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第七章
习题课2　天体运动的分析与计算
万有引力与宇宙航行
核心 目标 1．掌握处理星体绕中心天体做圆周运动的基本思路．
2．掌握星体绕中心天体做圆周运动的物理量与轨道半径的关系．
能力提升 典题固法
天体运动参量的分析与计算
问题
1
1．一般卫星(或行星)的运动可看成匀速圆周运动，其所需向心力与万有引力的关系可写为：G＝ma＝m＝mω2r＝mr．
2．向心加速度大小a、线速度大小v、角速度ω、周期T与轨道半径r的关系
(1) 天体的轨道半径r已知，其相对应的向心加速度大小、线速度大小、角速度和周期是可求出的，与天体的质量无关，同一轨道上的不同天体具有________的向心加速度大小、线速度大小、角速度和周期．
(2) 天体的轨道半径r越大，v、ω、an越小，T越大，越高越______，可总结为高轨低速长周期(“速”包含线速度、角速度和加速度)．
3．忽略地球自转时，mg＝G，整理可得GM＝_______，当GM未知时，可用_______替换后进行有关计算，此式被称为“黄金代换公式”．
相同
慢
gR2
gR2
　　　2023年5月30日上午9时31分，搭载“神舟十六号”载人飞船的“长征二号F遥十六”运载火箭在酒泉卫星发射中心成功发射．“神舟十六号”载人飞船A与距离地面约400 km空间站B对接前的环绕轨道如图所示．下列说法中正确的是 (　　)
A．飞船加速上升阶段处于失重状态
B．飞船的线速度比空间站的小
C．飞船的向心加速度比空间站的小
D．飞船的运行周期比空间站的小
1
D
解析：飞船加速上升阶段，具有向上的加速度，处于超重状态，A错误；根据引力提供向心力可得G＝m，解得v＝，飞船的轨道半径较小，线速度较大，B错误；根据万有引力提供向心力可得G＝ma＝mr，解得a＝G，T＝，飞船的轨道半径较小，向心加速度较大，周期较小，C错误，D正确．
　　　我国发射的“嫦娥四号”，可以更深层次、更加全面地探测月球地貌、资源等方面的信息．已知月球的半径为R，月球表面的重力加速度为g，引力常量为G，“嫦娥四号”绕月球做匀速圆周运动时，离月球中心的距离为r，根据以上信息可知下列说法中正确的是 (　　)
A．“嫦娥四号”绕月球运行的周期为2π
B．“嫦娥四号”绕月球运行的速度大小为
C．月球质量为
D．“嫦娥四号”所在轨道处的重力加速度为g
2
B
解析：在月球表面有G＝m'g，可得月球质量为M＝，故C错误；根据万有引力等于向心力可得G＝mr，解得T＝2π，故A错误；根据万有引力等于向心力可得G＝m，解得v＝，故B正确；根据＝mg'可知“嫦娥四号”所在轨道处的重力加速度为g'＝，故D错误．
卫星相距“最近”、“最远”问题
问题
2
两颗卫星在同一轨道平面内同向绕地球做匀速圆周运动时，a卫星的角速度为ωa，b卫星的角速度为ωb．若某时刻两卫星正好同时通过地面同一点正上方，相距最近，如图所示．
1．当两卫星第一次相距最远时，a比b多走______圈，如图所示．
它们转过的角度之差Δθ＝_____，即满足ωaΔt－ωbΔt＝_____，
第二次：ωaΔt－ωbΔt＝_________．
故第n次两卫星相距最远的条件：ωat－ωbt＝t－t＝(2n－1)π(n＝1，2，3，…)．
半
π
π
2π＋π
2．当两卫星第一次相距最近时，它们转过的角度之差Δθ＝______，即满足ωaΔt－ωbΔt＝______时，两卫星再次相距最近．
第二次：ωaΔt－ωbΔt＝4π．
第n次两卫星相距最近的条件：ωat－ωbt＝t－t＝2nπ(n＝1，2，3，…)
2π
2π
　　　A、B两颗人造地球卫星在同一平面同向绕地球做匀速圆周运动，B卫星轨道半径大于A卫星轨道半径．已知A卫星绕地球做匀速圆周运动的周期为3小时，经观测发现每经过小时A、B两颗卫星就会相距最近一次．则B卫星轨道半径与A卫星轨道半径之比为 (　　)
A．4 B．8
C．9 D．22
3
解析：根据题意每经过小时A、B两颗卫星就会相距最近一次，则有(－t＝2π，根据开普勒第三定律，解得＝4，A正确．
A
　　　某卫星P在地球赤道平面内以周期T绕地球做匀速圆周运动，距离地面的高度与地球半径相等，且转动方向与地球自转方向相同，Q是位于赤道上的某观测站．已知地球的自转周期为T0，且T0＞T，地球半径为R，引力常量为G，求：
(1) 地球的质量M．
答案：(1) 　
4
解析：(1) 设卫星的质量为m，由万有引力提供卫星的向心力，可得G＝m·2R
解得M＝
(2) 卫星P连续两次经过观测站Q正上方的时间间隔Δt．
答案：(2)
解析：(2) 由题意知，Δt时间内卫星相对地球转过的角度为2π，则
Δt＝2π
解得Δt＝
随堂内化 即时巩固
1．“木卫一”与“木卫二”是木星的两颗卫星，它们的轨道呈圆形．两者相比，“木卫一”的公转半径较小，质量较大．由以上信息可知“木卫一”(　　)
A．周期较大
B．线速度较小
C．加速度较大
D．所受的万有引力较小
C
解析：根据万有引力提供向心力G＝mr，可得T＝2π，可知“木卫一的”周期小，A错误；根据万有引力提供向心力G＝m，可得v＝，可知“木卫一”的线速度大，B错误；根据牛顿第二定律G＝ma，可得a＝，可知“木卫一”的加速度大，C正确；根据万有引力定律F＝G，可知“木卫一”所受的万有引力大，D错误．
2．2022年6月5日，我国成功发射“神舟十四号”载人飞船，3名航天员进驻核心舱．假设“神舟十四号”在飞行的过程中绕地球沿圆轨道运行，地球的半径为R，地球表面的重力加速度为g，飞船绕地球运行的周期为T．
(1) 求飞船离地面的高度h．
答案：(1) －R　
解析：(1) 飞船绕地球沿圆轨道运行，根据万有引力提供向心力有G＝m(R＋h)
在地球表面，根据万有引力近似等于重力有G＝m'g
解得飞船离地面的高度为h＝－R
(2) 如图所示，卫星A与“神舟十四号”载人飞船B在同一轨道平面，已知卫星A运行方向与B相同，A的轨道半径为B的2倍，某时刻A、B相距最近，则至少经过多长时间它们再一次相距最近？
答案：(2) T
解析：(2) 根据开普勒第三定律有，又rA＝2rB
解得TA＝2T
设经过t时间它们再一次相距最近，则有
t－t＝2π
解得t＝T习题课2　天体运动的分析与计算
1．(多选)两颗环月卫星的运行轨道如图所示，关于卫星1与卫星2，下列说法中正确的是(　　)
A．卫星1的周期小于卫星2的周期
B．卫星1的角速度小于卫星2的角速度
C．卫星1的线速度小于卫星2的线速度
D．卫星1的向心加速度大于卫星2的向心加速度
2．北京时间2025年1月7日，“实践二十五号”卫星顺利进入预定轨道．其在预定轨道上的运动可视为绕地球的匀速圆周运动．已知该卫星距地面高度为h，地球半径为R，地球表面的重力加速度为g．忽略地球自转，则该卫星运行周期为(　　)
A．2π B．2π
C．2π D．2π
3．(多选)金星是夜空中最亮的行星，也叫启明星，《诗经·小雅·大东》中写道：“东有启明，西有长庚．”已知金星绕太阳公转的周期约为224天，可以判定(　　)
A．金星的质量大于地球的质量
B．金星的轨道半径大于地球的轨道半径
C．金星公转的线速度大于地球公转的线速度
D．金星的向心加速度大于地球的向心加速度
4．我国新一代货运飞船“天舟五号”实现了2小时与“天宫”空间站快速对接，对接后的“结合体”仍在原空间站轨道运行．对接前“天宫”空间站与“天舟五号”的轨道如图所示，则关于对接前，下列说法中正确的是(　　)
A．“天宫”空间站对地球的引力大于地球对“天宫”空间站的引力
B．“天宫”空间站的向心加速度小于“天舟五号”的向心加速度
C．“天宫”空间站的周期小于“天舟五号”的周期
D．“天宫”空间站的线速度等于“天舟五号”的线速度
5.2024年4月15号，我国成功发射四维“高景三号01星”，假设地球是半径为R的标准球体，该卫星质量为m，运行在距地面高度为h的圆形轨道上，地球表面重力加速度为g，则关于运行在该轨道上的卫星，下列说法中正确的是(　　)
A．运行的向心加速度大小为g
B．运行的速度大小为R
C．运行的角速度为R
D．运行的周期为2π
6．已知月球表面重力加速度约为地球表面的，月球半径约为地球半径的．设“嫦娥六号”返回舱绕月飞行的轨道为圆，半径近似为月球半径，引力常量为G．求：
(1) 月球与地球的质量之比．
(2) “嫦娥六号”返回舱绕月飞行的周期与近地圆轨道卫星的周期之比．
7．如图所示，小行星带是太阳系内介于火星和木星轨道之间的小行星密集区域．已知木星周期是火星周期的n倍．若只考虑太阳万有引力对其他星体运行的影响，小行星运动轨迹视为圆形，下列说法中正确的是(　　)
A．小行星带中的各个行星周期均相同
B．外侧小行星受到的引力一定小于内侧小行星受到的引力
C．可以求出木星与火星的速率之比
D．可以求出相邻两次太阳、火星、木星三者共线的时间间隔
8．如图所示为宇宙飞船分别靠近星球P和星球Q的过程中，其所受星球的万有引力F与到星球表面距离h的关系图像．已知星球P和星球Q的半径都为R，下列说法中正确的是(　　)
A．星球P和星球Q的质量之比为1∶2
B．星球P表面和星球Q表面的重力加速度之比为1∶2
C．星球P和星球Q的近地卫星速度之比为2∶1
D．星球P和星球Q的近地卫星周期之比为1∶
9．地球和海王星绕太阳公转的方向相同，轨迹都近似为圆，地球一年绕太阳一周，海王星约164.8年绕太阳一周，海王星冲日现象是指地球处在太阳与海王星之间，2018年9月7日出现过一次海王星冲日，则(　　)
A．地球的公转轨道半径比海王星的公转轨道半径大
B．地球的运行速度比海王星的运行速度小
C．2019年没有出现海王星冲日现象
D．2017年出现过海王星冲日现象
10．(2024·信宜中学)我国综合性太阳探测专用卫星“夸父一号”于2022年12月正式对外发布，此卫星的科学目标为监测太阳的“一磁两暴”现象，首批科学图像揭示了众多不为前人所知的规律．“夸父一号”围绕太阳的轨道半径为r＝2R0(R0为太阳的半径)，太阳表面的重力加速度为g0．
(1) 求该卫星所在处的重力加速度g1．
(2) 求该卫星绕太阳转动的角速度ω1．
(3) 若太阳自转的角速度为ω0(ω1>ω0)，卫星转动方向与太阳自转方向相同．某时刻卫星在最近距离发现一耀斑现象，则经过多长时间可再次以最近距离探测此耀斑？
习题课2　天体运动的分析与计算
1．AD　解析：卫星绕月球做匀速圆周运动，设卫星的质量为m、轨道半径为r、月球质量为M，由F＝G＝m＝mω2r＝mr＝ma，解得ω＝，v＝，T＝2π，a＝．由图可知r1ω2，v1>v2，a1>a2，故A、D正确．
2．D　解析：物体在地球表面时，重力等于万有引力，有＝mg，卫星做匀速圆周运动时，万有引力提供向心力有＝m(R＋h)，联立解得T＝2π，故选D．
3．CD　解析：根据数据无法比较金星和地球的质量，A错误；由开普勒第三定律＝k，知金星的轨道半径小于地球的轨道半径，B错误；根据万有引力提供向心力有G ＝m，得v＝，可知金星公转的线速度大于地球公转的线速度，C正确；根据万有引力提供向心力有G＝ma，得a＝，可知金星的向心加速度大于地球的向心加速度，D正确．
4．B　解析：“天宫”空间站对地球的引力与地球对“天宫”空间站的引力是一对相互作用力，大小相等，方向相反，因此“天宫”空间站对地球的引力等于地球对“天宫”空间站的引力，A错误；根据G＝ma，解得a＝G，可知，轨道半径越小，向心加速度越大，即“天宫”空间站的向心加速度小于“天舟五号”的向心加速度，B正确；根据高轨低速长周期，可知“天宫”空间站的周期大于“天舟五号”的周期，“天宫”空间站的线速度小于“天舟五号”的线速度，C、D错误．
5．B　解析：根据G＝m＝mω2(R＋h)＝m(R＋h)＝ma，而G＝mg，可得运行的向心加速度大小为a＝ ，运行的速度大小为v＝R，运行的角速度为ω＝R，运行的周期为T＝，B正确．
6．(1) 　(2)
解析：(1) 假设一物体质量为m，在地球表面有
G＝mg地
在月球表面，有G＝mg月
联立解得 ＝
(2) 假设返回舱质量为m1，近地卫星质量为m2，结合题意
G＝m1()2R月
G＝m2()2R地
联立解得 ＝
7．C　解析：根据开普勒第三定律k＝，可知小行星带中的行星轨道半径越大，周期越大，A错误；根据万有引力公式F＝G，若外侧小行星的质量大于内侧小行星的质量，外侧小行星受到的引力可能大于内侧小行星受到的引力，B错误；根据开普勒第三定律＝，可得r木＝r火，根据万有引力提供向心力G＝m，可得v＝，可得木星与火星的速率之比为v木∶v火＝∶＝1∶，C正确；相邻两次太阳、火星、木星三者共线有－＝1，由于火星周期T火不知，故不可以求出相邻两次太阳、火星、木星三者共线的时间间隔，D错误．
8．D　解析：当h等于0时，即在星球表面时，根据万有引力公式有2F0＝，F0＝，＝，A错误；在h等于零时，宇宙飞船在两个星球的表面，根据万有引力公式可得2F0＝mgP，F0＝mgQ，所以gP∶gQ＝2∶1，B错误；根据万有引力公式可得＝，v＝，由于R相同，质量比为2∶1，所以近地卫星速度为 ∶1，C错误；根据万有引力公式可得 ＝m，T＝，所以星球P和星球Q的近地卫星周期之比为1∶，D正确．
9．D　解析：地球的公转周期比海王星的公转周期小，根据万有引力提供向心力得G＝mr，则T＝2π，可知地球的公转轨道半径比海王星的公转轨道半径小，A错误；根据万有引力提供向心力，有G＝m，解得v＝，可知海王星的运行速度比地球的运行速度小，B错误；T地＝1年，T海＝164.8年，由(ω地－ω海)·t＝2π，ω地＝，ω海＝，可得距下一次海王星冲日的时间为t＝≈1.01年，C错误，D正确．
10．(1) 　(2) 　(3)
解析：(1) 卫星所在处的重力加速度g1满足
＝mg1
结合GM＝g0
解得g1＝
(2) 根据万有引力提供向心力，有
＝m(2R0)
解得ω1＝
(3) 卫星绕太阳做匀速圆周运动，当卫星转过的角度与太阳转过的角度之差等于2π时可再次以最近距离探测此耀斑
ω1Δt－ω0Δt＝2π
解得Δt＝习题课2　天体运动的分析与计算
核心 目标 1．掌握处理星体绕中心天体做圆周运动的基本思路．
2．掌握星体绕中心天体做圆周运动的物理量与轨道半径的关系．
问题1　天体运动参量的分析与计算
1．一般卫星(或行星)的运动可看成匀速圆周运动，其所需向心力与万有引力的关系可写为：G＝ma＝m＝mω2r＝mr．
2．向心加速度大小a、线速度大小v、角速度ω、周期T与轨道半径r的关系
(1) 天体的轨道半径r已知，其相对应的向心加速度大小、线速度大小、角速度和周期是可求出的，与天体的质量无关，同一轨道上的不同天体具有　相同　的向心加速度大小、线速度大小、角速度和周期．
(2) 天体的轨道半径r越大，v、ω、an越小，T越大，越高越　慢　，可总结为高轨低速长周期(“速”包含线速度、角速度和加速度)．
3．忽略地球自转时，mg＝G，整理可得GM＝　gR2　，当GM未知时，可用　gR2　替换后进行有关计算，此式被称为“黄金代换公式”．
　2023年5月30日上午9时31分，搭载“神舟十六号”载人飞船的“长征二号F遥十六”运载火箭在酒泉卫星发射中心成功发射．“神舟十六号”载人飞船A与距离地面约400 km空间站B对接前的环绕轨道如图所示．下列说法中正确的是(　D　)
A．飞船加速上升阶段处于失重状态
B．飞船的线速度比空间站的小
C．飞船的向心加速度比空间站的小
D．飞船的运行周期比空间站的小
解析：飞船加速上升阶段，具有向上的加速度，处于超重状态，A错误；根据引力提供向心力可得G＝m，解得v＝，飞船的轨道半径较小，线速度较大，B错误；根据万有引力提供向心力可得G＝ma＝mr，解得a＝G，T＝，飞船的轨道半径较小，向心加速度较大，周期较小，C错误，D正确．
　我国发射的“嫦娥四号”，可以更深层次、更加全面地探测月球地貌、资源等方面的信息．已知月球的半径为R，月球表面的重力加速度为g，引力常量为G，“嫦娥四号”绕月球做匀速圆周运动时，离月球中心的距离为r，根据以上信息可知下列说法中正确的是(　B　)
A．“嫦娥四号”绕月球运行的周期为2π
B．“嫦娥四号”绕月球运行的速度大小为
C．月球质量为
D．“嫦娥四号”所在轨道处的重力加速度为g
解析：在月球表面有G＝m'g，可得月球质量为M＝，故C错误；根据万有引力等于向心力可得G＝mr，解得T＝2π，故A错误；根据万有引力等于向心力可得G＝m，解得v＝，故B正确；根据＝mg'可知“嫦娥四号”所在轨道处的重力加速度为g'＝，故D错误．
问题2　卫星相距“最近”、“最远”问题
两颗卫星在同一轨道平面内同向绕地球做匀速圆周运动时，a卫星的角速度为ωa，b卫星的角速度为ωb．若某时刻两卫星正好同时通过地面同一点正上方，相距最近，如图所示．
1．当两卫星第一次相距最远时，a比b多走　半　圈，如图所示．
它们转过的角度之差Δθ＝　π　，即满足ωaΔt－ωbΔt＝　π　，
第二次：ωaΔt－ωbΔt＝　2π＋π　．
故第n次两卫星相距最远的条件：ωat－ωbt＝t－t＝(2n－1)π(n＝1，2，3，…)．
2．当两卫星第一次相距最近时，它们转过的角度之差Δθ＝　2π　，即满足ωaΔt－ωbΔt＝　2π　时，两卫星再次相距最近．
第二次：ωaΔt－ωbΔt＝4π．
第n次两卫星相距最近的条件：ωat－ωbt＝t－t＝2nπ(n＝1，2，3，…)
　A、B两颗人造地球卫星在同一平面同向绕地球做匀速圆周运动，B卫星轨道半径大于A卫星轨道半径．已知A卫星绕地球做匀速圆周运动的周期为3小时，经观测发现每经过小时A、B两颗卫星就会相距最近一次．则B卫星轨道半径与A卫星轨道半径之比为(　A　)
A．4 B．8
C．9 D．22
解析：根据题意每经过小时A、B两颗卫星就会相距最近一次，则有(－t＝2π，根据开普勒第三定律，解得＝4，A正确．
　某卫星P在地球赤道平面内以周期T绕地球做匀速圆周运动，距离地面的高度与地球半径相等，且转动方向与地球自转方向相同，Q是位于赤道上的某观测站．已知地球的自转周期为T0，且T0＞T，地球半径为R，引力常量为G，求：
(1) 地球的质量M．
(2) 卫星P连续两次经过观测站Q正上方的时间间隔Δt．
答案：(1) 　(2)
解析：(1) 设卫星的质量为m，由万有引力提供卫星的向心力，可得G＝m·2R
解得M＝
(2) 由题意知，Δt时间内卫星相对地球转过的角度为2π，则
Δt＝2π
解得Δt＝
1．“木卫一”与“木卫二”是木星的两颗卫星，它们的轨道呈圆形．两者相比，“木卫一”的公转半径较小，质量较大．由以上信息可知“木卫一”(　C　)
A．周期较大 B．线速度较小
C．加速度较大 D．所受的万有引力较小
解析：根据万有引力提供向心力G＝mr，可得T＝2π，可知“木卫一的”周期小，A错误；根据万有引力提供向心力G＝m，可得v＝，可知“木卫一”的线速度大，B错误；根据牛顿第二定律G＝ma，可得a＝，可知“木卫一”的加速度大，C正确；根据万有引力定律F＝G，可知“木卫一”所受的万有引力大，D错误．
2．2022年6月5日，我国成功发射“神舟十四号”载人飞船，3名航天员进驻核心舱．假设“神舟十四号”在飞行的过程中绕地球沿圆轨道运行，地球的半径为R，地球表面的重力加速度为g，飞船绕地球运行的周期为T．
(1) 求飞船离地面的高度h．
(2) 如图所示，卫星A与“神舟十四号”载人飞船B在同一轨道平面，已知卫星A运行方向与B相同，A的轨道半径为B的2倍，某时刻A、B相距最近，则至少经过多长时间它们再一次相距最近？
答案：(1) －R　(2) T
解析：(1) 飞船绕地球沿圆轨道运行，根据万有引力提供向心力有G＝m(R＋h)
在地球表面，根据万有引力近似等于重力有G＝m'g
解得飞船离地面的高度为h＝－R
(2) 根据开普勒第三定律有，又rA＝2rB
解得TA＝2T
设经过t时间它们再一次相距最近，则有
t－t＝2π
解得t＝T

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