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第八章
微专题5　功能关系与能量守恒定律
机械能守恒定律
核心 目标 1．理解功能关系及其表达形式，理解摩擦力做功与能量转化的关系．
2．理解能量守恒定律，会选用恰当的功能关系式解决较复杂的、多体、多过程问题．
深度拓展 分类悟法
功能关系的应用
应用
1
1．几种常见的功能关系及其表达式
力做功的情况 能变化的情况 结论
合力做功 动能变化 W＝Ek2－Ek1＝ΔEk
重力做功 重力势能变化 (1)重力做正功，重力势能减少
(2)重力做负功，重力势能增加
(3)WG＝－ΔEp＝Ep1－Ep2
弹簧弹力做功 弹性势能变化 (1)弹力做正功，弹性势能减少
(2)弹力做负功，弹性势能增加
(3)W弹＝－ΔEp＝Ep1－Ep2
力做功的情况 能变化的情况 结论
只有重力、弹簧弹力做功 机械能不变化 机械能守恒，ΔE＝0
除重力和弹簧弹力之外的其他力做功 机械能变化 (1)其他力做多少正功物体的机械能就增加多少
(2)其他力做多少负功物体的机械能就减少多少
(3)W其他＝ΔE
一对相互作用的滑动摩擦力做功 机械能减少，内能增加 (1)作用于系统的一对滑动摩擦力做负功，系统内能增加
(2)摩擦生热，Q＝Ff·x相对
2．功能关系的理解
(1) 只涉及动能的变化用动能定理分析．
(2) 只涉及重力势能的变化用重力做功与重力势能变化的关系分析．
(3) 只涉及机械能的变化用除重力和弹簧的弹力之外的其他力做功与机械能变化的关系分析．
　　　质量为m的物体在距地面h高处以 g的加速度由静止竖直下落到地面，下列说法中正确的是 (　　)
A．重力势能减少了mgh
B．物体的动能增加了mgh
C．物体的机械能减少了mgh
D．物体克服阻力做的功为mgh
1
C
解析：根据重力做功与重力势能变化量的关系，得WG＝－ΔEp，物体在距地面h高处以g的加速度由静止竖直下落到地面，则WG＝mgh，所以重力势能减小了mgh，A错误；根据牛顿第二定律得F合＝ma＝mg，根据动能定理得W合＝－ΔEk，W合＝mgh，物体的动能增加了mgh，B错误；物体除了受到重力作用还受到阻力f作用，根据牛顿第二定律得F合＝ma＝mg－f＝mg，解得f＝mg，故Wf＝－fh＝ －mgh，所以物体克服阻力做的功为 mgh，机械能减少了 mgh，C正确，D错误.
摩擦力做功与能量转化
应用
2
1．静摩擦力做功
(1) 静摩擦力可能做正功，也可能做负功，还可能不做功．
(2) 相互作用的一对静摩擦力做功的代数和等于零．
(3) 静摩擦力做功时，只有机械能的相互转移，不转化为内能．
2．滑动摩擦力做功的特点
(1) 滑动摩擦力可能做正功，也可能做负功，还可能不做功．
(2) 相互间存在滑动摩擦力的系统内，一对滑动摩擦力做功产生两种可能效果．
①机械能全部转化为内能．
②有一部分机械能在相互摩擦的物体间转移，另外一部分转化为内能．
(3) 摩擦生热的计算
Q＝Ffx相对，其中x相对为相互摩擦的两个物体间的相对路程．
从功的角度看，一对滑动摩擦力对系统做的总功等于系统内能的增加量；从能量的角度看，其他形式能量的减少量等于系统内能的增加量．
3．注意点
(1) 无论是计算滑动摩擦力做的功，还是计算静摩擦力做的功，都应代入物体相对于地面的位移．
(2) 公式Q＝Ffx相对中，若物体在接触面上做往复运动，则x相对为总的相对路程．
　　　如图所示，斜面的倾角为θ，质量为m的滑块与挡板P的距离为x0，滑块以初速度v0沿斜面上滑，滑块与斜面间的动摩擦因数为μ，滑块所受摩擦力小于重力沿斜面向下的分力．若滑块与挡板相碰无机械能损失，则滑块经过的总路程是 (　　)
A．＋x0tan θ) B．＋x0tan θ)
C．＋x0tan θ) D．)
2
A
解析：滑块最终停在斜面底部，设滑块经过的总路程为x，全程所产生的热量为Q＝＋mgx0sin θ，而全程产生的热量等于克服摩擦力所做的功，则Q＝μmgxcos θ，解得x＝＋x0tan θ)，A正确．
　　　如图所示，长为L的平板静置于光滑的水平面上．一小滑块以某一初速度冲上平板的左端，当平板向右运动s时，小滑块刚好滑到平板最右端．已知小滑块与平板之间的摩擦力大小为Ff，在此过程中 (　　)
A．摩擦力对滑块做的功为Ff(s＋L)
B．摩擦力对平板做的功为Ffs
C．摩擦力对系统做的总功为零
D．系统产生的热量Q＝Ff(s＋L)
3
B
解析：滑块相对平板运动到右端的过程中，所受的摩擦力方向水平向左，与位移方向相反，相对于地的位移大小为s＋L，所以摩擦力对滑块做的功为W1＝－Ff(L＋s)，A错误；平板向右运动，所受的摩擦力方向水平向右，摩擦力对平板做正功，平板的对地位移为s，摩擦力对平板做的功为W2＝Ffs，B正确；摩擦力对系统做的总功为W＝W1＋W2＝－FfL，C错误；由功能关系可知，系统产生的热量等于摩擦力对系统做的总功的绝对值，Q＝FfL，D错误．
能量守恒定律的理解和应用
应用
3
1．能量守恒定律是贯穿物理学的基本规律，是各种自然现象中普遍成立的一条规律．
2．表达式
(1) E初＝E末，初状态各种能量的总和等于末状态各种能量的总和．
(2) ΔE增＝ΔE减，增加的那些能量等于减少的那些能量．
3．运用步骤
(1) 分析研究对象及研究过程．
(2) 分析该过程中，哪些形式的能量在变化．
(3) 分析参与转化的能量中，哪些能量增加，哪些能量减少．
(4) 列出增加的能量和减少的能量之间的守恒式(或初、末状态能量相等的守恒式)．
　　　如图所示，轻质弹簧的左端固定，并处于自然状态．小物块的质量为m，从A点向左沿水平地面运动，压缩弹簧后被弹回，运动到A点恰好静止．物块向左运动的最大距离为s，与地面间的动摩擦因数为μ，重力加速度为g，弹簧未超出弹性限度．在上述过程中 (　　)
A．弹簧的最大弹力为μmg
B．物块克服摩擦力做的功为2μmgs
C．弹簧的最大弹性势能为2μmgs
D．物块在A点的初速度为
4
B
解析：物块向左运动压缩弹簧，弹簧最短时，物块具有向右的加速度，弹力大于摩擦力，即F＞μmg，A错误；物块克服摩擦力做的功W＝μmgs＋μmgs＝2μmgs，B正确；根据能量守恒，弹簧弹开物块的过程中，弹簧的弹性势能通过摩擦力做功转化为内能，故Epm＝μmgs，C错误；根据能量守恒，在整个过程中，物块的初动能通过摩擦力做功转化为内能，即mv2＝2μmgs，所以v＝2，D错误．
　　　如图所示，某同学研究平抛运动，在离粗糙水平直轨道CD高h1＝0.55 m处的A点有一质量m＝1 kg的刚性物块(可视为质点)，现将物块以某一初速度水平抛出后，恰好能从B点沿切线方向进入光滑圆弧形轨道BC．B点距水平直轨道CD的高度h2＝0.10 m，O点为圆弧形轨道BC的圆心，圆心角为θ＝60°，圆弧形轨道最低点C与长为L＝2.0 m的粗糙水平直轨道CD平滑连接．物块沿轨道BCD运动并与右边墙壁发生碰撞，且碰后速度等大反向，取g＝10 m/s2，不计空气阻力．求：
(1) 物块从A点刚抛出时的初速度大小．(结果可
以用根式表示)
答案：(1) m/s　
5
解析：(1) 到达B点时tan 60°＝
其中vy＝＝3 m/s
可得v0＝ m/s
(2) 物块运动至圆弧形轨道最低点C时，物块对轨
道的压力大小．
答案：(2) 65 N　
解析：(2) 从A到C由机械能守恒＝mgh1
在C点时FN－mg＝m
其中h2＝R(1－cos60°)
解得FN＝65 N
由牛顿第三定律可知，物块对轨道的压力F'N＝FN＝65 N
(3) 若物块与墙壁发生碰撞且最终停在轨道CD上，则物块与轨道CD间的动摩擦因数μ应满足的条件.
答案：(3) 0.35≥μ≥0.15
解析：(3) 从A点开始到最终停止，若恰能停在D点，则由能量关系mgh1＋＝μ1mgL
解得μ1＝0.35
若与挡板碰后恰能到达B点，则由能量关系
mgh1＋＝μ2mg·2L＋mgh2
解得μ2＝0.15
从B点返回到CD上时滑行的距离mgh2＝μ2mgx
解得x≈0.67 m＜L，即不能到达竖直墙壁
则动摩擦因数满足0.35≥μ≥0.15
随堂内化 即时巩固
1．(多选)如图所示，可看作质点的货物从Q点以8 m/s的水平速度向左滑上粗糙圆弧滑道QP，恰好能到P点．已知货物质量为20 kg，滑道高度h＝2 m，取g＝10 m/s2，不计空气阻力，关于货物从Q点运动到P点的过程，下列说法中正确的有 (　　)
A．重力做功为400 J
B．滑动摩擦力做功为－240 J
C．合力做功为160 J
D．机械能减少了240 J
BD
解析：重力做功为WG＝－mgh＝－400 J，A错误；滑道摩擦力做功为Wf＝mgh－＝－240 J，B正确；合力做功为W合＝0－＝－640 J，C错误；机械能减少了ΔE＝－mgh＝240 J，D正确．
2．(多选)某一快递转运站分拣货物所用的粗糙水平传送带如图所示，传送带由电动机带动始终以3 m/s的速率顺时针转动，质量为2 kg的物体在水平传送带左端由静止释放，物体与传送带间的动摩擦因数为0.1，物体经过一段时间运动后能与传送带相对静止，取g＝10 m/s2．关于物体从静止释放到相对传送带静止这一过程，下列说法中正确的是 (　　)
A．摩擦力对物体做的功为9 J
B．传送带克服摩擦力做的功为9 J
C．物体与传送带摩擦产生的热量为9 J
D．放上物体之后电动机多消耗的电能为9 J
AC
解析：物体在传送带上受到摩擦力作用，做匀加速直线运动，根据动能定理有Wf＝mv2，得Wf＝×2×32 J＝9 J，A正确；物体在传送带上加速运动的过程中，根据匀变速直线运动的规律有v＝at，a＝μg，x物＝at2，传送带匀速运动，传送带的位移x传＝vt，联立代入数据得x物＝4.5 m，x传＝9 m，传送带克服摩擦力做的功为W克f＝fx传＝0.1×2×10×9 J＝18 J，物体与传送带摩擦产生的热量为Q＝f(x传－x物)＝0.1×2×10×(9－4.5) J＝9 J，B错误，C正确；放上物体之后电动机多消耗的电能为E＝Q＋mv2＝18 J，D错误．微专题5　功能关系与能量守恒定律
1．(多选)一质量为1 kg的物体被人用手由静止开始向上提升1 m，这时物体的速度是2 m/s，取g＝10 m/s2，则在该过程中(　　)
A．物体克服重力做功10 J
B．手对物体做功10 J
C．合外力对物体做功2 J
D．物体的机械能增加2 J
2．蹦床是少年儿童喜欢的一种体育运动，如图所示，蹦床的中心由弹性网组成．若某少年从最高点落下至最低点的过程中，空气阻力大小恒定，则该少年(　　)
A．机械能守恒
B．刚接触网面时，动能最大
C．重力势能的减少量大于克服空气阻力做的功
D．重力势能的减少量等于弹性势能的增加量
3．在航模比赛中，某同学操控无人机从地面由静止竖直向上起飞后，按指定路线运送物资，已知质量为6 kg的物资在无人机拉力作用下竖直上升20 m后，沿水平方向匀加速移动15 m，加速度大小为1 m/s2．若忽略空气阻力，取g＝10 m/s2．则下列说法中正确的是(　　)
A．上升过程中，物资始终处于超重的状态
B．整个过程中，物资动能的增加量为120 J
C．整个过程中，物资机械能的增加量为1 200 J
D．整个过程中，无人机所消耗的能量大于物资的机械能的增加量
4．(多选)如图所示，一个质量为m的物体以某一速度从A点冲上倾角为30°的斜面，其运动的加速度为g(g为重力加速度)，该物体在斜面上升的最大高度为h．下列说法中正确的是(　　)
A．物体上升过程中重力势能增加了mgh
B．物体上升过程中克服摩擦力做功为mgh
C．物体上升过程中机械能减少了mgh
D．整个过程物体的机械能守恒
5．如图所示，质量为M、长度为L的木板静止在光滑的水平面上，质量为m的小物体(可视为质点)放在木板上最右端，用一方向水平大小不变的力F作用在木板上，使木板从静止开始做匀加速直线运动．当小物体处于木板的最左端时，木板相对地面运动的距离为x，已知小物体和木板之间的滑动摩擦力为f，则在此过程中(　　)
A．F对小物体所做的功为FL
B．摩擦力f对小物体所做的功为fL
C．小物体处于木板最左端时木板具有的动能为Fx
D．小物体处于木板最左端时系统产生的内能为fL
6．(多选)高空“蹦极”是勇敢者的游戏．蹦极运动员将弹性长绳(质量可忽略)的一端系在双脚上，另一端固定在高处的跳台上，运动员无初速地从跳台上落下．在整个下落过程中，若不计空气阻力，则(　　)
A．运动员的重力势能与弹性绳的弹性势能之和先减小，后增大
B．当弹性绳恰好伸直时，运动员的速度最大
C．运动员机械能一直减小
D．重力对运动员所做的功等于运动员克服弹性绳弹力所做的功
7．(多选)如图所示，轻质弹簧和轻绳一端固定，轻绳另一端与质量为0.4 kg的小物块相连接，此时弹簧处于压缩状态，弹簧与物块不拴接．现将轻绳剪断，物块从A点由静止开始向右运动，最终停在M点．已知小物块与水平地面之间的动摩擦因数为0.25，A、M之间的距离为1.5 m，忽略空气阻力，取g＝10 m/s2．则在物块由A点运动至M点的过程中，下列说法中正确的是(　　)
A．物块与弹簧分离时的速度最大
B．物块速度最大时，弹簧的弹力大小为1 N
C．物块从脱离弹簧到停止运动，位移随时间均匀增大
D．初始时，弹簧上储存的弹性势能为1.5 J
8．(多选)如图所示，竖直光滑杆固定不动，套在杆上的弹簧下端固定，将套在杆上的滑块向下压缩弹簧至离地高度h＝0.1 m处，滑块与弹簧不拴接．现由静止释放滑块，通过传感器测量滑块的速度和离地高度h，并作出滑块的Ek h图像，其中高度从0.2 m上升到0.35 m范围内图像为直线，其余部分为曲线．以地面为零势能面，由图像可知(　　)
A．弹簧最大弹性势能为0.5 J
B．轻弹簧原长0.1 m
C．当高度为0.2 m时，弹簧的弹性势能最小
D．小滑块的重力势能与弹簧的弹性势能总和先减小，后增大
9．如图所示，半径为R的光滑半圆形轨道ABC固定在竖直平面内且与水平轨道CD相切于C点，D端有一被锁定的轻质压缩弹簧，弹簧左端连接在固定的挡板上，弹簧右端Q到C点的距离为2R．质量为m的滑块(视为质点)从轨道上的P点由静止滑下，刚好能运动到Q点，并能触发弹簧解除锁定，然后滑块被弹回，且刚好能通过圆轨道的最高点A．已知∠POC＝60°，求：
(1) 滑块第一次滑至圆形轨道最低点C 时所受轨道支持力大小．
(2) 滑块与水平轨道间的动摩擦因数μ．
(3) 弹簧被锁定时具有的弹性势能．
微专题5　功能关系与能量守恒定律
1．AC　解析：由功能关系可知，物体克服重力做功W克G＝mgh＝10 J，A正确；根据动能定理知W合＝W手＋WG＝mv2＝×1×22 J＝2 J，则手对物体做功为W手＝mv2＋mgh＝12 J，B错误，C正确；由功能关系知，除重力或系统内弹力，其他力对物体所做的功等于物体机械能的变化，即ΔE＝W手＝12 J，D错误．
2．C　解析：运动过程中，有空气阻力做功，接触网面后，有弹力做功，该少年的机械能不守恒，A错误；少年接触网面时，合力向下，速度会继续增大，向下运动到合力为零时，速度最大，动能最大，此后继续向最低点运动时，合力向上，速度减小，动能减小，B错误；重力势能的减少量等于克服空气阻力做的功与网面弹性势能增加量的和，即重力势能的减少量大于克服空气阻力做的功，C正确，D错误．
3．D　解析：无人机拉力作用下竖直上升20 m的过程先加速，后减速，无人机先超重，后失重，故A错误；整个过程，根据动能定理有ma·x＝ΔEk，解得ΔEk＝6×1×15 J＝90 J，故B错误；整个过程，物资重力势能增加了ΔEp＝mgh＝6×10×20 J＝1 200 J，故物资机械能增加量为ΔE＝ΔEk＋ΔEp＝90 J＋1 200 J＝1 290 J，故C错误；整个过程中，无人机所消耗的能量等于物资和无人机的机械能的增加量，故无人机所消耗的能量大于物资的机械能的增加量，故D正确．
4．AC　解析：物体在斜面上升的最大高度为h，克服重力做功为mgh，则重力势能增加了mgh，A正确；根据牛顿第二定律得mgsin 30°＋f＝ma，可得到摩擦力大小为f＝mg，物体克服摩擦力做功为Wf＝f·2h＝mgh，所以物体的机械能损失了mgh，C正确，B、D错误．
5．D　解析：由题意可知，F没有作用在小物体上，对小物体不做功，木板相对地面的位移为x，则小物体相对地面的位移为x＋L，摩擦力f对小物体所做的功为Wf＝f(x－L)，A、B错误；对木板受力分析可知，竖直方向，木板受力平衡，水平方向，受F和小物体的摩擦力f，木板相对地面的位移为x，由动能定理可得小物体处于木板最左端时木板具有的动能为Ek＝(F－f)x，C错误；小物体与木板的相对位移为L，则小物体处于木板最左端时系统产生的内能为摩擦力与相对位移的乘积，为fL，D正确．
6．AD　解析：弹性绳伸直前，运动员的重力势能减小，弹性绳的弹性势能为零，运动员的重力势能与弹性绳的弹性势能之和减小；弹性绳伸直后，运动员与弹性绳组成的系统机械能守恒，运动员的动能先增大，后减小，则运动员的重力势能与弹性绳的弹性势能之和先减小，后增大，故整个过程中，运动员的重力势能与弹性绳的弹性势能之和先减小，后增大，故A正确；当弹性绳的弹力等于运动员重力时，运动员的速度最大，故B错误；弹性绳伸直前，运动员的机械能不变；弹性绳伸直后，弹性绳的弹性势能增大，运动员的机械能减小，故运动员的机械能先不变，后减小，故C错误；整个过程中运动员动能变化量为零，根据动能定理可知，重力对运动员所做的功等于运动员克服弹性绳弹力所做的功，故D正确．
7．BD　解析：当物块受到的弹力与摩擦力大小相同时，加速度为零，速度最大，物块与弹簧分离时弹力为零，速度不是最大，A错误；物块速度最大时，物块受到的弹力与摩擦力大小相同，有F＝μmg，代入数据得F＝1 N，B正确；物块从脱离弹簧到停止运动，受到摩擦力提供加速度，做匀减速直线运动，由x＝v0t－at2，知位移不随时间均匀增大，C错误；整个运动过程由能量守恒定律知，初始时，弹簧上储存的弹性势能Ep弹＝μmgL，代入数据得Ep弹＝1.5 J，D正确．
8．ACD　解析：高度从0.2 m上升到0.35 m范围内图像为直线，可知轻弹簧原长为0.2 m，此位置弹性势能最小为0，B错误，C正确；在从0.2 m上升到0.35 m范围内ΔEk＝ΔEp＝mgΔh1，图线的斜率绝对值为k＝＝ N＝2 N＝mg，根据能量的转化与守恒可知，当滑块上升至最大高度时，增加的重力势能即为弹簧最大弹性势能，所以有Ep＝mgΔh＝0.2×10×(0.35－0.1)J＝0.5 J，A正确；由能量守恒可知，小滑块的重力势能与弹簧的弹性势能总和先减小，后增大，D正确．
9．(1) 2mg　(2) 0.25　(3) 3mgR
解析：(1) 设滑块第一次滑至C点时的速度为vC，圆轨道C点对滑块的支持力为FN，在P→C 过程中有
mgR(1－cos 60°)＝
在C点有FN－mg＝m
解得FN＝2mg
(2) 在P→C→Q过程中有mgR(1－cos 60°)－μmg·2R＝0
解得μ＝0.25
(3) A点有mg＝m
在Q→C→A过程中有Ep＝＋mg·2R＋μmg·2R
解得弹性势能Ep＝3mgR微专题5　功能关系与能量守恒定律
核心 目标 1．理解功能关系及其表达形式，理解摩擦力做功与能量转化的关系．
2．理解能量守恒定律，会选用恰当的功能关系式解决较复杂的、多体、多过程问题．
应用1　功能关系的应用
1．几种常见的功能关系及其表达式
力做功的情况 能变化的情况 结论
合力做功 动能变化 W＝Ek2－Ek1＝ΔEk
重力做功 重力势能变化 (1)重力做正功，重力势能减少 (2)重力做负功，重力势能增加 (3)WG＝－ΔEp＝Ep1－Ep2
弹簧弹力做功 弹性势能变化 (1)弹力做正功，弹性势能减少 (2)弹力做负功，弹性势能增加 (3)W弹＝－ΔEp＝Ep1－Ep2
只有重力、弹簧弹力做功 机械能不变化 机械能守恒，ΔE＝0
除重力和弹簧弹力之外的其他力做功 机械能变化 (1)其他力做多少正功物体的机械能就增加多少 (2)其他力做多少负功物体的机械能就减少多少 (3)W其他＝ΔE
一对相互作用的滑动摩擦力做功 机械能减少，内能增加 (1)作用于系统的一对滑动摩擦力做负功，系统内能增加 (2)摩擦生热，Q＝Ff·x相对
2．功能关系的理解
(1) 只涉及动能的变化用动能定理分析．
(2) 只涉及重力势能的变化用重力做功与重力势能变化的关系分析．
(3) 只涉及机械能的变化用除重力和弹簧的弹力之外的其他力做功与机械能变化的关系分析．
　质量为m的物体在距地面h高处以 g的加速度由静止竖直下落到地面，下列说法中正确的是(　C　)
A．重力势能减少了mgh
B．物体的动能增加了mgh
C．物体的机械能减少了mgh
D．物体克服阻力做的功为mgh
解析：根据重力做功与重力势能变化量的关系，得WG＝－ΔEp，物体在距地面h高处以g的加速度由静止竖直下落到地面，则WG＝mgh，所以重力势能减小了mgh，A错误；根据牛顿第二定律得F合＝ma＝mg，根据动能定理得W合＝－ΔEk，W合＝mgh，物体的动能增加了mgh，B错误；物体除了受到重力作用还受到阻力f作用，根据牛顿第二定律得F合＝ma＝mg－f＝mg，解得f＝mg，故Wf＝－fh＝－mgh，所以物体克服阻力做的功为 mgh，机械能减少了 mgh，C正确，D错误．
应用2　摩擦力做功与能量转化
1．静摩擦力做功
(1) 静摩擦力可能做正功，也可能做负功，还可能不做功．
(2) 相互作用的一对静摩擦力做功的代数和等于零．
(3) 静摩擦力做功时，只有机械能的相互转移，不转化为内能．
2．滑动摩擦力做功的特点
(1) 滑动摩擦力可能做正功，也可能做负功，还可能不做功．
(2) 相互间存在滑动摩擦力的系统内，一对滑动摩擦力做功产生两种可能效果．
①机械能全部转化为内能．
②有一部分机械能在相互摩擦的物体间转移，另外一部分转化为内能．
(3) 摩擦生热的计算
Q＝Ffx相对，其中x相对为相互摩擦的两个物体间的相对路程．
从功的角度看，一对滑动摩擦力对系统做的总功等于系统内能的增加量；从能量的角度看，其他形式能量的减少量等于系统内能的增加量．
3．注意点
(1) 无论是计算滑动摩擦力做的功，还是计算静摩擦力做的功，都应代入物体相对于地面的位移．
(2) 公式Q＝Ffx相对中，若物体在接触面上做往复运动，则x相对为总的相对路程．
　如图所示，斜面的倾角为θ，质量为m的滑块与挡板P的距离为x0，滑块以初速度v0沿斜面上滑，滑块与斜面间的动摩擦因数为μ，滑块所受摩擦力小于重力沿斜面向下的分力．若滑块与挡板相碰无机械能损失，则滑块经过的总路程是(　A　)
A．＋x0tan θ)
B．＋x0tan θ)
C．＋x0tan θ)
D．)
解析：滑块最终停在斜面底部，设滑块经过的总路程为x，全程所产生的热量为Q＝＋mgx0sin θ，而全程产生的热量等于克服摩擦力所做的功，则Q＝μmgxcos θ，解得x＝＋x0tan θ)，A正确．
　如图所示，长为L的平板静置于光滑的水平面上．一小滑块以某一初速度冲上平板的左端，当平板向右运动s时，小滑块刚好滑到平板最右端．已知小滑块与平板之间的摩擦力大小为Ff，在此过程中(　B　)
A．摩擦力对滑块做的功为Ff(s＋L)
B．摩擦力对平板做的功为Ffs
C．摩擦力对系统做的总功为零
D．系统产生的热量Q＝Ff(s＋L)
解析：滑块相对平板运动到右端的过程中，所受的摩擦力方向水平向左，与位移方向相反，相对于地的位移大小为s＋L，所以摩擦力对滑块做的功为W1＝－Ff(L＋s)，A错误；平板向右运动，所受的摩擦力方向水平向右，摩擦力对平板做正功，平板的对地位移为s，摩擦力对平板做的功为W2＝Ffs，B正确；摩擦力对系统做的总功为W＝W1＋W2＝－FfL，C错误；由功能关系可知，系统产生的热量等于摩擦力对系统做的总功的绝对值，Q＝FfL，D错误．
应用3　 能量守恒定律的理解和应用
1．能量守恒定律是贯穿物理学的基本规律，是各种自然现象中普遍成立的一条规律．
2．表达式
(1) E初＝E末，初状态各种能量的总和等于末状态各种能量的总和．
(2) ΔE增＝ΔE减，增加的那些能量等于减少的那些能量．
3．运用步骤
(1) 分析研究对象及研究过程．
(2) 分析该过程中，哪些形式的能量在变化．
(3) 分析参与转化的能量中，哪些能量增加，哪些能量减少．
(4) 列出增加的能量和减少的能量之间的守恒式(或初、末状态能量相等的守恒式)．
　如图所示，轻质弹簧的左端固定，并处于自然状态．小物块的质量为m，从A点向左沿水平地面运动，压缩弹簧后被弹回，运动到A点恰好静止．物块向左运动的最大距离为s，与地面间的动摩擦因数为μ，重力加速度为g，弹簧未超出弹性限度．在上述过程中(　B　)
A．弹簧的最大弹力为μmg
B．物块克服摩擦力做的功为2μmgs
C．弹簧的最大弹性势能为2μmgs
D．物块在A点的初速度为
解析：物块向左运动压缩弹簧，弹簧最短时，物块具有向右的加速度，弹力大于摩擦力，即F＞μmg，A错误；物块克服摩擦力做的功W＝μmgs＋μmgs＝2μmgs，B正确；根据能量守恒，弹簧弹开物块的过程中，弹簧的弹性势能通过摩擦力做功转化为内能，故Epm＝μmgs，C错误；根据能量守恒，在整个过程中，物块的初动能通过摩擦力做功转化为内能，即mv2＝2μmgs，所以v＝2，D错误．
　如图所示，某同学研究平抛运动，在离粗糙水平直轨道CD高h1＝0.55 m处的A点有一质量m＝1 kg的刚性物块(可视为质点)，现将物块以某一初速度水平抛出后，恰好能从B点沿切线方向进入光滑圆弧形轨道BC．B点距水平直轨道CD的高度h2＝0.10 m，O点为圆弧形轨道BC的圆心，圆心角为θ＝60°，圆弧形轨道最低点C与长为L＝2.0 m的粗糙水平直轨道CD平滑连接．物块沿轨道BCD运动并与右边墙壁发生碰撞，且碰后速度等大反向，取g＝10 m/s2，不计空气阻力．求：
(1) 物块从A点刚抛出时的初速度大小．(结果可以用根式表示)
(2) 物块运动至圆弧形轨道最低点C时，物块对轨道的压力大小．
(3) 若物块与墙壁发生碰撞且最终停在轨道CD上，则物块与轨道CD间的动摩擦因数μ应满足的条件．
答案：(1) m/s　(2) 65 N　(3) 0.35≥μ≥0.15
解析：(1) 到达B点时tan 60°＝
其中vy＝＝3 m/s
可得v0＝ m/s
(2) 从A到C由机械能守恒＝mgh1
在C点时FN－mg＝m
其中h2＝R(1－cos60°)
解得FN＝65 N
由牛顿第三定律可知，物块对轨道的压力F'N＝FN＝65 N
(3) 从A点开始到最终停止，若恰能停在D点，则由能量关系mgh1＋＝μ1mgL
解得μ1＝0.35
若与挡板碰后恰能到达B点，则由能量关系
mgh1＋＝μ2mg·2L＋mgh2
解得μ2＝0.15
从B点返回到CD上时滑行的距离mgh2＝μ2mgx
解得x≈0.67 m＜L，即不能到达竖直墙壁
则动摩擦因数满足0.35≥μ≥0.15
1．(多选)如图所示，可看作质点的货物从Q点以8 m/s的水平速度向左滑上粗糙圆弧滑道QP，恰好能到P点．已知货物质量为20 kg，滑道高度h＝2 m，取g＝10 m/s2，不计空气阻力，关于货物从Q点运动到P点的过程，下列说法中正确的有(　BD　)
A．重力做功为400 J
B．滑动摩擦力做功为－240 J
C．合力做功为160 J
D．机械能减少了240 J
解析：重力做功为WG＝－mgh＝－400 J，A错误；滑道摩擦力做功为Wf＝mgh－＝－240 J，B正确；合力做功为W合＝0－＝－640 J，C错误；机械能减少了ΔE＝－mgh＝240 J，D正确．
2．(多选)某一快递转运站分拣货物所用的粗糙水平传送带如图所示，传送带由电动机带动始终以3 m/s的速率顺时针转动，质量为2 kg的物体在水平传送带左端由静止释放，物体与传送带间的动摩擦因数为0.1，物体经过一段时间运动后能与传送带相对静止，取g＝10 m/s2．关于物体从静止释放到相对传送带静止这一过程，下列说法中正确的是(　AC　)
A．摩擦力对物体做的功为9 J
B．传送带克服摩擦力做的功为9 J
C．物体与传送带摩擦产生的热量为9 J
D．放上物体之后电动机多消耗的电能为9 J
解析：物体在传送带上受到摩擦力作用，做匀加速直线运动，根据动能定理有Wf＝mv2，得Wf＝×2×32 J＝9 J，A正确；物体在传送带上加速运动的过程中，根据匀变速直线运动的规律有v＝at，a＝μg，x物＝at2，传送带匀速运动，传送带的位移x传＝vt，联立代入数据得x物＝4.5 m，x传＝9 m，传送带克服摩擦力做的功为W克f＝fx传＝0.1×2×10×9 J＝18 J，物体与传送带摩擦产生的热量为Q＝f(x传－x物)＝0.1×2×10×(9－4.5) J＝9 J，B错误，C正确；放上物体之后电动机多消耗的电能为E＝Q＋mv2＝18 J，D错误．

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