不变
D．B物体运动的角速度与半径成正比
解析：因为A为双曲线的一个分支，可知A物体的向心加速度与半径成反比，根据a＝可知A物体运动的线速度大小不变，A、B错误；因为B为过原点的直线，可知B物体运动的向心加速度与半径成正比，根据a＝ω2r可知，B物体运动的角速度大小不变，C正确，D错误．
　明代出版的《天工开物》一书中记载：“其湖池不流水，或以牛力转盘，或聚数人踏转．”如图所示为牛力齿轮翻车，翻车通过齿轮传动，将湖水翻入农田．已知a、b齿轮啮合且齿轮之间不打滑，b、c齿轮同轴，若a、b、c三齿轮半径的大小关系为 ra＝2rb＝4rc，则(　C　)
A．齿轮a、b的角速度之比为2∶1
B．齿轮a、c的线速度之比为4∶1
C．齿轮a、b的向心加速度之比为1∶2
D．齿轮a、c的向心加速度之比为1∶4
解析：a、b齿轮啮合且齿轮之间不打滑，线速度相同，故ωara＝ωbrb，解得ωa∶ωb＝1∶2，齿轮a、b的向心加速度之比为aa∶ab＝vωa∶vωb＝1∶2，A错误，C正确；b、c齿轮同轴，角速度相同，故，故vb∶vc＝rb∶rc＝2∶1，则有va∶vc＝vb∶vc＝2∶1，齿轮a、c的向心加速度之比为aa∶ac＝vaωa∶vcωc＝vaωa∶vcωb＝1∶1，B、D错误．
考向2　圆锥摆模型
1．圆锥摆结构和运动模型
如图所示，一根不可伸长的绳，一端固定在O点，另一端拴一小球(可视为质点)，给小球一水平初速度，不计空气阻力，小球在水平面内做匀速圆周运动．
2．向心力来源
(1) 可认为绳子对小球的拉力和小球的重力的合力提供向心力．
(2) 也可认为是绳子拉力在水平方向的分力提供向心力．
3．动力学方程及线速度、角速度与绳长的关系
如图所示，设小球的质量为m，绳与竖直方向的夹角为θ，绳长为l，则小球做圆周运动的半径为r＝lsin θ，重力加速度为g．由牛顿第二定律得mgtan θ＝m或mgtan θ＝mω2r．
所以v＝
ω＝
　如图所示，固定的锥形漏斗内壁是光滑的，内壁上有两个质量相等的小球A和B，在各自不同的水平面做匀速圆周运动．下列说法中正确的是(　A　)
A．小球的线速度vA＞vB
B．小球的角速度ωA＞ωB
C．小球的加速度aA＞aB
D．小球对内壁的压力NA＞NB
解析：对小球受力分析，如图所示，垂直内壁方向，有N'cos θ＝mg，则两小球所受内壁的支持力N'A＝N'B，根据牛顿第三定律可知小球对内壁的压力NA＝NB，故D错误；小球在水平面上做匀速圆周运动，根据牛顿第二定律可得N'sin θ＝Fn＝ma＝m＝mω2r，联立解得a＝gtan θ，v＝，ω＝，由图可知rA＞rB，可得aA＝aB，vA＞vB，ωA＜ωB，故A正确，B、C错误．
　长为L的细线，拴一质量为m的小球，一端固定于O点，让其在水平面内做匀速圆周运动(这种运动通常称为圆锥摆运动，重力加速度为g)，如图所示，当细线与竖直方向的夹角是α时，求：
(1) 线的拉力F大小．
(2) 小球运动的线速度的大小．
(3) 小球运动的角速度及周期．
答案：(1) 　(2)
(3) 　2π
解析：(1) 对小球受力分析，如图所示
由几何关系得F＝
(2) 小球所受合力指向圆心，提供向心力，有
mgtan α＝m
解得v＝
(3) 由合力提供向心力得mgtan α＝mω2Lsin α
解得ω＝
周期T＝＝2π
常见的匀速圆周运动实例
模型 受力分析 满足的方程及向心加速度
mg tan θ＝mω2l sin θ a＝g tan θ
mg tan θ＝mrω2 a＝g tan θ
mg tan θ＝mrω2 a＝g tan θ
1．A、B两小球都在水平面内做匀速圆周运动，A球轨道半径是B球轨道半径的2倍，A的转速为3 r/min，B的转速为 r/min，已知角速度ω与转速n的关系是 ω＝2πn，则两球的向心加速度之比为(　A　)
A．6∶1 B．1∶1
C．4∶1 D．2∶1
解析：根据题意可知两球的角速度之比为ωA∶ωB＝3∶，两球的轨道半径之比为rA∶rB＝2∶1，又因为向心加速度与角速度的关系为a＝ω2r，可得两球的向心加速度之比为aA∶aB＝6∶1，A正确．
2．两个质量相同的小球用长度不等的细线拴在同一点并在同一水平面内做匀速圆周运动，则它们的(　A　)
A．运动周期相同
B．线速度相同
C．向心力大小相同
D．向心加速度相同
解析：根据题意，对其中一个小球受力分析，受重力和绳子的拉力，由于小球做匀速圆周运动，故合力提供向心力，设细线与竖直方向的夹角为θ，如图所示．由几何关系可得，合力为F＝mgtan θ，由于细线与竖直方向的夹角不同，则向心力大小不同，C错误；根据题意，设小球到悬点的竖直高度为h，由几何关系可得，小球做圆周运动的半径为r＝htan θ，设小球做圆周运动的角速度为ω，则有mgtan θ＝mω2htan θ，解得ω＝，结合T＝，则有T＝2π，由于h相同，则运动的角速度和周期相同，A正确；根据题意，由v＝ωr可知，由于两球转动的半径不同，则运动的线速度不同，B错误；根据题意，由an＝ω2r可知，由于两球转动的半径不同，则向心加速度不同，D错误．
3．如图所示为小狗洗完澡后甩掉身上水珠的情形，假设每滴水珠的质量均为1 g，小狗的身体简化成圆筒状，半径约为10 cm，小狗以角速度ω0＝10 rad/s甩动身体．
(1) 求每滴水珠的向心加速度大小．
(2) 若小狗毛发对水珠的最大附着力为0.25 N，甩动过程中水珠的重力可忽略不计，则小狗至少需以多大的角速度甩动身体才可以将身上的水珠甩掉？
答案：(1) 10 m/s2　(2) 50 rad/s
解析：(1) 由题意可知a＝r，解得a＝10 m/s2
(2) 根据F附＝mr，解得ωm＝50 rad/s

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