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第七章
课时3　万有引力理论的成就
万有引力与宇宙航行
核心 目标 1．进一步理解万有引力定律，知道万有引力与地球上物体的重力的关系．
2．了解万有引力定律在预测未知天体中的作用；会用万有引力定律计算天体的质量和密度．
目标导学 各个击破
万有引力与重力的关系
考向
1
星体表面及上空的重力加速度(以地球为例)
1．地球表面附近的重力加速度g(不考虑地球自转)：mg＝G，得g＝．
2．地球上空的重力加速度g'
地球上空距离地球中心r＝R＋h处的重力加速度为g'，mg'＝，得g'＝．所以．
　　　一行星半径是地球的3倍、质量是地球的36倍，它表面的重力加速度是地球表面重力加速度的(不考虑地球和星球的自转) (　　)
A．9倍 B．6倍
C．4倍 D．2倍
1
C
解析：在地球表面，根据万有引力等于重力G＝mg，可得地球表面的重力加速度为g＝G，同理行星表面的重力加速度为g'＝G，联立可得g'＝4g，C正确．
天体的质量与密度的计算
考向
2
1．天体质量的计算
(1) 重力加速度法
由mg＝G，解得天体的质量为M＝．
(2) 环绕法
用环绕中心天体做圆周运动的行星(或卫星)计算中心天体的质量．
万有引力提供向心力 中心天体的质量 说明
G＝m M＝ r为行星(或卫星)的轨道半径，v、ω、T为行星(或卫星)的线速度、角速度和周期
G＝mrω2 M＝
G＝mr M＝
2．天体密度的计算
若天体的半径为R，则天体的密度ρ＝，将M＝代入可得ρ＝．
　　　科幻电影《流浪地球2》中，人类利用地球赤道上的“行星发动机”将地球送至距离太阳系很远的比邻星附近，成为比邻星的行星．若太阳质量为m1，流浪前地球绕太阳运行轨道半径为r1，周期为T1，流浪后地球绕比邻星运行的轨道半径为r2，周期为T2，则比邻星的质量为 (　　)
A．m1 B．m1
C．m1 D．m1
2
解析：地球绕太阳运转时G＝mr1，地球绕比邻星运行时G＝mr2，解得比邻星的质量为m2＝m1，故选A．
A
　　　假设地球可视为质量均匀分布的球体，已知地球表面的重力加速度在两极的大小为g0，在赤道的大小为g；地球自转的周期为T，引力常量为G，则地球的半径为 (　　)
A．　 B．
C．　 D．
3
解析：在地球两极G＝mg0，在赤道上G－mg＝m()2R，联立解得R＝，A正确．
A
星体内部万有引力的两个推论
1．推论1：在匀质球壳的空腔内任意位置处，质点受到球壳的万有引力的合力为零，即＝0．
2．推论2：在匀质球体内部距离球心r处的质点(m)受到的万有引力等于球体内半径为r的同心球体(M′)对它的万有引力，即F＝G．
　　　据报道，首次在太阳系外发现“类地”行星Kepler-186f．若宇航员乘坐宇宙飞船到达该行星，进行科学实验．宇航员在该行星“北极”距该行星地面附近h处自由释放一个小球，落地时间为t，已知该行星半径为R，万有引力常量为G．求：
(1) 该行星“北极”表面的重力加速度．
答案：(1) 　
4
解析：(1) 根据h＝gt2
解得行星“北极”表面的重力加速度为g＝
(2) 该行星的平均密度．
答案：(2)
解析：(2) 根据mg＝G
可得行星的质量为M＝
则行星的平均密度为ρ＝
随堂内化 即时巩固
1．(多选)关于万有引力和重力的关系，下列说法中正确的是 (　　)
A．地面附近的物体所受到的重力就是万有引力
B．若地球自转角速度变大，则赤道上物体所受重力变小
C．物体所受重力方向总是与万有引力方向相同
D．在地球上，万有引力等于重力与向心力的矢量和
解析：地面附近物体所受到的重力是由于万有引力而产生的，它只是万有引力的一个分力，故重力并不是万有引力，A错误；若地球自转角速度变大，由－mg＝mω2R可知，赤道上物体所受重力变小，B正确；万有引力的方向指向地心，而重力的方向竖直向下，两个方向不同，只有在南北两极和赤道上，方向才一致，C错误；在地球上，万有引力等于重力与向心力的矢量和，D正确．
BD
2．假设地球是一半径为R、质量分布均匀的球体．一矿井深度为d，已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零，则矿井底部和地面处的重力加速度大小之比为 (　　)
A．1－ B．1＋
C．()2 D．(2
A
解析：如图所示，根据题意，地面与矿井底部之间的环形部分对处于矿井底部的物体引力为零．设地面处的重力加速度为g，地球质量为M，地
球表面的物体m受到的重力近似等于万有引力，故mg＝G，又
M＝ρ·πR3，故g＝πρGR；设矿井底部的重力加速度为g'，图中
阴影部分所示球体的半径r＝R－d，则g'＝πρG(R－d)，联立解得
＝1－，A正确．
3．2020年12月3日23时10分，“嫦娥五号”上升器3 000 N发动机工作约6分钟，成功将携带样品的上升器送入到预定高度的环月轨道，这是我国首次实现地外天体起飞．假设上升器绕月球做圆周运动的半径为r1、周期为T1；月球绕地球做圆周运动的半径为r2、周期为T2，引力常量为G．根据以上条件能得出 (　　)
A．月球的平均密度
B．地球对月球的引力
C．“嫦娥五号”上升器的质量
D．关系式
B
解析：由题知，上升器绕月球做圆周运动，则有G＝mr1，解得M月＝，则月球的密度为ρ＝，由于月球半径未知，所以无法求出月球密度，A错误；根据月球绕地球做圆周运动，地球对月球的引力提供向心力，则有F＝M月r2，因月球的质量可以求出，B正确；由题知，上升器绕月球做圆周运动，则有G＝mr1，上升器的质量m被约掉，无法求解，C错误；开普勒第三定律对同一中心天体才成立，D错误．课时3　万有引力理论的成就
1．重力是由万有引力产生的，下列说法中正确的是(　　)
A．同一物体在地球上任何地方的重力都一样
B．物体从地球表面移到空中，其重力变大
C．同一物体在赤道上的重力比在两极处小些
D．绕地球做圆周运动的飞船中的物体处于失重状态，不受地球的引力
2．宇航员王亚平在“天宫一号”飞船内进行了我国首次太空授课，演示了一些完全失重状态下的物理现象．若飞船质量为m，距地面高度为h，地球质量为M，半径为R，引力常量为G，则飞船所在处的重力加速度大小为(　　)
A．0　　　　 B．
C． D．
3．一星球半径和地球半径相同，它表面的重力加速度是地球表面重力加速度的2倍，则该星球质量是地球质量的(忽略地球、星球的自转)(　　)
A．1倍　 B．2倍
C．3倍　 D．4倍
4．设宇航员绕地球运动的周期为T，离地高度为H，地球半径为R，则根据T、H、R和引力常量G，无法计算出的物理量是(　　)
A．地球的质量
B．地球的平均密度
C．飞船所需的向心力
D．飞船线速度的大小
5.2025年3月17日，我国在酒泉卫星发射中心用“谷神星一号”运载火箭成功发射“云遥一号”55~60星，卫星顺利进入预定轨道，发射任务取得圆满成功．若卫星沿圆轨道运行，轨道半径为r，卫星在时间t内通过的运动轨迹对应的圆心角为θ，引力常量为G，则地球的质量为(　　)
A． B．
C． D．
6．一物体静止在平均密度为ρ的球形天体表面的赤道上．已知万有引力常量为G，若由于天体自转物体对天体表面压力恰好为零，则天体自转周期为(　　)
A． B．
C． D．
7．在某星球表面以初速度v0竖直上抛一个物体，经过t时间落回抛出点，若物体只受该星球引力作用，不考虑星球的自转，已知该星球的直径为d，则该星球的平均密度为(　　)
A． B．
C． D．
8．假设在半径为R的某天体上发射一颗该天体的卫星，已知引力常量为G，忽略该天体自转．
(1) 若卫星距该天体表面的高度为h，测得卫星在该处做圆周运动的周期为T1，则该天体的密度是多少？
(2) 若卫星贴近该天体的表面做匀速圆周运动的周期为T2，则该天体的密度是多少？
9．我国明确提出2030年“碳达峰”与2060年“碳中和”目标．人类社会的快速进步使得碳排放量不断增加，这导致温室效应加剧，地球南北两极的生态环境遭到一定的破坏．一头质量为M的北极熊在失去家园后，被运送到了位于赤道上的北极熊馆加以照料，它在北极和在馆内的重力差为ΔF．已知地球自转周期为T．根据以上信息，可求出地球的半径为(　　)
A． B．
C． D．
10．一项最新的研究发现，在我们所在星系中央隆起处，多数恒星形成于100多亿年前的一次恒星诞生爆发期．若某恒星自转周期为T，星体为质量均匀分布的球体，引力常量为G，则以周期T稳定自转的星体的密度最小值约为(　　)
A． B．
C． D．
11．假设在2049年的某一天，一位航天员乘坐飞行器成功地降落火星上．他在离火星地面高h(h远小于火星的半径)处无初速释放一小球，假设小球在火星表面做初速度为零的匀加速直线运动，做火星上的自由落体运动，并测得小球落地时速度为v，不计阻力，已知引力常量为G，火星半径为R．
(1) 求火星表面的重力加速度g．
(2) 求火星的质量M．
(3) 假设火星可视为质量均匀分布的球体，求火星的密度ρ．
课时3　万有引力理论的成就
1．C　解析：不同的地方，由于重力加速度不同，导致重力不同，在地球表面，纬度越高，重力加速度越大，则重力越大，所以同一物体在赤道上的重力比在两极处小些，故A错误，C正确；物体从地球表面移到空中，重力加速度变小，则重力变小，故B错误；飞船绕地球做匀速圆周运动，所受地球的引力提供向心力，飞船中的物体处于失重状态，故D错误．
2．B　解析：对飞船受力分析知，所受到的万有引力提供匀速圆周运动的向心力，等于飞船所在位置的重力，即G＝mg，可得飞船的重力加速度为g＝，B正确．
3．B　解析：在天体表面有G ＝mg，所以M＝，因为星球半径和地球半径相同，所以可得该星球质量是地球质量的2倍．B正确．
4．C　解析：宇航员绕地球做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，有G＝m(H＋R)，解得M＝，A可计算出；根据密度表达式，有ρ＝，V＝πR3，可得ρ＝，B可计算出；飞船质量未知，所以飞船所需的向心力无法求出，C无法计算出；设飞船线速度的大小为v，则有v＝，D可计算出．
5．A　解析：设地球的质量为M，卫星的质量为m，根据万有引力提供向心力有G＝mω2r，卫星的角速度ω＝，联立解得M＝，故选A．
6．D　解析：物体对天体表面压力恰好为零，天体对物体的万有引力提供向心力，G＝mR，解得T＝2π，又因为密度ρ＝＝，两式联立得T＝，D正确．
7．A　解析：对物体竖直上抛过程，v0＝g·t，由万有引力定律可知G＝mg，R＝d，M＝ρπR3，联立可解得ρ＝，A正确．
8．(1) 　(2)
解析：设卫星的质量为m，天体的质量为M．
(1) 卫星距天体表面的高度为h时，有
G＝m(R＋h)
可得M＝
天体的体积为V＝πR3
故该天体的密度为ρ＝＝＝
(2) 卫星贴近天体表面运动时有G＝mR
可得M＝
故ρ＝＝＝
9．A　解析：北极熊在赤道上时，万有引力的一部分提供向心力，有－Mg＝M2R，北极熊在北极上时有＝Mg'，根据题意，有ΔF＝M2R，解得R＝，A正确．
10．A　解析：设恒星的半径为R，当万有引力恰好提供向心力时星体不瓦解，且密度最小，根据G＝mR，解得恒星的质量M＝，则恒星的密度ρ＝＝＝，故选A．
11．(1) 　(2) 　(3)
解析：(1) 设火星表面的重力加速度为g，由题意根据运动学规律有v2＝2gh
解得g＝
(2) 设火星的质量为M，则在火星表面一质量为m的物体所受的重力近似等于万有引力，G＝mg
联立解得M＝
(3) 火星的体积为V＝πR3
火星的密度为ρ＝
解得ρ＝课时3　万有引力理论的成就
核心 目标 1．进一步理解万有引力定律，知道万有引力与地球上物体的重力的关系．
2．了解万有引力定律在预测未知天体中的作用；会用万有引力定律计算天体的质量和密度．
考向1　万有引力与重力的关系
星体表面及上空的重力加速度(以地球为例)
1．地球表面附近的重力加速度g(不考虑地球自转)：mg＝G，得g＝．
2．地球上空的重力加速度g'
地球上空距离地球中心r＝R＋h处的重力加速度为g'，mg'＝，得g'＝．所以．
　一行星半径是地球的3倍、质量是地球的36倍，它表面的重力加速度是地球表面重力加速度的(不考虑地球和星球的自转)(　C　)
A．9倍 B．6倍
C．4倍 D．2倍
解析：在地球表面，根据万有引力等于重力G＝mg，可得地球表面的重力加速度为g＝G，同理行星表面的重力加速度为g'＝G，联立可得g'＝4g，C正确．
考向2　天体的质量与密度的计算
1．天体质量的计算
(1) 重力加速度法
由mg＝G，解得天体的质量为M＝．
(2) 环绕法
用环绕中心天体做圆周运动的行星(或卫星)计算中心天体的质量．
万有引力提供向心力 中心天体的质量 说明
G＝m M＝ r为行星(或卫星)的轨道半径，v、ω、T为行星(或卫星)的线速度、角速度和周期
G＝mrω2 M＝
G＝mr M＝
2．天体密度的计算
若天体的半径为R，则天体的密度ρ＝，将M＝代入可得ρ＝．
　科幻电影《流浪地球2》中，人类利用地球赤道上的“行星发动机”将地球送至距离太阳系很远的比邻星附近，成为比邻星的行星．若太阳质量为m1，流浪前地球绕太阳运行轨道半径为r1，周期为T1，流浪后地球绕比邻星运行的轨道半径为r2，周期为T2，则比邻星的质量为(　A　)
A．m1 B．m1
C．m1 D．m1
解析：地球绕太阳运转时G＝mr1，地球绕比邻星运行时G＝mr2，解得比邻星的质量为m2＝m1，故选A．
　假设地球可视为质量均匀分布的球体，已知地球表面的重力加速度在两极的大小为g0，在赤道的大小为g；地球自转的周期为T，引力常量为G，则地球的半径为(　A　)
A．　 B．
C．　 D．
解析：在地球两极G＝mg0，在赤道上G－mg＝m()2R，联立解得R＝，A正确．
星体内部万有引力的两个推论
1．推论1：在匀质球壳的空腔内任意位置处，质点受到球壳的万有引力的合力为零，即＝0．
2．推论2：在匀质球体内部距离球心r处的质点(m)受到的万有引力等于球体内半径为r的同心球体(M′)对它的万有引力，即F＝G．
　据报道，首次在太阳系外发现“类地”行星Kepler-186f．若宇航员乘坐宇宙飞船到达该行星，进行科学实验．宇航员在该行星“北极”距该行星地面附近h处自由释放一个小球，落地时间为t，已知该行星半径为R，万有引力常量为G．求：
(1) 该行星“北极”表面的重力加速度．
(2) 该行星的平均密度．
答案：(1) 　(2)
解析：(1) 根据h＝gt2
解得行星“北极”表面的重力加速度为g＝
(2) 根据mg＝G
可得行星的质量为M＝
则行星的平均密度为ρ＝
1．(多选)关于万有引力和重力的关系，下列说法中正确的是(　BD　)
A．地面附近的物体所受到的重力就是万有引力
B．若地球自转角速度变大，则赤道上物体所受重力变小
C．物体所受重力方向总是与万有引力方向相同
D．在地球上，万有引力等于重力与向心力的矢量和
解析：地面附近物体所受到的重力是由于万有引力而产生的，它只是万有引力的一个分力，故重力并不是万有引力，A错误；若地球自转角速度变大，由－mg＝mω2R可知，赤道上物体所受重力变小，B正确；万有引力的方向指向地心，而重力的方向竖直向下，两个方向不同，只有在南北两极和赤道上，方向才一致，C错误；在地球上，万有引力等于重力与向心力的矢量和，D正确．
2．假设地球是一半径为R、质量分布均匀的球体．一矿井深度为d，已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零，则矿井底部和地面处的重力加速度大小之比为(　A　)
A．1－ B．1＋
C．()2 D．(2
解析：如图所示，根据题意，地面与矿井底部之间的环形部分对处于矿井底部的物体引力为零．设地面处的重力加速度为g，地球质量为M，地球表面的物体m受到的重力近似等于万有引力，故mg＝G，又M＝ρ·πR3，故g＝πρGR；设矿井底部的重力加速度为g'，图中阴影部分所示球体的半径r＝R－d，则g'＝πρG(R－d)，联立解得＝1－，A正确．
3．2020年12月3日23时10分，“嫦娥五号”上升器3 000 N发动机工作约6分钟，成功将携带样品的上升器送入到预定高度的环月轨道，这是我国首次实现地外天体起飞．假设上升器绕月球做圆周运动的半径为r1、周期为T1；月球绕地球做圆周运动的半径为r2、周期为T2，引力常量为G．根据以上条件能得出(　B　)
A．月球的平均密度
B．地球对月球的引力
C．“嫦娥五号”上升器的质量
D．关系式
解析：由题知，上升器绕月球做圆周运动，则有G＝mr1，解得M月＝，则月球的密度为ρ＝，由于月球半径未知，所以无法求出月球密度，A错误；根据月球绕地球做圆周运动，地球对月球的引力提供向心力，则有F＝M月r2，因月球的质量可以求出，B正确；由题知，上升器绕月球做圆周运动，则有G＝mr1，上升器的质量m被约掉，无法求解，C错误；开普勒第三定律对同一中心天体才成立，D错误．

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