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2025-2026学年九年级下学期三月学情自测数学试题
一．选择题（共 8小题，每小题 3分，计 24分．每小题只有一个选项是符合题意的）
1．﹣2026的相反数是（ ）
A．﹣2026 B．2026 C． D．
2．下列图形中，以直线为轴旋转一周，可以形成圆柱的是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，在△ABC中，∠B＝90°，∠BAC的平分线交 BC于 D．若 AB＝3，AC＝8，则△ADC的面积为
（ ）
A． B．12 C．16 D．20
4．将不等式 0的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．一次函数 y＝﹣x向上平移 2个单位长度得到（ ）
A．y＝﹣x﹣2 B．y＝﹣x+2 C．y＝﹣2x+2 D．y＝﹣2x﹣2
6．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，AB＝8，将Rt△ABC绕点C顺时针旋转得到Rt△A1B1C，
当 A1，B1，A三点共线时，AA1的值为（ ）
1
A．12 B． C． D．
7．如图，已知菱形的两条对角线分别为 6cm和 8cm，则这个菱形的边长为（ ）
A．2.4cm B．4.8cm C．5cm D．9.6cm
8．已知抛物线 y＝ax2﹣5ax+4a（a≠0）不经过第二象限，与 x轴交于 A，B两点，其顶点 C．这条抛物线
关于 x轴对称的抛物线顶点为 C′，若四边形 ACBC′是正方形，则 a的值为（ ）
A． B． C． D． 或
二．填空题（共 6小题，每小题 3分，计 18分）
9．分解因式：9﹣m2＝ ．
10．观察如图图形，则第 n个图形中三角形的个数是 ．
11．在“6 18年中大促”活动中，某网店所有商品打五折销售．明明的妈妈在该网店购买一件冲锋衣，加
上邮费（邮费相当于原价的 5%）共付 132元，这件冲锋衣的原价是 元/件．
12．如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的两点，若∠ABC＝70°，则∠BDC的度数为 ．
13．已知反比例函数 ，当 x＞0时，y随 x的增大而减小．则 k的值可以为 .
（写出一个即可）
14．如图，在正方形ABCD中，M是 AB的中点，AC与DM交于点O，则 的值为 ，
若阴影部分的面积为 3，则正方形 ABCD的边长是 ．
2
三．解答题（共 12小题，计 78分．解答应写出过程）
15．（5分）计算： ．
16．（5分）计算：（x+2）（x﹣2）﹣x（x﹣1）．
17．（5分）计算： ，其中|x|＝2．
18．（7分）如图，BD是 ABCD的对角线．请用尺规作图法，在线段 AD上求作一点 E，使∠AEB＝2∠ADB．
（保留作图痕迹，不写作法）
19．（7分）已知：如图，A、C、F、D在同一直线上，AC＝DF，AB＝DE，BC＝EF，求证：BC∥EF．
20．（7分）某种品牌的护眼罩分为三种型号，分别用 A，B，C表示，假设它们被购买者选中的可能性均
相同．
（1）小明选择 A型号的护眼罩的概率是 ；
（2）小明和小强分别购买了一种型号的护眼罩，用列表法或画树状图法，求小明和小强选择了同一种
型号护眼罩的概率．
21．（7分）某天早上李伟在家里发现阳光通过窗口照射到室内，会在地面上留下亮区．李伟想通过已经掌
握的知识求出家里窗户的高度．于是李伟利用家里的工具测得：此时阳光通过窗口照射到地面上留下
2.7m宽的亮区，测得亮区到窗口下的墙脚距离 EC＝8.7m，整个窗口高度 AB＝1.8m，请你帮求李伟通
过已学知识求出窗口底边离地面的高 BC的长度．
3
22．（7分）五一节期间，申老师一家自驾游去了离家 170千米的某地，如图是他们离家的距离 y（千米）
与汽车行驶时间 x（小时）之间的函数图象．
（1）求出 AB段图象的函数表达式；
（2）他们出发 2小时时，离目的地还有多少千米？
23．（7分）综合实践活动既能够让学生接触实际，又能够培养学生的实践能力，从而达到增强学生的知识
体系、认知水平、思维能力及创新意识的目的．某校在一学期结束后，想要了解学生参加综合实践活动
的情况，随机调查了该校部分学生，对他们这学期参加综合实践活动的天数进行了统计．根据统计的结
果，绘制出如图所示的统计图．请根据相关信息，解答下列问题：
（1）所抽取学生这学期参加综合实践活动天数的众数是 天，中位数是 天；
（2）求所抽取学生这学期参加综合实践活动天数的平均数；
（3）若该校有 1200名学生，请估计这学期参加综合实践活动的天数为 8天的学生人数．
24．（7分）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，点 D为 的中点，连接 AD，过点 D作 DE⊥AC，
交 AC的延长线于点 E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
4
（2）延长 ED交 AB的延长线于点 F，若 ，DF＝4，求⊙O的半径和 DE的长．
25．（7分）小宝以新区音乐喷水池底上的直线为 x轴，喷管 OA所在的竖直直线为 y轴，两直线的交点为
原点，建立如图所示的平面直角坐标系，利用数学模型推演喷泉水柱的行进路线．y（m）表示水柱上
点的铅直高度，x（m）表示水柱上的点到 y轴的水平距离．其中一个喷头喷出的水柱形似抛物线 y＝ax2
+3x+b（a≠0，x＞0），水柱从点 A（0， ）处喷出，点 B（1，2）在水柱上．
（1）求水柱所在抛物线的解析式及水柱最高点的铅直高度；
（2）在喷水池内放置了一尾汉白玉金鱼，鱼嘴中心点 P距喷水管的水平距离为 4m，铅直高度为 m，
水柱能否恰巧从点 P处落入金鱼口中？若能，请说明理由；若不能，请在保持铅直高度不变的情况下
设计应该放置的位置．
26．（7分）在正方形 ABCD中，点 F为边 BC上一点（点 F不与点 B、C重合），联结 AF，过点 A作 AE
⊥AF，交射线 CD于点 E，取 EF中点 G，联结 BG．
（1）求证：BF＝DE；
（2）求证： ；
（3）当∠AFB＝60°，请直接写出 的值．
5
6
参考答案
一．选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B． A A B B A C B
二．填空题
9．（3+m）（3﹣m）．
10．（3n+1）．
11．240．
12．20°．
13．1（答案不唯一）．
14． ， ．
三．解答题
15．解：原式 ．
16．解：（x+2）（x﹣2）﹣x（x﹣1）
＝x2﹣4﹣x2+x
＝x﹣4．
17．解：原式
，
∵|x|＝2且分式有意义，
∴x＝2，
∴原式 ．
18．解：如图，点 E即为所求．
7
19．证明：在△ACB和△DFE中，
，
∴△ACB≌△DFE（SSS），
∴∠ACB＝∠DFE，
∵∠ACB+∠BCF＝180°，∠DFE+∠EFC＝180°，
∴∠BCF＝∠EFC，
∴BC∥EF．
20．解：（1）∵护眼罩分为三种型号，被购买者选中的可能性均相同，
∴小明选择 A型号的护眼罩的概率是 ，
故答案为： ；
（2）小明和小强分别从 A，B，C三种型号护眼罩中购买了一种型号的护眼罩，作树状图如下：
共有 9种等可能的结果，其中小明和小强选择了同一种型号护眼罩的结果有 3种，
∴小明和小强选择同一种型号眼罩的概率 ．
21．解：光线是平行的，即 BD∥AE，
∴△BCD∽△ACE，
∴ ，
∴ ，
∴BC＝4m．
8
22．解：（1）设 AB段图象的函数表达式为 y＝kx+b（1.5≤x≤2.5），
把 A（1.5，90）、B（2.5，170）代入 y＝kx+b得：
，
解得 ，
所以 AB段图象的函数表达式为 y＝80x﹣30（1.5≤x≤2.5），
（2）当 x＝2时，他们离家的距离 y＝80×2﹣30＝130（km），
此时，离目的地的距离是 170﹣130＝40（km）．
23．解：（1）所抽取学生这学期参加综合实践活动天数的众数是 6天，中位数是 6（天），
故答案为：6，6；
（2）所抽取学生这学期参加综合实践活动天数的平均数为 （4×6+5×8+6×12+7×4+8×10）＝
6（天）；
（3） （名），
答：估计这学期参加综合实践活动的天数为 8天的学生人数为 300名．
24．（1）证明：连接 OD，如图：
∵点 D为 的中点，
∴ ，
∴∠BAD＝∠CAD，
∵OA＝OD，
∴∠BAD＝∠ADO，
∴∠ADO＝∠CAD，
∴OD∥AE，
∵DE⊥AC，
∴OD⊥DE，
∵OD是⊙O的半径，
∴DE是⊙O的切线；
（2）解：如图：
在 Rt△ODF中， ，
∵DF＝4，
9
∴OF＝5，
∴ ，
∴OA＝OD＝3，
∴AF＝OA+OF＝8，
∵OD∥AE，
∴△FOD∽△FAE，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴若 ，DF＝4，则 ．
25．解：（1）由题意，把 ，B（1，2）分别代入 y＝ax2+3x+b（a≠0，x＞0），
∴ ．
∴ ．
∴水柱所在抛物线的解析式为： ．
∵ ，
∴水柱最高点的铅直高度为 ．
（2）由题意，水柱不能恰巧从点 P处落入金鱼口中．理由如下：
∵x＝4时， ，
∴水柱不能恰巧从点 P处落入金鱼口中．
改进建议：
令 ，
∴ ．
∴ ，x2＝0（ 不合题意，舍去）．
∴在保持铅直高度不变的情况下，P应放置在距喷水管的水平距离为 处．
10
26．（1）证明：四边形 ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠BAD＝90°，
∴∠BAF+∠DAF＝90°，
∵AE⊥AF，
∴∠DAE+∠DAF＝90°，
∴∠BAF＝∠DAE，
在正方形 ABCD中，∠ADC＝∠ABC＝90°，
∴∠ABF＝∠ADE＝90°，
在△ABF与△ADE中，
，
∴△ABF≌△ADE（ASA）
∴BF＝DE；
（2）证明：如图，连接 AG，CG，作 GM⊥BC于点 M，
∵四边形 ABCD是正方形，
∴AB＝CB，∠BCD＝∠ABC＝90°，
∵AE⊥AF，
∴∠EAF＝∠ECF＝90°，
∵点 G为 EF的中点，
∴AG＝CG EF，
在△ABG与△CBG中，
，
∴△ABG≌△CBG（SSS）
∴∠ABG＝∠CBG ∠ABC 90°＝45°，
即∠MBG＝45°，
∵GM⊥BC，
∴∠BMG＝90°，
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在 Rt△BMG中，sin∠MBG＝sin45° ，
∴BG MG，∠BMG＝∠ECF＝90°，
∴GM∥CE，
∴ ，
∵点 G为 EF的中点，
∴GF＝GE，
∴ 1，
∴FM＝CM，
∴MG为△ECF的中位线，
∴MG EC，
∴BG MG EC EC；
（3）解：∵△ABF≌△ADE，∴∠AFB＝∠AED，
∵∠AFB＝60°，∴∠AED＝60°，
∵∠ADE＝90°，
在 Rt△ADE中，sin∠AED＝sin60° ，cos∠AED＝cos60° ，
∴AD＝AE sin60° AE，DE＝AE cos60° AE，
在正方形 ABCD中，CD＝AD AE，
∴EC＝CD+DE AE A AE，
∴BG EC AE＝v6+√2AE，
∴ ．
声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/3 /27 23:27:28；用户：18665925436；邮箱：18665925436；学号：24335353
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