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第八章
课时2　重力势能
机械能守恒定律
核心 目标 1．知道重力做功与路径无关的特点，知道重力势能的表达式．通过重力做功与重力势能变化的关系体会功能关系．
2．知道重力势能的相对性、重力势能的变化量与参考平面的选取无关．了解弹性势能的决定因素．
目标导学 各个击破
重力做功与重力势能变化的关系
考向
1
1．重力做功与重力势能之间的关系
重力做功的过程是重力势能改变的过程，重力做正功，重力势能减少，重力做负功，重力势能增加，重力做了多少功，重力势能就改变多少．WG＝____________＝－ΔEp．
(1) 重力势能变化多少是由重力做功的多少决定的，与物体除重力外是否还受其他力作用以及除重力做功外是否还有其他力做功等因素无关．无论物体做何种运动，关系式WG＝－ΔEp总是成立的．
Ep1－Ep2
(2) 利用关系式WG＝－ΔEp，可由重力做功的正负及大小得出重力势能的增减及大小，反之也可以由重力势能的增减及大小得出重力做功的正负及大小．
物体由高到低重力势能减少
物体由低到高重力势能增加
2．重力势能的求解
(1) 根据重力势能的定义求解
选取参考平面，分析物体相对参考平面的高度h，代入Ep＝_______求解重力势能．
(2) 根据重力做功与重力势能变化的关系求解
由WG＝Ep1－Ep2知Ep2＝Ep1－WG或Ep1＝WG＋Ep2．
(3) 根据重力势能的变化量求解
重力势能的变化量ΔEp＝Ep2－Ep1，故Ep2＝Ep1＋ΔEp或Ep1＝Ep2－ΔEp．
mgh
　　　某桥梁模型如图所示，已知桥的拱高为h，A、B两点在同一水平面上．关于游客由A点运动到B点的过程，下列说法中正确的是 (　　)
A．游客的重力势能先增大，后减小，重力先做正功，后做负功
B．游客的重力势能先减小，后增大，重力先做负功，后做正功
C．游客的重力势能先增大，后减小，重力先做负功，后做正功
D．游客在整个运动过程中重力做的总功不为零
1
C
解析：游客由A点运动到B点的过程中，距离水平面的高度先增大，后减小，则根据Ep＝mgh可知，重力势能先增大，后减小，重力先做负功，后做正功，因A、B在同一高度，则整个运动过程中重力做的总功为零．C正确．
　　　质量为m＝1 kg的小球，从离桌面H＝1.5 m高处由静止下落，桌面离地面高度为h＝0.5 m，如图所示，若以桌面为参考平面，取g＝10 m/s2，小球落地时的重力势能及整个下落过程中重力势能的变化分别是 (　　)
A．5 J、减少15 J
B．－5 J、减少20 J
C．5 J、增加10 J
D．－5 J、增加20 J
2
解析：若以桌面为参考平面，小球落地时的重力势能为Ep＝－mgh＝－1×10× 0.5 J＝－5 J，整个下落过程中ΔEp＝mg(H＋h)＝1×10×(1.5＋0.5) J＝20 J，重力势能减少20 J，B正确．
B
　　　截面积为S的U形管中，盛有一种密度为ρ的液体，由于底部中间的阀门关闭着，使一边管中的液面高度为h1，另一边管中的液面高度为h2，如图所示，把阀门打开，使左右两边相通，当两边液面达到相同高度时，重力做的功为(　　)
A．ρgS(h1－h2)2
B．ρgS(h1－h2)2
C．ρgS(h1－h2)2
D．ρgS(h1－h2)2
3
A
解析：把阀门打开，当两边液面高度相等，设液体的高度为h，所以有h＝，因此从左边移到右边的液体体积为V＝S，所以这个过程液体的重力势能变化量等于左边上部分的液体移到右边的重力势能的变化量，重力做的功为WG＝ρgS(h1－h2)2，A正确．
对弹性势能的理解
考向
2
1．对弹性势能的理解
(1) 弹性势能的产生原因
①物体发生了弹性形变
②各部分间的弹力作用
(2) 弹簧弹性势能的影响因素
①弹簧的形变量l
②弹簧的劲度系数k
(3) 系统性
弹性势能是发生弹性形变的物体上所有质点因相对位置改变而具有的能量，因此弹性势能具有系统性．
(4) 相对性
弹性势能的大小与零势能位置有关，对于弹簧，常选取弹簧处于原长时的势能为零势能．
2．弹性势能表达式的推导
根据胡克定律F＝kx，作出弹力F与弹簧形变量x关系的F-x图线，根据W＝Fx知图线与横轴所围的面积对应F所做的功，W＝kx2，所以Ep＝kx2．
3．弹力做功与弹性势能变化的关系
如图所示，O为弹簧的原长处．
(1) 弹力做负功时，物体由O向A运动(压缩)或者由O向A'运动
(伸长)，弹性势能增大，其他形式的能转化为弹性势能．
(2) 弹力做正功时，物体由A向O运动或者由A'向O运动，弹性势能减小，弹性势能转化为其他形式的能．
(3) 弹力做功与弹性势能的关系
弹力做了多少正功，弹性势能就减小了多少；弹力做了多少负功，弹性势能就增加了多少．W弹＝－ΔEp＝Ep1－Ep2．
　　　关于弹簧的弹性势能，下列说法中正确的是 (　　)
A．弹簧在拉伸时的弹性势能一定大于压缩时的弹性势能
B．当弹簧变短时，其弹性势能一定变小
C．在拉伸长度相同时，劲度系数越大的弹簧，其弹性势能越大
D．当弹簧变长时，其弹性势能一定增大
4
解析：弹簧拉伸时的弹性势能与压缩时的弹性势能的大小关系应通过弹簧的伸长量与压缩量比较，A错误；当弹簧变长或变短时，其弹性势能不一定增大或减小，当形变量减小时弹性势能减小，形变量增大时弹性势能增大，B、D错误； 由Ep＝kx2，在拉伸长度相同时，k越大的弹簧，其弹性势能越大，C正确．
C
　　　一根弹簧的弹力—伸长量图线如图所示，弹簧伸长量由4 cm增大到8 cm的过程中，弹力做的功和弹性势能的变化量为 (　　)
A．3.6 J、－3.6 J
B．－3.6 J、3.6 J
C．1.8 J、－1.8 J
D．－1.8 J、1.8 J
5
解析：根据F-x图线与x轴所围区域的面积对应弹力做功的大小，弹簧伸长量由4 cm增大到8 cm的过程中，弹力做的功W＝－×(30＋60)×0.04 J＝－1.8 J，弹性势能增加了1.8 J，D正确．
D
随堂内化 即时巩固
1．如图所示，一轻质弹簧上端固定，下端连接有一质量为m的物块，先用手托着物块使弹簧处于原长状态，后将手缓慢下移，直至物块脱离手掌．已知弹簧的劲度系数为k，重力加速度为g，下列说法中正确的是 (　　)
A．物块向下移动过程中，弹簧的弹力做正功
B．物块向下移动过程中，弹簧的弹性势能减小
C．物块从开始下移到刚脱离手掌，重力势能减小了
D．物块从开始下移到刚脱离手掌，手掌对物块不做功
C
解析：物块向下移动过程中，物块受到的弹力方向向上，则弹簧的弹力做负功，弹性势能增加，A、B错误；刚脱离手掌时，重力等于弹力，mg＝kΔx，则物块下移的距离为Δx＝，则减小的重力势能为ΔEp＝mgΔx＝，C正确；物块从开始下移到刚脱离手掌的过程中，手掌对物块有一个向上的支持力作用，所以物块从开始下移到刚脱离手掌，手掌对物块做负功，D错误．
2．毛毛虫外出觅食的示意图如图所示，缓慢经过一边长为L的等边三角形石块，已知其身长为3L，总质量为m，某时刻其头部刚到达最高点，假设毛毛虫一直贴着石块前行，则从其头部刚到最高点至头部刚到石块底端的过程中毛毛虫的重力势能变化量为 (　　)
A．mgL B．mgL
C．mgL D．mgL
B
解析：选石块底端为零势能面，初状态的重力势能为W1＝mg·sin 60°＝mgL，毛毛虫头部越过最高点刚到达石块底端时的重力势能为W2＝mg·sin 60°＝mgL，其重力势能的变化量为ΔW＝W2－W1＝mgL－mgL＝mgL，B正确．课时2　重力势能
1．如图所示，质量关系为m1>m2>m3的三个小球分别沿三条不同的轨道1、2、3由离地高h的A点滑到同一水平面上，轨道1、3是光滑的，轨道2是粗糙的，重力对小球做的功分别为W1、W2、W3．下列说法中正确的是(　　)
　　　　　 　　　　　 　　　　　
A．W1>W2＝W3 B．W1＝W3>W2
C．W1＝W2＝W3　 D．W1>W2>W3
2．关于重力势能，下列说法中正确的是(　　)
A．放在地面上的物体重力势能一定为零
B．一个物体的重力势能从－10 J变化到4 J，重力势能减少了
C．物体与参考平面的距离越大，其重力势能也越大
D．重力势能的变化量与零势能面的选取无关
3．如图所示，轻弹簧的一端固定在墙上，小孩对弹簧的另一端施加一个向右的作用力使弹簧伸长，则在弹簧伸长的过程中，弹簧的弹性势能(　　)
A．增加 B．减小
C．先增加，后减小 D．先减小，后增加
4．质量为20 kg的小孩沿高5 m滑梯由静止滑下，取g＝10 m/s2，在此过程中(　　)
A．重力做的功为100 J，重力势能减小了100 J
B．重力做的功为－100 J，重力势能增加了100 J
C．重力做的功为1 000 J，重力势能减小了1 000 J
D．重力做的功为－1 000 J，重力势能增加了1 000 J
5．(多选)如图所示，一个物体以速度v0冲向与竖直墙壁相连的轻质弹簧，墙壁和物体间的弹簧被物体压缩．在此过程中，下列说法中正确的是(　　)
A．物体对弹簧做的功与弹簧的压缩量成正比
B．物体向墙壁运动相同的位移，弹力做的功不相等
C．弹簧的弹力做正功，弹性势能增加
D．弹簧的弹力做负功，弹性势能增加
6．如图所示，在光滑水平面上有一物体，它的左端连一轻质弹簧，轻质弹簧的另一端固定在墙上，O点为弹簧的原长处．现使物体从O点开始运动(始终在弹簧的弹性限度内)，第一次从O点运动到A'点，弹力做功W1；第二次从O点运动到A点后再运动到A'点，弹力做功W2，则这两次弹力做功的关系为(　　)
A．W2＝2W1　 B．W1＝2W2
C．W1＝W2　 D．无法判断
7．如图所示，静止的小球沿三条不同的轨道由同一位置运动到水平桌面上，P点到桌面的高度为h，桌面距地面高为H，小球质量为m．下列说法中正确的是(　　)
A．小球沿竖直轨道运动到桌面上的过程，重力做的功最少
B．小球沿不同的轨道由同一位置运动到水平桌面，重力做的功一样多
C．小球的重力势能的减小量为mg(H＋h)
D．以桌面为参考平面，在出发点P小球的重力势能为mgH
8．一轻质弹簧的弹力与弹簧形变量之间的关系如图甲所示．将该弹簧下端固定在水平地面上，一质量为1.8 kg的物体在外力作用下缓慢放在弹簧的上端，待物体稳定后撤去外力，物体静止在弹簧上端，弹簧处在弹性限度内，如图乙所示，取g＝10 m/s2，则下列说法中正确的是(　　)
A．物体静止时，弹簧的压缩量为30 cm
B．弹簧的长度越长，弹簧的弹性势能越大
C．此过程中弹簧弹力对物体做的功为0.54 J
D．物体静止时，弹簧的弹性势能为0.27 J
9．如图所示，一质量为m、长度为l的均匀柔软细绳PQ竖直悬挂．用外力将绳的下端Q缓慢地竖直向上拉起至M点，M点与绳的上端P相距l．重力加速度大小为g．在此过程中，绳的重力势能增加(　　)
A．mgl　 B．mgl
C．mgl　 D．mgl
10．如图所示，质量相等的两木块中间连有一竖直轻弹簧，木块A静止在弹簧上面，设弹簧的弹性势能为Ep1．用力缓慢向上提A，直到B恰好离开地面；设B刚要离开地面时弹簧的弹性势能为Ep2，则关于Ep1、Ep2的大小关系及弹性势能的变化ΔEp，下列说法中正确的是(　　)
A．Ep1＝Ep2 B．Ep1>Ep2
C．ΔEp>0 D．ΔEp<0
11．如图所示，把质量为m的物体放在竖直放置的弹簧上，并把物体往下按至位置A保持平衡．迅速松手后，弹簧把物体弹起，物体升至最高位置C，途中经过位置B时弹簧正好处于自由状态．已知A、B的高度差h1，B、C的高度差h2，弹簧质量和空气阻力均可忽略，重力加速度为g，取B处所在水平面为零势面．求：
(1) 物体在C处具有的重力势能．
(2) 物体在位置A处时弹簧的弹性势能．
(3) 物体上升过程中获得最大速度时，弹簧的形变量．(设弹簧劲度系数为k)
课时2　重力势能
1．D　解析：重力做功W＝mgh，h相等，因为m1>m2>m3，所以W1>W2>W3，D正确．
2．D
3．A　解析：小孩对弹簧的另一端施加一个向右的作用力使弹簧伸长的过程中，形变量增大，弹性势能增大，A正确．
4．C　解析：质量为20 kg的小孩沿高5 m滑梯由静止滑下，重力做的功为WG＝mgh＝1 000 J，根据功能关系，重力做正功，重力势能减小，重力做了1 000 J的正功，则重力势能减小了1 000 J，C正确，A、B、D错误．
5．BD
6．C　解析：弹簧弹力做功等于弹性势能的变化，由于两次都是从O点出发，最终到达A'点，则两次弹簧的形变量相同，弹性势能变化相同，即两次弹力做功相同，即W1＝W2，C正确．
7．B　解析：小球沿不同轨道由同一位置滑到水平桌面，下降的竖直高度相同，重力做的功一样多，A错误，B正确；重力势能的变化量与零势能面的选取无关，重力做正功，重力势能减小，重力做负功，重力势能增大，所以小球重力势能的减小量为mgh，C错误；以桌面为参考平面，在出发点P小球的重力势能为mgh，D错误．
8．D　解析：由题图甲知，弹簧的劲度系数k＝ ＝600 N/m，弹簧的压缩量满足mg＝kx，解得x＝3 cm，A错误；弹簧的形变量越大，弹性势能越大，B错误；缓慢压缩过程弹簧弹力对物体做功为W＝－×18×0.03 J＝－0.27 J，则弹簧弹性势能为0.27 J，C错误，D正确．
9．A　解析：由题意可知，PM段细绳的重力势能不变，MQ段细绳的重心升高了，则重力势能增加ΔEp＝mg·＝mgl，A正确．
10．A　解析：弹簧弹性势能的大小只与形变量有关，设开始时弹簧的形变量为x1，有kx1＝mg，设B刚要离开地面时弹簧的形变量为x2，有kx2＝mg，可知x1＝x2，所以Ep1＝Ep2，ΔEp＝0，A正确．
11．(1) mgh2　(2) mg(h1＋h2)　(3)
解析：(1) 取B处所在水平面为零势面，则物体在C处具有的重力势能＝mgh2
(2) 根据能量关系可知＝W弹
根据动能定理有W弹－mg(h1＋h2)＝0－0
解得＝mg(h1＋h2)
(3) 物体速度最大时重力等于弹力，即F＝k·Δx＝mg
解得Δx＝课时2　重力势能
核心 目标 1．知道重力做功与路径无关的特点，知道重力势能的表达式．通过重力做功与重力势能变化的关系体会功能关系．
2．知道重力势能的相对性、重力势能的变化量与参考平面的选取无关．了解弹性势能的决定因素．
考向1　重力做功与重力势能变化的关系
1．重力做功与重力势能之间的关系
重力做功的过程是重力势能改变的过程，重力做正功，重力势能减少，重力做负功，重力势能增加，重力做了多少功，重力势能就改变多少．WG＝　Ep1－Ep2　＝－ΔEp．
(1) 重力势能变化多少是由重力做功的多少决定的，与物体除重力外是否还受其他力作用以及除重力做功外是否还有其他力做功等因素无关．无论物体做何种运动，关系式WG＝－ΔEp总是成立的．
(2) 利用关系式WG＝－ΔEp，可由重力做功的正负及大小得出重力势能的增减及大小，反之也可以由重力势能的增减及大小得出重力做功的正负及大小．
物体由高到低重力势能减少
物体由低到高重力势能增加
2．重力势能的求解
(1) 根据重力势能的定义求解
选取参考平面，分析物体相对参考平面的高度h，代入Ep＝　mgh　求解重力势能．
(2) 根据重力做功与重力势能变化的关系求解
由WG＝Ep1－Ep2知Ep2＝Ep1－WG或Ep1＝WG＋Ep2．
(3) 根据重力势能的变化量求解
重力势能的变化量ΔEp＝Ep2－Ep1，故Ep2＝Ep1＋ΔEp或Ep1＝Ep2－ΔEp．
　某桥梁模型如图所示，已知桥的拱高为h，A、B两点在同一水平面上．关于游客由A点运动到B点的过程，下列说法中正确的是(　C　)
A．游客的重力势能先增大，后减小，重力先做正功，后做负功
B．游客的重力势能先减小，后增大，重力先做负功，后做正功
C．游客的重力势能先增大，后减小，重力先做负功，后做正功
D．游客在整个运动过程中重力做的总功不为零
解析：游客由A点运动到B点的过程中，距离水平面的高度先增大，后减小，则根据Ep＝mgh可知，重力势能先增大，后减小，重力先做负功，后做正功，因A、B在同一高度，则整个运动过程中重力做的总功为零．C正确．
　质量为m＝1 kg的小球，从离桌面H＝1.5 m高处由静止下落，桌面离地面高度为h＝0.5 m，如图所示，若以桌面为参考平面，取g＝10 m/s2，小球落地时的重力势能及整个下落过程中重力势能的变化分别是(　B　)
A．5 J、减少15 J B．－5 J、减少20 J
C．5 J、增加10 J D．－5 J、增加20 J
解析：若以桌面为参考平面，小球落地时的重力势能为Ep＝－mgh＝－1×10×0.5 J＝－5 J，整个下落过程中ΔEp＝mg(H＋h)＝1×10×(1.5＋0.5) J＝20 J，重力势能减少20 J，B正确．
　截面积为S的U形管中，盛有一种密度为ρ的液体，由于底部中间的阀门关闭着，使一边管中的液面高度为h1，另一边管中的液面高度为h2，如图所示，把阀门打开，使左右两边相通，当两边液面达到相同高度时，重力做的功为(　A　)
A．ρgS(h1－h2)2
B．ρgS(h1－h2)2
C．ρgS(h1－h2)2
D．ρgS(h1－h2)2
解析：把阀门打开，当两边液面高度相等，设液体的高度为h，所以有h＝，因此从左边移到右边的液体体积为V＝S，所以这个过程液体的重力势能变化量等于左边上部分的液体移到右边的重力势能的变化量，重力做的功为WG＝ρgS(h1－h2)2，A正确．
考向2　对弹性势能的理解
1．对弹性势能的理解
(1) 弹性势能的产生原因
①物体发生了弹性形变
②各部分间的弹力作用
(2) 弹簧弹性势能的影响因素
①弹簧的形变量l
②弹簧的劲度系数k
(3) 系统性
弹性势能是发生弹性形变的物体上所有质点因相对位置改变而具有的能量，因此弹性势能具有系统性．
(4) 相对性
弹性势能的大小与零势能位置有关，对于弹簧，常选取弹簧处于原长时的势能为零势能．
2．弹性势能表达式的推导
根据胡克定律F＝kx，作出弹力F与弹簧形变量x关系的F-x图线，根据W＝Fx知图线与横轴所围的面积对应F所做的功，W＝kx2，所以Ep＝kx2．
3．弹力做功与弹性势能变化的关系
如图所示，O为弹簧的原长处．
(1) 弹力做负功时，物体由O向A运动(压缩)或者由O向A'运动(伸长)，弹性势能增大，其他形式的能转化为弹性势能．
(2) 弹力做正功时，物体由A向O运动或者由A'向O运动，弹性势能减小，弹性势能转化为其他形式的能．
(3) 弹力做功与弹性势能的关系
弹力做了多少正功，弹性势能就减小了多少；弹力做了多少负功，弹性势能就增加了多少．W弹＝－ΔEp＝Ep1－Ep2．
　关于弹簧的弹性势能，下列说法中正确的是(　C　)
A．弹簧在拉伸时的弹性势能一定大于压缩时的弹性势能
B．当弹簧变短时，其弹性势能一定变小
C．在拉伸长度相同时，劲度系数越大的弹簧，其弹性势能越大
D．当弹簧变长时，其弹性势能一定增大
解析：弹簧拉伸时的弹性势能与压缩时的弹性势能的大小关系应通过弹簧的伸长量与压缩量比较，A错误；当弹簧变长或变短时，其弹性势能不一定增大或减小，当形变量减小时弹性势能减小，形变量增大时弹性势能增大，B、D错误； 由Ep＝kx2，在拉伸长度相同时，k越大的弹簧，其弹性势能越大，C正确．
　一根弹簧的弹力—伸长量图线如图所示，弹簧伸长量由4 cm增大到8 cm的过程中，弹力做的功和弹性势能的变化量为(　D　)
A．3.6 J、－3.6 J B．－3.6 J、3.6 J
C．1.8 J、－1.8 J D．－1.8 J、1.8 J
解析：根据F-x图线与x轴所围区域的面积对应弹力做功的大小，弹簧伸长量由4 cm增大到8 cm的过程中，弹力做的功W＝－×(30＋60)×0.04 J＝－1.8 J，弹性势能增加了1.8 J，D正确．
1．如图所示，一轻质弹簧上端固定，下端连接有一质量为m的物块，先用手托着物块使弹簧处于原长状态，后将手缓慢下移，直至物块脱离手掌．已知弹簧的劲度系数为k，重力加速度为g，下列说法中正确的是(　C　)
A．物块向下移动过程中，弹簧的弹力做正功
B．物块向下移动过程中，弹簧的弹性势能减小
C．物块从开始下移到刚脱离手掌，重力势能减小了
D．物块从开始下移到刚脱离手掌，手掌对物块不做功
解析：物块向下移动过程中，物块受到的弹力方向向上，则弹簧的弹力做负功，弹性势能增加，A、B错误；刚脱离手掌时，重力等于弹力，mg＝kΔx，则物块下移的距离为Δx＝，则减小的重力势能为ΔEp＝mgΔx＝，C正确；物块从开始下移到刚脱离手掌的过程中，手掌对物块有一个向上的支持力作用，所以物块从开始下移到刚脱离手掌，手掌对物块做负功，D错误．
2．毛毛虫外出觅食的示意图如图所示，缓慢经过一边长为L的等边三角形石块，已知其身长为3L，总质量为m，某时刻其头部刚到达最高点，假设毛毛虫一直贴着石块前行，则从其头部刚到最高点至头部刚到石块底端的过程中毛毛虫的重力势能变化量为(　B　)
A．mgL B．mgL
C．mgL D．mgL
解析：选石块底端为零势能面，初状态的重力势能为W1＝mg·sin 60°＝mgL，毛毛虫头部越过最高点刚到达石块底端时的重力势能为W2＝mg·sin 60°＝mgL，其重力势能的变化量为ΔW＝W2－W1＝mgL－mgL＝mgL，B正确．

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