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第八章
课时3　动能和动能定理
机械能守恒定律
核心 目标 1．了解动能的表达式，会从功的表达式、牛顿第二定律与运动学公式推导出动能定理．
2．理解动能定理，会用动能定理解决实际问题．
目标导学 各个击破
对动能和动能定理的理解
考向
1
1．W＝ΔEk中的W为外力对物体做的________．
总功
2．动能定理描述了做功和动能变化的两种关系．
①等值关系
物体动能的变化量等于合力对其做的功．
②因果关系
合力对物体做功是引起物体动能变化的原因，做功的过程是其他形式的能与动能相互转化的过程，转化了多少由合力做的功决定．
　　　(多选)关于质量一定的物体的速度和动能，下列说法中正确的是 (　　　)
A．物体的速度发生变化时，其动能一定发生变化
B．物体的速度保持不变时，其动能一定保持不变
C．物体的动能发生变化时，其速度一定发生变化
D．物体的动能保持不变时，其速度可能发生变化
1
BCD
解析：速度是矢量，速度发生变化时，既可能是只有速度的大小发生变化，也可能是只有速度的方向发生变化，还有可能是速度的大小和方向同时发生变化，而动能是标量，只有速度的大小发生变化时，动能才会发生变化，B、C、D正确，A错误．
　　　(多选)运动员在体能训练时若拖轮胎在操场上以恒定速度跑了80 m，下列关于功和能的说法中，正确的是 (　　)
A．支持力对轮胎做正功
B．摩擦力对轮胎做负功
C．合力对轮胎做正功
D．拉力做功等于轮胎克服摩擦力做功
2
BD
解析：支持力的方向与位移的方向相互垂直，所以不做功，故A错误；摩擦力与运动方向相反，所以对轮胎做了负功，故B正确；由于轮胎速率不变，根据动能定理可知，合力做功为0，故C错误；对于轮胎来说有两个力做功，一个拉力，一个摩擦力，且速率不变，根据动能定理可知拉力做功等于轮胎克服摩擦力做功，故D正确．
动能定理的简单应用
考向
2
应用动能定理解题的一般步骤：
　　　光滑水平面上有一物体，在水平恒力F作用下由静止开始运动，经过时间t1速度达到v，再经过时间t2，速度由v增大到2v，在t1和t2两段时间内，外力F对物体做功之比为 (　　)
A．1∶2　 B．1∶3
C．3∶1　 D．1∶4
3
解析：根据动能定理得，第一段过程W1＝mv2，第二段过程W2＝m(2v)2－mv2＝mv2，解得W1∶W2＝1∶3，B正确．
B
　　　子弹的速度为v，打穿一块固定的木块后速度刚好变为零．若木块对子弹的阻力不变，那么当子弹射入木块的深度为其厚度的一半时，子弹的速度是 (　　)
A． B．v
C． D．
4
解析： 设子弹质量为m，木块的厚度为d，木块对子弹的阻力为f，根据动能定理，对子弹刚好打穿木块的过程，－fd＝0－mv2，设子弹射入木块厚度一半时的速度为v1，则－f·－mv2，得v1＝v，B正确．
B
　　　如图所示，斜面末端B点与水平面平滑相接，现将一质量m＝2 kg、可视为质点的物块在距水平地面高h＝0.5 m处的A点以一定初速度释放(速度方向沿斜面向下)，物块运动到水平面上距B点s＝1.6 m处的C点停下，已知斜面光滑，物块与水平面之间的动摩擦因数μ＝0.5，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，其他阻力忽略不计．(取g＝10 m/s2)
(1) 求物块到达B点时的速度大小．
答案：(1) 4 m/s　
5
解析：(1) 物块从B点到C点由动能定理可得
－μmgs＝0－
解得vB＝4 m/s
(2) 求物块在A点的动能．
答案：(2) 6 J　
解析：(2) 物块从A点到B点由动能定理可得
mgh＝－
解得＝6 J
(3) 若赋予物块向左的水平初速度，使其从C点恰好到达A点，求水平初速度大小(结果可带根号)．
答案：(3) m/s
解析：(3) 设初速度大小为v，从C点到A点由动能定理可得
－μmgs－mgh＝－mv2
解得v＝ m/s
动能定理的优先性
牛顿运动定律 动能定理
适用条件 只能研究物体在恒力作用下做直线运动的情况 对于物体在恒力或变力作用下做直线运动或曲线运动的情况均适用
应用方法 要考虑运动过程的每一个细节 只考虑各力的做功情况及初、末状态的动能
运算方法 矢量运算 代数运算
相同点 确定研究对象，对物体进行受力分析和运动过程分析 结论 应用动能定理解题不涉及加速度、时间，不涉及矢量运算，运算简单，不易出错 随堂内化 即时巩固
1．质量为10 g、以0.80 km/s的速度飞行的子弹与质量为62 kg、以10 m/s的速度奔跑的运动员相比 (　　)
A．运动员的动能较大 B．子弹的动能较大
C．二者的动能一样大 D．无法比较它们的动能
解析：子弹的动能Ek1＝m1×0.01×8002 J＝3 200 J，运动员的动能Ek2＝m2×62×102 J＝3 100 J，所以子弹的动能较大，B正确．
B
2．(多选)质量为m的物体从沙地面上方H高处无初速释放，落在地面后出现一个深度为h的坑，关于此过程，下列说法中正确的是 (　　　)
A．重力对物体做功为mg(H＋h)
B．物体的重力势能减少了mg(H＋h)
C．此过程物体匀速运动
D．地面对物体的平均阻力为
解析：全过程高度降低了H＋h，重力做功为W＝Fs＝mg(H＋h)，A正确；Ep＝－WG，重力做的功是正功，为mg(H＋h)，重力势能减小mg(H＋h)，B正确；物体全过程先做自由落体运动，后做匀减速直线运动，C错误；根据动能定理可得mg(H＋h)－fh＝0－0，可得f＝，D正确．
ABD
3．如图所示，将完全相同的小球1、2、3分别从同一高度由静止释放(图甲和图丙)或平抛(图乙)，其中图丙是一固定在地面上的光滑斜面，每个小球从开始运动到落地过程，不计空气阻力．下列说法中正确的是 (　　)
A．小球3落地瞬间的重力的功率最小
B．3个小球落地瞬间的速度大小相等
C．该过程中，小球3的重力做功最多
D．该过程中，3个小球的重力做功的平均功率相等
A
解析：落地瞬间重力的功率为P＝mgvy，则对甲有P1＝mgv1y＝mg，对乙有P2＝mgv2y＝mg，对丙有P3＝mgv3y＝mgsin θ，所以落地瞬间重力的功率P1＝P2＞P3，A正确；根据动能定理对甲有mgh＝，得v1＝，对乙有mgh＝－，得v2＝，对丙有mgh＝，得v3＝，则落地瞬间速度v1＝v3＜v2，B错误；重力做功的特点与路径无关，只与初末位置的高度差决定，所以该过程重力做功W1＝W2＝W3，C错误；全程重力做功的平均功率为P＝，由于三个小球下落的时间有t1＝t2＜t3，所以全程重力做功的平均功率P1＝P2＞P3，D错误．课时3　动能和动能定理
1．关于动能定理，下列说法中正确的是(　　)
A．某过程中外力的总功等于各力做的功的绝对值之和
B．合外力对物体做功，物体的动能一定改变
C．在物体动能不改变的过程中，动能定理不成立
D．动能定理只在受不变的力作用而加速运动的过程中成立
2．(多选)有甲、乙两个质量相同的物体，用大小相等的力F分别拉它们在水平面上从静止开始运动相同的距离s．如图所示，甲在光滑面上，乙在粗糙面上，则下列关于力F对甲、乙两物体做的功和甲、乙两物体获得的动能的说法中，正确的是(　　)
A．力F对甲物体做功多
B．力F对甲、乙两个物体做的功一样多
C．甲物体获得的动能比乙大
D．甲、乙两个物体获得的动能相同
3．如图所示，电梯质量为M，在它的水平地板上放置一质量为m的物体．电梯在钢索的拉力作用下竖直向上加速运动，当电梯的速度由v1增加到v2时，上升高度为H，重力加速度为g，物体始终与电梯保持相对静止，则在这个过程中，下列说法中正确的是(　　)
A．对物体，动能定理的表达式为WN＝，其中WN为支持力做的功
B．对物体，动能定理的表达式为W合＝0，其中W合为合力做的功
C．对物体，动能定理的表达式为WN－mgH＝－
D．对电梯，其所受合力做功为－ －mgH
4．如图所示，若用轻绳拴一物体，使物体以大小不变的加速度向下做减速运动，则下列说法中正确的是(　　)
A．重力做正功，拉力做负功，合外力做负功
B．重力做负功，拉力做正功，合外力做负功
C．重力做正功，拉力做正功，合外力做正功
D．重力做负功，拉力做负功，合外力做负功
5．(多选)在平直公路上，汽车由静止开始做匀加速直线运动，当速度达到vmax后，立即关闭发动机直至静止，v t图像如图所示，设汽车的牵引力为F，受到的摩擦力为f，全程中牵引力做功为W1，克服摩擦力做功为W2，则(　　)
A．F∶f＝1∶3 B．W1∶W2＝1∶1
C．F∶f＝4∶1 D．W1∶W2＝1∶3
6．如图所示，一半径为R的半圆形轨道竖直固定放置，轨道两端等高．质量为m的质点自轨道端点P由静止开始滑下，滑到最低点Q时，对轨道的正压力为2mg，重力加速度大小为g，质点自P滑到Q的过程中，克服摩擦力所做的功为(　　)
A．mgR B．mgR
C．mgR D．mgR
7．如图所示，质量相同的物体分别自斜面AC和BC的顶端由静止开始下滑，物体与斜面间的动摩擦因数相同，物体滑至斜面底部C点时的动能分别为E1和E2，下滑过程中克服摩擦力所做功分别为W1和W2，则(　　)
A．E1>E2，W1B．E1＝E2，W1＝W2
C．E1W2
D．E1>E2，W1＝W2
8．如图所示，某一斜面的顶端到正下方水平面O点的高度为h，斜面与水平面平滑连接．一小木块从斜面的顶端由静止开始滑下，滑到水平面上的A点停止．已知斜面倾角为θ，小木块质量为m，小木块与斜面、水平面间的动摩擦因数均为μ，A、O两点的距离为x．在小木块从斜面顶端滑到A点的过程中，下列说法中正确的是(　　)
A．如果h和μ一定，θ越大，x越大
B．如果h和μ一定，θ越大，x越小
C．摩擦力对木块做功为 －μmgxcos θ
D．重力对木块做功为μmgx
9．如图所示，轨道由水平轨道AB和足够长斜面轨道BC平滑连接而成，斜面轨道BC与水平面间的夹角为θ＝37°．质量为m＝1 kg的物块静止在距离B点x0＝8 m的水平轨道A点上，物块与水平面和斜面间的动摩擦因数均为μ＝0.50．现在物块上作用一个大小F＝6 N、方向水平向右的拉力，物块到达B点时撤去该拉力．sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，取g＝10 m/s2．求：
(1) 物块到达B点时的速度大小vB．
(2) 物块因惯性沿斜面上滑的最大距离xm．
10．图甲为游乐场中的水滑梯，其简化示意图如图乙所示，可视为由倾斜的光滑轨道AB和水平阻力轨道BC平滑连接组成．倾斜轨道的起点A到水平地面的竖直高度h＝5 m，人在水平轨道上受到的平均阻力大小是重力的，取g＝10 m/s2．
(1) 人从起点A滑下，刚滑到水平轨道B时的速度多大？
(2) 出于安全考虑，要求人不能碰撞水平轨道的末端C，则水平轨道至少要多长？
(3) 儿童乘坐水滑梯时，需在倾斜轨道上设置阻力障碍，在同样起点A滑下，质量为40 kg的儿童在水平轨道上滑了5 m就可以停下，则在倾斜轨道上阻力做了多少功？
　　　甲　　　　　　　　　　乙
课时3　动能和动能定理
1．B　解析：W＝ΔEk中W为合外力做的功，也是各力做功的代数和，A错误，B正确；动能不变，动能定理仍成立，C错误；动能定理在变力做功的过程中也成立，D错误．
2．BC　解析：由W＝Flcos α＝Fs可知两种情况下力F对甲、乙两个物体做的功一样多，A错误，B正确；根据动能定理，对甲有Fs＝Ek1，对乙有Fs－Ffs＝Ek2，可知Ek1>Ek2，甲物体获得的动能比乙大，C正确，D错误．
3．C　解析：物体受重力和支持力作用，根据动能定理得WN－mgH＝－，C正确，A、B错误；对电梯，所受合力做功等于电梯动能的变化量，D错误．
4．A　解析：根据W＝Fscos θ可得，重力方向与位移方向夹角为0，故重力做正功，拉力方向向上，与位移方向夹角为180°，故拉力做负功，物体做减速运动，动能减小，根据W合＝－可知合外力做负功，A正确．
5．BC　解析：对汽车运动的全过程，由动能定理得W1－W2＝ΔEk＝0，所以W1＝W2，B正确，D错误；由图像知s1∶s2＝1∶4，由动能定理得Fs1－fs2＝0，所以F∶f＝4∶1，A错误，C正确．
6．C　解析：由动能定理可知mgR－W克＝mv2，对Q点分析2mg－mg＝m，解得W克＝mgR，C正确．
7．D　解析：设斜面的倾角为θ，滑动摩擦力大小为f＝μmgcos θ，则物体克服摩擦力所做的功为Wf＝μmgscos θ，而scos θ相同，所以克服摩擦力做功相等，根据动能定理得mgh－μmgscos θ＝Ek－0，在AC斜面上滑动时重力做功多，克服摩擦力做功相等，则在AC面上滑到底端的动能大于在BC面上滑到底端的动能，即E1>E2，A、B、C错误，D正确．
8．D　解析：对小木块运动的整个过程，根据动能定理有0－0＝mgh－μmgcos θ·－μmg，解得h＝μx，所以x与θ无关，A、B错误；根据前面分析可知重力对木块做功为WG＝mgh＝μmgx，摩擦力对木块做功为Wf＝－WG＝－μmgx，C错误，D正确．
9．(1) 4 m/s　(2) 0.8 m
解析：(1) 根据动能定理有Fx0－μmgx0＝
解得vB＝4 m/s
(2) 根据动能定理有
－mgxmsin 37°－μmgxmcos 37°＝0－
解得xm＝0.8 m
10．(1) 10 m/s　(2) 25 m　(3) －1 600 J
解析：(1) 从A运动到B的过程中，由动能定理有
WG＝mgh＝mv2－
可得v＝10 m/s
(2) 假设人滑到C端刚好停下，根据动能定理有
WG＋Wf＝mv2－
由于初、末速度都是0，则可知WG＋Wf＝mgh－fx＝0
由于f＝mg
联立可知x＝25 m
(3) 设在倾斜轨道上阻力做功为Wf0，根据动能定理有
WG＋W'f＋Wf0＝mv2－
由于初、末速度为0，x1＝5 m，公式可化简为
mgh－fx1＋Wf0＝0
代入数据可知Wf0＝－1 600 J课时3　动能和动能定理
核心 目标 1．了解动能的表达式，会从功的表达式、牛顿第二定律与运动学公式推导出动能定理．
2．理解动能定理，会用动能定理解决实际问题．
考向1　对动能和动能定理的理解
1．W＝ΔEk中的W为外力对物体做的　总功　．
2．动能定理描述了做功和动能变化的两种关系．
①等值关系
物体动能的变化量等于合力对其做的功．
②因果关系
合力对物体做功是引起物体动能变化的原因，做功的过程是其他形式的能与动能相互转化的过程，转化了多少由合力做的功决定．
　(多选)关于质量一定的物体的速度和动能，下列说法中正确的是(　BCD　)
A．物体的速度发生变化时，其动能一定发生变化
B．物体的速度保持不变时，其动能一定保持不变
C．物体的动能发生变化时，其速度一定发生变化
D．物体的动能保持不变时，其速度可能发生变化
解析：速度是矢量，速度发生变化时，既可能是只有速度的大小发生变化，也可能是只有速度的方向发生变化，还有可能是速度的大小和方向同时发生变化，而动能是标量，只有速度的大小发生变化时，动能才会发生变化，B、C、D正确，A错误．
　(多选)运动员在体能训练时若拖轮胎在操场上以恒定速度跑了80 m，下列关于功和能的说法中，正确的是(　BD　)
A．支持力对轮胎做正功
B．摩擦力对轮胎做负功
C．合力对轮胎做正功
D．拉力做功等于轮胎克服摩擦力做功
解析：支持力的方向与位移的方向相互垂直，所以不做功，故A错误；摩擦力与运动方向相反，所以对轮胎做了负功，故B正确；由于轮胎速率不变，根据动能定理可知，合力做功为0，故C错误；对于轮胎来说有两个力做功，一个拉力，一个摩擦力，且速率不变，根据动能定理可知拉力做功等于轮胎克服摩擦力做功，故D正确．
考向2　动能定理的简单应用
应用动能定理解题的一般步骤：
　光滑水平面上有一物体，在水平恒力F作用下由静止开始运动，经过时间t1速度达到v，再经过时间t2，速度由v增大到2v，在t1和t2两段时间内，外力F对物体做功之比为(　B　)
A．1∶2　 B．1∶3
C．3∶1　 D．1∶4
解析：根据动能定理得，第一段过程W1＝mv2，第二段过程W2＝m(2v)2－mv2＝mv2，解得W1∶W2＝1∶3，B正确．
　子弹的速度为v，打穿一块固定的木块后速度刚好变为零．若木块对子弹的阻力不变，那么当子弹射入木块的深度为其厚度的一半时，子弹的速度是(　B　)
A． B．v
C． D．
解析： 设子弹质量为m，木块的厚度为d，木块对子弹的阻力为f，根据动能定理，对子弹刚好打穿木块的过程，－fd＝0－mv2，设子弹射入木块厚度一半时的速度为v1，则－f·－mv2，得v1＝v，B正确．
　如图所示，斜面末端B点与水平面平滑相接，现将一质量m＝2 kg、可视为质点的物块在距水平地面高h＝0.5 m处的A点以一定初速度释放(速度方向沿斜面向下)，物块运动到水平面上距B点s＝1.6 m处的C点停下，已知斜面光滑，物块与水平面之间的动摩擦因数μ＝0.5，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，其他阻力忽略不计．(取g＝10 m/s2)
(1) 求物块到达B点时的速度大小．
(2) 求物块在A点的动能．
(3) 若赋予物块向左的水平初速度，使其从C点恰好到达A点，求水平初速度大小(结果可带根号)．
答案：(1) 4 m/s　(2) 6 J　(3) m/s
解析：(1) 物块从B点到C点由动能定理可得
－μmgs＝0－
解得vB＝4 m/s
(2) 物块从A点到B点由动能定理可得
mgh＝－
解得＝6 J
(3) 设初速度大小为v，从C点到A点由动能定理可得
－μmgs－mgh＝－mv2
解得v＝ m/s
动能定理的优先性
牛顿运动定律 动能定理
适用条件 只能研究物体在恒力作用下做直线运动的情况 对于物体在恒力或变力作用下做直线运动或曲线运动的情况均适用
应用方法 要考虑运动过程的每一个细节 只考虑各力的做功情况及初、末状态的动能
运算方法 矢量运算 代数运算
相同点 确定研究对象，对物体进行受力分析和运动过程分析
结论 应用动能定理解题不涉及加速度、时间，不涉及矢量运算，运算简单，不易出错
1．质量为10 g、以0.80 km/s的速度飞行的子弹与质量为62 kg、以10 m/s的速度奔跑的运动员相比(　B　)
A．运动员的动能较大
B．子弹的动能较大
C．二者的动能一样大
D．无法比较它们的动能
解析：子弹的动能Ek1＝m1×0.01×8002 J＝3 200 J，运动员的动能Ek2＝m2×62×102 J＝3 100 J，所以子弹的动能较大，B正确．
2．(多选)质量为m的物体从沙地面上方H高处无初速释放，落在地面后出现一个深度为h的坑，关于此过程，下列说法中正确的是(　ABD　)
A．重力对物体做功为mg(H＋h)
B．物体的重力势能减少了mg(H＋h)
C．此过程物体匀速运动
D．地面对物体的平均阻力为
解析：全过程高度降低了H＋h，重力做功为W＝Fs＝mg(H＋h)，A正确；Ep＝－WG，重力做的功是正功，为mg(H＋h)，重力势能减小mg(H＋h)，B正确；物体全过程先做自由落体运动，后做匀减速直线运动，C错误；根据动能定理可得mg(H＋h)－fh＝0－0，可得f＝，D正确．
3．如图所示，将完全相同的小球1、2、3分别从同一高度由静止释放(图甲和图丙)或平抛(图乙)，其中图丙是一固定在地面上的光滑斜面，每个小球从开始运动到落地过程，不计空气阻力．下列说法中正确的是(　A　)
A．小球3落地瞬间的重力的功率最小
B．3个小球落地瞬间的速度大小相等
C．该过程中，小球3的重力做功最多
D．该过程中，3个小球的重力做功的平均功率相等
解析：落地瞬间重力的功率为P＝mgvy，则对甲有P1＝mgv1y＝mg，对乙有P2＝mgv2y＝mg，对丙有P3＝mgv3y＝mgsin θ，所以落地瞬间重力的功率P1＝P2＞P3，A正确；根据动能定理对甲有mgh＝，得v1＝，对乙有mgh＝－，得v2＝，对丙有mgh＝，得v3＝，则落地瞬间速度v1＝v3＜v2，B错误；重力做功的特点与路径无关，只与初末位置的高度差决定，所以该过程重力做功W1＝W2＝W3，C错误；全程重力做功的平均功率为P＝，由于三个小球下落的时间有t1＝t2＜t3，所以全程重力做功的平均功率P1＝P2＞P3，D错误．

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